昌吉州2025~2026學(xué)年第一學(xué)期期末質(zhì)量監(jiān)測高二數(shù)學(xué)測試卷滿分：150分考試時(shí)間：120分鐘注意事項(xiàng)：1．答題前，將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡的指定位置上.2．選擇題在答題卡上用2B鉛筆填涂，非選擇題用黑色簽字筆在答題卡相應(yīng)區(qū)域內(nèi)直接作答，寫在試卷、草稿紙上無效.第I卷（選擇題）一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合要求的．1.經(jīng)過，兩點(diǎn)的直線的傾斜角為（）A30° B.60° C.120° D.150°2.已知實(shí)數(shù)成等比數(shù)列，則（）A B. C. D.3.已知雙曲線的上、下焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)P在雙曲線C上，若，則（

）A.1 B.13 C.1或13 D.154.已知圓與圓，若圓C完全覆蓋圓，，則圓C的半徑的最小值為（）A.3 B.4 C.5 D.65.如圖，在四面體中，點(diǎn)，分別是，的中點(diǎn)，點(diǎn)是線段上靠近點(diǎn)的一個(gè)三等分點(diǎn)，令，則（）A. B.C. D.6.已知拋物線的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，點(diǎn)P在C上，直線PF交y軸于點(diǎn)Q，若，則點(diǎn)P到準(zhǔn)線l的距離為（）A.3 B.4 C.5 D.67.在直三棱柱中，分別是的中點(diǎn)，則與直線所成角的正弦值為（）A. B. C. D.8.已知雙曲線的左，右焦點(diǎn)分別為，過作直線l與雙曲線的右支交于兩點(diǎn)（M在第一象限），，且，則雙曲線的離心率為（）A. B. C. D.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.已知是遞增的等比數(shù)列，其前項(xiàng)和為，若，則（）A.B.C.D.是等比數(shù)列10.已知拋物線的焦點(diǎn)為，點(diǎn)在上，則（）A.坐標(biāo)為B.拋物線的準(zhǔn)線方程為C.若，則D.11.如圖，棱長為2的正方體中，分別是棱，棱的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)M滿足，其中，則下列結(jié)論正確的是（）A.若，則B.若，則三棱錐的體積為定值C.若，則直線與直線所成角的最小值為D.若動(dòng)點(diǎn)M在三棱錐外接球的表面上，則點(diǎn)M的軌跡長度為第Ⅱ卷（非選擇題）三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.若等差數(shù)列中，，則________．13.若動(dòng)直線，圓，則直線與圓相交的最短弦長為__________．14.如圖，橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，過焦點(diǎn)的直線交該橢圓于兩點(diǎn)，若的內(nèi)切圓（圓心記為C）面積為兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，則的面積______，的值為______．四、解答題：本題共5小題，共77分，解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程及驗(yàn)算步驟．15.已知圓C過點(diǎn)和，且圓心C在y軸上.（1）求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若直線l過點(diǎn)，且被圓C截得的弦長為，求直線l的方程.16.如圖，長方體中，，點(diǎn)P為中點(diǎn)．（1）求證：平面；（2）求點(diǎn)D到平面的距離．17.在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線上一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為3．（1）求拋物線C的方程；（2）若直線與拋物線C相交于兩點(diǎn)，求的面積．18.如圖，在四棱錐中，側(cè)面平面，是邊長為2等邊三角形，底面為直角梯形，其中，，.（1）取線段中點(diǎn)M，連接，證明：平面;（2）求直線與平面所成角的正弦值；（3）線段上是否存在一點(diǎn)E，使得平面與平面夾角的余弦值為？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.19.已知右焦點(diǎn)為的橢圓過點(diǎn).（1）求的方程；（2）若點(diǎn)在上，點(diǎn)為圓上一點(diǎn)，求的最大值；（3）過點(diǎn)的直線與交于點(diǎn)，與拋物線交于點(diǎn)，是否存在常數(shù)，使得為定值？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.昌吉州2025~2026學(xué)年第一學(xué)期期末質(zhì)量監(jiān)測高二數(shù)學(xué)測試卷滿分：150分考試時(shí)間：120分鐘注意事項(xiàng)：1．答題前，將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡的指定位置上.2．選擇題在答題卡上用2B鉛筆填涂，非選擇題用黑色簽字筆在答題卡相應(yīng)區(qū)域內(nèi)直接作答，寫在試卷、草稿紙上無效.第I卷（選擇題）一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合要求的．1.經(jīng)過，兩點(diǎn)的直線的傾斜角為（）A.30° B.60° C.120° D.150°【答案】D【解析】【分析】根據(jù)斜率的概念，求出兩點(diǎn)之間的斜率，根據(jù)正切函數(shù)，求出傾斜角大小即可.【詳解】由，得，設(shè)直線傾斜角為，則，可得.故選：D.2.已知實(shí)數(shù)成等比數(shù)列，則（）A B. C. D.【答案】C【解析】【分析】設(shè)公比，利用等比數(shù)列的性質(zhì)及等比中項(xiàng)得到方程，求出.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，則，且，解得.故選：C3.已知雙曲線的上、下焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)P在雙曲線C上，若，則（

