第4課時7.4.1二項分布

（-）教學內(nèi)容

〃重伯努利試驗、二項分布及其數(shù)字特征.

（二）教學目標

結(jié)合具體實例，了解〃重伯努利試驗的概念，了解二項分布的概念；能判斷

隨機變量是否服從二項分布，會計算二項分布的數(shù)字特征.

（三）教學重點和難點

重點：〃重伯努利試驗、二項分布及其數(shù)字特征.

難點：在實際問題中抽象出模型的特征，識別二項分布.

（四）教學過程設計

引導語

俗話說“三個臭皮匠頂個諸葛亮”，現(xiàn)在劉備帳下除了諸葛亮之外還有三名

謀士.假設對某事進行決策時，這三名謀士的提供正確意見的概率均為0.8,諸葛

亮提供正確意見的概率是（）9現(xiàn)劉備為某事是否可行征求他們意見.以下有兩種

方案：

（1）征求每名謀士的意見，并按多數(shù)人的意見做出決策.

（2）采納諸葛亮的意見.

同學們，如果你是劉備，你應該選擇哪種方案呢？學完本節(jié)課，你就能做決

定了.

設計意圖：通過具體的問題情境，引發(fā)學生思考，積極參與互動，說出自己

的見解，從而引入本節(jié)課內(nèi)容.

1.〃重伯努利試驗

在實際問題中，有許多隨機試驗與擲硬幣試驗具有相同的特征，它們只包含

兩個可能結(jié)果.例如，檢驗一件產(chǎn)品結(jié)果為合格或不合格，飛碟射擊時中靶或脫

靶，醫(yī)學檢驗結(jié)果為陽性或陰性等.我們把只包含兩個可能結(jié)果的試驗叫做伯努

利試驗.

我們將一個伯努利試驗獨立地重復進行〃次所組成的隨機試驗稱為〃重伯

努利試驗.

問題1:你能根據(jù)〃重伯努利試驗的定義，歸結(jié)總結(jié)它的特征嗎？

師生活動：教師提出問題，學生思考、討論、交流，得出〃重伯努利試驗具

有以下共同特征

（1）同一個伯努利試驗重復做〃次；

（2）各次試驗結(jié)果相互獨立.

設計意圖：在具體實例的基礎上理解伯努利試驗和〃重伯努利試驗的概念,

并探究〃重伯努利試驗的特征，提升數(shù)學抽象的核心素養(yǎng).

問題2：下面3個隨機試驗是否為〃重伯努利試驗？如果是，那么其中的伯

努利試驗是什么？對于每個試驗，定義“成功”的事件為A,那么4的概率是多

大？重復試驗的次數(shù)是多少？關注的隨機變量X是什么？

（1）拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣1（）次.

（2）某飛碟運動員每次射擊中靶的概率為OS,連續(xù)射擊3次.

（3）一批產(chǎn)品的次品率為5%,有放回地隨機抽取20件.

師生活動：在學生充分思考、討論的基礎上，找?guī)酌麑W生回答.根據(jù)學生的

回答情況，教師進行評價指導，最后將結(jié)果以表1的形式展示給學生：

表1

隨機是否為〃重重復試驗關注的隨

伯努利試驗事件AMA)

試驗伯努利試驗的次數(shù)機變量X

正面朝上

(1)是拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣正面朝.上0.510

次數(shù)

(2)是某飛碟運動員進行射擊中靶0.83中靶次數(shù)

(3)是從一批產(chǎn)品中隨機抽取一件抽到正品0.9520正品次數(shù)

問題3：通過上述實例，你能說說伯努利試驗和〃重伯努利試驗有什么不同

嗎？

師生活動:在學生思考的同時，教師可以適當?shù)囊龑?，讓學生在充分理解這

兩個概念的基礎上進行辨析.

伯努利試驗是一個“只有兩個結(jié)果的試驗”.在實驗中，只關注某個事件發(fā)生

或不發(fā)生；〃重伯努利試驗是對一個“只有兩個結(jié)果的試驗”重復進行〃次，試

驗中關注點是某個事件“發(fā)生”的次數(shù)X.進一步地，因為X是一個離散型的隨

機變量，所以我們關心的是它的概率分布列.

