2026屆北京市北京第四中學(xué)高三上數(shù)學(xué)期末統(tǒng)考模擬試題考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．四人并排坐在連號的四個座位上，其中與不相鄰的所有不同的坐法種數(shù)是（）A．12 B．16 C．20 D．82．某個命題與自然數(shù)有關(guān)，且已證得“假設(shè)時該命題成立，則時該命題也成立”．現(xiàn)已知當時，該命題不成立，那么（）A．當時，該命題不成立 B．當時，該命題成立C．當時，該命題不成立 D．當時，該命題成立3．函數(shù)f(x)＝sin(wx＋)(w＞0，＜)的最小正周期是π，若將該函數(shù)的圖象向右平移個單位后得到的函數(shù)圖象關(guān)于直線x＝對稱，則函數(shù)f(x)的解析式為（）A．f(x)＝sin(2x＋) B．f(x)＝sin(2x－)C．f(x)＝sin(2x＋) D．f(x)＝sin(2x－)4．已知函數(shù)（表示不超過x的最大整數(shù)），若有且僅有3個零點，則實數(shù)a的取值范圍是（）A． B． C． D．5．已知底面為正方形的四棱錐，其一條側(cè)棱垂直于底面，那么該四棱錐的三視圖可能是下列各圖中的（）A． B． C． D．6．定義在上的奇函數(shù)滿足，若，，則（）A． B．0 C．1 D．27．在中，“”是“”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件8．命題“”的否定為（）A． B．C． D．9．展開式中x2的系數(shù)為()A．－1280 B．4864 C．－4864 D．128010．已知復(fù)數(shù)滿足，則的最大值為（）A． B． C． D．611．已知是圓心為坐標原點，半徑為1的圓上的任意一點，將射線繞點逆時針旋轉(zhuǎn)到交圓于點，則的最大值為（）A．3 B．2 C． D．12．某地區(qū)教育主管部門為了對該地區(qū)模擬考試成進行分析，隨機抽取了200分到450分之間的2000名學(xué)生的成績，并根據(jù)這2000名學(xué)生的成績畫出樣本的頻率分布直方圖，如圖所示，則成績在，內(nèi)的學(xué)生人數(shù)為（）A．800 B．1000 C．1200 D．1600二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知全集，集合則_____．14．二項式的展開式中所有項的二項式系數(shù)之和是64，則展開式中的常數(shù)項為______.15．已知無蓋的圓柱形桶的容積是立方米，用來做桶底和側(cè)面的材料每平方米的價格分別為30元和20元，那么圓桶造價最低為________元.16．在正方體中，已知點在直線上運動，則下列四個命題中：①三棱錐的體積不變；②；③當為中點時，二面角的余弦值為；④若正方體的棱長為2，則的最小值為；其中說法正確的是____________（寫出所有說法正確的編號）三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖，正方形所在平面外一點滿足，其中分別是與的中點.（1）求證：；（2）若，且二面角的平面角的余弦值為，求與平面所成角的正弦值.18．（12分）已知函數(shù)，為實數(shù)，且．（Ⅰ）當時，求的單調(diào)區(qū)間和極值；（Ⅱ）求函數(shù)在區(qū)間，上的值域（其中為自然對數(shù)的底數(shù)）．19．（12分）在底面為菱形的四棱柱中，平面.（1）證明：平面；（2）求二面角的正弦值.20．（12分）已知數(shù)列的前項和為，且滿足．（Ⅰ）求數(shù)列的通項公式；（Ⅱ）證明：．21．（12分）如圖，四邊形是邊長為3的菱形，平面.（1）求證：平面；（2）若與平面所成角為，求二面角的正弦值.22．（10分）在直角坐標系中，曲線的參數(shù)方程是（是參數(shù)），以原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標系.（1）求曲線的極坐標方程；（2）在曲線上取一點，直線繞原點逆時針旋轉(zhuǎn)，交曲線于點，求的最大值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】

