5.2二元一次方程組的解法

第1課時代入消元法

01學習目標

1.理解代入消元法的概念，能熟練運用代入消元法解簡單的二元一次方程組；掌握代入消元法的基本步驟，

能準確求出方程組的解并進行檢驗.

2.通過參與“綠植栽種問題”的探究過程，經歷“觀察一思考一轉化一求解”的數(shù)學活動，體會消元思想和化

歸思想的形成過程；通過典例分析和變式訓練，提升分析問題、解決問題的能力，培養(yǎng)邏輯推理能力.

學習重點：掌握代入消元法的定義及核心步驟（變形表示未知數(shù)、代入消元求解、代回求另一未知數(shù)）；

能運用代入消元法正確解出二元一次方程組（含直接代入、先變形再代入兩種類型）.

學習難點：理解“消元思想”和“化歸思想”的本質，明確代入消元法中“二元化一元”的方法.

02學習過程

第一環(huán)節(jié)自主學習

溫故知新：

I.什么是二元一次方程？什么是二元一次方程組？

含有未知數(shù)，并且含有未知數(shù)的項的都是I的方程是二元一次方程.

共含有未知數(shù)的個所組成的一組方程，叫做二元一次方程組.

2.二元一次方程組的解是指什么？如何驗證一組值是否為方程組的解？

二元一次方程的解是使方程相等的一組未知數(shù)的值.

用的方法判斷是否是方程組的解.

3.七年級時我們學過解“一元一次方程”，核心步驟有哪些？

新知自研：自研課本P115-P116頁的內容，思考：

【學法指導】

情景引入

“上節(jié)課知道，小明和小穎栽種綠植的問題，列出方程組，其中A-表示小明栽種的株數(shù)，y表示小穎

栽種的株數(shù)，那么如何求出x和y的值呢？這節(jié)課我們就一起來學習如何解二元一次方程組.

?探究一：用代入消元法解二元一次方程

如.由“小明和小穎栽種綠植的問題”中得到的方程組中｛1),兩個方程的未知數(shù)上有什么關系？

y呢？

?2.你能用其中?個未知數(shù)表示另一個未知數(shù)嗎？

明.如何把這個二元一次方程組轉化為一元一次方程?

04.嘗試解這個二元一次方程組

x+1=2(y-1)@

【解答】解：由①得：③

把③代入②中得：______________________

解得：______________________

把______________________

代入③中得：.

所以原方程組的解為：

團5.總結歸納：

代人消元法：主要步驟是，將其中一個方程中的某個未知數(shù)用含有的代數(shù)式表示出來，并

代入另一個方程中，從而一個未知數(shù)，化二元一次方程組為一元一次方程。這種解方程組

的方法稱為代入消元法.簡稱.

【例題導析】

自研下面典例的內容，回答問題：

典例分析

3x+2y=140

例1：解方程組

x=y+3②

【分析】(1)思考：這個方程組有什么特點？

(2)如何代入?

【解答】第一步：代入消元.

將方程代入方程中，得

第二步：求解一元一次方程.

去括號得,

合并同類項得，

移項得.

系數(shù)化為］得：:

第三步：回代求X.

將代入方程中，得;

所以方程組的解是：第四步：檢驗寫解（口頭檢驗，說明“后續(xù)解題可在草

稿紙檢驗，無需寫出“）.

目方法總結：當方程組中已有一個方程用一個未知數(shù)表示另一個未知數(shù)時，另一個方程即可.

例2：解方程組管:沈;;

【分析】（1）這個方程組和例1有什么不同？

（2）選擇哪個方程、哪個未知數(shù)變形更簡單？

【解答】第一步：變形表示未知數(shù).由x+4），=13,得（記為方程③）；

第二步：代入消元.將③代入2工+3），=16,得；

第三步：求解一元一次方程.

去括號得：，

合并同類項得：，

移項得：，

系數(shù)化為1：;

第四步：回代求尤

將代入③，得:

第五步：寫出方程組的解.

切總結：解二元一次方程組的基本思路："，把二元一次方程組轉化即先

消去.轉化為，求解后求另一個未知數(shù).

