《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》復(fù)習(xí)提要

第一章隨機(jī)事件與概率

1.事件的關(guān)系A(chǔ)u8AuBABA-BAAB=(/)

2.運(yùn)算規(guī)則(I)A\JB=B\JAAB=BA

(2)(AU3)DC=AU(8DC)(AB)C=A(BC)

(3)(AD8)C=(A058O(AB)UC=(AUC)(BUC)

(4)A'UB=ABAB=B

3.概率P(A)滿足的三條公理及性質(zhì):

(I)0<P(A)<1(2)P(Q)=1

(3)對(duì)互不相容的事件…,A〃，有P(UA.=￡P(guān)(A”)(〃可以取oo)

k=\t=l

(4)尸3)=0(5)P(A)=1-P(A)

(6)P(A-B)=P(A)-2(43),若Au3,則P(B-A)=P(B)一5(4),P(A)<P(B)

(7)P(AuB)=P(A)+P(B)-P(AB)

(8)uBoC)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(AB。

4.古典概型：基本事件有限且等可能

5.幾何概率

6.條件概率

(1)定義：若尸(3)>0,則P(A|B)=曳"

尸(3)

(2)乘法公式：P[AB)=P(B)P(A\B)

若5,冬，…旦為完備事件組,P(瓦)>0?則有

(3)全概率公式：P(A)=tp(g)P(A|8j)

r=l

(4)Bayes公式：「皿⑷二普31

nP(B"P(A\BJ

4=1

7.事件的獨(dú)立性：48獨(dú)立o0(4b)=P(A)P(H)(注意獨(dú)立性的應(yīng)用)

第二章隨機(jī)變量與概率分布

1.離散隨機(jī)變量：取有限或可列個(gè)值，P(x=七)=P,滿足(1)PiNO,(2)W>i=l

I

(3)對(duì)任意OuH,P(XeD)=￡pi

i-.x^D

2.連續(xù)隨機(jī)變量：具有概率密度函數(shù)/*),滿足(1)/(x)>0,f(x)dx=1；

rb

(2)P(a<X<b)=[f(x)dx；(3)對(duì)任意awR,P(X=a)=0

3.幾個(gè)常用隨機(jī)變量

名稱與記號(hào)分布列或密度數(shù)學(xué)期望方差

兩點(diǎn)分布P(X=1)=p,P(X=0)=q=i—pppq

二項(xiàng)式分布8(〃,〃)P(X=k)=C：p、"i,k=0,12…明npnpq

乃

Poisson分布P(2)P(X=Q=e〃下火=0,1,2,…22

J_q

幾何分布G(p)p(X=k)=q"'p,k=l,2,…,>

Pp~

a+b

均勻分布U(a,〃)=a<x<b,

b-a212

11

指數(shù)分布EW/(x)=Q弋x>0

T不

i一(a―

正態(tài)分布N(4，M)a2

4.分布函數(shù)F(x)=P(X<x),具有以下性質(zhì)

(1)尸(-oo)=0,F(+?)=l；(2)單調(diào)非降；(3)右連續(xù)；

(4)P(a<X<b)=F(b)-F(a),特別P(X>a)=1-尸(a)；

(5)對(duì)離散隨機(jī)變量，"X)=ZP，；

i:Xj<x

(6)對(duì)連續(xù)隨機(jī)變量，/(工)=[]/(/)力為連續(xù)函數(shù)，且在/(x)連續(xù)點(diǎn)上，F(xiàn)(x)=f(x)

5.正態(tài)分布的概率計(jì)算以①(x)記標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布N(0,l)的分布函數(shù)，則有

(1)0(0)=0.5；(2)0(-x)=l-<D(x)；(3)若乂~N3b2),則/⑶二①(二W)；

a

(4)以分記標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布N(O,1)的上側(cè)a分位數(shù)，則尸(X>%)=a=l-①(%)

6.隨機(jī)變量的函數(shù)y=g(x)

(1)離散時(shí)，求y的值，將相同的概率相加；

(2)X連續(xù)，g(x)在x的取值范圍內(nèi)嚴(yán)格單調(diào)，且有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，則

/y(y)=/x(gT(),))l(gT(y)))，若不單調(diào)，先求分布函數(shù)，再求導(dǎo)。

第四章隨機(jī)變量的數(shù)字特征

i.期望

(1)離散時(shí)￡(X)=ZX〃j,E(g(X))=ZgQj)Pj；

ii

⑵連續(xù)時(shí)七(*)=「'4。)心，E(g(X))=「g(x)f(x)dx；

J-ac

⑶二維時(shí)E(g(X,y))=Zg(xL,E(g(X,y))=「rg(x9y)f(xty)dxdy

i.j

(4)E(C)=C；(5)E(CX)=CE(X)；

(6)E(X+y)=E(X)+E(Y)；

(7)X,y獨(dú)立時(shí)，E(XY)=E(X)E(Y)

