考點04指對寨函數(shù)(核心考點講與練)

，考點考瑞')

1.零函數(shù)

(1)幕函數(shù)的定義

一般地，形如0：的函數(shù)稱為塞函數(shù)，其中才是自變量，。為常數(shù).

(2)常見的5種基函數(shù)的圖象

(3)基函數(shù)的性質(zhì)

①基函數(shù)在(0,+8)上都有定義；

②當(dāng)。>0時，基函數(shù)的圖象都過點(1,1)和(0,0),且在(0,+8)上單調(diào)遞增；

③當(dāng)。<0時，幕函數(shù)的圖象都過點(1,1),且在(0,+8)上單調(diào)遞減.

2.分?jǐn)?shù)指數(shù)累

(1)規(guī)定：正數(shù)的正分?jǐn)?shù)指數(shù)幕的意義是丁=赤(臥0,m,〃￡N.，且〃〉1);正數(shù)的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)哥的意義是a

?1

二=-(a>0,/〃，"EM,且〃>1)；0的正分?jǐn)?shù)指數(shù)幕等于0；0的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)塞沒有意義.

ft

涯

(2)有理指數(shù)基的運(yùn)算性質(zhì)：｝：《)'=］：(")'=W互，其中G0,60,r,sFQ.

3.指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)

(1)概念：函數(shù)y=a'(a〉O且aWl)叫做指數(shù)函數(shù)，其中指數(shù)x是自變量，函數(shù)的定義域是R,a是底數(shù).

(2)指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)

ci>\0<3<1

圖象彗(0.1)A

定義域R

值域(0,+8)

過定點(0，D,即才=0時，7=1

性質(zhì)當(dāng)x>0時，g；當(dāng)晨0時，丘1；

當(dāng).K0時，0<八1當(dāng)力0時，0―1

在(-8,+8)上是增函數(shù)在(一8,十8)上是減函數(shù)

4.對數(shù)的概念

一般地，對于指數(shù)式我們把“以a為底N的對數(shù)b”記作log/即b=log,MM，且aWD.其中,

數(shù)且叫做對數(shù)的底數(shù)，史叫做真數(shù)，讀作'”等于以a為底N的對數(shù)”.

5.對數(shù)的性質(zhì)、換底公式與運(yùn)算性質(zhì)

(1)對數(shù)的性質(zhì):①4%"=出②logM=b(a>Qt且a#1).

(2)對數(shù)的運(yùn)算法則

如果a>0且a#l,抄0,Q0,那么

?log,,(?WV)=Iog...J/+Iog....'V；

②1og.,-^=1。即1。即此

③】ogjf—n\ogJ/(z?￡R)；

④1ogj.M=^1og?.1/(///,〃￡R,且/層0).

V

(3)換底公式：1*2廣(&人均大于零且不等于1).

一log抄

6.對數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)

(1)概念：函數(shù)y=log*x(a>0,H.aWl)叫做對數(shù)函數(shù)，其中A?是自變量，函數(shù)的定義域是(0,+°°).

(2)對數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)

<i>l0<a<l

尸尸g『1

圖象

1尸1。融

定義域：(0,+8)

值域：R

當(dāng)x=l時，y=0,即過定點(1,0)

性質(zhì)

當(dāng)力1時，y>0；當(dāng)x>l時，y<0：

當(dāng)Q<x<l時，X0當(dāng)0<內(nèi)1時，y>0

在(0,+8)上是增函數(shù)在(0,+8)上是減函教

(如)(a>l)(〃>0)

在(0,+8)

單調(diào)遞增單調(diào)遞增單調(diào)遞增

上的增減性

增長速度越來越快越來越慢相對平穩(wěn)

1.系函數(shù)y=F(a￡R)圖象的特征

公＞0時，圖象過原點和(I,1)點，在第一象限的部分“上升”；a＜0時，圖象不過原點，經(jīng)過

(1,1)點在第一象限的部分“下降”，反之也成立.

2.判斷指數(shù)函數(shù)圖象上底數(shù)大小的問題，可以先通過令了=1得到底數(shù)的值再進(jìn)行比較.