第二環(huán)節(jié)合作探究

小組群學

在〃加長n儺頰F：

A.探討如何用代入消元法解二元一次方程組；

B.交流例題的解題思路和易錯點.

C.相互檢查導學內容的完成書寫情況并給出等級評定.

陶鞏固練習

二元一次方程組憑二?：:的解是（

1.)

（%十y-/

--7B.g：；C.g：；D.｛；工

2.用代入法解方程組］下列說法正確的是（）

A.直接把①代入②，消去yB.直接把①代入②，消去x

C.直接把②代入①，消去yD.直接把②代入①，消去x

3.用代入法解方程組卜；；；：二f較簡單的方法是（）

A.消yB.消x

C.消x和消y一樣D.無法確定

4.已知方程組廣，二；用代入法消去y后的方程是（）

（X十4y-J

A.x+x-I=3B.x+2x-1=3

C.x+.v-2=3D.x+2(x-1)=3

5.解方程組黑

2x+3y=160

6.解方程組

4x+y=13(2)

04提升專練

題型一：代入消元法

1.用代入法解二元一次方程組心：:；。：?時，最好的變式是()

A.x=3才yB.y=3~^XC.x=D.y=5x-7

2.解方程組=2時，把①代入②，得()

-3y=12(2)

A.4(2x-1)-3)，=12B.4x-(2v-1)=12

C.4A-3x2x-1=12D.4x-3(2x-I)=12

3.在解方程組［l=2：-3幺時，將方程①代入②中，所得的方程正確的是()

⑶-2y=8(2)

A.3A-2A-3=8B.3A-2A-6=8C.3A-4A-3=8D.3A-4A+6=8

4.用代入法解方程組R*+有以下過程，其中錯誤的一步是()

A.由①得x=殳券③

B.把③代入②得3x8-5y=5

C.去分母得24-%，-10y=5

D.解得y=l,再由③得x=2.5

5.用代入法解方程組。4y17,時，最好是先把變形為,再代入方程

求出的值，然后再求出的值，最后寫方程組的解.

題型二：代入法解二元一次方程組

6.用代入法解下列方程組:

x=1-y

(I)

2x=-1-3y

(2x+3y=4

⑵

[x+1^y=c0

7.用代入法解下列方程組:

2x+4y=5①

x=l-y@'

2x-3y=3①

x+2y=-2②

8.用代入法解下列方程組:

⑴片一

(3x-4y=15

(5(x+y)-2x=0

(3x-10(x+y)=2-

9.用代入法解下列方程組:

⑵c?

10.用代入法解下列方程組:

(1)伊-2y=6①.4x-5y=3①

(2x+3y=17@'3x-2y=1@

題型三用整體代入法解二元一次方程組

11.閱讀材料：善于思考的小軍在解方程組+=時，采用了一種“整體代換，，的解法:

(4x+lly=5②

解：將方程②變形，得4%+10)+)，=5,

即2(2x+5y)+y=5.③

把方程①代入③，得2x3+y=5,.??)，=?1.

把y=-1代入①，得x=4.

x=4.

???原方程組的解為

(y=-1.

請你解決以下問題：模仿小軍的“整體代換”法解方程組-2y=3,&

(.9%-4y=19(2)

12.閱讀材料：善于思考的小軍在解方程組上”+Sy=3(幺時，采用了一種“整體代入，，的解法如下:

解：將方程②變形：4x+10y+)，=5,即2(lv+5y)+》=5③；

把方程①代入③，得：2x3+y=5,所以y=?l：

把y=-l代入①得，x=4,所以方程組的解為后二:1；

(3x4-2y-2=0

請你模仿小軍的“整體代入”法解方程組3x+2y+l2.

—5--------Z=-5

13.閱讀材料：善于思考的小軍在解方程組+S?=3&時，采用了一種“整體代換，，的解法:

4x+lly=5②

解：將方程②變形：4x+IOy+y=5,即2（2x+5y）+）=5,③

把方程①代入③，得2x3+3，=5,.?.），=-1,把y=-1代入①，得x=4,

???方程組的解為［二

請你根據以上方法解決下列問題：

（1）模仿小軍的“整體代換”法解方程組1y_2y=5?；

［9%-4y=19@

（2）已知x,y滿足方程組［考一2孫二求孫的值.