2.方差

(1)方差O(X)=E(X—E(X))2=￡(X2)—(EX)2,標(biāo)準(zhǔn)差b(X)="XX)；

(2)D(C)=0,D(X+C)=D(X)；

(3)D(CX)=C2D(X)；

(4)X,y獨(dú)立時(shí)，D(X+Y)=D(X)+D(Y)

3.協(xié)方差

(1)Cbv(X,Y)=E[(X-E(X))(y-E(y))]=E(XY)-E(X)E(Y)：

(2)Q?v(X,y)=G?v(r,X),Cov(aX.bY)=ahCov(X,Y)；

(3)Cov{X}+X2,K)=Cov(X.,Y)+Cov(X2,Y)；

(4)c。貝x,y)=o時(shí)，稱x,y不相關(guān)，獨(dú)立=不相關(guān)，反之不成立，但正態(tài)時(shí)等價(jià)；

(5)D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2Cov(X,Y)

:

4.相關(guān)系數(shù)pXY=-.....一；有|0xy區(qū)1，|0XY1=1OP(y=aX+〃)=1

(T(X)o-(r)

5.k階原點(diǎn)矩/=E(X&),k階中心矩〃4.二E(X—E(X))人

第五章大數(shù)定律與中心極限定理

1.Chebyshev不等式P{|X-E(X)|>^}<-^^或片|X—E(X)|<021一駕)

「￡~

2.大數(shù)定律

3.中心極限定理

(1)設(shè)隨機(jī)變量第，乂2,…，X”獨(dú)立同分布鳳X,)=〃，O(XJ=b2,則

〃

”2XXj-叫

Yxi~或2之Xj~N(〃,三)或-------N(0,l),

￡‘近似'"〃勺近似〃詬7近似

(2)設(shè)〃？是〃次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中A發(fā)生的次數(shù)，P(A)=p,則對(duì)任意X,有

1畝］片牛絲(幻=中(方或理解為若*~氏〃,〃)，則*~N(np,〃pq)

〃+od〃pq近似

第六章樣本及抽樣分布

1.總體、樣本

(1)簡單隨機(jī)樣本：即獨(dú)立同分布于總體的分布(注意樣本分布的求法);

(2)樣本數(shù)字特征：

—1?———ZT2

樣本均值X=-YXi(E(X)=/z,D(X)=—)；

n

樣本方差S2(E(S2)=O-2)樣本標(biāo)準(zhǔn)差

〃一

樣本A階原點(diǎn)矩匕=-y,樣本攵階中心矩=-y(x,-x)k

〃/=1

2.統(tǒng)計(jì)量：樣本的函數(shù)且不包含任何未知數(shù)

3.三個(gè)常用分布(注意它們的密度函數(shù)形狀及分位點(diǎn)定義)

(1)分布=X：+X；+…+X：~%2(〃)，其中x「X2,…，X〃獨(dú)立同分布于標(biāo)

準(zhǔn)正態(tài)分布N(O,1),若萬?彳2(取)且獨(dú)立，則X+Y?,2(%+%)；

V

（2），分布，二^^?，（〃），其中X~N（O,1）,y~/2（〃）且獨(dú)立；

（3）口分布F=N~"S，）,其中X~%2（/）,y~力2（公）且獨(dú)立，有下面的

Y/n2

性質(zhì)產(chǎn)%（々，〃2）二不一~~；

4.正態(tài)總體的抽樣分布

（1）X~N（4，b2/〃）；⑵二￡區(qū)一〃1?/（〃）；

（3）"L?S?/（〃—］）且與官獨(dú)立;（4）［=上苔?f（〃一1）：

bS/J〃

⑸,=（5/）-（〃「/）尸?2）,s］=5T）S；+（〃「閭

S6V々+〃2~々+%-2

第七章參數(shù)估計(jì)

1.矩估計(jì)：

（1）根據(jù)參數(shù)個(gè)數(shù)求總體的矩；（2）令總體的矩等于樣本的矩；（3）解方程求出矩估計(jì)

2.極大似然估計(jì)：

（I）寫出極大似然函數(shù)；（2）求對(duì)數(shù)極大似然困數(shù)（3）求導(dǎo)數(shù)或偏導(dǎo)數(shù)；（4）令導(dǎo)數(shù)或偏

導(dǎo)數(shù)為0,解出極大似然伍計(jì)（如無解回到（1）直接求最大值，一般為min{xj或max{￡}）

3.估計(jì)量的評(píng)選原則

（I）無偏性：若E?=