第12講解三角形與平面向■結(jié)合問

【例I］在"6。中，已知3=30°/=1,則而.正的最小值為（）

【答案】D

LilliUUU

【分析】先求得三角形A8C外接圓的半徑，結(jié)合數(shù)量積的定義以及二次函數(shù)的性質(zhì)求得4氏/1。的最小值.

【詳解】設(shè)三角形A8C外接圓半，圣為「，則一勺=—\=2=2/=r=l,

sinBsin300

所以“BC的外接圓半徑為1,A為鈍角時(shí)，AaAC取到負(fù)值；

如圖，E為的中點(diǎn)，衣在A月上的投影向量為AD；

由麴?/二|麗，阿?cosA可知當(dāng)Ad在Ag上的投影長最長時(shí)，

即。。與圓。相切時(shí)，那.避可取到最小值；

ABAC=-網(wǎng)網(wǎng)=-21福.（1-網(wǎng)）=2研-2網(wǎng)，

當(dāng)網(wǎng)=；時(shí)，2囤2-2河=-；，所以道.髏?的最小值為-；.

乙乙乙

故選：D

【例2】在中，^BC=—,AC邊的中點(diǎn)為。，且,則646c的最大值為（）

A.2B.3C.25/3D.4

【答案】D

【分析】由已知可求|麗+配耳2麗卜2,兩邊平方，利用平面向量數(shù)量積的運(yùn)算，基本不等式可求

胡4C的最大值.

【詳解】解：如圖，在“3。中，AC邊的中點(diǎn)為D

由BO=1,可得：|麗+阮|=|2叫=2

BA+BC2+2BAI3C=4，

:.\BA\2+[fiC|2+2fi/\||BC|cosZAfiC=4,可得：|胡『+|沅|2=4+忸川?|比|,

???|麗『+國『詞麗卜|明,

.?.4+1明?|沅|之2|明?|國,可得：\BA[\BC\<4,（當(dāng)日僅當(dāng)網(wǎng)=|園=2時(shí)等號成立）

則843C的最大值為4.

故選：D.

【例3】在A/WC中，乙ACB為鈍角，AC=BC=1,W=xCA+yCB，且x+y=1.若函數(shù)|CA-//ZCB|

（〃正R）的最小值為亭，則pg的最小值為（）

A.1B.1C.JD.也

422

【答案】C

【分析】由題意可得前I的最小值為A8邊上的高，由函數(shù)々〃）二|這一I的最小值為等

即點(diǎn)4到

8c邊的距離為且，可求出乙4C8=120°,即可求出|加I的最小值.

2

【詳解】法一：由前=xCA+yCB,且x+y=l,可知4,。，3三點(diǎn)共線，

所以1詼1的最小值為AB邊上的高，又4C=BC=I,即。為/W的中點(diǎn)，

且函數(shù)加）=|笈前I的最小值為直，即點(diǎn)4到BC邊的距離為立.

22

0

又AC=1,所以乙4C3=120。，在“1BC中,|co|mn=|Xc|sin30=^,

從而可得0加的最小值為!.

故選：C.

法二：由函=XCA,且r+y=1,可知A,。，8三點(diǎn)共線，

所以I詼I的最小值為A8邊上的高.

設(shè)乙4cg的夾角為0,所以

|C4一機(jī)C,=CA+in'CB-2mCA-CB=1+in2-2〃?cos。=(m-cos^)'+sin，。

依題，可得/2。=2岡皿=蟲,因?yàn)?。是鈍角，所以"與.

423

o

在AABC中,|cS|mjn=|Ac|sin30=1,

從而可得I否I的最小值為

故詵：C.

【例4】在平面四邊形A8CZ)中，N8W=3()o,NABC=75。，N4)C=105。，AB=2,AO=#.若點(diǎn)E為

線段。。上的動(dòng)點(diǎn)，則荏.廢的最小值為()

【答案】B

【分析】取48中點(diǎn)為產(chǎn),結(jié)合極化恒等式以及余弦定理，即可求得結(jié)果.