2x2+孫=6②

隨堂筆記

▲1.解二元一次方程組的基本思路：""，把二元一次方程組轉化.

▲2.代入消元法：主要步驟是，將其中一個方程中的某個未知數(shù)用含有的代數(shù)式表示出來,

并代入另一個方程中，從而一個未知數(shù)，化二元一次方程組為一元一次方程。這種解方程組

的方法稱為代入消元法.簡稱.

參考答案與試題解析

5.2二元一次方程組的解法

第1課時代入消元法

學習目標

1.理解代入消元法的概念，能熟練運用代入消元法解簡單的二元一次方程組；掌握代入消元法的基本步驟,

能桂確求出方程組的解并進行檢驗.

2.通過參與“綠植栽種問題”的探究過程，經歷“觀察一思考一轉化一求解”的數(shù)學活動，體會消元思想和化

歸思想的形成過程；通過典例分析和變式訓練，提升分析問題、解決問題的能力，培養(yǎng)邏輯推理能力.

學習重點：掌握代入消元法的定義及核心步驟（變形表示未知數(shù)、代入消元求解、代回求另?未知數(shù)）：

能運用代入消元法正確解出二元一次方程組（含直接代入、先變形再代入兩種類型）.

學習難點：理解“消元思想”和“化歸思想”的本質，明確代入消元法中“二元化一元”的方法.

02學習過程

第一環(huán)節(jié)自主學習

溫故知新：

1.什么是二元一次方程？什么是二元一次方程蛆？

含有兩個未知數(shù),并且含有未知數(shù)的項的次數(shù)都是?的方程是二元一次方程.

共含有兩個未知數(shù)的兩個一次方程所組成的一組方程,叫做二元一次方程組.

2.二元一次方程組的解是指什么？如何驗證一組值是否為方程組的解？

二元一次方程的解是使方程左右兩邊相等的一組未知數(shù)的值.

用代入檢驗的方法判斷是否是方程組的解.

3.七年級時我們學過解“一元一次方程”，核心步驟有哪些？

去括號、移項、合并同類項、系數(shù)化為L

新知自研：自研課本P115-P1I6頁的內容，思考：

【學法指導】

情景引入

“上節(jié)課知道，小明和小穎栽種綠植的問題，列出方程組，其中x表示小明栽種的株數(shù)，y表示小穎

栽種的株數(shù)，那么如何求出x和y的值呢？這節(jié)課我們就一起來學習如何解二元一次方程組.

?探究一：用代入消元法解二元一次方程

x-y=2

01.由“小明和小穎栽種綠植的問題”中得到的方程組叫兩個方程的未知數(shù)x有什么關系？

x+1=2(y-1)

y呢？

兩個方程中的x表示同一個量（小明的株數(shù)），），也表示同一個量（小穎的株數(shù)）,即％、y的值在兩個方

程中是相同的.

團2.你能用其中一個未知數(shù)表示另一個未知數(shù)嗎？

從第一個方程六產2,移項得4丫+2,或產x-2.

由3.如何把這個二元一次方程組轉化為一元一次方程？

從第?個方程得mv+2(變形)，將my+2代入第二個方程中得到(v+2)+1=2(y-1),

此時方程只有v一個未知數(shù)，轉化為一元一次方程(二元轉一元).

團4.嘗試解這個二元一次方程組［:一2?

【解答】解：由①得：尸v+2③

把③代入②中得：(y+2)+l=2(v-l)

解得：尸5

把軍工代入③中得：x=7.

所以原方程組的解為：P11

(y=5

團5.總結歸納：

代人消元法：主要步驟是，將其中一個方程中的某個未知數(shù)用含有另一個未知數(shù)的代數(shù)式表示出來,并代入

另一個方程中，從而道去一個未知數(shù),化二元i次方程組為一元一次方程。這種解方程組的方法稱為代入消

元法.簡稱代入法.

