專(zhuān)題14與圓有關(guān)的性質(zhì)

題型分析

題型演練

題型一圓的基本概念辨析

i.下列說(shuō)法中，正確的是（）

A.過(guò)圓心的直線(xiàn)是圓的直徑

B.直徑是圓中最長(zhǎng)的弦

C.相等長(zhǎng)度的兩條弧是等弧

D.頂點(diǎn)在圓上的角是圓周角

【答案】B

【分析】根據(jù)直徑，弦，等弧，圓周角的定義，逐一判斷即可解答.

【詳解】解：A、過(guò)圓心的弦是I員的直徑，故此選項(xiàng)不符合題意：

B、直徑是圓中最長(zhǎng)的弦，故此選項(xiàng)符合題意；

C、在同圓或等圓中，能夠互相重合的弧叫做等弧，故此選項(xiàng)不符合題意；

D、頂點(diǎn)在圓上，兩邊分別與圓還有另一個(gè)交點(diǎn)的角是圓周角，故此選項(xiàng)不符合題意;

故選:B.

2.如圖，圖中。。的弦共有（）

A.1條B.2條C.3條D.4條

【答案】C

【分析】根據(jù)弦的定義即可求解.連接圓上任意兩點(diǎn)的線(xiàn)段叫做弦，經(jīng)過(guò)圓心的弦叫做直徑，直徑是一個(gè)

圓里最長(zhǎng)的弦.

故逃C.

3.下列說(shuō)法正確的是（）

A.弧長(zhǎng)相等的弧是等弧B.直徑是最長(zhǎng)的弦

C.三點(diǎn)確定一個(gè)圓D.平分弦的直徑垂直于弦

【答案】B

【分析】根據(jù)等弧的概念、弦的概念、確定圓的條件以及垂徑定理判斷即可.

【詳解】A、能夠重合的弧是等弧，弧長(zhǎng)相等的弧不一定是等弧，故本選項(xiàng)說(shuō)法錯(cuò)誤，不符合題意；

B、直徑是最長(zhǎng)的弦，本選項(xiàng)說(shuō)法正確，符合題意；

C、不在同一直線(xiàn)上的三點(diǎn)確定一個(gè)圓，故本選項(xiàng)說(shuō)法錯(cuò)誤，不符合題意；

D、平分弦（不是直徑的弦）的直徑垂直于弦，故本選項(xiàng)說(shuō)法錯(cuò)誤，不符合題意：

故選：B.

是AD的中點(diǎn),

???點(diǎn)A在以點(diǎn)M為圓心，A”為半徑的圓上，

5.某校計(jì)劃在校園內(nèi)修建一座周長(zhǎng)為20m的花壇，同學(xué)們?cè)O(shè)計(jì)出正三角形，正方形和圓三種圖案，通過(guò)計(jì)

算說(shuō)明使花壇面積最大的圖案是（填圖形）.

【答案】圓

【分析】分別求出正三角形，正方形和圓三種圖案的面積，即可求解.

???這三個(gè)數(shù)中曾最大，

乃

.?.使花壇面積最大的圖案是圓.

故答案為：圓.

【答案】60

【詳解】解：連接。8,

故答案為：60.

（1）線(xiàn)段AC的長(zhǎng)等于；

【答案】（1）逐

⑵畫(huà)圖見(jiàn)解析

⑶畫(huà)圖見(jiàn)解析

【分析】（1）直接利用勾股定理進(jìn)行計(jì)算即可；

（2）如圖，取8c與網(wǎng)格線(xiàn)的交點(diǎn)。，連接0。并延長(zhǎng)0。交。。丁點(diǎn)E,則E即為所求，

（3）記AE交3c于點(diǎn)G,連接跖，延長(zhǎng)AC交戰(zhàn)的延長(zhǎng)線(xiàn)于R連接尸G延長(zhǎng)AG交A8于點(diǎn)P,則點(diǎn)尸

即為所求.

【洋解】（1）解：由勾股定理可得：

（2）如圖，取與網(wǎng)格線(xiàn)的交點(diǎn)。，連接。。并延長(zhǎng)。。交。。于點(diǎn)E,則七即為所求，

（3）記AE交8c于點(diǎn)G,連接鴕，延長(zhǎng)4c交BE的延長(zhǎng)線(xiàn)于凡連接AG延長(zhǎng)尸G交于點(diǎn)尸，則點(diǎn)P

即為所求.

