專題直線與圓的最值與范圍內(nèi)容導(dǎo)航內(nèi)容導(dǎo)航熱點(diǎn)解讀題型突破限時(shí)訓(xùn)練熱點(diǎn)內(nèi)容解讀深度剖析解讀熱點(diǎn)：分析解讀熱點(diǎn)考查內(nèi)容，精準(zhǔn)預(yù)測(cè)命題方向。熱點(diǎn)題型突破逐一剖析解題歸納：對(duì)熱點(diǎn)的各類題型逐一突破，歸納解題方法與技巧。熱點(diǎn)限時(shí)訓(xùn)練模擬實(shí)戰(zhàn)鞏固提升：限時(shí)完成題目訓(xùn)練，提升解題能力。近三年：1、考查內(nèi)容與頻率：“直線與圓的最值與范圍”問(wèn)題是解析幾何的基礎(chǔ)核心考點(diǎn)，在近三年的高考全國(guó)卷及各省市試卷中出現(xiàn)頻率極高。2、考查重點(diǎn)：命題重點(diǎn)集中在利用直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系，通過(guò)距離公式、斜率公式、圓的參數(shù)方程等工具，求解距離、斜率、截距、長(zhǎng)度（弦長(zhǎng)、切線長(zhǎng)）、面積等幾何量的取值范圍或最值。其核心目標(biāo)是檢驗(yàn)考生的數(shù)形結(jié)合思想和基本代數(shù)變形能力。預(yù)測(cè)2026年：將繼續(xù)以選擇題或填空題為主，考查內(nèi)容、頻率、題型、難度將保持穩(wěn)定，命題將重點(diǎn)考查幾何意義的轉(zhuǎn)化與運(yùn)用。考生需要具備從復(fù)雜條件中識(shí)別出“隱形圓”軌跡的能力，并能熟練運(yùn)用直線與圓相切時(shí)判別式為零這一關(guān)鍵條件來(lái)求解臨界值。同時(shí)，利用圓的參數(shù)方程進(jìn)行三角代換以求最值的方法，仍是重要的命題方向，需重點(diǎn)關(guān)注最值問(wèn)題與向量、函數(shù)、三角函數(shù)等知識(shí)的簡(jiǎn)單結(jié)合，體現(xiàn)基礎(chǔ)知識(shí)的綜合運(yùn)用能力。題型01與斜率、傾斜角有關(guān)的范圍問(wèn)題解｜題｜策｜略

幾何條件代數(shù)化即先將題目中關(guān)于直線位置、變化的幾何約束條件，準(zhǔn)確地轉(zhuǎn)化為關(guān)于斜率

k

或傾斜角

α

的不等式（或方程），然后通過(guò)求解這個(gè)不等式（或方程）來(lái)確定范圍。數(shù)形結(jié)合畫(huà)圖定性：首先根據(jù)題意畫(huà)出滿足條件的直線大致位置，直觀判斷傾斜角的大致范圍。找臨界：確定傾斜角變化的邊界（通常是垂直或水平位置）。轉(zhuǎn)化求解：若已知的是斜率k的范圍，則根據(jù)

k=tanα

的單調(diào)性求解。在

(0°,90°)

和

(90°,180°)