【例題導析】

自研下面典例的內容，回答問題：

典例分析

例1：解方程組［3x+2y=l%

【分析】(1)思考：這個方程組有什么特點？

第二個方程已用v表示x,無需額外變形；

(2)如何代入？

直接將第二個方程代入第一個方程即可.

【解答】第一步：代入消元.

將方程②代入方程①中，得3(y+3)+2y=14；

第二步：求解一元一次方程.

去括號得3y+94-2y=14,

合并同類項得5Y+9=14,

移項得5y=5,

系數(shù)化為1得：山；

第三步：回代求X.

將二L代入方程②中，得X=4；

所以方程組的解是：,二：.

第四步：檢驗寫解（口頭檢驗，說明”后續(xù)解題可在草稿紙檢驗，無需寫HI"）.

?方法總結：當方程組中己有一個方程用i個未知數(shù)表示另一個未知數(shù)時，直接代入另一個方程即可.

例2：解方程組管將：；；

【分析】（1）這個方程組和例1有什么不同？

沒有方程直接用一個未知數(shù)表示另一個未知數(shù)，需要先變形：

（2）選擇哪個方程、哪個未知數(shù)變形更簡單？

方程②中x的系數(shù)為1,變形為x=13-4），更簡單，無需除以系數(shù).

【解答】第一步：變形表示未知數(shù).由x+4y=13,得x=13-4v（記為方程③）；

第二步：代入消元.將③代入2x+3），=16,得2（13?4y）+3v=16；

第三步：求解一元一次方程.

去括號得：26-8y+3y=16,

合并同類項得：26-5y=l6,

移項得：-5v=-10,

系數(shù)化為1：得y=2；

第四步：回代求尤

將v=2代入③,得x=5；

第五步：寫出方程組的解修二.

可總結：解二元一次方程組的基本思路：“消元1把二元一次方程組轉化一元一次方程.即先消去一個未知

教，轉化為為次方程,求解后回代求另一個未知數(shù).

第二環(huán)節(jié)合作探究

小組群學

在/」雌的W下：

A.探討如何用代入消元法解二元一次方程組；

B.交流例題的解題思路和易錯點.

C.相互檢查導學內容的完成書寫情況并給出等級評定.

,鞏固練習

4.二元一次方程組El［二1的解是（D）

（X十y一/

x=7p=3

y=3ly=-l

5.用代入法解方程組下列說法正確的是（C）

—4—J

A.直接把①代入②，消去yB.直接把①代入②，消去

C.直接把②代入①，消去yD.直接把②代入①，消去

6.用代入法解方程組較簡單的方法是（A）

A.消yB.消x

C,消x和消>>一樣D.無法確定

4.己知方程組?Ki

用代入法消去y后的方程是（D）

A,x+x-1=3B.X+2A--1=3

C.x+x-2=3D.x+2(x-1)=3

(y=x+20

5.解方程組

(4x+3y=13@

解：把①代入②，得4x+3（x+2）=13,

解得x=l,將x=l代入①，得y=1+2=3,

原方程組的解為t二;.

6.解方程組［7+3y=段

解：由②，得產13-4），③

將③代入①，得2（13-4y）+3產16

26-8y+3y=16

-5y=-10

解得：y=2

將y=2代入③，得x=5.

所以原方程組的解是3二:.

04提升專練

題型一：代入消元法

1.用代入法解二元一次方程組心；;：。;？時，最好的變式是(

)

A3-5y3-4x

BD.y=—C.y±ZD.y=3x-7

【分析】將方程組中第二個方程表示出＞,即為最好的變式.

4x+5y=3①

【解答】解:

3x-y=7@

由②得：尸3人-7,

故選：D.

【點評】此題考杳了解二元一次方程組，熟練掌握運算法則是解本題的關鍵.

2.解方程組已=T?時，把①代入②，得()

[4x—3y=12②

A.4(2x-1)-3y=12B.4x-(2x-1)=12

C.4x-3x2r-1=12D.4x-3(2v-1)=12

【分析】把尸2x-1代入4x-3y=12得4x-3(2x7)=12,根據選項判斷即可.

