函數(shù)的圖象

【知識(shí)點(diǎn)總結(jié)】

1、利用描點(diǎn)法作函數(shù)圖象的方法步驟

(2)伸縮變換

/3)-)，=/(處)：圖像上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來(lái)的工

CD

倍；

0>1,圖像上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)縮短為原來(lái)的,倍.

(0

y=f(x)^y=Af(x)：A>\,圖像上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來(lái)的A倍；

OvAvl,圖像上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)縮短為原來(lái)的A倍.

(3)對(duì)稱變換

y=/(x)->y=-f(x)：關(guān)于x軸對(duì)稱；y=f(x)->y=/(-x)：關(guān)于y軸對(duì)稱；

y=f(x)->y=-f(-x)：關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.

(4)翻折變換

y=/(x)fy=/'(IH)：去掉)，軸左邊圖像，保留y軸右邊圖像，將y軸右邊的圖像翻折

到左邊；

y=/(x)^y=|/(x)|:留下大軸上方圖像，將工軸下方圖像翻折上去.

【解題技巧】

(1)f(m+x)=f(m-x),HOy=f{x)的圖像關(guān)于x=〃?對(duì)稱.

(2)函數(shù)y=f(x—陽(yáng))與)，=/(〃Lx)(〃00)的圖象關(guān)于x=〃?對(duì)稱.

(3)f(a+x)=f(b-x),則y=/(x)的圖象關(guān)于x=色產(chǎn)對(duì)稱.

(4)y=f(a+x)與y=f(b-x)的圖象關(guān)于X=對(duì)稱.

(5)y=f(x)與y=/(2a-x)的圖象關(guān)于x=a對(duì)稱?

(6)y=/(x)與y=北一/(2a-x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(a,b)中心對(duì)稱.

題型一：由解析式選圖(識(shí)圖)

例L（2。23?四川成都?石室中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）函數(shù)八所羔配的部分圖象大致形狀是

【答案】C

【解析】由即需—R,定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,

匕￡二sin㈠)=3(-sinx)=上，而x=/⑺,

得/(一)=

1+e)、)e'+l、)1+e'''

則函數(shù)/（"是偶函數(shù)，圖象關(guān)于）'軸對(duì)稱，排除BD：

1e-f

當(dāng)Ovxvl時(shí)，1-e'vO,1+e'>0?sinx>0,所以/(刀)=>^——--sinx<0,

排除A.

故選：C.

例2.（2023?安徽合肥?合肥一六八中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）數(shù)學(xué)與音樂(lè)有著緊密的關(guān)聯(lián).聲音中也

包含正弦函數(shù)，聲音是由亍物體的振動(dòng)產(chǎn)生的能引起聽覺的波，每?個(gè)音都是由純音合成的.

純音的數(shù)學(xué)模型是函數(shù)曠=4輸］蛆，我們平時(shí)聽到的音樂(lè)一般不是純音，而是有多種波疊加

而成的復(fù)合音.已知刻畫某復(fù)合音的函數(shù)為sinx+^sin2x+-sin3x,則其部分圖象大致為

()

Ay-

nn

h

bt/p

八y-

cDV

【答案】c

【解析】令丁=/(x)=sinv+—sin2x+-sin3x,

23

求導(dǎo)得/'(x)=cosx+cos2x+cos3x=cosx+cos2x+COS2Acos.v-sin2xsiar

=cosj：(l-2sin2x)+cos2x(l+co*)=(1+2co&v)cos2.r,

當(dāng)x?0,可時(shí)，由當(dāng)(力=0解得了吟.年,

當(dāng)xe(0,￡)時(shí).“X)單調(diào)遞增：

當(dāng).仔書時(shí)，r(x)＜。，小)單調(diào)遞減；

當(dāng)xe傳岑)時(shí)，/軻＞0,/(力單調(diào)遞增；

當(dāng)時(shí)，r(x)＜。，/(工)單調(diào)遞減，

所以，當(dāng)寧和x嚀時(shí)，小)取極大值；當(dāng)力爭(zhēng)

寸，取極小值，

卜〃。)=。晤卜竽+；,僧卜％閨二

（花）=0,

可得店俘〕,當(dāng)工?0㈤時(shí)”」)＞0,

14/14/

結(jié)合圖象，只有C選項(xiàng)滿足.

故選：C.

例3.（2023?陜西咸陽(yáng)?武功縣普集高級(jí)中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）函數(shù)/3二言，一加"工兀）的

大致圖象可能為（）

1■1-

A.1右-＞B..

-TT'/O兀x-TtOKX

-1--1■

八y-

1-i-

C.-、、，rD.,,~、r

-71O、----兀X-4--71X

-1--1-

【答案】A

【解析】由題知，/(xhT￡r，一兀《江:兀，

e+e

\/(x)是奇函數(shù)，故排除B；

../二＞(),排除c；

,UJev+1

(e'+e-l)cosA-(e-b)sinx

f\x)~/r,、2,

(e+e|

(n

--e

=JJ＜。，排除D,

)---

e2+e2

\/

故選：A

孚"的圖象大致是()

變式1.(2023?山東德州?三模)函數(shù)/(x)=

e+e

y八

D.