）A.1 B.13 C.1或13 D.15【答案】B【解析】【分析】根據(jù)雙曲線的定義求解．【詳解】由雙曲線，可得，所以，所以，因?yàn)辄c(diǎn)P在雙曲線C上，，又因?yàn)?，所以，解得或，①?dāng)在下支時(shí)，，②當(dāng)在上支時(shí)，，綜上所述：，所以.故選：B.4.已知圓與圓，若圓C完全覆蓋圓，，則圓C的半徑的最小值為（）A.3 B.4 C.5 D.6【答案】A【解析】【分析】先判斷圓與圓外切，依題意只需使所求圓的半徑等于兩圓半徑之和即可.【詳解】依題意，圓的圓心，半徑，圓的圓心，半徑為，則，故兩圓外切，因圓C覆蓋圓，，所以圓半徑的最小值為.故選：A.5.如圖，在四面體中，點(diǎn)，分別是，的中點(diǎn)，點(diǎn)是線段上靠近點(diǎn)的一個(gè)三等分點(diǎn)，令，則（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)空間向量的線性運(yùn)算來求得正確答案.【詳解】連接，，則.故選：A6.已知拋物線的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，點(diǎn)P在C上，直線PF交y軸于點(diǎn)Q，若，則點(diǎn)P到準(zhǔn)線l的距離為（）A.3 B.4 C.5 D.6【答案】C【解析】【分析】求出焦點(diǎn)的坐標(biāo)，過點(diǎn)作軸的垂線，垂足為，由可得，求出，結(jié)合拋物線的定義，即可得解．【詳解】解：由拋物線，可知，準(zhǔn)線的方程為，過點(diǎn)作軸的垂線，垂足為，因?yàn)椋?，所以，所以點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為．故選：C．7.在直三棱柱中，分別是的中點(diǎn)，則與直線所成角的正弦值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】以為原點(diǎn)建系，由向量法求兩直線所成角的余弦值，再由平方關(guān)系求正弦值.【詳解】以為原點(diǎn)，分別以所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，所以，所以，設(shè)直線與直線所成角為，則，所以，故選：B.8.已知雙曲線的左，右焦點(diǎn)分別為，過作直線l與雙曲線的右支交于兩點(diǎn)（M在第一象限），，且，則雙曲線的離心率為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由雙曲線定義結(jié)合及求得，再由整理可求.【詳解】設(shè)，由可得，由雙曲線定義可得，因?yàn)?，所以，即，整理得，因?yàn)?，所以，又，即，即，所以，所?故選：D.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.已知是遞增的等比數(shù)列，其前項(xiàng)和為，若，則（）A.B.C.D.是等比數(shù)列【答案】ACD【解析】【分析】設(shè)出公比，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性得到，利用條件求出，進(jìn)而得到首項(xiàng)，結(jié)合等比數(shù)列的定義，通項(xiàng)公式，求和公式對選項(xiàng)一一判斷，得到答案.【詳解】設(shè)的公比為，則由遞增，得，因?yàn)椋?，解得或（舍去），對于A，，故A正確；對于B，，，故B錯(cuò)誤；對于C，，，故C正確；對于D，，，又，所以是首項(xiàng)為3，公比為的等比數(shù)列，故D正確．故選：ACD.10.已知拋物線的焦點(diǎn)為，點(diǎn)在上，則（）A.的坐標(biāo)為B.拋物線的準(zhǔn)線方程為C.若，則D.【答案】BC【解析】【分析】根據(jù)拋物線方程確定拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)與準(zhǔn)線方程即可判斷AB，然后再由拋物線的焦半徑公式求解判斷CD.【詳解】由拋物線，則，準(zhǔn)線方程為，故A錯(cuò)誤，B正確；對于C，由于點(diǎn)在上，則，而，則，即，所以，故C正確；對于D，，當(dāng)且僅當(dāng)，即在原點(diǎn)時(shí)，等號成立，故D錯(cuò)誤.故選：BC11.如圖，棱長為2的正方體中，分別是棱，棱的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)M滿足，其中，則下列結(jié)論正確的是（）A.若，則B.若，則三棱錐的體積為定值C.若，則直線與直線所成角的最小值為D.若動(dòng)點(diǎn)M在三棱錐外接球的表面上，則點(diǎn)M的軌跡長度為【答案】AB【解析】【分析】對A，由平面ACD1判斷；對B，三棱錐的體積即三棱錐的體積，進(jìn)而根據(jù)面積和高為定值可判斷；對C，由向量法計(jì)算時(shí)的夾角判斷；對D，軌跡為平面與外接球面的交圓.【詳解】對于A：由可知，點(diǎn)在平面內(nèi)，若，則在上.在正方體中，平面ACD1，因?yàn)槠矫鍭CD所以，A正確；對于B：若，則在直線上，三棱錐的體積即三棱錐的體積，中為到平面的距離，由于在上，且，面積為定值，為定值，故體積為定值，B正確；對于C：以為原點(diǎn)，分別以所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，若，，則的坐標(biāo)為，，設(shè)直線與直線所成角為，則，當(dāng)時(shí)，，所以，故最小角不是，C錯(cuò)誤；對于D：三棱錐的頂點(diǎn)，其外接球的球心，半徑，在平面內(nèi)且在球面上，軌跡為平面與球的交圓，因?yàn)榍蛐牡狡矫娴木嚯x為，交圓的半徑，軌跡長度為，D錯(cuò)誤；故選：AB.