/廣東省江門市鶴山市紀(jì)元中學(xué)2025?2026學(xué)年高二上學(xué)期第二次（12月）月考數(shù)學(xué)試題一、單選題1．已知點(diǎn)，，若直線AB的斜率為2，則（

）A．7 B．3 C．1 D．92．已知一組數(shù)據(jù)：3，5，8，x，10的平均數(shù)為6，則該組數(shù)據(jù)的第40百分位數(shù)為（

）A．3 B．3.5 C．4 D．4.53．如圖，在空間四邊形中，，，，且，，則等于（

）A． B．C． D．4．直線截圓所得的弦長（

）A． B． C． D．5．已知圓與圓外切，則（

）A． B． C．7 D．136．在空間直角坐標(biāo)系中，向量，，下列結(jié)論正確的是（

）．A．若，則 B．若，則C．若為銳角，則 D．若在上的投影向量為，則7．一個(gè)質(zhì)地均勻的正四面體玩具的四個(gè)面上分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4.連續(xù)拋擲這個(gè)正四面體玩具兩次，并記錄每次正四面體玩具朝下的面上的數(shù)字，記事件為“第一次向下的數(shù)字為1或2”，事件為“兩次向下的數(shù)字之和為奇數(shù)”，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．事件與事件互斥C．事件與事件相互獨(dú)立 D．8．法國數(shù)學(xué)家加斯帕爾·蒙日被稱為“畫法幾何創(chuàng)始人”“微分幾何之父”，他發(fā)現(xiàn)與橢圓相切的兩條互相垂直的切線的交點(diǎn)的軌跡是以該橢圓中心為圓心的圓，這個(gè)圓稱為該橢圓的蒙日圓.若橢圓的蒙日圓的方程為，則橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．二、多選題9．下列說法正確的有（）A．過點(diǎn)并且傾斜角為的直線方程為;B．斜率為，在軸上的截距為的直線方程為;C．已知直線與直線平行，則兩平行線間的距離是;D．直線的一個(gè)方向向量是，則直線的斜率是．10．設(shè)橢圓的左、右焦點(diǎn)為是橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，則下列說法中正確的是（）A．短軸長為B．橢圓的離心率C．面積的最大值為D．以線段為直徑的圓與直線相離11．在長方體中，，則（

）A．B．平面與底面ABCD夾角的余弦值為C．直線AD與平面所成角的余弦值為D．點(diǎn)到平面的距離為三、填空題12．經(jīng)過直線與直線的交點(diǎn)，且垂直于直線的直線方程為．13．如圖，正四面體的棱長為1，，則．14．甲、乙、丙、丁四名同學(xué)各擲骰子5次，分別記錄每次骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)，根據(jù)四名同學(xué)的統(tǒng)計(jì)結(jié)果，可以判斷出一定沒有出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)6的同學(xué)是甲．平均數(shù)為3，中位數(shù)為2

乙．中位數(shù)為3，眾數(shù)為2丙．平均數(shù)為2，方差為2.4

?。形粩?shù)為3，方差為2.8四、解答題15．已知橢圓的焦點(diǎn)為、，該橢圓經(jīng)過點(diǎn)（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若橢圓上的點(diǎn)滿足，求.16．已知圓經(jīng)過點(diǎn)和，且圓心在直線上.(1)求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過點(diǎn)作圓的切線，求直線的方程.17．某校高二年級半期考試測試后，為了解本次測試的情況，在整個(gè)年級中隨機(jī)抽取了200名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績.將成績分為，，，，，，共6組，得到如圖所示的頻率分布直方圖.

