2025年下學期高二數學定積分在幾何中的應用試題一、選擇題（每小題5分，共30分）曲線(y=x^2)與直線(y=2x)所圍成的封閉圖形的面積為（）A.(\frac{4}{3})B.(\frac{8}{3})C.(4)D.(\frac{16}{3})解析：聯(lián)立方程(x^2=2x)，解得(x=0)或(x=2)。由定積分的幾何意義，面積(S=\int_{0}^{2}(2x-x^2)dx)。計算得：[S=\left[x^2-\frac{x^3}{3}\right]_0^2=\left(4-\frac{8}{3}\right)-0=\frac{4}{3}]答案：A由曲線(y=\sinx)，(x\in[0,\pi])與(x)軸圍成的圖形繞(x)軸旋轉一周所得旋轉體的體積為（）A.(\frac{\pi^2}{2})B.(\pi^2)C.(\frac{\pi}{2})D.(\pi)解析：旋轉體體積公式為(V=\pi\int_{a}^[f(x)]^2dx)。代入得：[V=\pi\int_{0}^{\pi}\sin^2xdx=\pi\cdot\frac{\pi}{2}=\frac{\pi^2}{2}]（利用公式(\int_{0}^{\pi}\sin^2xdx=\frac{\pi}{2})）答案：A曲線(y=e^x)，(y=e^{-x})與直線(x=1)圍成的圖形面積為（）A.(e+\frac{1}{e}-2)B.(e-\frac{1}{e})C.(e+\frac{1}{e})D.(2-e-\frac{1}{e})解析：交點坐標為((0,1))，積分區(qū)間為([0,1])。面積：[S=\int_{0}^{1}(e^x-e^{-x})dx=\left[e^x+e^{-x}\right]_0^1=(e+e^{-1})-(1+1)=e+\frac{1}{e}-2]答案：A由曲線(y=\sqrt{x})，直線(x=4)和(x)軸圍成的圖形繞(y)軸旋轉一周的體積為（）A.(16\pi)B.(32\pi)C.(\frac{64\pi}{5})D.(\frac{128\pi}{5})解析：使用殼層法(V=2\pi\int_{a}^x\cdotf(x)dx)，得：[V=2\pi\int_{0}^{4}x\cdot\sqrt{x}dx=2\pi\int_{0}^{4}x^{\frac{3}{2}}dx=2\pi\left[\frac{2}{5}x^{\frac{5}{2}}\right]_0^4=2\pi\cdot\frac{64}{5}=\frac{128\pi}{5}]答案：D曲線(y=x^3-3x+2)在(x\in[0,2])上與(x)軸圍成的面積為（）A.(\frac{3}{2})B.(2)C.(\frac{5}{2})D.(3)解析：令(x^3-3x+2=0)，因式分解得((x-1)^2(x+2)=0)，在([0,2])內零點為(x=1)。分段積分：[S=\int_{0}^{1}(x^3-3x+2)dx+\int_{1}^{2}-(x^3-3x+2)dx]計算得：[\int_{0}^{1}(x^3-3x+2)dx=\left[\frac{x^4}{4}-\frac{3x^2}{2}+2x\right]0^1=\frac{1}{4}-\frac{3}{2}+2=\frac{3}{4}][\int{1}^{2}-(x^3-3x+2)dx=\left[-\frac{x^4}{4}+\frac{3x^2}{2}-2x\right]_1^2=\left(-4+6-4\right)-\left(-\frac{1}{4}+\frac{3}{2}-2\right)=\frac{9}{4}]總面積(S=\frac{3}{4}+\frac{9}{4}=3)答案：D若由曲線(y=x^2)，(y=ax(a>0))圍成的圖形面積為(\frac{16}{3})，則(a=)（）A.2B.4C.6D.8解析：聯(lián)立方程得(x=0)或(x=a)。面積：[S=\int_{0}^{a}(ax-x^2)dx=\left[\frac{ax^2}{2}-\frac{x^3}{3}\right]_0^a=\frac{a^3}{2}-\frac{a^3}{3}=\frac{a^3}{6}]令(\frac{a^3}{6}=\frac{16}{3})，解得(a^3=32)，(a=2\sqrt[3]{4})（注：原題選項可能有誤，修正后按計算結果應為(a=4)，此時(S=\frac{64}{6}=\frac{32}{3})，可能題目中面積應為(\frac{32}{3})）答案：B二、填空題（每小題5分，共20分）曲線(y=\lnx)，直線(x=1)，(x=e)與(x)軸圍成的面積為________。解析：面積(S=\int_{1}^{e}\lnxdx)，使用分部積分法：[\int\lnxdx=x\lnx-x+C\impliesS=(e\cdot1-e)-(0-1)=1]答案：1由(y=x^2)，(x=y^2)圍成的圖形繞(y)軸旋轉一周的體積為________。解析：聯(lián)立得(y=0)或(y=1)，選(y)為積分變量，體積(V=\pi\int_{0}^{1}(\sqrt{y})^2-(y^2)^2dy)：[V=\pi\int_{0}^{1}(y-y^4)dy=\pi\left[\frac{y^2}{2}-\frac{y^5}{5}\right]_0^1=\pi\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{5}\right)=\frac{3\pi}{10}]答案：(\frac{3\pi}{10})曲線(y=\cosx)在([-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}])上與(x)軸圍成的面積為________。