3.指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性取決于底數(shù)。的大小，當(dāng)?shù)讛?shù)。與1的大小關(guān)系不確定時應(yīng)分和

兩種情況分類討論.

4.對數(shù)值取正、負(fù)值的規(guī)律

當(dāng)。＞1且/?＞1或0＜。＜1且0＜b＜1時，log?Z?＞0;

當(dāng)。＞1且0＜b＜1或0＜。＜1且方＞1時，logj?v0.

5.利用單調(diào)性可解決比較大小、解不等式、求最值等問題，其基本方法是“同底法”，即把不

同底的對數(shù)式化為同底的對數(shù)式，然后根據(jù)單調(diào)性來解決.

6.比較賽、對數(shù)大小有兩種常用方法：(1)數(shù)形結(jié)合;(2)找中間量結(jié)合函數(shù)單調(diào)性.

7.多個對數(shù)函數(shù)圖象比較底數(shù)大小的問題，可通過比較圖象與直線)，=1交點的橫坐標(biāo)進(jìn)行判

【答案】B

故選:B.

【答案】B

【分析】由對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)和二次根式的性質(zhì)求解.

【分析】先利用定義域和奇偶性排除選項D,再利用特殊值排除選項A、C.

故排除選項D：

故選：B.

【答案】C

故選：C.

【答案】A

故選：A.

二、多選題

【答案】BD

【分析】根據(jù)偶函數(shù)定義求得。，由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性得出“處的單調(diào)性，從而可判斷各選項.

故選：BD.

【答案】BCD

故選:BCD

【點睛】函數(shù)圖象的識辨可從以下方面入手：（1）從函數(shù)的定義域，判斷圖象的左右位置.；從函數(shù)的值域,

判斷圖象的上下位置.（2）從函數(shù)的單調(diào)性，判斷圖象的變化趨勢.（3）從函數(shù)的奇偶性，判斷圖象的對稱性.（4）

從函數(shù)的特征點，排除不合要求的圖象.利用上述方法排除、篩選選項.

三、雙空題

【詳解】

四、填空題

【答案】（2,I）

所以點P的坐標(biāo)為（2,1）.

故答案為：（2,1）.

五、解答題

【答案】（1）證明見解析；（2）3.

【點睛】本題考查不等式的證明，考查基本不等式的應(yīng)用，對數(shù)的計算與化簡，考查計算化簡，分析求值

的能力，屬中檔題.

挎高考辨函數(shù)

一、單選題

1.（2022.北京.一模）下列函數(shù)中，定義域與值域均為R的是（）

【答案】C

【分析】利用指數(shù)函數(shù)，對數(shù)函數(shù)，鼎函數(shù)和反比例函數(shù)的性質(zhì)判斷.

故選:C

A.8B.4C.2D.1

【答案】A

故選：A.

A.0B.2C.4D.5

【答案】c

【分析】根據(jù)累函數(shù)的形式及過定點即可求解.

故選:C.

則其中正確命題的序號是（）

A.①③B.②③C.①④D.@?

【答案】A

【分析】由幕函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行分析判斷即可

【詳解】’曷函數(shù)的圖象過定點（1,1）,①正確，

故選：A.

5.（2022?全國?貴陽一中二模（文））下列函數(shù)中是減函數(shù)的為（）

【答案】D

【分析】依次判斷4個函數(shù)的單調(diào)性即可.

故選：D.

【答案】B

【分析】對于A、B,構(gòu)造函數(shù)，借助函數(shù)單調(diào)性比大?。?/p>

對于D,取特值判斷.

故選：B.

二、多選題

【答案】AD

故選：AD

【答案】BCD

故選：BCD.

9.（2021?全國?模擬預(yù)測）已知e為自然對數(shù)的底數(shù)，則下列判斷正確的是（）

,

A.3/Y37ce2B.7tlog3e>3logn￡

C.loge>—D.Tte<e1r

x7T

【答案】BCD

故選：BCD.

A.B.

【答案】ABD

故選：ABD.

三、填空題

【答案】x2（答案不唯一）；

【分析】根據(jù)給定函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合偶數(shù)次暴函數(shù)即可寫出符合要求的解析式.