【解析】由函數(shù)/(力=孚且

,都可其定義域?yàn)?y,o)u(o,a)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,

e+e-X

又由一乎*=一/(力，所以函數(shù)/(力為奇函數(shù),

e.+be+/?

所以函數(shù)/(x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，可排除A、B選項(xiàng);

當(dāng)％6(0,1)時(shí)，/(x)<o：當(dāng)X=1時(shí),/(x)=0；當(dāng)％￡&+<?)時(shí),/(x)>0,

根據(jù)指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的增長(zhǎng)趨勢(shì)，可得XT+8時(shí)，/(x)TO,可排除C選項(xiàng).

故選：D.

變式2.(2023?寧夏石嘴山?平羅中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè))函數(shù)〃"二以拈工+心皿1-1在卜兀,可上

【答案】A

【解析】因?yàn)楹瘮?shù)/(x)=cosx+xsinx-l的定義域?yàn)椋垡回?兀］,

Kf(-A)=cosX+(-A)sin(-X)-1=/(x),

所以函數(shù)/(x)是偶函數(shù)，其函數(shù)圖像關(guān)于)'軸對(duì)稱，排除CD.

又/(兀)=cos7t+7rsin兀-1=一2vO,刃F除B.

故選:A.

變式3.(2023?遼寧葫蘆禺統(tǒng)考二模)函數(shù))，=坐+!在［-2,0)U(0,2］上的大致圖象為

()

【解析】由于函數(shù)的定義域?yàn)閇-2,0)U(0,2],關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且

In|-x|I

JO(-x)2+(-x)2=/(力，所以/(x)為偶函數(shù)，故圖象關(guān)于)'軸對(duì)稱,

且〃2)=紇1>0,故此時(shí)可排除AD,當(dāng)時(shí)，/?")=三嬰<0,

因此排除C,

故選：B

【方法總結(jié)】

利用函數(shù)的性質(zhì)(如定義域、值域、奇偶性、單調(diào)性、周期性、特殊點(diǎn)等)排除錯(cuò)誤選

項(xiàng)，從而篩選出正確答案

題型二：由圖象選表達(dá)式

rr

例4.(2023?山東?模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)/(x)=x+sinr,5(x)=log2(2+2--l),則如圖所

示圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)可能是()

A.f(x)+g(x)B./(x)-g(x)

C./(x)g(x)D.與斗

g(x)

【答案】C

【解析】因?yàn)?(x)=x+sinx定義域?yàn)镽,K/(-x)=-x+sin(-x)=-x-s\nx=-f(x),

所以/(x)=x+sinx為奇函數(shù)，

又2、+2-*一1之2<2*.2T-1=1?所以g(x)-log2(2,+2一'-1)定義域?yàn)镽,

且g(t)=1%(2：+2—)=(2,+2-1)=g(X),

所以8")=1%(2，+2—1)為偶函數(shù)，

由圖易知其為奇函數(shù),而〃x)+g(“與"x)-g(x)為非奇非偶函數(shù)，故A、B排除;

則斗4-上螞二］+蚓

當(dāng)x-皿時(shí)1。4(2、+2-x-1)flog22'=x故排除D.

g(x)XX

故選：C

例5.(2023?廣東佛山??？寄M預(yù)測(cè))已知/(%)的圖象如圖，則“X)的解析式可能是(

C0S(7Lt)

B，"、)=2(ey)

4府逮力

_(ev-e-r)cos(7Lv)(ev+e-x)sin(jcv)

c./(31——D,7")=

2

【答案】C

【解析】由函數(shù)的圖象可知函數(shù)的定義域?yàn)镽,

.、COS（7Lt）

而選項(xiàng)B,/（x）=2（e'_e二）的定義域?yàn)閧#XH°}'由此即可排除選項(xiàng)B；

函數(shù)圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，卻為奇函數(shù)，

/、COS（7LV）/、COS（-7L￥）

而選項(xiàng)A./（%）=而用，〃一步匹西二〃幻，

，/、C0S（7LV）

所以〃X卜環(huán)刀為偶函數(shù),由此可排除選項(xiàng)A；

根據(jù)圖象可知/⑴〈。，而選項(xiàng)D,/3=>+e?sing）,

e4sinn

/(>)=^-y—=?'由此可排除D,選項(xiàng)c滿足圖象特征.

故選：c.

例6.（2023?廣東?高三專題練習(xí)）某個(gè)函數(shù)的大致圖像如圖所示，則該函數(shù)可能是（）

2(e,4-e-t)—A3+sinv

D.

x2+\-

【答案】B

【解析】4個(gè)選項(xiàng)函數(shù)定義域均為R,

11

XCOS-X-xcos-x“c°sj為奇函數(shù),且

對(duì)于A,f+；J(x)=—/(r)'故

人?1-4?1

/（4）＞0

對(duì)于B.〃力=學(xué)/"7）=孚$=一〃。故/（1）為奇函數(shù)，〃4）=當(dāng)黑＜0,

X11X+1II

對(duì)于C,?。?，：：）"（-力=2（：2：；）,〃“=/.（一）,故"X）為偶函數(shù),

對(duì)于D,答竺J（7）=W^=_"x）,故/⑺為奇函數(shù)，

“八-64+sin4

/(4)=---<-1

由圖知為奇函數(shù),故排除C；由/（4）＜0,排除A,由，（4）＞-1,排除D,

故選：B.

