2025年大學《數學與應用數學》專業(yè)題庫——數學分析中的近似方法研究考試時間：______分鐘總分：______分姓名：______一、選擇題1.設函數f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，若用拉格朗日插值法構造插值多項式Pn(x)，并取插值節(jié)點為x0,x1,...,xn，則Pn(xk)=f(xk)對所有k=0,1,...,n恒成立。這是插值多項式的一個基本性質，它反映了插值函數在插值節(jié)點處的取值與被插值函數的一致性。2.比較梯形求積公式與辛普森求積公式，兩者都基于插值思想，但辛普森公式使用二次插值多項式，因此其代數精度更高，對于光滑函數的積分，其近似效果通常優(yōu)于梯形公式。3.在使用迭代法求方程f(x)=0的根時，為了保證迭代序列{xn}收斂到根α，必須滿足迭代函數g(x)=x-f(x)/f'(x)(即牛頓法)在α處的導數g'(α)的絕對值小于1。這個條件通常被稱為迭代法的收斂性條件。4.無窮級數∑_{n=1}^∞an收斂的必要條件是它的通項an趨于零。如果an不趨于零，那么級數一定發(fā)散。這是一個判斷級數發(fā)散的常用準則。5.數值微分公式如中心差分公式f'(x0)≈(f(x0+h)-f(x0-h))/(2h)具有達到O(h^2)的精度。這意味著當步長h足夠小時，其誤差的主要部分是h^2級別的。二、填空題1.已知函數f(x)在四個等距節(jié)點x0,x1,x2,x3上的值分別為f(x0)=y0,f(x1)=y1,f(x2)=y2,f(x3)=y3，則利用這四個節(jié)點構造的拉格朗日插值基函數Li(x)(i=0,1,2,3)滿足對于任意的i，有Li(xi)=_______。2.若用數值積分方法計算定積分∫[a,b]f(x)dx，其結果是一個近似值I，則該數值方法定義的誤差E可以表示為E=_______-I。3.牛頓迭代法求方程f(x)=0的根時，其迭代公式為xn+1=xn-f(xn)/f'(xn)。如果迭代函數g(x)=xn-f(xn)/f'(xn)在根α處滿足g'(α)=_______，則稱該迭代法具有平方收斂速度。4.設{an}是一個收斂級數，其和為S。若從該級數中刪去前面有限項，得到一個新的級數∑_{n=k+1}^∞an，則新級數∑_{n=k+1}^∞an的和為_______。5.在最小二乘法中，為了確定一個擬合直線y=ax+b，使得函數值y_i與擬合值a*x_i+b的平方誤差和Σ(y_i-(a*x_i+b))^2最小，需要求解關于a和b的兩個線性方程，這兩個方程被稱為最小二乘法正規(guī)方程。三、計算題1.已知函數f(x)在三個節(jié)點(x0,y0),(x1,y1),(x2,y2)上的值分別為f(0)=1,f(1)=3,f(2)=2。構造以這三個節(jié)點為插值點的拉格朗日插值多項式P2(x)，并求P2(0.5)的值。請寫出詳細的構造過程和計算結果。2.試用梯形求積公式計算定積分∫[0,1]e^xdx的近似值，取步長h=0.25。請寫出計算過程，并估計該近似值的誤差上界（提示：誤差上界與最大二階導數和步長的平方成正比）。3.給定方程x^3-x-1=0，試用牛頓迭代法求其在區(qū)間[1,2]內的根，要求迭代過程精確到小數點后四位。請給出初始值x0，并寫出前三次迭代的結果。4.計算級數S=∑_{n=1}^∞(-1)^(n+1)/(n*2^n)的前五項部分和，并估計用該部分和近似S時產生的誤差上界。四、證明題1.證明：對于給定的n+1個互異節(jié)點x0,x1,...,xn和對應的函數值y0,y1,...,yn，存在唯一的次數不超過n的多項式Pn(x)滿足插值條件Pn(xk)=yk(k=0,1,...,n)。2.證明：若函數f(x)在[a,b]上具有二階連續(xù)導數，則用辛普森求積公式計算定積分∫[a,b]f(x)dx的誤差公式為E_S=-(b-a)^5/180*f^(4)(ξ)，其中ξ∈(a,b)。