（1）在樣本中，采取等比例分層抽樣的方法從成績在內(nèi)的學(xué)生中抽取15名，則成績在的同學(xué)有幾個(gè)?（2）根據(jù)圖中的樣本數(shù)據(jù)，假設(shè)同組中每個(gè)數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代替，試估計(jì)本次考試的平均分和眾數(shù)；（3）若年級計(jì)劃對本次測試優(yōu)異的同學(xué)進(jìn)行表彰，且表彰人數(shù)不超過6%，根據(jù)樣本數(shù)據(jù)，試估計(jì)獲得表彰的同學(xué)的最低分?jǐn)?shù).18．2025年8月21日，DeepSeek在官方公眾號發(fā)文稱，正式發(fā)布DeepSeek－V3.1模型，此次升級也標(biāo)志著國產(chǎn)大模型在技術(shù)迭代與商業(yè)化探索中又邁出了關(guān)鍵一步．為強(qiáng)化相關(guān)技術(shù)的落實(shí)應(yīng)用能力，某公司特針對A，B兩部門開展專項(xiàng)技能培訓(xùn)．（1）已知該公司A，B兩部門分別有3位領(lǐng)導(dǎo)，此次培訓(xùn)需要從這6位領(lǐng)導(dǎo)中隨機(jī)選取2位分別負(fù)責(zé)第一天和第二天的工作，假設(shè)每人被抽到的可能性都相同，求這兩天的工作由A，B兩部門的領(lǐng)導(dǎo)分別負(fù)責(zé)一天的概率；（2）此次培訓(xùn)分三輪進(jìn)行，員工甲第一輪至第三輪培訓(xùn)達(dá)到“優(yōu)秀”的概率分別為，每輪的培訓(xùn)結(jié)果均相互獨(dú)立，至少兩輪培訓(xùn)達(dá)到“優(yōu)秀”才算合格，求甲培訓(xùn)合格的概率．19．如圖，在正三棱柱中，底面邊長為2，側(cè)棱長為，D是BC的中點(diǎn)．

（1）證明：平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值；（3）在線段上是否存在一點(diǎn)E，使得點(diǎn)到平面ADE的距離為?若存在，請求出的值；若不存在，請說明理由．

答案1．【正確答案】D【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)，，所以直線AB的斜率為．由題意得，解得.故選D．2．【正確答案】D【詳解】由，得，從小到大排序?yàn)椋海?，所以?0百分位數(shù)為第二個(gè)和第三個(gè)數(shù)的平均數(shù)，，故選D3．【正確答案】A【詳解】根據(jù)題意，.故選A4．【正確答案】C【詳解】（方法1：幾何法）圓的半徑r＝，圓心坐標(biāo)為，圓心到直線的距離，所以.（方法2：兩點(diǎn)距離公式）由，消去得，解得或，直線與圓的交點(diǎn)坐標(biāo)為，，則．（方法3：韋達(dá)定理）由，消去得，方程的判別式，設(shè)，由韋達(dá)定理得，，，所以．故選C．5．【正確答案】C【詳解】由，可得圓的圓心，半徑為，由，可得，所以圓心為，半徑為，因?yàn)閮蓤A外切，所，所以，則，解得．故選C.6．【正確答案】C【詳解】對于A：因?yàn)?，且，所以，即，方程組無解，故不存在使得，故A錯(cuò)誤；對于B：若，則，解得，故B錯(cuò)誤；對于C：因?yàn)榕c不可能共線，若為銳角，則，解得，故C正確；對于D：因?yàn)?，，若在上的投影向量為，即，則，解得，故D錯(cuò)誤；故選C7．【正確答案】C【詳解】用兩位數(shù)字表示連續(xù)拋擲這個(gè)正四面體得到的點(diǎn)數(shù)，,，事件，，事件，，對于A，，故A錯(cuò)誤；