【詳解】根據(jù)題意，連接EAE3,取A8中點(diǎn)為尸，作圖如下：

而而=麗?麗=［巨誓］-［巨咨］=/—而2=帚_］,

在三角形AOF中，由余弦定理可得：。產(chǎn)=4-2Gcos30o=l,即1,

則=力=30。，故4FDE=75。,

顯然當(dāng)且僅當(dāng)產(chǎn)E_LOC時(shí)，|司取得最小值，

故|研=sin75°xDF=,喬?_］的最小值為-1=」+日.

min41,24

即斯?鹿的最小值為」+且.

24

故選：B.

【例5】在△回(?中，角A、R、C的對邊分別是“、b、c,且滿足(2a-c)麗屈=c?麗.

(1)求角8的大?。?/p>

(2)若。=6,求△ABC的面積S的取值范圍.

【答案】⑴84

⑵用］

【分析】(1)利用平面向量數(shù)量積的定義以及正弦定理化簡得出8sB的值，結(jié)合角3的取值范圍可求得角

。的值；

(2)利用正弦定理結(jié)合三角恒等變換化簡可得出S=gsin(2A-￡,求出角A的取值范圍，結(jié)合正

216；4

弦型函數(shù)的基本性質(zhì)可求得S的取值范圍.

(1)

解：由(2a-c)畫.比=cC8Gf可得(2r/-c)cacos/6=c?而cosC,

所以,(2a-c)cosB=bcosC,

由正弦定理得(2sinA-sinC)cos8=sin8cosc,

/.2sinAcosB=sinCcosB+cosCsinB=sin(B+C)=sinA,

?.?A、Be(O,n),則sinA>0,所以.cosB=^,故8=1.

ZJ

(2)

b

解：由正弦定理可得=2,貝iJa=2sinA,c=2sinC,

sinAsinCsinB

：.S=-acsinB=—ac=\/3sinAsinC=>/3sinAsinA+—

243J

忌in/，sin4+立cos^>|=-sin/\cosA+—

sin2/l=-sin2^--cos2A+

2222444

=—sinf2A--71+立

264

c.27c_.71-▲7t7

vO<A<—,貝ij_二<24一二<-r,所1以t,sinl2A--^eJ

36664

sinf2A--^j+

故s=W

【例6】在"8C中，角A,3,。的對邊分別是a,b,c,滿足(c-2a)cos8+兒osC=().

(1)求4B的值；

(2)已知。在邊AC上,且AO=3￡>C,BD=3、求AABC面積的最大值.

【答案】(Dy；

【分析】(1)利用正弦定理可得sinA=2sinAcos8,從而可求8=?.

一1一3一

(2)利用向量可得4。=;氏4+；8c,平方后結(jié)合基本不等式可得改<16,從而可求面積的最大值.

【詳解】(1)???(C-24)COSB+ACOSC=0,由三角形正弦定理可得

(sinC-2sin4)cosB+sin8cosc=0

gp(sinCcosB+sinBcosC)-2sinAcos13=0sin(Z^+C)-2sinAcosB=0

B+C=TV,

：.sin(8+C)—2sinAcosB=sin(4-A)-2sinAcos3=sinA-2sinAcosB=0,

ttsinA=2sinAcosB,

?.?4是々ABC的內(nèi)角,

/.sinA^O,cosB=；,而8為三角形內(nèi)角，

3

(2)因?yàn)槎?3反，所以麗一麗=3(前-麗)，

—1—3—

所以3O=-BA+—8C,

44

pjf)^9=—BA+-BC2+-BA-BC,t^9=—c2+—a2+—ac

16168,161616

339

由基本不等式可得92工。。+*。。=/。。，故acW16,

81616

當(dāng)且僅當(dāng)。=竽,c=46時(shí)等號成立，

故面積的最大值為,x16x3=4后

22

【例7】在A/WC中，>/2sinA-cosA=1.

(1)求cosA;

(2)D在邊BC上，BD=2DC,|通卜2,求小8。面積的最大值.

【答案】d)!；

⑵逑.

4

【分析】(1)將已知條件兩邊平方得到sin2A=2&sinAcosA,結(jié)合三角形內(nèi)角性質(zhì)求得

tanA=2>/2>0，進(jìn)而可求cosA.

(2)由而=g而+|怒，根據(jù)已知模長及向量數(shù)量積的運(yùn)算律可得9而'《麗衣+1/2=4,結(jié)合

27

基本不等式求得反4二，進(jìn)而求面積最大值，注意等號(最大值)成立條件.

