13.1三角形的邊角關(guān)系（三角形中的經(jīng)典模型）

題型一A字模型

I基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)題鬣三罌,

題型向老鷹抓小雞模型

題型一三角形折直模型

—（能力提升題）——題型二三角形雙角平分線模型：兩內(nèi)）

三角形中的經(jīng)典模型題型三三角形雙角平分線模型［—內(nèi)T卜）

題型四三角形雙角平分線模型，：兩外）

題型五高+角平分線模型

y拓展培優(yōu)題）

基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)題

題型一A字模型

1.（2021九年級(jí)?全國(guó)?專題練習(xí)）如圖是某建筑工地上的人字架，若N1=120°,那么Z3-Z2的度數(shù)為

2.（2021九年級(jí)?全國(guó)?專題練習(xí)）如圖，VA8C中，ZA=65°,直線OE交A3于點(diǎn)D,交AC于點(diǎn)E,則

ZBDE+ZCED=（）.

A.180°B.215°C.235°D.245°

3.（2021九年級(jí)?全國(guó)?專題練習(xí)）如圖所示，的兩邊上各有一點(diǎn)RC,連接3C,求證

ZDBC+NECB=180。+“

題型二8字模型

1.（24-25八年級(jí)上?安徽安慶?期（1）生活中處處需要和諧，幾何學(xué)也如此，如圖1所示的圖形我們稱

之為"和諧8字形”，則ZA、NB、NC、之間的數(shù)量關(guān)系.

（2）在圖2中NDAB和/SCO的平分線八P和C尸相交于尸點(diǎn)，交叉形成了多個(gè)“和諧8字形"，若ND=42。，

ZB=38°,那么一尸的度數(shù)是____.

2.（24-25八年級(jí)上?江西南昌?階段練習(xí)）【模型理解】（1）如圖1,48和CO交于點(diǎn)0,求證:

4+NC=N8+NO.

【模型應(yīng)用】（2）如圖2,AE,CE分別平分/3AO,/BCD,求證：ZB+ZD=2ZE.

圖2

3.（22-23八年級(jí)上?新疆烏魯木齊,期中木1）模型:如圖1,AD,8C交于。點(diǎn).求證：ZD+ZC=ZA+ZB.

（2）模型應(yīng)用：如圖2,N3AO和N3C。的平分線交于點(diǎn)E.

①若N￡>=20°,N3=60。，則一￡的度數(shù)是？

②直接寫出/E與ND,N8之間的數(shù)量關(guān)系是：

（3）類比應(yīng)用：如圖3,N8AO的平分線AE與N8C。的平分線CE交于點(diǎn)E.若NO=〃?。，ZB=n°,

（鹿<〃）.求-E的度數(shù).（用含有加，〃的式子表示）

4.（23-24八年級(jí)上?遼寧丹東?期末）【數(shù)學(xué)模型】

"8字型〃是初中數(shù)學(xué)”圖形與幾何〃中的常用模型，通常由一組對(duì)頂角所在的兩個(gè)三角形構(gòu)成.如圖1,AD,BC

交于。點(diǎn)，根據(jù)“三角形內(nèi)角和是180。"，不難得出兩個(gè)三角形中的角存在以下關(guān)系：①NOOC=NAO3（對(duì)

頂角相等）；@ZD+ZC=ZA+ZB.

【提出問(wèn)題】分別作出-BAO和NBC。的平分線，兩條角平分線交于點(diǎn)E,如圖2,NE與ND,23之間

是否存在某種數(shù)量關(guān)系呢？

【解決問(wèn)題】為了解決上面的問(wèn)題，我們從特例開(kāi)始探究.已知N84。的平分線與N8CO的平分線交于點(diǎn)七.

⑴如圖2,ZD=30°,NB=50°,則/E的度數(shù)是多少呢？

易證NO+N1=NE+N3,Z￡?+Z4=ZE+Z2

請(qǐng)你完成后續(xù)的推理過(guò)程：

.?.ZD+N1+ZB+N4=

-/CE,AE分別是NBCQ,244）的平分線

/.Z1=Z2,/3=/4

,-.2ZE=

又???/。=30°,ZB=50°

;.NE=度.

