《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》復(fù)習(xí)提要

第一章隨機(jī)事件與概率

1.事件的關(guān)系

2.運(yùn)算規(guī)則(I)

(2)(AD8)DC=Au(BuC)(AB)C=A(BQ

(3)(A<JB)C=(AC)<J(BC)(AB)<JC=(AUC)(BUC)

(4)A\JB=ABAB=A^JB

3.概率滿足的三條公理及性質(zhì)：

(1)O<P(71)<1(2)P(Q)=1

(3)對(duì)互不相容的事件，有(可以取)

(4)P(0)=O(5)P(A)=1-P(A)

(6)，若，則，

(7)P(AUB)=P(A)-P(B)-P(AB)

(8)P(AuBuC)=P(A)+P(3)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC)

4.古典概型：基本事件有限且等可能

5.幾何概率

(1)6.條件概率

(2)定義：若，則

乘法公式：

(3)若為完備事件組，，則有

(4)全概率公式：

Bayes公式：

7.事件的獨(dú)立性：獨(dú)立(注意獨(dú)立性的應(yīng)用)

第二章隨機(jī)變量與概率分布

離散隨機(jī)變量：取有限或可列個(gè)值，滿足(1),(2)=1

1.(3)對(duì)任意，

2.連續(xù)隨機(jī)變量：具有概率密度函數(shù)，滿足(I)；

3.(2)；(3)對(duì)任意，

4.幾個(gè)常用隨機(jī)變量

名稱與記號(hào)分布列或密度數(shù)學(xué)期望方差

兩點(diǎn)分布8(1,〃)P(X=l)=p,P(X=0)=q=\-pPpq

二項(xiàng)式分布8(〃,〃)P(X=k)=C：pkqZ,k=U,l,2,…〃,叩秋q

Poisson分布P(Z)P(X=0,1,2,…22

k\

1q

幾何分布G(p)P(X=k)=qk7p,k=\,2「?

7p2

a+b

均勻分布U(a,〃)f(x)=-!—,a<x<h,

b-a212

]_1

指數(shù)分布￡(2)

/(工)=%-氐，x>0I不

(x-p)2

正態(tài)分布N(//,b2)‘3=方”"a2

分布函數(shù)，具有以卜性質(zhì)

(1)F(-oo)=0,尸(+30)=1；(2)單調(diào)非降；(3)右連續(xù)；

(4),特別；

(5)對(duì)離散隨機(jī)變量，：

5.(6)對(duì)連續(xù)隨機(jī)變最，為連續(xù)函數(shù)，且在連續(xù)點(diǎn)上，

正態(tài)分布的概率計(jì)算以記標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分布困數(shù)，則有

(1);(2)；(3)若，則；

6.(4)以記標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的上側(cè)分位數(shù)，則

7.隨機(jī)變量的函數(shù)Y=g(X)

(1)離散時(shí)，求的值，將相同的概率相加；

(2)連續(xù)，在的取值范圍內(nèi)嚴(yán)格單調(diào)，且有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，則，若不單調(diào)，先求分布

函數(shù)，再求導(dǎo)。

第三章隨機(jī)向量

二維離散隨機(jī)向量，聯(lián)合分布列，邊緣分布列，有

1.(1)；(2)；⑶，

二維連續(xù)隨機(jī)向量，聯(lián)合密度，邊緣密度，有

(I)/U,y)>0；(2)⑶P((X,y)￡G)=JL〃x,)，)公心；

2.(4),

3.二維均勻分布，其中為的面積

4.二維正態(tài)分布，其密度函數(shù)(牢記五個(gè)參數(shù)的含義)且；

5.二維隨機(jī)向量的分布函數(shù)F(x,y)=P(X4用丫Vy)有

(I)關(guān)于單調(diào)非降；(2)關(guān)于X,)，右連續(xù)；

(3)F(x,-oo)=尸(-00,y)=F(-oo,-oo)=0；

(4),,；

(5)P(X[<X<丫4)，2)=/"2，丁2)一尸()1，乃)一口(入2，凹)+尸(為，)'])；

(6)對(duì)二維連續(xù)隨機(jī)向量，

(1)6.隨機(jī)變量的獨(dú)立性獨(dú)立

(2)離散時(shí)X,丫獨(dú)立op產(chǎn)Pi」乙

(3)連續(xù)時(shí)X,y獨(dú)立=/(x,y)=fx(x)fY(y)