設計意圖：通過具體的實例加深對伯努利試驗和〃重伯努利試驗概念的理解,

通過辨析進一步理解這兩個概念，提升學生邏輯推理和數(shù)學抽象的數(shù)學素養(yǎng).

2.二項分布

問題4：某飛碟運動員每次射擊中靶的概率為0.8.連續(xù)3次射擊，中靶次數(shù)

X的分布列是怎樣的？

師生活動：教師提出問題，學生思考、交流，教師進行指導，共同體驗二項

分布模型的構(gòu)建過程.

用4表示“第i次射擊中靶"(i=l,2,3),用如下圖1的樹狀圖表示試驗

的可能結(jié)果.

求必結(jié)生K的取”[

—O43AAACA_,?一——3

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O72P出一'A1A2A3一--------O

圖I

由分步乘法計數(shù)原理，3次獨立重復試驗共有2-18種可能結(jié)果，它們兩兩

互斥，每個結(jié)果都是3個互相獨立事件的積.由概率的加法公式和乘法公式得：

P(X=0)=02,,

Mx=1)=44可?+苗&4)+P(A氐&)=3x0.8x0.22,

Rx=2)=HA42%)+P(A可A)+市44)=3XO.82X0.2

3

p(x=3)=P(AiA2A3)=O.8.

為了簡化表示，每次射擊用1表示中靶，用0表示脫靶，那么3次射擊恰好

2次中靶的所有可能結(jié)果可表示為011,110,101,這三個結(jié)果發(fā)生的概率都相

等，均為0.82x0.2,并且與哪兩次中靶無關.因此，3次射擊恰好2次中靶的概率

為C；x0.82x0.2.同理可求中靶0次、1次、3次的概率.于是，中靶次數(shù)X的分布

列為

P(X=2)=C；xO0xO.2f,k=0,1,2,3.

問題5：如果連續(xù)射擊4次，類比上面的分析，表示中靶次數(shù)X等于2的結(jié)

果有哪些？寫出中靶次數(shù)X的分布列.

師生活動：學生類比上面的分析，獨立給出解答.

用4表示“第i次射擊中靶"(i=l,2,3,4),則表示中靶次數(shù)X等于2的

結(jié)果有：AlA2AyA4,AA2A3A4,AA24A^24A4，4A2A劣兒，共6

種.中靶中靶次數(shù)X的分布列為

尸(X=A)=C：xO0xO.2J,k=。,1,2,3,4.

結(jié)合上面實例，師生共同歸納得出二項分布的概念：

一般地，在〃重伯努利試驗中，設每次試驗中事件4發(fā)生的概率為〃

(0v〃<1),用X表示事件A發(fā)生的次數(shù)，則X的分布列為

MX=A)=C；pA(l—〃片，k=i,2,???，

如果隨機變量X的分布列具有上式的形式，則稱隨機變量X服從二項分布,

記作X~

設計意圖：通過對具體問題的分析，讓學生掌握二項分布的概念及其特點,

發(fā)展學生的數(shù)學抽象核心素養(yǎng).

追問L二項分布與兩點分布有何關系？

師生活動：學生獨立思考，回答該問.

兩點分布是一種特殊的二項分布，是二項分布〃=1的情況.

追問2：二項分布和二項式定理有何聯(lián)系？

師生活動：學生思考、討論、交流，教師指導.

可以將P看成看I-〃看成。，則cy(i-p片就是[(I-P)+PF的通項公式.

則有Hx=A)=C：p"(1-p)j=[(1-p)+PT=1.

設計意圖：通過比較，加深對二項分布概念的理解.

3.例題分析

例1將一枚質(zhì)地均勻的硬幣重復拋擲10次，求：

（1）恰好出現(xiàn)5次正面朝上的概率；

（2）正面朝上出現(xiàn)的頻率在［040.6］內(nèi)的概率.