對于B，因?yàn)?，所以事件與事件不互斥，故B錯(cuò)誤；對于C，，，，因?yàn)?，所以事件與事件相互獨(dú)立，故C正確；

對于D，，，，故D錯(cuò)誤.故選C.8．【正確答案】A【詳解】直線，都與橢圓相切，兩直線的交點(diǎn)為，所以，所以，故橢圓的離心率.故選A9．【正確答案】ACD【詳解】選項(xiàng)A：過點(diǎn)并且傾斜角為的直線方程為，故A對；選項(xiàng)B：斜率為，在軸上的截距為的直線方程為，故B錯(cuò)；選項(xiàng)C：直線與直線平行，直線的方程可化為，這兩條平行直線間的距離為，故C對；選項(xiàng)D：若直線的一個(gè)方向向量是，則直線的斜率是，故D對．故選ACD．10．【正確答案】BD【詳解】對于A，橢圓的長半軸長為，短半軸長為，短軸長為，故A錯(cuò)誤；對于B，半焦距，橢圓的離心率，故B正確；對于C，設(shè)點(diǎn)縱坐標(biāo)為，則，則的面積，故C錯(cuò)誤；對于D，以線段為直徑的圓的圓心到直線距離，可得直線與圓相離，故D正確.故選BD.11．【正確答案】BD【詳解】在長方體中，，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，，，，，，，，，，設(shè)平面的法向量為，則，取，得，對于A，，，則，故A錯(cuò)誤；對于B，為平面的法向量，設(shè)平面與底面ABCD夾角為，則，所以平面與底面ABCD夾角的余弦值為，故B正確；對于C，，設(shè)直線與平面所成角為則，所以直線與平面所成角的正弦值為，所以直線AD與平面所成角的余弦值為，故C錯(cuò)誤；對于D，，所以點(diǎn)到平面的距離為，故D正確．故選BD12．【正確答案】【詳解】聯(lián)立，解得，因?yàn)樗笾本€與直線垂直，故所求直線的斜率為，所以所求直線方程，即13．【正確答案】/0.5【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)E是棱CD的中點(diǎn)，所以.又因?yàn)檎拿骟wABCD的長為1，所以，所以.14．【正確答案】丙【詳解】對于甲，當(dāng)投擲骰子出現(xiàn)結(jié)果為1，1，2，5，6時(shí)，滿足平均數(shù)為3，中位數(shù)為2，可以出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)6，故甲錯(cuò)誤；對于乙，當(dāng)投擲骰子出現(xiàn)結(jié)果為2，2，3，4，6時(shí)，滿足中位數(shù)為3，眾數(shù)為2，可以出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)6，故乙錯(cuò)誤；對于丙，若出現(xiàn)6點(diǎn)，因?yàn)槠骄鶖?shù)為2，則方差，則平均數(shù)為2，方差為時(shí)，一定沒有出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)6，故丙正確；對于丁，當(dāng)投擲骰子出現(xiàn)結(jié)果為1，2，3，3，6時(shí)，滿足中位數(shù)為3，平均數(shù)為，方差為，可以出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)6，故丁錯(cuò)誤.15．【正確答案】（1）（2）【詳解】（1）根據(jù)題意可設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，由橢圓的定義可得，故，又因?yàn)椋?，因此橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）由題意可得，故，，，因?yàn)椋?，解得，?16．【正確答案】(1)(2)或【詳解】（1）設(shè)圓的方程為，則，解得，故圓的方程為；（2）由（1）知，圓心為，半徑為，若直線的斜率不存在，則直線的方程為，此時(shí)，圓心到直線的距離為，符合題意；若直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為，即，由題意可得，解得，此時(shí)，直線的方程為，即.綜上所述，直線的方程為或.17．【正確答案】（1）4個(gè)（2）平均數(shù)為98，眾數(shù)為100（3）估計(jì)獲得表彰的同學(xué)的最低分?jǐn)?shù)為138【詳解】（1）由頻率分布直方圖性質(zhì)得，解得，所以的人數(shù)有個(gè).（2）本次考試的平均分，由頻率分布直方圖得：眾數(shù)為100.（3）的頻率為，所以獲得表彰的同學(xué)的最低分?jǐn)?shù)位于內(nèi)，且設(shè)為x，則，解得，即最低分?jǐn)?shù)為138.18．【正確答案】（1）（2）【詳解】（1）記部門的3名領(lǐng)導(dǎo)為，部門的3名領(lǐng)導(dǎo)為，從這6位領(lǐng)導(dǎo)中隨機(jī)選取2位分別負(fù)責(zé)第一天和第二天的工作，不同結(jié)果有：，共30種，這兩天的工作由A，B兩部門的領(lǐng)導(dǎo)分別負(fù)責(zé)一天，不同結(jié)果有：共18種，所以這兩天的工作由A，B兩部門的領(lǐng)導(dǎo)分別負(fù)責(zé)一天的概率為.（2）記“每位員工經(jīng)過培訓(xùn)合格”，“每位員工第輪培訓(xùn)達(dá)到優(yōu)秀”（），則，，依題意，，所以每位員工經(jīng)過培訓(xùn)合格的概率為.19．【正確答案】（1）見詳解（2）．（3）存在，【詳解】（1）

如圖，連接交于點(diǎn)O，連接，則點(diǎn)O為的中點(diǎn)，且D是的中點(diǎn)，則為的中位線，所以．又