故答案為：x2（答案不唯一）

【分析】根據(jù)題意畫出圖象，結(jié)合圖象即可求解結(jié)論.

結(jié)合圖象可得：心。？771?心8，

3

故答案為：I],2].

【答案】I，-1（答案不唯一）

故答案為：1,7（答案不唯一）.

一、單選題

【答案】C

【分析】對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可比較。、與c的大小關(guān)系，由此可得出結(jié)論.

故選：C.

A.1.5B.1.2C.0.8D.0.6

【答案】C

故選:C.

【答案】D

故選:D.

【點睛】本題考查的是有關(guān)指數(shù)凝和對數(shù)值的比較大小問題，在解題的過程中，注意應(yīng)用指數(shù)函數(shù)和對數(shù)

函數(shù)的單調(diào)性，確定其對應(yīng)值的范圍.

比較指對某形式的數(shù)的大小關(guān)系，常用方法：

（3）借助于中間值，例如：?；?等.

【答案】A

故選：A.

【點睛】本題考查對數(shù)式的大小的判斷問題，解題關(guān)鍵是能夠通過構(gòu)造函數(shù)的方式，利用函數(shù)的單調(diào)性得

到“，y的大小關(guān)系，考查了轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學(xué)思想.

5.（2020.全國?高考真題（理））已知55<8、13々85.?o=log53,Z>=logg5,ulogW,則（）

A.a<b<cB.b<a<cC.b<c<aD.c<a<b

【答案】A

故選:A.

【點睛】本題考查對數(shù)式的大小比較，涉及基本不等式、對數(shù)式與指數(shù)式的互化以及指數(shù)函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)

用，考查推理能力，屬于中等題.

A.60B.63C.66D.69

【答案】C

故選：C.

【點睛】本題考查對數(shù)的運(yùn)算，考查指數(shù)與對數(shù)的互化，考查計算能力，屬于中等題.

【答案】A

故選；A.

【點睛】本題考查對數(shù)式大小的比較，考查學(xué)生轉(zhuǎn)化與化歸的思想，是一道中檔題.

A.—B.—C.-D.一

16986

【答案】B

【分析】根據(jù)已知等式，利用指數(shù)對數(shù)運(yùn)算性質(zhì)即可得解

故選：B.

【點睛】本題考查的是有關(guān)指對式的運(yùn)算的問題，涉及到的知識點有對數(shù)的運(yùn)算法則，指數(shù)的運(yùn)算法則，

屬于基礎(chǔ)題目.

【答案】D

故選：D.

二、多選題

A.若〃=1,則H(X)=O

B.若〃=2,則H(X)隨著Pi的增大而增大

【答案】AC

兩者相等，所以B選項錯誤.

故選:AC

【點睛】本小題主要考查對新定義“信息烯'’的理解和運(yùn)用，考查分析、思考和解決問題的能力，涉及對數(shù)運(yùn)

算和對數(shù)函數(shù)及不等式的基本性質(zhì)的運(yùn)用，屬于難題.

三、填空題

【答案】7

故答案為：7

【分析】根據(jù)分母不為零、真數(shù)大于零列不等式組，解得結(jié)果.

【點睛】本題考查函數(shù)定義域，考查基本分析求解能力，屬基礎(chǔ)題.

【答案】-4

故答案為：-4

【點睛】本題考查根據(jù)奇函數(shù)性質(zhì)求函數(shù)值，考查基本分析求解能力，屬基礎(chǔ)題.

一、單選題

1.(2022?全國?模擬預(yù)測)開普勒｛JohannesKepler1571-1630),德國數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家，他發(fā)現(xiàn)所有行

星運(yùn)行的軌道與公轉(zhuǎn)周期的規(guī)律：所有行星繞太陽運(yùn)動的坑道都是橢圓，且所有行星軌道的半長軸的三次

方跟它的公轉(zhuǎn)周期的二次方的比都相等.已知金星與地球的公轉(zhuǎn)周期之比約為2:3,地球運(yùn)行軌道的半長軸為

。，則金星運(yùn)行軌道的半長軸約