2025年大學(xué)本科二年級（統(tǒng)計學(xué)）概率論試題及答案

（考試時間：90分鐘滿分100分）班級______姓名______第I卷（選擇題共30分）答題要求：每題只有一個正確答案，請將正確答案的序號填在括號內(nèi)。(總共6題，每題5分)1.設(shè)隨機變量X服從正態(tài)分布N(μ,σ2)，則隨著σ的增大，概率P{|X-μ|<σ}（）A.單調(diào)增大B.單調(diào)減小C.保持不變D.增減不定2.設(shè)X和Y為兩個隨機變量，若E(XY)=E(X)E(Y)，則（）A.X和Y相互獨立B.X和Y不相關(guān)C.X和Y相關(guān)D.X和Y不獨立3.已知隨機變量X的概率密度函數(shù)為f(x)，則Y=2X+1的概率密度函數(shù)為（）A.f(2y+1)B.2f(2y+1)C.1/2f((y-1)/2)D.f((y-1)/2)4.設(shè)總體X服從正態(tài)分布N(μ,σ2)，X1,X2,...,Xn為來自總體X的樣本，則樣本均值X?服從（）A.N(μ,σ2/n)B.N(μ,σ2)C.N(nμ,nσ2)D.N(μ/n,σ2/n)5.設(shè)隨機變量X的分布函數(shù)為F(x)，則P{X=a}=（）A.F(a)B.F(a+0)C.F(a)-F(a-0)D.F(a-0)6.已知隨機變量X的方差為2，則3X+5的方差為（）A.2B.6C.18D.23第II卷（非選擇題共70分）7.（10分）設(shè)隨機變量X的概率分布為P{X=k}=cλ^k/k!，k=0,1,2,...，其中λ>0為常數(shù)，求常數(shù)c。8.（15分）設(shè)二維隨機變量(X,Y)的聯(lián)合概率密度函數(shù)為f(x,y)={kxy,0<x<1,0<y<1;0,其他}，求：（1）常數(shù)k；（2）X和Y的邊緣概率密度函數(shù)；（3）判斷X和Y是否相互獨立。9.（15分）設(shè)總體X服從參數(shù)為λ的泊松分布，X1,X2,...,Xn為來自總體X的樣本，求λ的極大似然估計。10.（20分）為了研究某地區(qū)居民的收入水平與消費支出之間的關(guān)系，隨機抽取了10戶家庭，得到如下數(shù)據(jù)：|家庭編號|收入x（千元）|消費支出y（千元）||----|----|----||1|8|6||2|10|7||3|12|8||4|14|9||5|16|10||6|18|11||7|20|12||8|22|13||9|24|14||10|26|15|（1）求收入x與消費支出y的線性回歸方程；（2）對線性回歸方程進(jìn)行顯著性檢驗（α=0.05）。11.（10分）設(shè)隨機變量X服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布N(0,1)，求P{|X|>1.96}。答案：1.C2.B3.C4.A5.C6.C7.由概率分布的性質(zhì)∑P{X=k}=1，即∑cλ^k/k!=1，而∑λ^k/k!=e^λ，所以c=e^(-λ)。8.（1）由∫∫f(x,y)dxdy=1，可得∫?1∫?1kxydxdy=1，解得k=4。（2）X的邊緣概率密度函數(shù)fX(x)=∫?14xydy=2x，0<x<1；Y的邊緣概率密度函數(shù)fY(y)=∫?14xydx=2y，0<y<1。（3）因為f(x,y)=fX(x)fY(y)，所以X和Y相互獨立。9.總體X的概率分布為P{X=x}=λ^xe^(-λ)/x!，x=0,1,2,...，似然函數(shù)L(λ)=∏λ^xie^(-λ)/xi!=λ^(∑xi)e^(-nλ)/∏xi!，取對數(shù)得lnL(λ)=(∑xi)lnλ-nλ-ln(∏xi!)，令dlnL(λ)/dλ=0，解得λ的極大似然估計為λ?=X?。10.（1）計算可得x?=17，?=十，lxx=∑(xi-x?)2=220，lyy=∑(yi-?)2=20，lxy=∑(xi-x?)(yi-?)=220，b?=lxy/lxx=1，a=?-b?x?=-7，所以線性回歸方程為y?=x-7。（2）F檢驗：F=(n-2)b?2/lxx(1-r2)，r=lxy/√(lxxlyy)=1，F(xiàn)=80，查F分布表得F?.??