變式4.（2023?重慶渝中?高三重慶巴蜀中學(xué)校考階段練習(xí)）已知函數(shù)7U）的部分圖象如圖所

C.y=3x-5D.y=r

【答案】B

【解析】根據(jù)函數(shù)圖象分析可知，圖象過(guò)點(diǎn)（L2）,排除C、D,

因?yàn)楹瘮?shù)值不可能等于4,排除A.

故選：B.

變式5.(2023?天津和平?統(tǒng)考三模)函數(shù)y=/(x)圖象如圖所示，則函數(shù)/(X)的解析式可

B./(x)=x^

D-/(v)=,-^7

【答案】C

22

【解析】對(duì)于A,r/(r)=l_(7『+1=1_"=/()\/(X)為偶函數(shù)，則"X)圖象

關(guān)于y軸對(duì)稱，與已知圖象不符:，A錯(cuò)誤;

對(duì)于B,當(dāng)x=l時(shí)，/(1)=1,與已知圖象不符，B錯(cuò)誤;

對(duì)于D,=1-擊=1-2、-"力，\是奇函數(shù)，則小)圖象不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)

稱，與已知圖象不符，D錯(cuò)誤；

72*—I1—2"

對(duì)于C,Vf(x)=\一——=-一-=-〃力，

八72r+12*+1=1+2,

\/(x)為奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；

72

Q)’=$為R上的減函數(shù)，，/(力=1一k;為R上的增函數(shù);

2+12+1

2I

又/(1)=1一：=：＜1，'f(x)圖象與已知圖象符合，C正確.

故選；C.

變式6.(2023?河北衡水?高三河北衡水中學(xué)?？茧A段練習(xí))已知y關(guān)于x的函數(shù)圖象如圖所

示，則實(shí)數(shù)工，)，滿足的關(guān)系式可以為()

C.2枚Ty=0D.ln|,v|-y-1

【答案】A

【解析】i|x-l|-log3l=(),得唾3；=卜-1|,

所以_log3)，=|x_l|,BPlog3y=-|x-l|,

得if/1

化為指數(shù)式,

（1

其圖象是將函數(shù)y=jj.的圖象向右平移i個(gè)單位長(zhǎng)度得至ij的,

y\x<o

即為題中所給圖象，所以選項(xiàng)A正確；

對(duì)于選項(xiàng)B,取產(chǎn)-1,則由2」-1=上"-,得）,=2>1,

y

與已知圖象不符，所以選項(xiàng)B錯(cuò)誤；

由/T-y=0,得），=21,其圖象是將函數(shù)），=小的圖象向右平移1個(gè)單位長(zhǎng)度得至心勺,

如圖：

與題中所給的圖象不符，所以選項(xiàng)C錯(cuò)誤；

由lnW=），—l,得），+該函數(shù)為偶函數(shù)，圖象關(guān)于），軸對(duì)稱,

顯然與題中圖象不符，所以選項(xiàng)D錯(cuò)誤，

故選：A.

【方法總結(jié)】

1、從定義域值域判斷圖像位置;

2、從奇偶性判斷對(duì)稱性；

3、從周期性判斷循環(huán)往復(fù)；

4、從單調(diào)性判斷變化趨勢(shì)；

5、從特征點(diǎn)排除錯(cuò)誤選項(xiàng).

題型三：表達(dá)式含參數(shù)的圖象問(wèn)題

例7.（2023?廣東廣州?廣州六中?？既＃┖瘮?shù)/（"=2詈上的圖象如圖所示，則（）

B.a<0>b=0,c<0

C.。<0,b<0,c=0D.a>0,b=0,c>0

【答案】A

【解析】由圖象觀察可得函數(shù)圖象關(guān)于）'軸對(duì)稱，即函數(shù)為偶函數(shù),

3+cosx

所以了（一”=/(x)得：8=0,故C錯(cuò)誤;

av2+bx+c

由圖象可知/（0）=±<0nc<0,故D錯(cuò)誤；

c

因?yàn)槎x域不連續(xù)，所以"+c=0有兩個(gè)根可得△=從_4妝>0,即。、c異號(hào)，”0,

即B錯(cuò)誤，A正確.

故選：A

例8.（2023?全國(guó)?高三專題練習(xí)）已知函數(shù)〃工）=言三在區(qū)間卜兀述］上的圖象如圖所示,

則〃=（)

C.2D.-2

【答案】B

、cosx(a-cosx)-sin2xacosx-l

【解析】法一：當(dāng)r時(shí)，ra)=—；------自——=-(-------?

(a-cosx)一cosx)

設(shè)cosx°=L其中N）e（O,江），則尸（%）=0,另外sinx。〉。，所以sin/故

a

1

j解得:T，又因?yàn)榈栊　?"。,所以

a-cos.r0

a=------，

故選：B.

法二：由/|=—<0=>a<0,—=m=>sinx+mcosx=manV1+m2sin（x+夕）=ma,

aa-cosx

從而sin（x+Q）=J"2,由于sin（x+g）Wl,所以-^㈣^勺，解得：〃?4匚匚，又從

圖象可以看出=（：：o：丁2,即〃?42,從而R^=2,解得：。=土容由于〃<0,

故4=一立.