⑵在總結(jié)前面問(wèn)題的基礎(chǔ)上，借助圖2,直接寫出NE與/力，之間的數(shù)量關(guān)系是：.

【類比應(yīng)用】

（3）如圖3,2胡。的平分線AE與N8CO的平分線CE交于點(diǎn)￡.

已知：ND=a,NB=/7,（。<夕）則N￡=.（用a、4表示）

題型三飛鏢模型

1.（2021九年級(jí)?全國(guó)?專題練習(xí)）如圖，已知在VABC中，NA=40。，現(xiàn)將一塊直角三角板放在V49C上,

使三角板的兩條直角邊分別經(jīng)過(guò)點(diǎn)8,C,直角頂點(diǎn)。落在VA8C的內(nèi)部，則Z48O+NACO=（）.

A.90°B.60°C.50°D.40°

2.（23-24七年級(jí)下?陜西西安?階段練習(xí)）如圖1,凹四邊形A8DC形似圓規(guī)，這樣的四邊形稱為“規(guī)形〃.

模型探究

（1）如圖1，在規(guī)形ABOC中，請(qǐng)?zhí)骄縉A、NB、ZQN。之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由.

實(shí)踐應(yīng)用

（2）應(yīng)用（1）中探究的結(jié)論解決下列問(wèn)題：

①如圖2,在規(guī)形A4OC中，N43Z）與ZA8的角平分線如、CE交于點(diǎn)E,若NBDC=145。,4=85。,

則/BEC的度數(shù)是。；

②如圖3,在規(guī)形A8DC中，若ZBACN8DC的角平分線AE、DE交于點(diǎn)E,且N8>NC,試探究

NENB、NC之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由.

E

圖3

3.（24-25八年級(jí)上?山東青島?期末）【建立模型】如圖1,在ZA內(nèi)部有一點(diǎn)尸，連接族、CP,求證:

ZP=Z1+ZA+Z2；

【嘗試應(yīng)用】如圖2,利用上面的結(jié)論，直接寫出五角星中，NA+N3+NC+NO+NE=度；

【拓展創(chuàng)新】如圖3,將五角星截去一個(gè)角后多出一個(gè)角，求4+N8+NC+NO+NE+NG的度數(shù).

【提升思維】如圖4,將五角星的每個(gè)角都截去，則一共得到10個(gè)角，則這10個(gè)角的和

4+NA+NC+ND+NE+NF+NG+N4+N/+ZJ的度數(shù)是度.

A

A

JGA.

BEB

B

PC'll

2JG

iEF

B70

DC

CC圖3圖4

圖1圖2

題型四老鷹抓小雞模型

1.（23-24八年級(jí)上?重慶永川?期中）一張三角形紙片部分如圖所示,將/A折疊，EO為折痕，A點(diǎn)落在A

的位置，若44=60。，則7Voe=

R

2.（24-25八年級(jí)上?天津?期中）如圖，把V/WC紙片沿MN折疊，使點(diǎn)C落在VA4C內(nèi)部點(diǎn)C處,若NC=36。,

則Z1+N2等于

3（24-25八年級(jí)上?廣西南寧?階段練習(xí)）【問(wèn)題呈現(xiàn)】小明在學(xué)習(xí)了三角形有關(guān)內(nèi)角與外角的相關(guān)知識(shí)后遇

到這樣一個(gè)問(wèn)題：如圖①，N1與N2分別為VABC的兩個(gè)外角，求證：Zl+Z2=180°+ZA.

（1）以下是小明給出的部分推理過(guò)程，請(qǐng)你幫他完成證明

【推理證明】團(tuán)N1與N2分別為VABC的兩個(gè)外角,

0Z1=ZA+Z4,Z2=ZA+Z3,

0Z1+Z2=00

【應(yīng)用】利用（1）中所證明的結(jié)論解決下列問(wèn)題：

（2）如圖②，在V4BC紙片中剪去得到四邊形BCOE,若Nl=130。，Z2=100°,請(qǐng)直接寫出NA

的度數(shù)，不需要說(shuō)明理由；

⑶如圖③，在VA4C中，BP、CP分別為外角—03C、NEC4的平分線，猜想NP與/Af勺數(shù)量關(guān)系，

并說(shuō)明理由.