???AE是所的垂直平分線(xiàn)，

題型二垂徑定理的應(yīng)用

A.8B.12

【答案】D

【詳解】解：如佟I：連接Q4,

D

【答案】26

???C為A8的中點(diǎn)，。為弧48的中點(diǎn),

故答案為：26

25

【答案】（1）答案見(jiàn)解析；（2）W

【分析】（1）首先畫(huà)出A4和AC的垂直.平分線(xiàn)，兩線(xiàn)交于點(diǎn)0,以。為圓心，B0氏為半徑畫(huà)圓即可;

【詳解】（1）解：如下圖，

畫(huà)出AB和4c的垂直平分線(xiàn)，兩線(xiàn)交于點(diǎn)0,以。為圓心，8。長(zhǎng)為半徑畫(huà)圓，。0即為所求：

（2）當(dāng)點(diǎn)尸是線(xiàn)段所的中點(diǎn)時(shí)，求拉廠(chǎng)的長(zhǎng)；

【分析】（1）連接0E,利用垂徑定理和勾股定理解答即可；

???。。的半徑為5,

（2）解：連接B。，如圖,

???點(diǎn)廠(chǎng)是線(xiàn)段的中點(diǎn)時(shí),

（3）解：①當(dāng)點(diǎn)〃在線(xiàn)段跖上時(shí)，連接0E,如圖,

②當(dāng)點(diǎn)尸在線(xiàn)段用的延長(zhǎng)線(xiàn)I:時(shí)，連接0E,如圖，

題型三利用弧、弦、圓心角的關(guān)系求解

15.如圖，在兩個(gè)同心圓中，為60。，則。。的度數(shù)為（)

A.30°B.40°C.50°D.60°

【答案】D

【詳解】解：〈AB的度數(shù)為60。，

:.CO的度數(shù)為60。，

故選D.

16.下列說(shuō)法中正確的是（）

A.經(jīng)過(guò)三點(diǎn)一定可以作一個(gè)圓B.相等的圓心角所對(duì)的弧也相等

C.圓是軸對(duì)稱(chēng)圖形，每一條直徑都是它的對(duì)稱(chēng)軸D.等弧所

對(duì)的圓周角相等

【答案】D

【分析】根據(jù)確定一個(gè)圓的條件，圓周角定理，圓心角定理，圓的對(duì)稱(chēng)軸的知識(shí)即可判斷正誤.

【詳解】A.經(jīng)過(guò)不在同一直線(xiàn)上的三點(diǎn)一定可以作一個(gè)圓，A選項(xiàng)錯(cuò)誤，所以A選項(xiàng)不符合題意；

B.在同圓或等圓中，相等的圓心角所對(duì)的弧也相等，B選項(xiàng)錯(cuò)誤，所以B選項(xiàng)不符合題意；

C.圓是軸對(duì)稱(chēng)圖形，每一條直徑所在的直線(xiàn)都是它的對(duì)稱(chēng)軸，C選項(xiàng)錯(cuò)誤，所以C選項(xiàng)不符合題意；

D.等弧所對(duì)的圓周角相等，D選項(xiàng)正確，所以D詵項(xiàng)符合題意.

故選：D

17.若一個(gè)圓的半徑是6cm,則90度的圓心角所對(duì)的弦的長(zhǎng)度為

【分析】根據(jù)題意得到等腰直角三角形，根據(jù)勾股定理計(jì)算即可.

【詳解】解：如下圖，

【詳解】解：連接。4,

【答案】50°

【詳解】解:如下圖，連接C。,

【答案】見(jiàn)解析

題型四利用弧、弦、圓心角的關(guān)系證明

21.下列命題中，正確的是（）

①同弧所對(duì)的圓周角相等；②相等的圓心角，所對(duì)的弧也相等；③兩條弦相等，它們所Xj的弧也相等；④

在等圓中，圓心角不等，所對(duì)的弦也不等

A.①②B.①③C.①④D.①②③④

【答案】C

【分析】根據(jù)所學(xué)定理和推論可知①?正確，②③錯(cuò)誤.

【詳解】解：①根據(jù)圓心角的定義知，頂點(diǎn)在圓心的角是圓心角；故①正確.

②缺少條件，必須是在同圓或等圓中，相等的圓心角所對(duì)的弧才相等；故錯(cuò)誤.

③在圓中，一條弦對(duì)著兩條弧，所以?xún)蓷l弦相等，它們所對(duì)的弧不一定相等；故錯(cuò)誤.

④根據(jù)圓心角、弦、弧之間的關(guān)系定理，在等圓中，若圓心角相等，則弦相等，所以圓心角不等，弦也不

等；故④正確.

故選:C.

A.弦A3的長(zhǎng)等于圓內(nèi)接正六邊形的邊長(zhǎng)B.弦AC的長(zhǎng)等子圓內(nèi)接正十二邊形的邊長(zhǎng)

【答案】D

【分析】根據(jù)正多邊形的性質(zhì)和圓的相關(guān)概念對(duì)四個(gè)選項(xiàng)逐?在行分析.

以AB為一邊可構(gòu)成正六邊形，故結(jié)論正確，該選項(xiàng)不符合題意；

再根據(jù)A中結(jié)論，弦AC的長(zhǎng)等下圓內(nèi)接正十二邊形的邊長(zhǎng)，故結(jié)論正確，該選項(xiàng)不符合題意;

D.根據(jù)圓周角定理，圓周角的度數(shù)等于它所對(duì)的圓心角的度數(shù)的一半，

故選：D.