2

故選:B.

例9.（2023?四川瀘州?百三瀘縣五中?？奸_學(xué)考試）已知定義在R上的偶函數(shù)

/（x）="/in：1+0（卬>0,（）<8〈萬(wàn)）的部分圖象如圖所示,設(shè)廝為了"）的極大值點(diǎn)，則

$譏（叫+夕）=（）

CG

D.1

2

【解析】由/（幻為偶函數(shù)得到）=淅（心-+0為偶函數(shù)，從而得到*=],再由

。得到W,從而得到/（X）解析式，通過(guò)求導(dǎo)找到極大值點(diǎn)小,代入

），=sin（心+。）計(jì)算即可.因?yàn)椤ㄍ?""',+。）為偶函數(shù),）,=加為偶函數(shù)，所以

），=5而（1以+0）為偶函數(shù),

（、（、COS-VV=0

又。＜/＜乃，所以9=3,由圖象及/仔=/[=（）.所以2

2⑶山cos—=0

w=2kt+1

解得2,1(配自wZ),結(jié)合xw(0,y)時(shí)，y=sin^vi^+—^-j=coswx>°知

w=—k-,+—2

3“3

w

卬=1,所以/(工)=J篙，因?yàn)槎?/(1)和y=cosx為偶函數(shù)，所以只需考慮XN0

.卜上、口土、八U+，/\e'cosx「,/\e'(cos.r-sin.v)&,(乃、

的情況，當(dāng)xNO時(shí)，f(A)=------,f(x)=-----------=—ecosx+-

''10v710104)

當(dāng)=彳+2k肛攵eZ,即1二—1"2攵不，攵wZ時(shí)，/（x）有極大值，此時(shí)

424

故選：B.

變式7.（2023?江西宜春兩三江西省豐城中學(xué)校考階段練習(xí)）函數(shù)/。）=三』的圖象如

（X+C）

圖所示，則下列結(jié)論一定成立的是（）

B.a<0,b<0,c>0

C."0,〃<0,c<0D.?<0,b>0,c>0

【答案】A

【解析】由圖知：〃0)==>0,所以6<0,

C

當(dāng)x=-c時(shí)，函數(shù)/(X)無(wú)意義，由圖知：-c<0,所以c>0.

令/(x)=0,解得彳=2,由圖知：-<0,

aa

又因?yàn)閆?vO,所以。>0.

綜上：?>0,b<0,c>0.

故選:A

cosx+2

變式8.(2023?浙江?高三浙江省江山中學(xué)校聯(lián)考期中)函數(shù)/(%)=的圖象如圖所

ax1+bx+c

示，貝lj()

A.fz>0,b=0,r<0B.〃>0.h=0,r>0

C.a<0,b<0,c=0D.a<0,b=0,c<0

【答案】A

【解析】因?yàn)楹瘮?shù)圖象關(guān)于軸）'對(duì)稱，所以/（X）為偶函數(shù),

cos(-x)+2cosx+2cosx+2

所以/（-）==/?,解得方=0,

a(-x)2+b(-x)+cax2-bx+ccue2+bx+c

3

由圖象可得/（。）=-<0,得c<0,

c

由圖象可得分母加+C二。有解，所以X」：有解,

所以-￡>o,解得〃>0.

a

故選：A.

ax+b

變式9.（多選題）（2023?海南?高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù)八幻=的部分圖象如

(x+c)2

圖所示，則（）

y.

o\：x—-x

A.n>0B.Z?>0C.c<0D.b>ac

【答案】BCD

【解析】由可知函數(shù)定義域?yàn)椋鹸|xw-c|,

由圖象可知?.，<（）,C正確；

因?yàn)榘耍ǎ?與>。，.”>。，B正確；

令/（x）=廣+：=o,/.x=_2,由圖象知—2>（v.〃<o,A錯(cuò)誤；

（x+c）aa

由-?.方>4?,DIE確，

a

故選：BCD.

【方法總結(jié)】

根據(jù)函數(shù)的解析式識(shí)別函數(shù)的圖象，其中解答中熟記指數(shù)呆的運(yùn)算性質(zhì)，二次函數(shù)的圖

象與性質(zhì)，以及復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性的判定方法是解答的關(guān)鍵，著重考查分析問(wèn)題和解答問(wèn)題

的能力，以及分類討論思想的應(yīng)用.

題型四：函數(shù)圖象應(yīng)用題

例10.（多選題）（2023?全國(guó)?高三專題練習(xí)）如圖所示的四個(gè)容器高度都相同，將水從容器

頂部一個(gè)孔中以相同的速度注入其中，注滿為止.用下列對(duì)應(yīng)的圖象表示該容器中水面的高

度〃與時(shí)間/之間的關(guān)系，其中正確的（）

【解析】對(duì)于A,易知水面高度的增加是均勻的，所以A不正確；

對(duì)于B,h隨/的增大而增大，且增大的速度越來(lái)越慢，所以B正確；

對(duì)于C,h隨/的增大而增大，增大的速度先越來(lái)越慢，后越來(lái)越快，所以C正確;

對(duì)于D,h隨f的增大而增大，增大的速度先越來(lái)越快，后越來(lái)越慢，所以D正確.