【解答】解：解方程組I?"7—12時，把①代入②，得4x?3(2x7)=12.

(4x-3y=12(2)

故選：D.

【點評】本題考查了解二元一次方程組，用代入法解二元一次方程組的一般步驟：①從方程組中選一個

系數(shù)比較簡單的方程，將這個方程組中的一個未知數(shù)用含另一個未知數(shù)的代數(shù)式表示出來.②將變形后

的關系式代入另一個方程，消去一個未知數(shù)，得到一個一元一次方程.③解這個一元一次方程，求出x

(或y)的值.④將求得的未知數(shù)的值代入變形后的關系式中，求出另一個未知數(shù)的值.⑤把求得的x、

y的值用聯(lián)立起來，就是方程組的解.

3.在解方程組儀=2：-3幺時，將方程①代入②中，所得的方程正確的是()

(3%-2y=8⑵

A.3x-2x-3=8B.3x-2x-6=8C.3x-4x-3=8D.3x-4x+6=8

【分析】利用代入消元法解方程組即可.

【解答】解：將方程①代入②得：3x-2（2v-3）=8,

整理得：3x-4x+6=8,

故選：D.

【點評】本題考查代入消元法解二元?次方程組，熟練掌握解方程組的方法是解題的關鍵.

4.用代入法解方程組=有以下過程，其中錯誤的一步是（）

（3x-5y=5②

A.由①得工=823y③

B.把③代人②得3x823y—5y=5

C.去分母得24?9廠10y=5

D.解得y=l,再由③得x=2.5

【分析】利用代入消元法求出方程組的解，即可作出判斷.

【解答】解：方程組

由①得：x=空③，

把③代入②得：3x873y_5），=5,

去分母得：24-9），?10）=10,

解得：y=修

再由③得：

則錯誤的一步為去分母.

故選：c.

【點評】此題考查了解二元一次方程組，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法與加減消元法.

5.用代入法解方程組2%。4y）7,時，最好是先把變形為,再代入方程,

求出的值，然后再求出的值，最后寫方程組的解.

【分析】首先，把方程組中第二個方程變形為x=8+3y,再代入第一個方程消去x求出），的值；然后求出工

的值，寫出方程組的解即可.

【解答】解：用代入法解方程組I"：4y=7,時，最好是先把『3），=8變形為x=8+3v,再代入方程2r+4y

/-3y=8

=7,求出1y的值，然后再求出/的值，最后寫出方程組的解.

故答案為：x-3.y=8；x=8+3y；2x+4y=7；y；x.

【點評】此題考查了解二元一次方程組，熟練掌握代入法是解本題的關鍵.

題型二：代入法解二元一次方程組

6.用代入法解下列方程組:

⑴鼠W"

(2x+3y=4

(2)1八

【分析】(I)把①代入②即可求出)，的值，再把的值代入①即可求出x的值，從而求出方程組的解;

(2)由②得戶一聶③，把③代入①得即可求出y的值，把)，=2代入③即可求出x的值，從而求出方

程組的解.

%=1-y①

【解答】解:

2x=-1-3y②‘

把①代入②得，2(1-y)=-1-3y,

解得產-3,

把y=-3代入①得，x=4,

x=4

所以原方程組的解是

y=-3

2x+3y=4①

(2)

x+^y=o②

由②得，.-品③,

把③代入①得，2x(-1y)+3y=4,

解得y=2,

把y=2代入③得，x=-\,

所以原方程組的解是

【點評】本題考查了解二元一次方程組，熟練掌握代入消元法解方程組是解題的關鍵.

7.用代入法解下列方程組：

(D,x+4y=5①.

2x-3y=3①

“卜+2y7②，

【分析】(1)方程組利用代入消元法求出解即可;

（2）方程組整理后，利用代入消元法求出解即可.