先將除A，B以外的兩人先排，再將A，B在3個空位置里進行插空，再相乘得答案.【詳解】先將除A，B以外的兩人先排，有種；再將A，B在3個空位置里進行插空，有種，所以共有種.故選：A【點睛】本題考查排列中不相鄰問題，常用插空法，屬于基礎(chǔ)題.2、C【解析】

寫出命題“假設(shè)時該命題成立，則時該命題也成立”的逆否命題，結(jié)合原命題與逆否命題的真假性一致進行判斷.【詳解】由逆否命題可知，命題“假設(shè)時該命題成立，則時該命題也成立”的逆否命題為“假設(shè)當時該命題不成立，則當時該命題也不成立”，由于當時，該命題不成立，則當時，該命題也不成立，故選：C.【點睛】本題考查逆否命題與原命題等價性的應(yīng)用，解題時要寫出原命題的逆否命題，結(jié)合逆否命題的等價性進行判斷，考查邏輯推理能力，屬于中等題.3、D【解析】

由函數(shù)的周期求得，再由平移后的函數(shù)圖像關(guān)于直線對稱，得到，由此求得滿足條件的的值，即可求得答案.【詳解】分析：由函數(shù)的周期求得，再由平移后的函數(shù)圖像關(guān)于直線對稱，得到，由此求得滿足條件的的值，即可求得答案.詳解：因為函數(shù)的最小正周期是，所以，解得，所以，將該函數(shù)的圖像向右平移個單位后，得到圖像所對應(yīng)的函數(shù)解析式為，由此函數(shù)圖像關(guān)于直線對稱，得：，即，取，得，滿足，所以函數(shù)的解析式為，故選D.【點睛】本題主要考查了三角函數(shù)的圖象變換，以及函數(shù)的解析式的求解，其中解答中根據(jù)三角函數(shù)的圖象變換得到，再根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)求解是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運算能力.4、A【解析】

根據(jù)[x]的定義先作出函數(shù)f（x）的圖象，利用函數(shù)與方程的關(guān)系轉(zhuǎn)化為f（x）與g（x）=ax有三個不同的交點，利用數(shù)形結(jié)合進行求解即可．【詳解】當時，，當時，，當時，，當時，，若有且僅有3個零點，則等價為有且僅有3個根，即與有三個不同的交點，作出函數(shù)和的圖象如圖，當a=1時，與有無數(shù)多個交點，當直線經(jīng)過點時，即，時，與有兩個交點，當直線經(jīng)過點時，即時，與有三個交點，要使與有三個不同的交點，則直線處在過和之間，即，故選：A．【點睛】利用函數(shù)零點的情況求參數(shù)值或取值范圍的方法(1)直接法：直接根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的不等式，再通過解不等式確定參數(shù)的范圍；(2)分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的值域(最值)問題加以解決；(3)數(shù)形結(jié)合法：先對解析式變形，在同一平面直角坐標系中，畫出函數(shù)的圖象，然后數(shù)形結(jié)合求解.5、C【解析】試題分析：通過對以下四個四棱錐的三視圖對照可知，只有選項C是符合要求的.考點：三視圖6、C【解析】

首先判斷出是周期為的周期函數(shù)，由此求得所求表達式的值.【詳解】由已知為奇函數(shù)，得，而，所以，所以，即的周期為.由于，，，所以，，，.所以，又，所以.故選：C【點睛】本小題主要考查函數(shù)的奇偶性和周期性，屬于基礎(chǔ)題.7、D【解析】

通過列舉法可求解，如兩角分別為時【詳解】當時，，但，故充分條件推不出；當時，，但，故必要條件推不出；所以“”是“”的既不充分也不必要條件.故選：D.【點睛】本題考查命題的充分與必要條件判斷，三角函數(shù)在解三角形中的具體應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題8、C【解析】