故選：BCD.

例11.（2023?全國(guó)?高三專題練習(xí)）如圖，公園里有一處扇形花壇，小明同學(xué)從A點(diǎn)出發(fā)，

沿花壇外側(cè)的小路順時(shí)針?lè)较騽蛩僮吡艘蝗Γ肪€為ABTBOT。4）,則小明到。點(diǎn)的直線

距離）與他從A點(diǎn)出發(fā)后運(yùn)動(dòng)的時(shí)間/之間的函數(shù)圖象大致是（）

AB

【解析】根據(jù)距離隨與時(shí)間的增長(zhǎng)的變化增減情況即可判定.小明沿A3走時(shí)，與0點(diǎn)的直線

距離保持不變,

沿8。走時(shí)，隨時(shí)間增加與點(diǎn)。的距離越來(lái)越小,

沿OA走時(shí)，隨時(shí)間增加與點(diǎn)。的距離越來(lái)越大.

故選：D.

例12.(2023?全國(guó)?高三專題練習(xí))如圖，點(diǎn)〃在邊長(zhǎng)為1的正方形的邊上運(yùn)動(dòng)，”是C。的

中點(diǎn)，則當(dāng)P沿運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)2經(jīng)過(guò)的路程】與△APM的面積丁的函數(shù)y=f(x)

的圖象大致是下圖中的

MC

【答案】A

【解析】當(dāng)點(diǎn)。在A8上時(shí)：y=-^xxxl=l.r,O<x<l

I3

當(dāng)點(diǎn)尸在BC上時(shí)：y—S三方形八雙十一Sy5”-S^H/,-Syc“=——^-1--3<-v^2

I5]ss

當(dāng)點(diǎn)P在A8上時(shí)：y=-x（--x）xl=--x+-,2<x<-

由函數(shù)可知，有三段直線，乂當(dāng)點(diǎn)。在3C上時(shí)是減函數(shù)

故選：A

變式10.（2023?全國(guó)?高三專題練習(xí)）如圖，△AO。是一直角邊長(zhǎng)為1的等腰直角三角形,

平面圖形OB。是四分之一圓的扇形，點(diǎn)P在線段人8上，PQL4B,且PQ交AD或交弧

OB于點(diǎn)Q,設(shè)AP=x（0v<2）,圖中陰影部分表示的平面圖形APQ（或APQ0的面積為），，

則函數(shù)），=/U）的大致圖像星

【解析】當(dāng)P點(diǎn)在40之間時(shí)，/（x）=；/（O<A<1）,排除B,。

當(dāng)尸點(diǎn)在。8之間時(shí)，y隨x的增大而增大且增加速度原來(lái)越慢，故只有4正確

故選A.

【方法總結(jié)】

（1）從函數(shù)的定義域，判斷圖象的左右位置；從函數(shù)的值域，判斷圖象的上下位置.

（2）從函數(shù)的單調(diào)性，判斷圖象的變化趨勢(shì)；

（3）從函數(shù)的奇偶性，判斷圖象的對(duì)稱性；

（4）從函數(shù)的特征點(diǎn)，排除不合要求的圖象.

題型五：函數(shù)圖像的綜合應(yīng)用

命題點(diǎn)1研究函數(shù)的性質(zhì)

例13.（2023?河南?高三校聯(lián)考階段練習(xí)）設(shè)函數(shù)），=/（6的定義域?yàn)镽,且滿足），=/（%+1）

是偶函數(shù)，/（T）=-/（X-2）,當(dāng)xw（T,l］時(shí)，1,則下列說(shuō)法不正確的是（）

A./（2022）=-1

B.當(dāng)時(shí)，/(x)的取值范圍為［0,1］

C.y=/(x+3)為奇函數(shù)

D.方程/(x)=|lg(x+l)|僅有5個(gè)不同實(shí)數(shù)解

【答案】D

【解析】???f(T)=_f(A2),???/(-1)=_/(1_2)=寸(T),???f(T)=0

當(dāng)X￡(—15時(shí)?，〃6=—d+1,???函數(shù)/(X)在區(qū)間［―L1］的圖象如圖：

九

1

/、.

-1o\1X

???y=/(x+l)是偶函數(shù)，???/(r+l)=/(x+l),即/(1_力=〃1+力

???“X)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，“X)在區(qū)間［T3］的圖象如圖：

???/(_)-2),

???將〃-力=一/。-2)中的工替換為工+1,得

/(—(x+l))=—/((x+l)—2),即〃_l_x)=_/(T+x)

???〃”的圖象關(guān)于點(diǎn)(-1,。)對(duì)稱，/(x)在區(qū)間［-5,3］的圖象如圖:

由函數(shù)圖象可知，是周期為8的周期函數(shù),

函數(shù)/(X)的對(duì)稱軸為直線x=44+lUwZ),對(duì)稱中心為點(diǎn)(公-1,0)(ZwZ),

另外，函數(shù)的周期性還可以通過(guò)以下方法進(jìn)行證明：

將/(l—x)=/(l+x)中的'替換為x+l,得〃l—(x+1))=/0+(x+l)),

即/(—x)=/(x+2),

由已知有/(一)=一/(尸2),

.?./(x+2)=-/(x-2)

將/(工+2)=—/(“一2)中工分另1」替換為工+2和X-2,得

〃(x+2)+2)=-〃(x+2)-2),即/(x+4)=-〃x)

和/((x-2)+2)=_/((x—2)—2),BP/(X)=-/(^-4)=>-/(X)=/(X-4)

??./(I)=/(x+4)

將/(x—4)=/(X+4)中x替換為K+4,得/((X+4)—4)=/((X+4)+4),

即〃4)一/5+8),???/(不)是周期為8的周期函數(shù).

