24.2直角三角形的性質(zhì)培優(yōu)提升訓(xùn)練華東師大版2025-2026學(xué)年九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)

一、選擇題

1.如圖，在VA8C中，==交BC于點(diǎn)￡>,8=1力=2,則5如的

長(zhǎng)是（）

A.4B.6C.8D.12

2.如圖，VA4c繞點(diǎn)A按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)60。后得到VADE,且點(diǎn)。恰好是邊的中點(diǎn)，

DE交AB于F,則瓦':q>的值為（）

A.3B.2.5C.4D.2&

3.如圖，VA3c中，ZACB=90°,ZA=30°,8C=2百，將VAOE沿力E翻折，使點(diǎn)A

與點(diǎn)B重合，則OE的長(zhǎng)為（）

A.2B.73C.2GD.4

第I題圖

第2題圖第3題圖

4.如圖所示，在RtAAAC中，ZACZ?=90°,CM是斜邊A8上的中線，E、b分別為的、

8C的中點(diǎn)，若EF=1,則A8的長(zhǎng)（）

A.1B.2C.3D.4

5.Rb/WC的兩直角邊長(zhǎng)分別為3,4.M為斜邊A4的中點(diǎn)，長(zhǎng)為定值的線段。。過(guò)點(diǎn)C,當(dāng)

△MP。的面積最大時(shí)，A8兩點(diǎn)到直線尸Q的距離之和為（）

6.如圖，RtZ\A8C中，ZC=90°MC=8,BC=6,。是斜邊AS的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)H作BELCD

于點(diǎn)E,則線段座的長(zhǎng)度為（）

A.4B.4.8C.5D.5.2

7.如圖'點(diǎn)E為正方形項(xiàng)8的邊AO上一點(diǎn)'且。石="。，連接畫取晅的中點(diǎn)八

連接人方，若A尸的長(zhǎng)為|,則正方形A3CQ的面積為（）

A.9B.12C.16D.20

8.已知在平行四邊形人BCD中,AE±BC,BD=2>/3,AC=2,設(shè)=8C=y,則下

列選項(xiàng)中，為定值的是（）

A.x+yB.x-yc.a’D./+),2

二、填空題

9.如圖，菱形ABCD的對(duì)角線AC,相交于點(diǎn)O,4石_L8C,垂足為E,連接OE.若8。=6,

OE=石，則菱形A8CO的面積是.

10.如圖，在VA4c中，點(diǎn)。在邊8c上，AB=AD,點(diǎn)、E,點(diǎn)尸分別是4cB。的中點(diǎn),

EF=2.5,則AC的長(zhǎng)為.

第10題圖

11.如圖，VABC,AB=AC,N3AC=90。，點(diǎn)。，E分別在AC,8C上，AD=DC,EC=2BE,

AE.BD交于點(diǎn)、F,若=則8c的長(zhǎng)為.

12.如圖，點(diǎn)A、B、E在同一條直線上，正方形A8C。、用孑6的邊長(zhǎng)分別為3和4,點(diǎn)，

為線段。尸的中點(diǎn)，則OF+3”的長(zhǎng)為.

三、解答題

13.如圖，已知VABC中，。是AC的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)。作。交BC于點(diǎn)E,過(guò)點(diǎn)4作

AF〃BC交DE于點(diǎn)、F,連接AE、CF.

⑴求證：四邊形4EC戶是菱形；

(2)若CF=2,ZMC=30°,NB=45。,求AB的長(zhǎng).

BE

14.如圖，在四邊形A3c。中，AB//DC,AB=AD,對(duì)角線AC,80交于點(diǎn)O,AC平

分NBAD,過(guò)點(diǎn)C作CE1A5交A4的延長(zhǎng)線于點(diǎn)4連接OE.

(1)求證：四邊形A8C。是菱形；

(2)若A3=2jR,80=4,求OE的長(zhǎng).

15.如圖，在VA3C中，AB=AC,NB4C=120。，A。是VA3C的中線，4尸平分ND4C,

OE〃AC交"的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E.

⑴求證：VAOE是等腰三角形；

(2)若4)=4,求VAOE的面積.

16.已知：在平行四邊形ABCO中，AELBC,垂足為E,CE=CD,點(diǎn)、F為CE的中點(diǎn),

點(diǎn)G為C。上的一點(diǎn)，連接。尸，EG,AG,Z1=Z2.