4.（24-25八年級(jí)上?全國(guó)?期中）如圖，把VA3C紙片沿。七折疊，當(dāng)點(diǎn)A落在四邊形3c內(nèi)部時(shí)，

⑴寫出圖中一對(duì)全等的三角形，并寫出它們的所有對(duì)應(yīng)角；

⑵設(shè)的度數(shù)為x,2AOE1的度數(shù)為V,那么Nl,N2的度數(shù)分別是多少？（用含有x或y的代數(shù)式

表示）

⑶NA與N1+N2之間有一種數(shù)量關(guān)系始終保持不變，請(qǐng)找出這個(gè)規(guī)律（寫過(guò)程）.

B能力提升題

題型一三角形折疊模型

1.（24-25七年級(jí)下?江蘇南京?期末）如圖，將VA8C紙片沿QE折疊，點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為N.若/1+/2=146。,

則N3+N4=。.

2.（22-23七年級(jí)下?江蘇宿遷?期田）如圖，V48c中N4=40°,E是AC邊上的點(diǎn)，先將△ABE沿著把翻

折，翻折后的邊AB交4C于點(diǎn)。，又將ABC。沿著6。翻折，點(diǎn)。恰好落在上的點(diǎn)G處，此時(shí)

4DC=82。，則原三角形的的度數(shù)為.

3.（2024八年級(jí)上?黑龍江?專題練習(xí)）新考向【動(dòng)手操作】一個(gè)三角形的紙片八BC,沿。E折疊，使點(diǎn)A落

（1）如圖①，若NA=40。，則/1+/2=°；

若ZA=55。，則Nl+N2=。；

若ZA=〃。，則Nl+N2=°；

【探索證明】

（2）利用圖①，探索NLN2與/人的關(guān)系，并說(shuō)明理由;

【拓展應(yīng)用】

（3）如圖②，把VABC折疊后，用T平分/工CA'平分N4C8,若Nl+N2=108。，利用（2）中的結(jié)

論求NBAC的度數(shù).

4.（24-25八年級(jí)上?河南，累河?階段練習(xí)）如圖所示，把V/WC沿。K折疊,

圖⑶

⑴當(dāng)點(diǎn)C落在四邊形3cOE內(nèi)部時(shí)，NC與/I、N2之間有一種數(shù)量關(guān)系始終保持不變，請(qǐng)?jiān)囍乙徽疫@

個(gè)規(guī)律，請(qǐng)你寫出規(guī)律并證明你的規(guī)律.

（2）當(dāng)點(diǎn)A落在四邊形AC上方時(shí)，4與Nl、N2之間數(shù)量關(guān)系是

⑶當(dāng)點(diǎn)八落在四邊形BC下方時(shí)，/C與N1、N2之間數(shù)量關(guān)系是

題型二三角形雙角平分線模型（兩內(nèi)）

1.（24-25八年級(jí)下?甘肅武威?開(kāi)學(xué)考試）如圖，在V48C中，/4BC與/AC8的平分線交于點(diǎn)尸，若N4=40。,

則/BPC=.

2.（24-25八年級(jí)上?四川自貢?期末）如圖，在VA8C中，NABC,2AC8的平分線屏:，C。相交于點(diǎn)扛

ZABC=46°fZ4=62°,則NB/C

3.（24-25八年級(jí)上?江西上饒?階段練習(xí)）如圖，VA4C的NA8C和2AC8的平分線//、b相交于點(diǎn)G,

則/BGC與NA的數(shù)量關(guān)系是

題型三三角形雙角平分線模型（一內(nèi)一外）

1.124-25八年級(jí)上?安徽六安?期末）如圖，在VA3C中，/A8C和外角乙48的平分線交于點(diǎn)兒，得/4；

NA8C和NA。。的平分線交于點(diǎn)&,得已知乙&、NA、NA的和為84。，則乙4=

2.124-25八年級(jí)下?河北石家莊?期中）如圖，在△ABC中，乙4二夕度，ZABC與4C。的平分線交于點(diǎn)A,

則倒A=一；團(tuán)4/。與EMC。的平分線交于點(diǎn)&,得團(tuán)&；......團(tuán)4儂43c與幺gC。的平分線交于點(diǎn)人以,