對(duì)于A,/(2022)=/(252x8+6)=/(6)=-1,故A正確;

對(duì)于B,當(dāng)xe[9,U]時(shí)，由圖象可知其值域?yàn)閇0,1],故B正確；

當(dāng)攵=1時(shí)，點(diǎn)(3,0)為〃力圖象的對(duì)稱中心，因此將/(入)的圖象向左平移3個(gè)單位長(zhǎng)度，所

得函數(shù)y=f(x+3)為奇函數(shù)，故C正確；

對(duì)于D,將函數(shù)y=lgx的圖象向左平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，再將1軸下方的圖象翻折至工軸上方，

得到函數(shù)y=|ig(?i)|的圖象,易知y=加(h|)|的圖象過(guò)點(diǎn)(9,1)

如圖，y=|lg(x+l)|的圖象與/(M的圖象有6個(gè)交點(diǎn)，所以方程/(x)=|lg(x+l)|有6個(gè)不同

實(shí)數(shù)解，故D錯(cuò)誤.

故選：D.

例14.(2023?黑龍江哈爾濱?高三哈爾濱三中校考階段練習(xí))已知定義在R上的奇函數(shù)/'(力

滿足/。+2)=-〃工+1).當(dāng)一:時(shí)，〃x)=-Q.則下列結(jié)論第碌的是()

A./(2022)=0

B.函數(shù)/")的值域?yàn)閃g

J乙

C.函數(shù)/(X)的圖像關(guān)于直線”=一日對(duì)稱

D.方程/(X)T+4=O最少有兩個(gè)解

【答案】D

【解析】已知f(x)在R上為奇函數(shù)，奇0)=0,

由/0+2)=-/(1+1),令x=x—1,則〃x+l)=—〃x),所以有/(x+2)=〃x),函數(shù)“力

的周期為2,所以/(2022)=/(0)=0,故選項(xiàng)A正確；

因?yàn)?(工+1)=-/(工)且/(一力二一/(力，所以/(4+1)=/(-力，所以函數(shù)/(x)的對(duì)稱軸為

尸;，又因?yàn)楹瘮?shù)/")的周期為2,

所以x=-3=(-6,故1=-日為數(shù)/(x)的對(duì)稱軸；故選項(xiàng)C正確：

當(dāng)一；Wx<0時(shí)，/(x)=-Q,此時(shí)易知當(dāng)x取值越大，/(x)值越大，/(x)為增困數(shù)，

一號(hào),0,已知/(x)在R上為奇函數(shù)，=/(0)=0,則根據(jù)奇函數(shù)對(duì)

./

稱性可得，當(dāng)0<工<；時(shí)，f(x)=&此時(shí)/(力｛()，等］,所以當(dāng)時(shí)，“X)的

值域?yàn)?孝，孝］,而函數(shù)/(力的對(duì)稱軸為4;，所以當(dāng);<%<■!時(shí)，/(力的值

域也為一坐，弓］，又因?yàn)楹瘮?shù)/(X)的周期為2,所以函數(shù)/(X)在每個(gè)周期內(nèi)的值域?yàn)?/p>

—與當(dāng),綜上，/(x)的值域也為—誓，號(hào),故選項(xiàng)B正確；

方程/(x)-x+a=0有解等價(jià)于函數(shù))可⑴與函數(shù)尸大一。有交點(diǎn)

\/x^v>0

己知/（X）在R上為奇函數(shù)，/（A-）=畫出函數(shù)圖像如圖,

—\f-x^x<0

），=x-a圖像可根據(jù)產(chǎn)x向上或下平移同個(gè)單位，根據(jù)函數(shù)廣〃x）與函數(shù)）的圖像以

及性質(zhì)可知，函數(shù)了寸。）與函數(shù)至多有3個(gè)交點(diǎn)，最少為1個(gè)交點(diǎn)，故選項(xiàng)D錯(cuò)

誤.

故選：D.

例15.（2023?全國(guó)?高三專題練習(xí)）若TxeR,/（工+1）=/0一“，當(dāng)1時(shí)，/（X）=JT-4X,

則下列說(shuō)法正確的是（）

A.函數(shù)/"）為奇函數(shù)B.函數(shù)/"）在（1,田）上單調(diào)遞增

C/（X）由=TD.函數(shù)/（x）在（-co/）上單調(diào)遞減

【答案】C

【解析】由〃x+l）=〃l-x）得：/（x）=/（2-x）,則f（x）圖象關(guān)于x=l對(duì)稱，

當(dāng)x<l時(shí)，2-x>l,/./（.r）=/（2-3f）=（2-x-2）2-4=x2-4,

—4xY>1

.*./（x）=2/二，作出/（x）圖象如下圖所示，

x-4,x<1

由圖象可知：/（X）不關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱，\/"）不是奇函數(shù)，A錯(cuò)誤;

“X）在（1,2）上單調(diào)遞減，B錯(cuò)誤；

&*=/⑼=/（2）=T,C正確;

在(。,1)上單調(diào)遞增，D錯(cuò)誤.