4

(I)

由題設(shè)(&sin4-cosA)?=2sin2X-2\/2sinAcosA+cos2A=1,

所以sin?A=2夜sinAcosA,又sinA>。,故tanA=2&>0,

所以0<4<g,故cosA=g.

4J

⑵

A

____2__2__i_2_

AD=AB+BD=AB+-BC=AB+-(AC-AB)=-AB+-AC,

PJT^TD2=(-AB+-AC)2=-AB'+-ABAC+-AC2=4,

33999'

14,Jl,4-4,161抬入,27

貝milj-c2~+—bc+4-bL-2=4>2j-c~-b~+—bc=—be，故權(quán)——，

9279V992727,4

所以“IBC面積S="!■權(quán)節(jié)吊人工,乂口乂延二逑，當(dāng)且僅當(dāng)c=2〃=亞時(shí)等號成立，

224342

故MAC面積的最大值為辿.

4

【題型專練】

1.AABC的內(nèi)角A叢C的對邊分別為。，/?,c,0-0,則4=()

nc兀「兀-2兀

A-7B7C?D-T

【答案】B

【分析】根據(jù)數(shù)量積的定義可得劭cosC=8"。，根據(jù)正弦定理邊角互化即可求解.

【詳解】因?yàn)樗?""一'),所以"cosC="2叱”,gP2h=c+2^zcosC,

22

由正弦定理可得2sin3=sinC+2sin4cosC,2sinB=2sin(A+C)=2sinAcosC+2cosAsinC,

所以sinC=2cosAsinC,且sinCH0,貝jicos4=，,Ae(0,7i),所以A=E.

23

故選:B

2.如圖，在aABC中，NB4c=：,而=2麗，P為CO上一點(diǎn)，且滿足A戶=〃乂。+；4月，若

|祠=2，網(wǎng)=3，則|AP|的值為()

C

P

A

DB

B.李C.平D?平

A.岳

【答案】B

【分析】設(shè)5=丸8,根據(jù)平面向量線性運(yùn)算及平面向量基本定理求出4、加的值，依題意可得△ADC

為等邊三角形，求出CP,再由余弦定理求出加，即可；

【詳解】解：設(shè)聲=/詼,

_______2_2__1__

貝ljAP=AC+CP=AC+ACD=AC^A(^AB-AC)=-AAB+(\-Z)AC=-AB^mAC,

3

1幅，解得，

4

m=1-Zm=

4

因?yàn)榫W(wǎng)=3,所以AQ="/3=2,又|狗=2,ZBAC=^,所以/WX7為等出三角形，

JJ

所以J，

J?/?

由余弦定理AP2=AC2+CD2-2ACCDcosZACD=22+(|)

l-2x2xrrj

所以人半；

故選：B

3.在"BC中，內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,若a=2b=2,且方?麗=-；,則。=（）

A.2B.2x/2C.y[5D.瓜

【答案】D

【分析】根據(jù)向量的數(shù)量積以及余弦定理即可求解.

■—,―111

【詳解】由C4,C8=—得〃Z?cosC=—,又。=2/?=2,故cosC=—,

2f2

由余弦定理，得c「=/+〃-2a/?cosC=4+l-2x2xlx(-；=6,故c=".

故選:D.

4.在△川（:中，角A3,C的對邊分別為a5,c,若麗.比=麗.尤=1,貝Ijc的值為（）

A.1B.V2C.2D.4

【答案】B

【分析】由向量數(shù)量積運(yùn)算法則及正弦定理得sin（A-8）=0,求出A=3,a=b,再利用余弦定理求出

C=y/2?

【詳解】由題意得：cbcosA=caeonB=1,

因?yàn)镃H。，所以8cosA=acos3,

由正弦定理得：sinBcosA=sinAcos,

即sin8cosA-sinAcos8=sin（A-3）=0,

因?yàn)锳Bw（0,7i）,

所以一%㈤，

故A—8=0,即,

則,

由余弦定理及c-bcosA=l得:cbh~+C-~a-=1,

2bc

即二=1,解得：c=&

故選：B

5.已知△A8C滿足網(wǎng)飛q二84。，則“8。的形狀為（）

A.直角三角形B.等邊三角形C.等腰三角形D.等腰直角三角形

【答案】C

【分析】利用向量數(shù)量積將原式化簡，再利用正弦定理和三角恒等變換判斷出的形狀為等腰三角形.