師生活動：拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣，出現(xiàn)“正面朝上”和“反面朝上”兩

種結(jié)果且可能性相等，這是??個1（）重伯努利試驗.閃此，正面朝1.的次數(shù)服從二

項分布.本題宜先讓學生思考、討論和探究，可以先找?guī)酌麑W生回答，教師進行

指導，師生共同給出完整解題過程.

解：設從="正面朝上”，則P（A）=0.5.用X表示事件A發(fā)生的次數(shù)，則X?

5(10,0.5).

恰好出現(xiàn)5次正面朝上的概率等價于X=5,則

P（X=5）=黨x0.55x0.55=—=—;

71000256

正面朝上出現(xiàn)的頻率在［040.6］內(nèi)等價于4WXW6,則

P（4<X<6）=品x0.51°+C；。x0.5,°+C；。x0§。=怒=不

設計意圖：通過典例解析，在具體的問題情境中，深化學生對二項分布的理

解.發(fā)展學生數(shù)學建模和數(shù)學運算核心素養(yǎng).

例2如圖2是一決高爾頓板的示意圖.在一決木板上釘著若干排相互平行

但相互錯開的圓柱形小木釘，小木釘之間留有適當?shù)目障蹲鳛橥ǖ溃懊鎿跤幸?/p>

塊玻璃.將小球從頂端放入，小球下落的過程中，每次碰到小木釘后等可能地向

左或右落下，最后落入底部的格子中.格子從左到右

分別編號為0，1,2,...?10,用X表示小球最后落

入格子的號碼，求X的分布列.

師生活動：教師引導學生分析，小球落入哪人格

子取決于在下落的過程中與各小木釘碰撞的結(jié)果.設

試驗為觀察小球碰到小木釘后下落的方向，有“向左

下落”和“向右下落”兩種可能結(jié)果，且概率都是0.5.

圖2

在下落的過程中，小球共碰撞小木釘10次，且每次

碰撞后下落方向不受上一次下落方向的影響，因此這是一個10重伯努利試驗.

小球最后落入格子的號碼等于向右下的次數(shù)，因此X服從二項分布.教師找?guī)酌?/p>

同學展示自己的解題結(jié)果后，師生一起給出完整解題過程.

解：設A二“向右下落”，則可二“向左下落”，且P(A)=PR)=0.5.因為小球

最后落入格子的號碼X等于事件A發(fā)生的次數(shù)，而小球在下落的過程中共碰撞

小木釘10次，所以X~3(10,0.5).十是，X的分布列為

p(X=k)=C：ox0.5%k=0,1,2,…，10.

X的概率分布圖如圖3

圖3

設計意圖；通過教師引導分析，幫助學生逐步掌握抽象模型特征的一般步驟.

釘板試驗可以使學生認識到隨機現(xiàn)象的特點，偶然中蘊含著必然的規(guī)律，提升學

生數(shù)學建模核心素養(yǎng).

例3甲、乙兩選手進行象棋比賽，如果每局比賽甲獲勝的概率為0.6,乙

獲勝的概率為0.4,那么采用3局2勝制還是采用5局3勝制對甲有利？

師生活動：

教師引導學生分析：判斷哪個賽制對甲有利，就是看在哪個賽制中甲最終獲

勝的概率大.可以把“甲最終獲勝”這個事件，按可能的比分的情況表示若干事

件的和，再利用各局比賽結(jié)果的獨立性逐個求概率；也可以假定賽完所有八局,

把〃局比賽看成〃重伯努利試驗，利用二項分布求“甲最終獲勝”的概率.

學生思考、交流、討論，教師找兩名學生分別用不同的方法來板書過程.最

后師生共同給出完整解題過程.

解法1：采用3局2勝制，甲最終獲勝有可能的比分2:0或2:1,前者是前兩

局甲連勝，后者是前兩局甲、乙各勝一局且第3局甲勝.因為每局比賽的結(jié)昊是

獨立的，甲最終獲勝的概率為

p,=0.62+C；x0.62x0.4=0.648.