故選：C.

1—V

變式11.(2023?四川瀘州?四川省瀘縣第一中學(xué)?？级?已知函數(shù)=則()

A./(外在上單調(diào)遞增B./("的圖象關(guān)于點(diǎn)(-11)對(duì)稱

C.f(x)為奇函數(shù)D.“X)的圖象關(guān)于直線y=x對(duì)稱

【答案】D

【解析】

2

八刈的可以看作是函數(shù)冢工)=*先向左平移一個(gè)單位，再向下平移一個(gè)單位得到,

x

22

先畫出g(x)=一的圖象，再進(jìn)行平移畫出/(幻=;----1的圖象，

X1+X

2

明顯可見，對(duì)于原函數(shù)g(x)=￡,為奇函數(shù)，關(guān)于點(diǎn)(0,0)對(duì)稱，且在(-8,0)和(0,*o)上為

x

單調(diào)減函數(shù)，

所以，g(x)經(jīng)過(guò)平移后變成的在(-1,轉(zhuǎn))上單調(diào)遞減，關(guān)于(T-1)對(duì)稱，非奇函數(shù)也非

偶函數(shù)，圖象關(guān)于直線)'=不對(duì)稱，所以，D正確；A、B、C錯(cuò)誤.

故選：D

命題點(diǎn)2函數(shù)圖象在不等式中的應(yīng)用

變式12.(2023?全國(guó)?高三專題練習(xí))設(shè)函數(shù)/V)的定義域?yàn)镽,滿足/*-2)=2/(幻，且

當(dāng)xw(O,2]時(shí)，/(x)=x(2—x).若對(duì)任意X￡[a,yo),都有成立，則。的取值范圍是

O

()

5

B.—,4-oc

2

5

D.—co,—

2

【答案】A

【解析】因?yàn)楫?dāng)xe(。，2］時(shí)，/(x)=x(2-x)；/(X-2)=2/(X),

所以.f(x)=gf(x-2),即若/*)在(0,2］上的點(diǎn)的橫坐標(biāo)增加2,則對(duì)應(yīng)了值變?yōu)樵瓉?lái)的J；

若減少2,則對(duì)應(yīng)丁值變?yōu)樵瓉?lái)的2倍.

當(dāng)xe(0,2］時(shí)，f(x)=x(2—x)=—(x—l)2+l,/(初皿=f⑴=1,

3

故當(dāng)a<0時(shí)，對(duì)任意不成立，

O

當(dāng)xw(2,4］時(shí)，f(x)=—J\x-2)=--(X-3)2+T€°；?

同理當(dāng)x?4,6］時(shí)，f(x)=-\x-5)2+^0,1

\J444

3

以此類推，當(dāng)?shù)冢?時(shí)，必有4?

O

令一［(X-3)2+;=：,解得內(nèi)=：,x,=|(舍去),

2282~2

因?yàn)楫?dāng)時(shí)，/(")￡；成立，所以6■皆

故選：A.

變式13.(2023?陜西榆林?高三陜西省神木中學(xué)?？茧A段練習(xí))已知。＜“＜1,當(dāng)X610，,十,

函數(shù)/(工)=1。8“(-4爐+1生”)的圖象恒在才軸下方，貝IJ。的取值范圍是()

【答案】A

【解析】因?yàn)楹瘮?shù)/(x)=log?(-4x2+log.x)的圖象恒在x軸下方,

所以/(x)=log,,(-4.V2+log,,x)<0對(duì)任意X€0,1恒成立,

2

又0va<1時(shí)，可得-4x+logax>1對(duì)任意x€(0與恒成立,

即log“x>4x2+l,xe(0,；恒成立，

在同一坐標(biāo)系中作出函數(shù)y=bg“x,1y=4f+l的圖象，如圖所示:

由圖象知，只需嗔*24乂3)+1=2,

解得。2變，

又0<a<I,所以—0〃<1,

22

故選：A

變式14.(2023?貴州貴陽(yáng)?高三統(tǒng)考階段練習(xí))已知兩函數(shù)/(力=2*1+/+3,g(x)=ar,

若當(dāng)x?0,”)時(shí)，函數(shù)“力的圖像總是在g(x)的圖像上方，則。的取值范圍為()

A.(3,y)B.(4,+oo)C.(f3)D.(—,4)

【答案】D

【解析】由題意得函數(shù)/("的圖像總是在g(x)的圖像上方，可轉(zhuǎn)化為/(x)-g(x)>0,

3

HP2xInx+x2+3—rzx>0>在xe(0,+。。)恒成立問(wèn)題，則變形后21nx+x+—>a,

求出21nx+x+3最小值即可，令/(x)=21nx+x+?,r(x)=-+l-4=+^~3

AAXX~X

=(f+3),貝FVXO,/(x)在(0,1)單調(diào)遞減，XG(15-HX)),F(x)>0,

X

Rx)在(L”)單調(diào)遞增，所以產(chǎn)⑴min=4,即a<4,

故選：D

變式15.(2023?全國(guó)?高三專題練習(xí))函數(shù)/(力與g(x)的定義域均為［見〃］,它們的圖象如

圖所示,則不等式〃x)>g(x)的解集是()

B.