解析：由于對稱性，(S=2\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\cosxdx=2[\sinx]_0^{\frac{\pi}{2}}=2(1-0)=2)答案：2若曲線(y=x^3)與直線(y=kx(k>0))圍成的圖形面積為(\frac{9}{4})，則(k=)________。解析：聯(lián)立得(x=0)或(x=\sqrt{k})，面積：[S=\int_{0}^{\sqrt{k}}(kx-x^3)dx=\left[\frac{kx^2}{2}-\frac{x^4}{4}\right]_0^{\sqrt{k}}=\frac{k^2}{2}-\frac{k^2}{4}=\frac{k^2}{4}]令(\frac{k^2}{4}=\frac{9}{4})，解得(k=3)（(k>0)）答案：3三、解答題（共50分）（12分）求由曲線(y=x^2)，(y=4x-x^2)所圍成的圖形的面積。解：求交點：聯(lián)立(x^2=4x-x^2)，即(2x^2-4x=0)，解得(x=0)或(x=2)。確定被積函數：在([0,2])上，(4x-x^2\geqx^2)，故面積：[S=\int_{0}^{2}[(4x-x^2)-x^2]dx=\int_{0}^{2}(4x-2x^2)dx]計算積分：[S=\left[2x^2-\frac{2x^3}{3}\right]_0^2=\left(8-\frac{16}{3}\right)-0=\frac{8}{3}]（14分）已知曲線(y=\sqrt{x})，直線(x=1)，(x=4)和(x)軸圍成一個曲邊梯形。（1）求該曲邊梯形的面積；（2）求該曲邊梯形繞(x)軸旋轉一周所得旋轉體的體積。解：（1）面積計算：[S=\int_{1}^{4}\sqrt{x}dx=\int_{1}^{4}x^{\frac{1}{2}}dx=\left[\frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}}\right]_1^4=\frac{2}{3}(8-1)=\frac{14}{3}]（2）體積計算：[V=\pi\int_{1}^{4}(\sqrt{x})^2dx=\pi\int_{1}^{4}xdx=\pi\left[\frac{x^2}{2}\right]_1^4=\pi\left(8-\frac{1}{2}\right)=\frac{15\pi}{2}]（12分）求由曲線(y=e^x)，(y=e^{-x})與直線(x=2)圍成的圖形繞(x)軸旋轉一周的體積。解：交點與積分區(qū)間：曲線(y=e^x)與(y=e^{-x})交于(x=0)，故積分區(qū)間為([0,2])。旋轉體體積公式：[V=\pi\int_{a}^([f(x)]^2-[g(x)]^2)dx\quad(f(x)\geqg(x))]此處(f(x)=e^x)，(g(x)=e^{-x})，則：[V=\pi\int_{0}^{2}(e^{2x}-e^{-2x})dx]計算積分：[\int(e^{2x}-e^{-2x})dx=\frac{1}{2}e^{2x}+\frac{1}{2}e^{-2x}+C]代入上下限：[V=\pi\left[\frac{1}{2}e^{4}+\frac{1}{2}e^{-4}-\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\right)\right]=\frac{\pi}{2}(e^4+e^{-4}-2)]（12分）已知拋物線(y=-x^2+2x+3)與(x)軸交于(A)，(B)兩點（(A)在(B)左側），與(y)軸交于點(C)。（1）求(A)，(B)，(C)三點的坐標；（2）求(\triangleABC)的面積；（3）求拋物線與(x)軸圍成的圖形的面積。解：（1）求交點坐標：與(x)軸交于(A)，(B)：令(-x^2+2x+3=0)，解得(x=-1)或(x=3)，故(A(-1,0))，(B(3,0))。與(y)軸交于(C)：令(x=0)，得(y=3)，故(C(0,3))。（2）(\triangleABC)的面積：底(AB=3-(-1)=4)，高為(C)點縱坐標(3)，故：[S_{\triangleABC}=\frac{1}{2}\times4\times3=6]（3）拋物線與(x)軸圍成的面積：[S=\int_{-1}^{3}(-x^2+2x+3)dx=\left[-\frac{x^3}{3}+x^2+3x\right]_{-1}^{3}]計算得：[\left(-9+9+9\right)-\left(\frac{1}{3}+1-3\right)=9-\left(-\frac{5}{3}\right)=\frac{32}{3}]四、附加題（10分）設曲線(y=x^2)，(y=ax+b(a>0))交于點((1,1))，且直線與拋物線圍成的圖形面積為(\frac{1}{6})，求(a)，(b)的值。解：代入交點坐標：點((1,1))在直線上，故(1=a\cdot1+b\impliesb=1-a)。求另一交點：聯(lián)立(x^2=ax+b)，將(b=1-a)代入得：[x^2-ax+(a-1)=0\implies(x-1)(x-(a-1))=0]解得(x=1)或(x=a-1)。由(a>0)及面積存在，(a-1<1\impliesa<2)。計算面積：[S=\int_{a-1}^{1}[ax+b-x^2]dx=\int_{a-1}^{1}[ax+(1-a)-x^2]dx]化簡被積函數：[ax+1-a-x^2=-x^2+ax+(1-a)]積分得：[S=\left[-\frac{x^3}{3}+\frac{ax^2}{2}+