【解答】解：（1）把②代入①得：2?2尹4y=5,

解得：y=

把）'=?代入②得：X=

1

-

-2

則方程組的解為3;

-

2

（2）由②得：x=-2y-2,

把③代入①得：-4y-4-3y=3,

解得：y=-1,

把尸-1代入③得：x=0,

則方程組的解為

【點評】此題考查了解一元一次方程組，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消無法與加減消元法.

8.用代入法解下列方程組：

（1）*-2y=5.

（3x-4y=15*

（5（x+y）-2x=0

l3x-10a+y）=2'

【分析】（1）用代入消元法解方程組即可;

（2）用代入消元法解方程組即可.

【解答】解：⑴修一？=5幺,

（3x-4y=15@

由①得：2y=4x-5,

則4y=8x-10③，

將③代入②得：3."&計10=15.

解得：人=7,

將x=-1代入①得：-4-21y=5,

解得：y=-4.5,

故原方程組的解為［J］］：5；

(2)1sa+y)-2x=(KD

(3x-10(x+y)=20，

由①得：5(x+.v)=2t,

則10(x+)，)=4%③，

將③代入②得：3X-4X=2,

解得：x=-2,

將x=-2代入①得：5()，-2)+4=0,

解得：y=1.2,

故原方程組的解為3:

【點評】本題考查解二元一次方程組，熟練掌握解方程組的方法是解題的關鍵.

9.用代入法解下列方程組:

[x-y=l

(2x+3y=-8:

3x-4y=1

(2)2x+y=8'

【分析】利用代入消元法解各方程組即可.

【解答】解：⑴【:一①…

(2x+3y=-8②

由①得：x=y+l③，

將③代入②得：2(川)+3尸-8,

整理得：5y+2=-8,

解得：尸-2,

將),=-2代入③得x=-2+1=-1,

故原方程組的解為｛：：［；；

⑵儼-4y=%

(2x+y=8②

由②得：)，=8-2A③，

將③代入①得：3%-4(8-2x)=1,

整理得：?32=1,

解得：x=3,

將x=3代入③得y=8-6=2,

故原方程組的解為「二；.

【點評】本題考查代入法解二元一次方程組，熟練掌握解方程觀的方法是解題的關鍵.

10.用代入法解下列方程組：

(1)(3x-2y=6?；

(2x+3y=17?

⑵產-5y=3&

【分析】(1)利用加減消元法解方程組即可;

(2)利用加減消元法解方程組即可.

【解答】解：⑴￡"一？二6幺，

2x+3y=17⑵

①x3+②x2得：I3x=52,

解得：x=4,

將4=4代入①得：12?2)，=6,

解得：y=3,

故原方程組的解為后二；；

(2),

②x5-①x2得：lx=-1,

解得：x=

將x=—；代入①得：—y—5>'=3,

5

解得

7-

1

x=—■=

故原方程組的解為《7

^=~7

【點評】本題考查解二元一次方程組，熟練掌握解方程組的方法是解題的關鍵.

題型三用整體代入法解二元一次方程組

11.閱讀材料：善于思考的小軍在解方程組?”+5'=3,￡)時，采用了一種，，整體代換，，的解法:

(4x+lly=5②

W：將方程②變形，得4戶10)，+)，=5,

即2(2x+5y)+)=5.③

把方程①代入③，得2x3+y=5,.?.)，=-1.

把y=?1代入?，得x=4.

???原方程組的解為「=%

ty=-1-

請你解決以下問題：模仿小軍的“整體代換”法解方程組-2y=3,￡）

-4y=19@

【分析】仿照材料中的解題思路進行計算即可解答.

3x—2y=3①

【解答】解:

9x-4y=19②'

將方程②變形，得:

6x-4.y+3x=19,

即2(3x?2y)+3x=19,(3)

把方程①代入③，得：

2x3+3x=19,

把戶苧代入①，得：

13-2尸3,

.?少=5,

_13

???原方程組的解為x=T.

y=5

【點評】本題考查/解二元一次方程組，二元一次方程組的解，理解材料中的解題思路是解題的關鍵.

12.閱讀材料：善于思考的小軍在解方程組+=3幺時，采用了一種，，整體代入，，的解法如下：

（4x+lly