【詳解】|同飛吟二函.以二網(wǎng)同.85人，貝IJ網(wǎng)=2同.cosA,

由正弦定理可得sinC=2sinA-cosA,

則sin[兀-(/4+B)]=2sinB-cosA,即sin(A+B)=2sinB-cosA

即$in(A-8)=。，所以NA=N3,aABC的形狀為等腰三角形，

故選：C.

6.在"IBC中，內(nèi)角ABC的對邊分別是“也c,/?sinC=V3(tf-/?cosC).

(1)求角8的大?。?/p>

(2)若點(diǎn)。滿足a而”反，且|&)|=26,求d8。面積的最小值.

【答案】⑴8

(2)4X/3

【分析】(1)由正弦定理把邊化為角，再結(jié)合三角恒等變換即可求解；

1757^1IDCIc【"BC?BD?sinNDBC

(2)由題意得色=黑，進(jìn)而利用三角面積可轉(zhuǎn)化需------------------=—，從而有

c1犯1皿S?BDL.AB-BD-sinZABDAB

2

sinZDBC=sinZABD,再由面積公式與基本不等式求解即可

(1)

囚為〃siiiC=\/5("一,所以sinBsiiiC=x/5(siiiA-siii6cusC).

因?yàn)閟inA=sin(B+C)=sin8cosC+cosBsinC

所以sinBsinC=百(sinBcosC+cosAsinC-sinAcosC)=GcosBsinC.

因?yàn)閟inC*0,

所以tanB=y/3.

又因?yàn)?<8(兀

所以8g

(2)

因?yàn)閍AZ5=cOC,

所以點(diǎn)。在線段4c上，且烏二空.

c|AD\

iTSZic—,BC-BD-sinZ.DBC

因?yàn)樾┒?24

AB

1犯SQBDAB-BDsin^ABD

2

所以sinN￡>3C=sinNAB￡>,

即B。為NA8C的角平分線.

由｛1）得八方，

所以NABD=/CBD=三.

6

由%收=53。+5讖6,得:acsingngaBDsinm+:cBDsin?,

232O2o

即4C=2（。+C）24\/^^,得4CN16,當(dāng)且僅當(dāng)〃二C?時(shí)，等號成立，

SUfC=-acsin—>—x16sin—=45/3.

3取2323

故面積的最小值為4G.

7.已知在△ABC中，角4,8,C的對邊分別為a,b,c,.

①島一石ccos8+/;sinC=0;②生三十.：m30(3)cos2+cos2C-1=0.

a+bsinA+sinC22

請?jiān)谝陨先齻€(gè)條件中任選一個(gè)補(bǔ)充在橫線處，并解答：

(1)求角。的值；

01

(2)若c=26前=；。"且|而=&,求5.國的值.

【答案】(Dy

⑵-1

【分析】(1)若選①，由正弦定理及正弦的兩角和可得，若選②，由正弦定理及余弦定理可得，若選

③，由余弦的二倍角公式可得；

(2)由平面向量的數(shù)量積及余弦定理可求解.

(1)

若選①，由已知有GsinA-石sinCcos8+sin欣inC=O，又因?yàn)?，在Zi/WC中，有

sinA=sin(B+C)=sinAcosC+cosKsinC,

所以有5/5(sin13cosC+cos5sinC)->/3sinCcosZ?+sinBsin。=0,

?(匕簡得J5sin8cosC+sinBsinC=0,由于OvB〈不，所以sin5K(),

2

所以有6cosC+sinC=0,于是有tanC=-\/5,因0<C</r,所以得C=~y.

sinB

若選②,由■+,=0,

a+hsinA+sinC

u-cb-).72?z-,a~+b~-c~

得-------H------=0=>a~+b-c—-ab=>cosC=--------------

a+ba+c2ab

因OvCv%,所以C=尊

J

若選③，S2cos2+cos2C-1=0,

有cos(A+5)+cos2C=0=>2cos2C-cosC-1=0,

從而有(cosC-1)(2cosc+1)=0,解得cosC=