C.(/")3"?同D.(“力)u(c,e)

【答案】A

【解析】/")>g(x)即為函數(shù)/(X)的圖像在函數(shù)g(x)的圖像的上方的部分對(duì)應(yīng)自變量的

范圍，

由圖可知，當(dāng)f(x)>g(x)時(shí)，〉Mxva或bvxve,

即不等式/(">g(x)的解集是［〃7")5〃，e).

故選:A.

l-|x+l|,(x<0)

變式16.(2023?北京?高三北京八中?？茧A段練習(xí))已知函數(shù)”x)=，0，(0<x<2),若

關(guān)于x的不等式/(x+〃z)-/(x)20恒成立，則非零實(shí)數(shù)加的最小值為()

A.3B.4C.5D.6

【答案】B

【解析】作出函數(shù)的圖象如圖所示：且/(-1)=/(3)=1,

當(dāng)用<0時(shí)，當(dāng)x<—l和x>2H寸，不等式—〃x)<0恒成立，所以不滿足

/(?￥+〃?)一/(力20恒成立，

當(dāng)0<相<4時(shí)，不等式對(duì)于％=-1一定不成立；由排除法知選項(xiàng)A不正

確；

故選：B.

命題點(diǎn)3求參數(shù)的取值范圍

變式17.(2023?山東濟(jì)南?統(tǒng)考三模)已知函數(shù)若函數(shù)g(x)=/")-。

有四個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)匕的取值范圍為()

A.(0,1]B.[0,1]C.(0,1)D.(l,+oo)

【答案】A

【解析】

依題意，函數(shù)g(》)=/(X)-/2有四個(gè)不同的零點(diǎn)，即〃耳=〃有四個(gè)解,

轉(zhuǎn)化為函數(shù)與)，=〃圖象由四個(gè)交點(diǎn)，

由函數(shù)函數(shù)》=/(力可知，

當(dāng)xe(Yo,-l)時(shí)，函數(shù)為單調(diào)遞減函數(shù)，J'G[O,-HX))；

當(dāng)1,0]時(shí)，函數(shù)為單調(diào)遞增函數(shù)，"(0』；

當(dāng)xc(0,l)時(shí)，函數(shù)為單調(diào)遞減函數(shù)，y?0,+8)；

當(dāng)工w[l,+8)時(shí)，函數(shù)為單調(diào)遞增函數(shù)，ye[0,-Ko)；

結(jié)合圖象，可知實(shí)數(shù)人的取值范圍為(05.

故選：A

變式此(2。23?全國(guó)?高三專題練習(xí))已知函數(shù)/3(OJ=V—3；x+>皿0?！瘮?shù)

g(x)=/(/(.r))-“恰有5個(gè)零點(diǎn)，則/〃的取值范圍是()

A.(-3,1)B.(0,1)C.[-1J)D.(1,3)

【答案】C

【解析】當(dāng)戈K0時(shí)，/^Z)=3X2-3,由得X<—1,由/'(x)<0,得一l<x￡0,

則/(x)在(7,0]上單調(diào)遞減，在(-8,-1)上單調(diào)遞增，故/(x)的大致圖象如圖所示.

-3

設(shè)f=/(x),則"?=/")，由圖可知當(dāng)"?>3時(shí)，"?=/?)有且只有1個(gè)實(shí)根，

則，=/(力最多有3個(gè)不同的實(shí)根，不符合題意.

當(dāng)〃?=3時(shí)，"7=/。)的解是％=—1,12=3.八外=。有2個(gè)不同的實(shí)根，/(x)=G有.2個(gè)

不同的實(shí)根，

則，=/(x)有4個(gè)不同的實(shí)根，不符合題意.

當(dāng)1。?<3時(shí)，"=/(，)有3個(gè)不同的實(shí)根4,3G，且2,—1),/4e(-l,0],r5e[2,3).

八公=4有2個(gè)不同的實(shí)根，八工)=。有2個(gè)不同的實(shí)根，/(幻=4有3個(gè)不同的實(shí)根，

則，=/("有7個(gè)不同的實(shí)根，不符合題意.

當(dāng)一1<〃?<1時(shí)，，〃=/()有2個(gè)不同的實(shí)根3且"(-3,-1),"?1,2).

/(x)=(有2個(gè)不同的實(shí)根，/(X)=右有3個(gè)不同的實(shí)根，

則，=/(x)有5個(gè)不同的實(shí)根，符合題意.

當(dāng)一3式加〈一1時(shí)，加=〃/)有2個(gè)不同的實(shí)根。，％，且%曲一3,-1),/9e(0J),

/(、)=4有2個(gè)不同的實(shí)根，/<x)=/9,有2個(gè)不同的實(shí)艱，則，=/(“有4個(gè)不同的實(shí)根，

不符合題意.

當(dāng)〃