類似地，采用5局3勝制，甲最終獲勝有3種比分30,3:1和3:2.因為每局

比賽的結(jié)果是獨立的，所以甲最終獲勝的概率為

3332

p2=0.6+C；x0.6x0.4+C；x0.6x0.4=0.68256.

解法2：采用3局2勝制，不妨設賽滿3局，用X表示3局比賽中甲勝的局

數(shù)，則X~網(wǎng)3,0.6）.甲最終獲勝的概率為

23

Pl=p（x=2）+P（X=3）=C/x0.6x0.4+C；x0.6=0.648.

采用5局3勝制，不妨設賽滿5局，用X表示5局比賽中甲勝的局數(shù)，則

X~B（5,0.6）.甲最終獲勝的概率為

p2=P（X=3）+P（X=4）+P（X=5）

=C；x0.63x0.42+C；x0.64x0.4+C；x0.65=0.68256.

因為P2>〃i，所以5局3勝制對甲更有利.實際上，比賽局數(shù)越多，對于實

力較先者越有利.

教師提出思考1：為什么假定賽滿3局或5局，不影響甲最終獲勝的概塞？

實際上，當甲或者乙先勝2局時，第3局就不用比賽了.如果設想進行比賽,

第一局第二局第三局最終獲勝者解法2概率解法1概率

甲贏甲0.63

甲贏0.62

乙贏甲06x0.4

甲贏

乙贏乙

乙贏

甲贏甲06x0.4

Cix0.62x0.4

甲贏甲06X0.4

甲贏

乙贏乙贏乙

甲贏乙

乙?guī)?/p>

乙贏乙

由于0.63+0.62x0.4=0.62,因此假設賽滿3局不影響甲最終獲勝的概率.

教師提出思考2：歸納確定一個二項分布模剪的步驟有哪些？

教師和學生共同總結(jié)歸納.

一般地，確定一個二項分布模型的步驟如下：

（1）明確伯努利試驗及事件?A的意義，確定事件A發(fā)生的概率

（2）確定重復試驗的次數(shù)〃，并判斷各次試驗的獨立性；

（3）設X為〃次獨立重復試驗中事件A發(fā)生的次數(shù)，則*~8（〃,〃）.

思考2：我們用二項分布模型解決問題時需要注意哪些問題？

教師與學生共同總結(jié)歸納.

（1）判斷一個隨機變量是否服從二項分布要注意以下三點：

①每次試驗只有兩種結(jié)果：

②在每次試驗中，某事件A發(fā)生的概率是同一個常數(shù)p；

③〃次試驗不僅是在完全相同的情況下進行的重復試驗，而且每次試驗的

結(jié)果是相互獨立的.

（2）當隨機變量X服從二項分布時，應該弄清楚試驗次數(shù)〃和成功概率p.

設計意圖：對于例3,給出了兩種解法.前一種解法符合比賽實際規(guī)則，比

較容易理解，但不符合二項分布的特征.后一種解法用二項分布求解，解法較簡

單，但不易理解.需要志考的問題是為什么假定賽滿3局或賽滿5局不影響甲最

終獲勝的概率.利用不同的方法解決問題，拓展學生的思維，提高學生解決問題

的能力，同時培養(yǎng)他們的邏輯推理和數(shù)學建模核心素養(yǎng).

4.二項分布數(shù)字特征

問題：假設隨機變量X服從一項分布風〃,〃），那么X的均值和方差是什么？

師生活動：教師提出問題，學生思考討論，先猜測X的均值和方差是什么，

學生交流討論后展示結(jié)果.

教師可以從具體的實例引導學生.例如：拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣，“正面朝

上”的概率為0.5,如果拋擲100次硬幣，期望有100X0.5=50次正面朝上.根據(jù)

均值的含義，對于服從二項分布的隨機變量X,我們可以猜想E（X）=〃p.

不妨從簡單開始，先考慮〃較小的情況.

(1)當〃=1時，x服從兩點分布，分布列為Mx=o)=i—〃，尸(x=i)=〃.

經(jīng)計算，均值和方差分別為E(x)=〃，/Xx)=p(l-p).

(2)當〃=2時，X的分布列為P(X=0)=(1—〃)2,p(x