試卷答案一、選擇題1.√2.√3.√4.√5.√二、填空題1.12.∫[a,b]f(x)dx3.04.S-Σ_{i=0}^{k}y_i5.Σ_{i=0}^{n}x_i*(Σ_{j=0}^{n}x_j^2*y_j)-Σ_{i=0}^{n}x_i*y_i,Σ_{i=0}^{n}x_i^2*(Σ_{j=0}^{n}x_j*y_j)-Σ_{i=0}^{n}x_i*y_i(或Σ_{j=0}^{n}y_j*(Σ_{i=0}^{n}x_i^2)-Σ_{i=0}^{n}x_i*y_i,Σ_{j=0}^{n}y_j*(Σ_{i=0}^{n}x_i)-Σ_{i=0}^{n}x_i*y_i，具體形式取決于x_i是否相等)三、計算題1.解析思路：*寫出拉格朗日插值基函數Li(x)的定義公式。*分別計算L0(x),L1(x),L2(x)。*將f(x0),f(x1),f(x2)代入P2(x)=ΣL_i(x)*y_i的表達式。*進行代數化簡，得到P2(x)的具體多項式形式。*將x=0.5代入所得的P2(x)表達式，計算出P2(0.5)的值。2.解析思路：*寫出梯形求積公式∫[a,b]f(x)dx≈(b-a)*[f(a)+f(b)]/2。*代入f(x)=e^x,a=0,b=1,h=0.25，計算近似值。*寫出梯形求積公式的誤差公式E_T=-[(b-a)^3/12]*f''(ξ)。*在區(qū)間[0,1]上，e^x的最大二階導數為e^1=e。*將(b-a)=1,h=0.25代入誤差公式，用e估計誤差上界。3.解析思路：*寫出牛頓迭代法公式xn+1=xn-f(xn)/f'(xn)。*計算f'(x)=3*x^2-1。*選擇初始值x0∈[1,2]，例如x0=1.5。*代入x0,f(x0),f'(x0)計算x1。*重復上述步驟，計算x2,x3，每次保留小數點后四位。*判斷|x_{n+1}-x_n|是否小于給定精度（如0.0001），若是則停止迭代，否則繼續(xù)。4.解析思路：*寫出級數通項an=(-1)^(n+1)/(n*2^n)。*計算前五項：a1,a2,a3,a4,a5。*計算部分和S_5=a1+a2+a3+a4+a5。*估計誤差上界：由于該級數為交錯級數，且an單調遞減趨于零，誤差上界不超過絕對值最小的未包含項，即|a6|=1/(6*2^6)。四、證明題1.解析思路：*證明唯一性：假設存在兩個不同的次數不超過n的多項式Pn(x)和Qn(x)都滿足給定的插值條件。令R(x)=Pn(x)-Qn(x)，則R(x)是一個次數不超過n的多項式，且R(xk)=0(k=0,1,...,n)。這意味著R(x)在[a,b]上有n+1個互異零點，這與多項式次數定理矛盾，因此R(x)恒為零，即Pn(x)恒等于Qn(x)，唯一性得證。*證明存在性：構造拉格朗日插值基函數Li(x)如題目所述。定義Pn(x)=Σyk*Lk(x)。驗證Pn(x)滿足Pn(xk)=yk(k=0,1,...,n)。由于Pn(x)是由yk和Li(x)線性組合而成（yк是常數），且Li(x)滿足插值條件，因此Pn(x)必然滿足插值條件，存在性得證。2.解析思路：*寫出辛普森求積公式∫[a,b]f(x)dx≈(b-a)*[f(a)+4*f((a+b)/2)+f(b)]/6。*證明其代數精度：驗證該公式對x^0,x^1,x^2,x^3,x^4均精確成立，但對x^5可能不精確。通過計算或構造反例證明其代數精度為4。*利用插值理論：構造一個次數不超過3的插值多項式S3(x)滿足S3(a)=f(a),S3(b)=f(b),S3((a+b)/2)=f((a+b)/2)。則∫[a,b]f(x)dx-∫[a,b]S3(x)dx是誤差的主要部分。*計算∫[a,b]S3(x)dx。由于S3(x)是次數不超過3的多項式，且在a,b,(a+b)/2處與f(x)相等，可以證明S3(x)的導數S3'(x)在[a,b]上是連續(xù)的（甚至S3''(x)也是連續(xù)的）。*應用積分中值定理，存在ξ∈(a,b)，使得∫[a,b]S3(x)dx=S3'((a+