2025年高中物理競賽專題訓(xùn)練十：幾何光學(xué)一、基礎(chǔ)理論與核心公式1.1光的傳播基本定律光在均勻介質(zhì)中沿直線傳播，這是幾何光學(xué)的基本假設(shè)。當(dāng)光遇到兩種介質(zhì)的分界面時(shí)，會(huì)同時(shí)發(fā)生反射和折射現(xiàn)象。反射定律指出：反射光線與入射光線分居法線兩側(cè)，且反射角等于入射角，數(shù)學(xué)表達(dá)式為θ?=θ?。折射定律（斯涅爾定律）則描述為：折射光線位于入射面內(nèi)，且滿足n?sinθ?=n?sinθ?，其中n?、n?分別為兩種介質(zhì)的折射率，θ?、θ?為入射角和折射角。當(dāng)光從光密介質(zhì)（n?>n?）射向光疏介質(zhì)時(shí)，若入射角θ?>臨界角C，則發(fā)生全反射，臨界角公式為sinC=1/n（當(dāng)光從介質(zhì)射向真空時(shí)）。折射率是描述介質(zhì)光學(xué)性質(zhì)的核心物理量，其定義式為n=c/v，其中c為真空中光速（3×10?m/s），v為光在介質(zhì)中的傳播速度。對(duì)于同一種介質(zhì)，折射率隨光的頻率增大而增大，這是色散現(xiàn)象的本質(zhì)原因。例如，在可見光中，紅光頻率最低，折射率最小，紫光頻率最高，折射率最大。1.2成像系統(tǒng)核心公式平面鏡成像遵循物像對(duì)稱原理，即像與物關(guān)于鏡面對(duì)稱，且為正立等大的虛像。球面鏡成像公式為1/f=1/u+1/v，其中f為焦距（凸面鏡f>0，凹面鏡f<0），u為物距（實(shí)物u>0），v為像距（實(shí)像v>0，虛像v<0）。放大率m=-v/u，正負(fù)號(hào)表示像的倒立或正立。薄透鏡成像公式與球面鏡形式相同（1/f=1/u+1/v），但需注意符號(hào)法則：凸透鏡f>0，凹透鏡f<0；實(shí)物u>0，虛物u<0；實(shí)像v>0（像與物異側(cè)），虛像v<0（像與物同側(cè)）。放大率m=-v/u，當(dāng)|m|>1時(shí)成放大像，|m|<1時(shí)成縮小像。二、重點(diǎn)題型解析2.1折射與全反射綜合問題例題1：一束白光以60°入射角從空氣射入折射率n=√3的玻璃三棱鏡，棱鏡頂角為30°，求紅光（n?=1.5）和紫光（n?=1.6）的偏向角之差。解析：第一次折射：由斯涅爾定律sin60°=nsinθ?，得紅光折射角θ??=arcsin(sin60°/1.5)=arcsin(√3/2/1.5)=arcsin(√3/3)≈35.26°；紫光θ??=arcsin(√3/3.2)≈32.76°。棱鏡內(nèi)光路：光線在棱鏡內(nèi)傳播方向與底邊夾角為α=90°-θ?-頂角/2，紅光α?=90°-35.26°-15°=49.74°，紫光α?=90°-32.76°-15°=42.24°。第二次折射：出射角θ?滿足nsin(90°-α)=sinθ?，紅光θ??=arcsin(1.5sin49.74°)≈arcsin(1.5×0.763)=arcsin(1.144)（全反射？此處計(jì)算錯(cuò)誤，應(yīng)為θ?+α=90°-頂角，正確α=頂角-θ?，重新計(jì)算得α?=30°-35.26°（矛盾），修正：頂角A=30°，則折射光線與第二個(gè)界面法線夾角θ?'=A-θ?=30°-35.26°（不合理，說明第一次折射后光線射到第二個(gè)界面的入射角為θ?'=θ?-A=5.26°，則出射角θ?=arcsin(nsinθ?')=arcsin(1.5sin5.26°)≈8°，偏向角δ=60°-θ?+θ?-θ?'=60°-35.26°+8°-5.26°=27.48°；同理紫光偏向角δ?≈30.12°，差值約2.64°。2.2組合光學(xué)系統(tǒng)成像例題2：焦距f?=10cm的凸透鏡與焦距f?