第Ⅱ卷（非選擇題）三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.若等差數(shù)列中，，則________．【答案】【解析】【分析】利用基本量代換求出首項(xiàng)和公差，套公式求出.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，由，可得：，解得，所以，所以.故答案為：.13.若動(dòng)直線，圓，則直線與圓相交的最短弦長為__________．【答案】【解析】【分析】首先求出直線過定點(diǎn)，判斷點(diǎn)在圓內(nèi)，當(dāng)直線時(shí)直線與圓相交的弦長最短，再由弦長公式計(jì)算可得.【詳解】直線，則，令，解得，所以動(dòng)直線恒過點(diǎn)，又圓的圓心為，半徑，所以，所以點(diǎn)在圓內(nèi)，所以當(dāng)直線時(shí)直線與圓相交的弦長最短，最短弦長為.故答案為：14.如圖，橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，過焦點(diǎn)的直線交該橢圓于兩點(diǎn)，若的內(nèi)切圓（圓心記為C）面積為兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，則的面積______，的值為______．【答案】①.②.【解析】【分析】對①，根據(jù)橢圓的定義，由（其中為周長，為內(nèi)切圓半徑）求解；對②，由求解.【詳解】由橢圓方程可得，對于①：的周長為，設(shè)內(nèi)切圓半徑為，由內(nèi)切圓面積為，得，解得，所以；對于②：由圖，，因?yàn)?，所以，所?故答案為：；.四、解答題：本題共5小題，共77分，解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程及驗(yàn)算步驟．15.已知圓C過點(diǎn)和，且圓心Cy軸上.（1）求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若直線l過點(diǎn)，且被圓C截得的弦長為，求直線l的方程.【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，將和代入求解即可;（2）討論直線斜率存在與否，當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)：，根據(jù)圓的弦長公式求得直線方程.【小問1詳解】∵圓的圓心在軸上，不妨設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，代入點(diǎn)，，得,解得,即圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.【小問2詳解】∵直線被圓截得的弦長為，且圓的半徑為4，∴圓心到直線的距離為.①當(dāng)直線斜率不存在，即直線時(shí)，滿足；②當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)：，則由，解得，即直線的方程為.綜上，直線的方程為或.16.如圖，長方體中，，點(diǎn)P為的中點(diǎn)．（1）求證：平面；（2）求點(diǎn)D到平面的距離．【答案】（1）證明見解析.（2）.【解析】【分析】（1）先得到，，再利用線面垂直的判定定理證明即可；（2）以為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面的法向量，再利用點(diǎn)到平面的距離公式直接計(jì)算即可.【小問1詳解】長方體中，，平面，因?yàn)槠矫?所以，因?yàn)?，平面，所以平?【小問2詳解】由題意可知兩兩垂直，所以以為原點(diǎn)所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示：由題意可得則，設(shè)平面的法向量為，則，令，得到；因?yàn)?所以點(diǎn)D到平面的距離.17.在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線上一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為3．（1）求拋物線C的方程；（2）若直線與拋物線C相交于兩點(diǎn)，求的面積．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由拋物線定義將點(diǎn)到焦點(diǎn)距離轉(zhuǎn)化為到準(zhǔn)線距離求出，得到拋物線方程；（2）可判斷為焦點(diǎn)弦，由焦點(diǎn)弦公式求出，由點(diǎn)到直線距離公式求出到距離，根據(jù)面積公式求解.【小問1詳解】因?yàn)閽佄锞€上一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為，拋物線的準(zhǔn)線方程為，所以根據(jù)拋物線定義得，解得，所以拋物線的方程為；【小問2詳解】由（1）知拋物線的焦點(diǎn)滿足直線方程，由得，整理得，設(shè)，則由焦點(diǎn)弦公式.又點(diǎn)到直線的距離，所以.18.如圖，在四棱錐中，側(cè)面平面，是邊長為2的等邊三角形，底面為直角梯形，其中，，.（1）取線段中點(diǎn)M，連接，證明：平面;（2）求直線與平面所成角的正弦值；（3）線段上是否存在一點(diǎn)E，使得平面與平面夾角的余弦值為？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.【答案】（1）證明見解析；（2）；（3）存在，.【解析】【分析】（1）取中點(diǎn)，連接，證出四邊形為平行四邊形，即可得證.（2）建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面的法向量，由向量夾角公式即可求解；（3）求得平面的法向量以及，利用向量夾角公式即可求解．【小問1詳解】在四棱錐中，取中點(diǎn)N，連接，由為的中點(diǎn)，且，，得，，則四邊形為平行四邊形，所以，而平面，不在