得魚&o”.則團(tuán)人025=一°

題型四三角形雙角平分線模型（兩外）

1.（24-25八年級(jí)上?廣東汕頭?階段練習(xí)）如圖①，在VA4c中，/A8C與—AC6的平分線相交于點(diǎn)尸.

AA

⑴如果/B4C=a,求-3PC的度數(shù)；（用含。的式子表示）

⑵如圖②，作VA4c外角NA73C,NNC4的角平分線交于點(diǎn)。，直接寫出/Q與N3P。之間滿足的數(shù)量關(guān)

系;

⑶如圖③，延長(zhǎng)線段BP、QC交于點(diǎn)E,若NQ=^NE,求NA的度數(shù).

2.（22-23七年級(jí)卜??吉林長(zhǎng)春?期末）【探索發(fā)現(xiàn)】在一次數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)中，劉華遇到了卜.面的這個(gè)問(wèn)題：

如圖①，在V4BC中，BP平分/ABC,C2平分/4CB,請(qǐng)你判斷工人和NP間的數(shù)量關(guān)系并說(shuō)明理由.

劉華對(duì)這個(gè)問(wèn)題進(jìn)行了判斷并給出了證明過(guò)程，下面是部分證明過(guò)程，請(qǐng)你補(bǔ)全余下的證明過(guò)程.

解：結(jié)論：NP=.

理由：國(guó)3。平分NA3C,CP平分NAC4,

^ZPBC=-ZABC,NPCB=L/ACB.

22

0ZP=18（r-NPRC-Z.PCB

=1S0°-1（Z>4fiC+ZACT）

=18O°-^（I8O°-ZA）

【模型發(fā)展】如圖②，點(diǎn)夕是VABC的外角平分線〃〃與C夕的交點(diǎn)，請(qǐng)你判斷上A和上〃間的數(shù)量關(guān)系弁

說(shuō)明理由.

【解決問(wèn)題】如圖③，在VA8C中，B尸平分NABC,C尸平分ZAC8,點(diǎn)Q是△P8C的外角平分線4Q與

CQ的交點(diǎn).若NA=68。，則NQ=度.

圖①圖③

題型五高+角平分線模型

1.（24-25八年級(jí)上?安徽宿州?期末）如圖，在VABC中，A。是VA8C的高，AE是NB4C的平分線，BF總

ZABC的平分線，A￡BF相交于點(diǎn)。ZBAC=50。,NC=70°.

⑴求NA4五的度數(shù)：

⑵求N4O3的度數(shù).

2.（24-25七年級(jí)上?山東淄博?階段練習(xí)）（1）如圖①所示，在V4BC中，AD,AE分別是VAEC的高和角

平分線，若NB=20。，ZC=60°,求NDAE的度數(shù).

（2）如圖②所示，已知A尸平分284C,交邊8C于點(diǎn)E,過(guò)點(diǎn)尸作FD_LBC于點(diǎn)。，ZB=x°,ZC=（x+30）°.

①NCAE=_；（用含"勺式子表示）

②求N廠的度數(shù).

3.124-25八年級(jí)上砌南長(zhǎng)沙?開(kāi)學(xué)考試）如圖，在VABC中，CO是AB邊上的高，CE是24CB的平分線.

c

（1）若乙4=42。,/8=66。，求N7X石的度數(shù)：

⑵若〃求NOCE的度數(shù)（用含尸的式子表示）.

4.（24-25八年級(jí)上?廣東汕頭?期中）已知，如圖，在VA3C中，AD.AE分別是VA3。的高和角平分線,

（1）若N3=40。，ZC=60°,求—DA石的度數(shù)；

⑵若—8為x,NC為y,求與x、y的關(guān)系.

拓展培優(yōu)題.