套用命題的否定形式即可.【詳解】命題“”的否定為“”，所以命題“”的否定為“”.故選：C【點睛】本題考查全稱命題的否定，屬于基礎(chǔ)題.9、A【解析】

根據(jù)二項式展開式的公式得到具體為：化簡求值即可.【詳解】根據(jù)二項式的展開式得到可以第一個括號里出項，第二個括號里出項，或者第一個括號里出，第二個括號里出，具體為：化簡得到-1280x2故得到答案為：A.【點睛】求二項展開式有關(guān)問題的常見類型及解題策略：(1)求展開式中的特定項.可依據(jù)條件寫出第項，再由特定項的特點求出值即可.(2)已知展開式的某項，求特定項的系數(shù).可由某項得出參數(shù)項，再由通項寫出第項，由特定項得出值，最后求出其參數(shù).10、B【解析】

設(shè)，，利用復(fù)數(shù)幾何意義計算.【詳解】設(shè)，由已知，，所以點在單位圓上，而，表示點到的距離，故.故選：B.【點睛】本題考查求復(fù)數(shù)模的最大值，其實本題可以利用不等式來解決.11、C【解析】

設(shè)射線OA與x軸正向所成的角為，由三角函數(shù)的定義得，，，利用輔助角公式計算即可.【詳解】設(shè)射線OA與x軸正向所成的角為，由已知，，，所以，當時，取得等號.故選：C.【點睛】本題考查正弦型函數(shù)的最值問題，涉及到三角函數(shù)的定義、輔助角公式等知識，是一道容易題.12、B【解析】

由圖可列方程算得a，然后求出成績在內(nèi)的頻率，最后根據(jù)頻數(shù)=總數(shù)×頻率可以求得成績在內(nèi)的學(xué)生人數(shù).【詳解】由頻率和為1，得，解得，所以成績在內(nèi)的頻率，所以成績在內(nèi)的學(xué)生人數(shù).故選：B【點睛】本題主要考查頻率直方圖的應(yīng)用，屬基礎(chǔ)題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

根據(jù)補集的定義求解即可.【詳解】解：．故答案為．【點睛】本題主要考查了補集的運算,屬于基礎(chǔ)題.14、【解析】

由二項式系數(shù)性質(zhì)求出，由二項展開式通項公式得出常數(shù)項的項數(shù)，從而得常數(shù)項．【詳解】由題意，．展開式通項為，由得，∴常數(shù)項為．故答案為：．【點睛】本題考查二項式定理，考查二項式系數(shù)的性質(zhì)，掌握二項展開式通項公式是解題關(guān)鍵．15、【解析】

設(shè)桶的底面半徑為，用表示出桶的總造價，利用基本不等式得出最小值.【詳解】設(shè)桶的底面半徑為，高為，則，故，圓通的造價為解法一：當且僅當，即時取等號.解法二：，則，令，即，解得，此函數(shù)在單調(diào)遞增；令，即，解得，此函數(shù)在上單調(diào)遞減；令，即，解得，即當時，圓桶的造價最低.所以故答案為：【點睛】本題考查了基本不等式的應(yīng)用，注意驗證等號成立的條件，屬于基礎(chǔ)題.16、①②④【解析】

①∵，∴平面

，得出上任意一點到平面的距離相等，所以判斷命題①；②由已知得出點P在面上的射影在上，根據(jù)線面垂直的判定和性質(zhì)或三垂線定理，可判斷命題②；③當為中點時，以點D為坐標原點，建立空間直角系，如下圖所示，運用二面角的空間向量求解方法可求得二面角的余弦值，可判斷命題③；④過作平面交于點，做點關(guān)于面對稱的點，使得點在平面內(nèi)，根據(jù)對稱性和兩點之間線段最短，可求得當點在點時，在一條直線上，取得最小值.可判斷命題④.【詳解】①∵，∴平面

，所以上任意一點到平面的距離相等，所以三棱錐的體積不變，所以①正確；

②在直線上運動時，點P在面上的射影在上，所以DP在面上的射影在上，又，所以，所以②正確；③當為中點時，以點D為坐標原點，建立空間直角系，如下圖所示，設(shè)正方體的棱長為2.則:，，所以，設(shè)面的法向量為，則，即，令，則，設(shè)面的法向量為，，即，，由圖示可知，二面角是銳二面角，所以二面角的余弦值為，所以③不正確；④過作平面交于點，做點關(guān)于面對稱的點，使得點在平面內(nèi)，則，所以，當點在點時，在一條直線上，取得最小值.因為正方體的棱長為2，所以設(shè)點的坐標為，，，所以，所以，又所以，所以，，，故④正確.