=-20cm的凹透鏡共軸放置，間距d=5cm，物體在凸透鏡前15cm處，求最終成像位置及性質(zhì)。解析：凸透鏡成像：u?=15cm，f?=10cm，由1/f?=1/u?+1/v?得v?=30cm（實(shí)像，在凸透鏡右側(cè)30cm處）。凹透鏡成像：此實(shí)像為凹透鏡的虛物，物距u?=-(30cm-5cm)=-25cm（因凹透鏡在凸透鏡右側(cè)5cm，故物在凹透鏡左側(cè)25cm，虛物u?<0），f?=-20cm。代入公式1/f?=1/u?+1/v?，得1/v?=1/(-20)-1/(-25)=(-5+4)/100=-1/100，v?=-100cm（虛像，在凹透鏡左側(cè)100cm處）。放大率：m=m?m?=(-v?/u?)(-v?/u?)=(-30/15)(-(-100)/(-25))=(-2)(4)=-8，最終成倒立、放大8倍的虛像。2.3動(dòng)態(tài)光學(xué)問題例題3：半徑R=10cm的半圓形玻璃磚，折射率n=√2，一束光線從直徑AB中點(diǎn)O以θ=45°入射角射入，若玻璃磚繞O點(diǎn)以角速度ω=πrad/s逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，求t=0.1s時(shí)出射光線的旋轉(zhuǎn)角速度。解析：初始狀態(tài)：入射角θ=45°，由全反射條件sinC=1/n=√2/2，C=45°，恰好在臨界狀態(tài)，光線沿圓弧面掠射而出。旋轉(zhuǎn)后入射角：t=0.1s時(shí)，玻璃磚旋轉(zhuǎn)角度α=ωt=0.1πrad≈18°，此時(shí)入射角θ'=θ+α=63°>C，發(fā)生全反射，光線在圓弧面反射后從直徑AB另一側(cè)射出。反射光路：反射角等于入射角，由幾何關(guān)系知出射光線旋轉(zhuǎn)角度為2α=0.2πrad，角速度ω'=2ω=2πrad/s。三、競賽拓展：非共軸光學(xué)系統(tǒng)與像差3.1組合平面鏡成像兩平面鏡夾角為θ時(shí)，像的個(gè)數(shù)N=360°/θ-1（當(dāng)360°/θ為偶數(shù)）或N=360°/θ（當(dāng)360°/θ為奇數(shù)）。例如θ=60°時(shí)，N=5個(gè)像；θ=90°時(shí)，N=3個(gè)像。3.2光學(xué)儀器放大率放大鏡：當(dāng)像成在明視距離（25cm）時(shí)，放大率m=1+25/f（f單位cm）；當(dāng)像成在無窮遠(yuǎn)時(shí)，m=25/f。顯微鏡：物鏡放大率m?=-L/f?（L為光學(xué)筒長），目鏡放大率m?=25/f?，總放大率M=m?m?。望遠(yuǎn)鏡：開普勒望遠(yuǎn)鏡（物鏡f?>0，目鏡f?<0），放大率M=-f?/f?；伽利略望遠(yuǎn)鏡（物鏡f?>0，目鏡f?<0），M=-f?/f?。3.3像差初步實(shí)際光學(xué)系統(tǒng)存在像差，主要分為：球差：近軸光線與遠(yuǎn)軸光線匯聚點(diǎn)不同，可通過組合透鏡矯正；色差：不同色光折射率差異導(dǎo)致成像位置不同，用消色差透鏡（冕牌玻璃+火石玻璃）矯正；像散：非軸向物點(diǎn)成像為彌散斑，需用柱面透鏡矯正。A.專題訓(xùn)練題填空題：光從折射率n=1.5的玻璃射向空氣，臨界角C=；若入射角為45°，折射角θ=。（答案：41.8°，arcsin(2/3)≈41.8°，此時(shí)恰好全反射）計(jì)算題：焦距f=20cm的凸透鏡，物體從距透鏡40cm處勻速移動(dòng)到10cm處，求像移動(dòng)的平均速度（物體移動(dòng)速度v=1cm/s）。（提示：物距u從40cm→10cm，像距v從20cm→-20cm，總位移40cm，時(shí)間30s，平均速度4/3cm/s）證明題：證明五角棱鏡（兩反射面夾角45°）的出射光線與入射光線垂直。