1.（24-25八年級(jí)上?河北保定?期末）已知在VA8C中，44=60。.

在圖（1）中，ZABC./AC8的平分線交于點(diǎn)。1，則計(jì)算可得/3。。=120。；

在圖（2）中，設(shè)/ABC、NAC8的三等分線相交于點(diǎn)。一。?，則計(jì)算可得/8QC=100。：

在圖（3）中請(qǐng)你猜想，當(dāng)/ABC、/ACB同時(shí)〃等分時(shí)，等分線分別對(duì)應(yīng)交于。|、。：…QT,則N80“C=

（用含〃的代數(shù)式表示）.

2.（20-21七年級(jí)下?山西臨汾?期末）（1）已知：如圖（1）的圖形我們把它稱為“8字形〃，試說(shuō)明：

Z4+ZB=ZC+ZD.

(2)如圖(2),AP,“分別平分NR4D,NBCD,若NABC=36。，ZADC=16°.求NP的度數(shù).

(3)如圖(3),直線AP平分4ADCP平分N8CO的外角N8CE,猜想/尸與ZB、ND的數(shù)量關(guān)系是

(4)如圖(4),直線”平分/朋。的外角NE4DCP平分NBCD的外角猜想與4、ND的

數(shù)量關(guān)系是

3.(22-23七年級(jí)下?河南南陽(yáng)?期末)⑴如圖1,在中，點(diǎn)尸是NA8C和NAC8的角平分線的交點(diǎn)，請(qǐng)

你判斷NP與NA之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；

(2)如圖2,在四邊形ABCD中，點(diǎn)P是N48C和NOC8的角平分線的交點(diǎn)，請(qǐng)你用/人和一。表示

并說(shuō)明理由：

⑶如圖3,在四邊形AAC力中，/4+/。＜180。，一夕是-ABC的平分線所在直線與外角/QCE的平分線

4.如圖1所示的圖形，像我們常見(jiàn)的學(xué)習(xí)用品一一圓規(guī).我們不妨把這樣圖形叫做“規(guī)形圖〃，請(qǐng)發(fā)揮你的

聰明才智，解決以下問(wèn)題：

⑴觀察“規(guī)形圖〃，試探究N8。。與NA、NB、NC之間的關(guān)系，并說(shuō)明理由;

⑵請(qǐng)你直接利用以上結(jié)論，解決以下三個(gè)問(wèn)題：

①如圖2,把一塊三角尺XYZ放置在VABC上，使三角尺的兩條直角邊XKXZ恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn)8、C,若

4=50。，直接寫+的結(jié)果；

②如圖3,DC平分NADB,反:平分NA￡B,ZDAE=50°,ZDBE=130°,求NOCE的度數(shù)：

③如圖4,的10等分線相交于點(diǎn)G1、G?、…、G9,若NBOC=140。,NBG/=77。，求/A的

度數(shù).

5.（24-25八年級(jí)上?貴州黔南?期中）問(wèn)題情境：

如圖1,在VA3C中，NA8C和NAC3的平分線交于點(diǎn)P.

⑴探索發(fā)現(xiàn)：若4=60。，則一尸的度數(shù)為；若/4=130。，則NP的度數(shù)為.

⑵猜想證明：猜想NA與一尸之閏的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想.

⑶拓展應(yīng)用：如圖2,在V/WC中，N/WC和—AC3的平分線交于點(diǎn)尸，NP4C和NPC3的平分線交于點(diǎn)

片，直接寫出NA與之間的數(shù)量關(guān)系.

6.（24-25八年級(jí)上?全國(guó)?期末）如圖1,線段A0與8c相交于點(diǎn)O,連接AG80,我們把這樣的圖形稱

為"8字形〃，數(shù)學(xué)興趣課上，老師安排同學(xué)們探索“8字形〃中相關(guān)角度的數(shù)最關(guān)系.

圖1圖2

⑴請(qǐng)通過(guò)觀察、測(cè)量，猜想圖1中Z4+NC與4+NO之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；

⑵如圖2,奮斗小組在圖1的基礎(chǔ)上，分別作與NC8D的平