(1)若CF=2,AE=3,求的的長(zhǎng)；

⑵探究NCEG與/AGE的數(shù)量關(guān)系，并證明.

參考答案

一、選擇題

1.B

2.A

3.A

4.D

5.B

6.B

7.C

8.C

二、填空題

9.66

10.5

II.8

15>/2

2

三、解答題

13.【解】（1）證明；在中，點(diǎn)是AC的中點(diǎn)，

/.AD=DC,

VAF//BC,

/.ZFAD=ZECD,ZAFD=/CED,

??.△AF*￡￡r）（AAS）,

???AF=EC,

???四邊形AEC尸是平行四邊形，

又???M_LAC,點(diǎn)。是工C的中點(diǎn)，即EF垂直平分4C,

???平行四邊形AEC廠是菱形；

（2）解：如圖，過(guò)點(diǎn)A作4GJ_8C于點(diǎn)G,

由（1）知四邊形4EC77是菱形，又CF=2,Z/^C=30\

AAF//EC,AE=CF=2,ZE4E=2ZMC=60°,

/.ZAE^=ZE4E=60°,

AGIBC,

/.NAG9=NAGE=90°,

???ZG4E=30°,

：,GE=^AE=\,AG=&GE=&

???NB=45。,

???NG48=N8=45。，

BG=AG=

，AB=近BG=V6.

14.【解】(1)證明:VAB//CD,

???ZOAB=ZDCA,

VAC為NDAB的平分線，

，ZOAB=ZDAC,

ZDCA=ZDAC,

：.CD=AD=AB,

*/AB//CD,

???四邊形A8C。是平行四邊形，

,:AD=AB,

???四邊形ABC。是菱形.

(2)解：???四邊形A8C0是菱形,

：.OA=OC,BDA.AC,

,:CE，AB,

，OE=-AC=OA=OC

2t

BD=4,

：.OB=-BD=2,

2

在RSAOB中，A8=2而，OB=2,

OA=y]AB2-OB2=2而)2—22=,40-4=病=6，

，OE=OA=6.

15.【解】(1)證明：：質(zhì)平分NZMC,

/.ZmE=Z￡AC,

又「DE//AC,

ZDEA=ZEAC,

,ZDAE=ZDEA,

:.AD=DE,即VADE是等腰三角形；

(2)解：如圖，過(guò)點(diǎn)。作DG_LAE于點(diǎn)G

VAB=AC,ZB/\C=120°,AO是VAAC的中線,

ZBAD=ZDAC=-NBAC=60°,

2

又AF平分ZDAC,

???ZZMG=30°,

VDGLAE,4)=4,

，DG=2,

???AG=\lAlf-DG2=2百，

乂AD=DE,DGrAE,

:.AE=2AG=2x26=4瓜

?,-^D￡=|AE-DG=^x4x/3x2=4x/3.

16.【解】(I)解：'：CE=CD,點(diǎn)/為at的中點(diǎn)，CF=2,

???DC=CE=2CF=4,

???四邊形人8c。是平行四邊形，

，AB=CD=4,

,?AElfiC,

ZAEB=90°,

在RtAABE中，由勾股定理得：BE=\lAB2-AE2=V16-9=V?：

(2)解：ZAGE=2NCEG,證明如下：

延長(zhǎng)AG,交〃。延長(zhǎng)線于M,

在AECG和△OC/中，

Z2=Z1

ZGCE=ZFCD,

EC=DC

???△ECG"ADCF(AAS),

:?CF=CG,

,;CE=CD,尸為CE的中點(diǎn),

.?.DG=CG,

???四邊形是平行四邊形,

/.AD//BC,

：.ZADG=ZMCG,

在△ADG和△MCG中，

ZADG=NMCG

DG=CG,

ZAGD=ZMGC

???△4)G-MCG(ASA),

，AG=MG,

VZA￡C=90°,

EG=-AM=GM,

2

:?/GEC=/M,

'：4GE=NGEC+NM,

ZCEG=-ZAGE,

2

/.ZAGE=2NCEG.

17.【解】(1)證明：???AK是N8AC的平分線

???NBAK=NCAK

VZABC=90°

，ZBAK+ZI3KA=90°

,：BD