【答案】116

【詳解】解：連接AC、CE,

???點(diǎn)A、C、。、E都是。。上的點(diǎn),

??,點(diǎn)4、B、C、石都是。。上的點(diǎn)，

故答案為：116.

【答案】V5

故答案為：B

【答案】見(jiàn)解析

【答案】（1）見(jiàn)解析

（2）見(jiàn)解析

【詳解】（1）證明：如圖

題型五圓心角的概念辨析

27.下列說(shuō)法正確的是（）

A.如果一個(gè)角的一邊過(guò)圓心，貝!這個(gè)角就是圓心角

C.圓心角就是頂點(diǎn)在圓心，且角的兩邊是兩半徑所在的射線(xiàn)的角

D.圓心角就是在圓心的角

【答案】C

【分析】由圓心角的定義：I員I心角就是頂點(diǎn)在圓心，且角的兩邊是兩半徑所在的射線(xiàn)的角，即可求得答案.

【詳解】解：???圓心角就是頂點(diǎn)在圓心，且角的兩邊是兩半徑所在的射線(xiàn)的角，

???A、D錯(cuò)誤，C正確；

???B錯(cuò)誤.

故選；C.

A.30°B.40°C.45°D.50°

【答案】B

【詳解】解：如圖，連接C。，

???AQ的度數(shù)為：40°.

故選B.

A

【答案】75

【分析】A8的度數(shù)即為所對(duì)圓心角的度數(shù);

【詳解】解；/W的度數(shù)即為相圻對(duì)圓心角的度數(shù);

故答案為：75°

【答案】80°

故答案為：80°.

【答案】70°

【詳解】解:連接。七，如圖,

???弧CE的度數(shù)為40。，

圖甲圖乙

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析

【分析】（1）由于圓被12等分，可得每小格為30°,則120。為4小格，據(jù)此畫(huà)圖即可:

【詳解】解：（1）如圖所示，即為所求.

圖甲

如圖所示，即為所求.

圖乙

題型六圓周角的概念辨析

33.下列圖形中的角是圓周角的是（）

【答案】C

【分析】根據(jù)圓周角的定義（角的頂點(diǎn)在圓上，并且角的兩邊與圓相交的角叫做圓周角）判斷即可.

【詳解】解：根據(jù)圓周角的定義可知，選項(xiàng)C中的角是圓周角.故選：C.

34.如圖，四個(gè)邊長(zhǎng)為1的小正方形拼成一個(gè)大正方形，A、8、。是小正方形頂點(diǎn)，。。的半徑為1,P是

。。上的點(diǎn)，且位于右上方的小正方形內(nèi)，則sinNAPB等于（）

A—B.4C,

【答案】B

【詳解】解；???八、B、。是小正方形頂點(diǎn),

故選:B.

35.如圖，△4BC內(nèi)接于圓，弦B。交AC于點(diǎn)P,連接AO.下列角中，人8所對(duì)圓周角的是()

A.NAPBB.ZABDC./ACBD.NBAC

【答案】C

【分析】根據(jù)題意可直接進(jìn)行求解.

【詳解】解：由圖可知：所對(duì)圓周角的是NAC'A或/人08,故選C.

【答案】①②③?

【分析】根據(jù)優(yōu)弧的定義，弦的定義，圓周角的定義，圓心角的定義逐項(xiàng)分析判斷即可

故④不正確：

故⑤正確

故正確的有：?(2X3X5)

故答案為：①②?⑤

【答案】8

【分析】根據(jù)圓周角的定義，圓周角的頂點(diǎn)必在圓周上，據(jù)此可把頂點(diǎn)分別為A、B、C、D的圓周角數(shù)出

來(lái)，即可得到答案.

故答案為8.

題型七圓周角的性質(zhì)應(yīng)用

【答案】C

【分析】根據(jù)同弧所對(duì)的圓周角是圓心角的一半，以及圓內(nèi)接四邊形的內(nèi)對(duì)角互補(bǔ)，進(jìn)行求解即可.

故選C.

【答案】D

故A正確，不符合題意；

故B正確，不符合題意；

故C正確，不符合題意；

圖中全等三角形有：

共有3對(duì)

故D錯(cuò)誤，符合題意；

故選：D

若點(diǎn)/）在劣弧A8上，如圖，

【答案】2

【詳解】解：連接跳、GO、OC,則的經(jīng)過(guò)。點(diǎn)，且。是跖的中點(diǎn),

故答案為：2.

【答案】（I）證明見(jiàn)解析

②分別求出PC和PD,再利用勾股定理建立方程求解即可.

【詳解】（1）證明：如圖，連接。。，

43.如圖，A8是。。的直徑，。是AC的中點(diǎn)，且。。交AC于點(diǎn)￡連接。C并延長(zhǎng)交43的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)￡

【答案】（1）21。；（2）46

（2）先利用勾股定理求