二維正態(tài)分布獨(dú)立，且

(1)7.隨機(jī)變量的函數(shù)分布

(2)和的分布Z=X+丫的密度/z(z)=J*/(z-y,y)dy=￡/(x,z-x)dx

(3)最大最小分布

第四章隨機(jī)變量的數(shù)字特征

1.期望

⑴離散時(shí)，；

⑵連續(xù)時(shí)，；

⑶二維時(shí)，

(4)E(C)=C；(5)E(CX)=CE(X)；

(6)E(x+y)=E(x)+E(y)；

(7)獨(dú)立時(shí)，

2.方差

(1)方差，標(biāo)準(zhǔn)差；

(2)0(。)=0,D(X+C)=￡)(X)；

(3)D(CX)=C2D(X)；

(4)獨(dú)立時(shí)，

3.協(xié)方差

(1)Cov(X,Y)=E[(X-E(X))(Y-E(Y))]=E(XY)-E(X)E(Y)；

(2)Q?v(X,y)=Cbv(r,X),Cov(aX,bY)=abCo\{X,Y)；

(3)G?v(X]+X2,Y)=Cov(Xt,Y)+Cov(X2,Y)；

(4)時(shí)，稱不相關(guān)，獨(dú)立不相關(guān)，反之不成立，但正態(tài)時(shí)等價(jià)；

(5)D(X+7)=D(X)+D(Y)+2Cov(X,Y)

4.相關(guān)系數(shù)：有，

5.階原點(diǎn)矩，階中心矩

第五章大數(shù)定律與中心極限定理

1.Chebyshev不等式或

2.大數(shù)定律

3.中心極限定理

(I)設(shè)隨機(jī)變量獨(dú)立同分布，則，或或，

(2)設(shè)是次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中發(fā)生的次數(shù)，，則對(duì)任意，有或理解為若，則

第六章樣本及抽樣分布

（1）1.總體、樣本

（2）簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本：即獨(dú)立同分布于總體的分布（注意樣本分布的求法）:

樣本數(shù)字特征：

樣本均值（，）;

樣本方差52=-ycx.-x)2(E(S2)=O-2)樣本標(biāo)準(zhǔn)差

〃一V

S=

樣本階原點(diǎn)矩，樣本階中心矩

2.統(tǒng)計(jì)量：樣本的函數(shù)且不包含任何未知數(shù)

3.三個(gè)常用分布（注意它們的密度函數(shù)形狀及分位點(diǎn)定義）

（I）分布，其中獨(dú)立同分布于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，若且獨(dú)立，則；

（2）分布，其中且獨(dú)立；

（3）分布，其中且獨(dú)立，有下面的性質(zhì)

4.正態(tài)總體的抽樣分布

_1n

(1)X~N(〃,cr?/〃)；(2)-〃尸~/(〃)；

bi=i

(3)5-1)且與又獨(dú)立;(4)f=豈罕〃一1)；

o-S/yjn

(5),

⑹"=(…〃2-1)

第七章參數(shù)估計(jì)

1.矩估計(jì)：

（I）根據(jù)參數(shù)個(gè)數(shù)求總體的矩；（2）令總體的矩等于樣本的矩；（3）解方程求出矩估計(jì)

2.極大似然估計(jì)：

（1）寫出極大似然函數(shù)：（2）求對(duì)數(shù)極大似然函數(shù)（3）求導(dǎo)數(shù)或偏導(dǎo)數(shù)；（4）令導(dǎo)數(shù)或偏

導(dǎo)數(shù)為0,解出極大似然估計(jì)（如無(wú)解回到（1）直接求最大值，一般為min或max）

3.估計(jì)量的評(píng)選原則

（1）無(wú)偏

性：若

,則為

無(wú)偏；

（2）有效條件估計(jì)函數(shù)置信區(qū)間

性：兩

個(gè)無(wú)偏

估計(jì)中

方差小

的有效：

4.參數(shù)

的區(qū)間

估計(jì)（正

態(tài)）

參數(shù)

b?已知u=[X干〃a-/=]

7i^2

b?未知