故答案為：①②④.【點睛】本題考查空間里的線線，線面，面面關(guān)系，幾何體的體積，在求解空間里的兩線段的和的最小值，仍可以運用對稱的思想，兩點之間線段最短進行求解，屬于難度題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）證明見解析（2）【解析】

（1）先證明EF平面，即可求證；（2）根據(jù)二面角的余弦值，可得平面，以為坐標原點，建立空間直角坐標系,利用向量計算線面角即可.【詳解】（1）連接，交于點，連結(jié).則，故面.又面，因此.（2）由（1）知即為二面角的平面角，且.在中應(yīng)用余弦定理，得，于是有，即，從而有平面.以為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系,則，于是，，設(shè)平面的法向量為，則，即，解得于是平面的一個法向量為.設(shè)直線與平面所成角為，因此.【點睛】本題主要考查了線面垂直，線線垂直的證明，二面角，線面角的向量求法，屬于中檔題.18、（Ⅰ）極大值0，沒有極小值；函數(shù)的遞增區(qū)間，遞減區(qū)間，（Ⅱ）見解析【解析】

（Ⅰ）由，令，得增區(qū)間為，令，得減區(qū)間為，所以有極大值，無極小值；（Ⅱ）由，分，和三種情況，考慮函數(shù)在區(qū)間上的值域，即可得到本題答案.【詳解】當時，，，當時，，函數(shù)單調(diào)遞增，當時，，函數(shù)單調(diào)遞減，故當時，函數(shù)取得極大值，沒有極小值；函數(shù)的增區(qū)間為，減區(qū)間為，，當時，，在上單調(diào)遞增，即函數(shù)的值域為；當時，，在上單調(diào)遞減，即函數(shù)的值域為；當時，易得時，，在上單調(diào)遞增，時，，在上單調(diào)遞減，故當時，函數(shù)取得最大值，最小值為，中最小的，當時，，最小值；當，，最小值；綜上，當時，函數(shù)的值域為，當時，函數(shù)的值域，當時，函數(shù)的值域為，當時，函數(shù)的值域為.【點睛】本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)求單調(diào)區(qū)間和極值，以及利用導(dǎo)數(shù)研究含參函數(shù)在給定區(qū)間的值域，考查學(xué)生的運算求解能力，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想.19、（1）證明見解析；（2）【解析】

（1）由已知可證，即可證明結(jié)論；（2）根據(jù)已知可證平面，建立空間直角坐標系，求出坐標，進而求出平面和平面的法向量坐標，由空間向量的二面角公式，即可求解.【詳解】方法一：（1）依題意，且∴，∴四邊形是平行四邊形，∴，∵平面，平面，∴平面.（2）∵平面，∴，∵且為的中點，∴，∵平面且，∴平面，以為原點，分別以為軸、軸、軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，，，∴設(shè)平面的法向量為，則，∴，取，則.設(shè)平面的法向量為，則，∴，取，則.∴，設(shè)二面角的平面角為，則，∴二面角的正弦值為.方法二：（1）證明：連接交于點，因為四邊形為平行四邊形，所以為中點，又因為四邊形為菱形，所以為中點，∴在中，且，∵平面，平面，∴平面（2）略，同方法一.【點睛】本題主要考查線面平行的證明，考查空間向量法求面面角，意在考查直觀想象、邏輯推理與數(shù)學(xué)運算的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，屬于中檔題.20、（Ⅰ），．（Ⅱ）見解析【解析】

（1）由，分和兩種情況，即可求得數(shù)列的通項公式；（2）由題，得，利用等比數(shù)列求和公式，即可得到本題答案.【詳解】（Ⅰ）解：由題，得當時，，得；當時，，整理，得．數(shù)列是以1為首項，2為公比的等比數(shù)列，，；（Ⅱ）證明：由（Ⅰ）知，，故．故得證．【點睛】本題主要考查根據(jù)的關(guān)系式求通項公式以及利用等比數(shù)