上，tanα

分別單調(diào)遞增。若已知的是幾何條件（如直線與線段相交、在兩直線之間等），先求出斜率的范圍，再轉(zhuǎn)化為傾斜角范圍。注意直角：時(shí)刻檢查是否存在斜率不存在（α=90°）的情況，并判斷它是否包含在范圍內(nèi)。1．（2025·江西新余·一模）已知直線的方程為，則直線的傾斜角的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】D【知識(shí)點(diǎn)】直線的傾斜角【分析】求出直線的斜率的取值范圍，利用直線傾斜角與斜率的關(guān)系可得出直線的傾斜角的取值范圍.【詳解】直線的斜率為，設(shè)該直線的傾斜角為，則，又因?yàn)椋?故選：D.2．（2025·安徽馬鞍山·一模）設(shè)點(diǎn)，，若直線與線段沒(méi)有公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】C【知識(shí)點(diǎn)】已知兩點(diǎn)求斜率、直線與線段的相交關(guān)系求斜率范圍、直線過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題【分析】由直線方程可判斷直線的斜率和經(jīng)過(guò)的定點(diǎn)，結(jié)合題意作圖，需使成立，解之即得.【詳解】由可知直線的斜率為，且經(jīng)過(guò)定點(diǎn)，由點(diǎn)，可得直線的斜率分別為：，作圖如下，由圖知，要使直線與線段沒(méi)有公共點(diǎn)，需使，解得.故選：C.3．（2025·河南信陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）已知矩形ABCD四個(gè)頂點(diǎn)分別為，一質(zhì)點(diǎn)從線段AB上某一點(diǎn)M處（不包含端點(diǎn)），沿與AB夾角為60°的方向射到邊BC上，再依次反射到邊CD，DA和AB上（入射角等于反射角），則的取值范圍為．【答案】【知識(shí)點(diǎn)】已知兩點(diǎn)求斜率【詳解】如圖所示，質(zhì)點(diǎn)由出發(fā)依次經(jīng)BC，CD，DA反射后到達(dá)線段AB，相當(dāng)于直線與線段MN相交，則又因?yàn)椋?，即，所以，故答案為?4．（2025·福建泉州·模擬預(yù)測(cè)）已知是圓C：上任意一點(diǎn)，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】B【知識(shí)點(diǎn)】由直線與圓的位置關(guān)系求參數(shù)【分析】的幾何意義為直線的斜率，再根據(jù)直線與圓得交點(diǎn)即可得出答案.【詳解】設(shè)，變形得，于是的幾何意義為圓上點(diǎn)與定點(diǎn)連線的斜率，圓的圓心為，半徑為，由是圓上任意一點(diǎn)，得圓與直線有公共點(diǎn)，因此圓心到直線的距離不大于圓的半徑，則，解得，所以的最小值為.故選：B5．（2025·上海浦東新·模擬預(yù)測(cè)）已知直線過(guò)點(diǎn)，且上至少有一點(diǎn)到點(diǎn)的距離為2，則的傾斜角的最大值為.【答案】【知識(shí)點(diǎn)】由直線與圓的位置關(guān)系求參數(shù)、直線的傾斜角、求點(diǎn)到直線的距離【分析】依題意，直線l與以為圓心，2為半徑作圓C至少有一個(gè)交點(diǎn)，根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系求出直線傾斜角的范圍即可.【詳解】以為圓心，2為半徑作圓C，如圖所示，依題意直線l與圓C至少有一個(gè)交點(diǎn)，①當(dāng)直線l的科率不存在時(shí)，直線l與圓C有2個(gè)交點(diǎn)，此時(shí)直線l的傾斜角；②當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)為，則，即依題意，解得或，此時(shí)直線l的傾斜角綜上所述，直線l的傾斜角，故直線l的傾斜角的最大值為．故答案為：題型02與兩點(diǎn)距離、點(diǎn)到直線的距離有關(guān)的最值與范圍解｜題｜策｜略在幾何問(wèn)題上，求與距離相關(guān)的最值時(shí)，核心為“兩點(diǎn)之間，線段最短”或“點(diǎn)到直線的距離，垂線段最短”這兩個(gè)最基本的幾何公理。動(dòng)態(tài)問(wèn)題處理：找定點(diǎn)：如動(dòng)直線過(guò)某定點(diǎn)，找到這個(gè)定點(diǎn)，就找到了問(wèn)題的“錨點(diǎn)”。找軌跡：如題目給出動(dòng)點(diǎn)，若能找到該動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡，問(wèn)題就能迎刃而解了。1．（2025·上海奉賢·二模）直線上的動(dòng)點(diǎn)和直線上的動(dòng)點(diǎn)，則點(diǎn)與點(diǎn)之間距離的最小值是．【答案】【知識(shí)點(diǎn)】求平行線間的距離【分析】利用平行線之間的距離公式求解即可.【詳解】直線和直線互相平行，故點(diǎn)與點(diǎn)之間距離的最小值即兩條直線間的距離，且兩條直線間的距離：.故答案為：2．（2025·北京昌平·二模）已知半徑為1的圓經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，其圓心到直線的距離為，則的最大值為（

）．A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【知識(shí)點(diǎn)】求點(diǎn)到直線的距離、圓上點(diǎn)到定直線（圖形）上的最值（范圍）【分析】先判定該圓圓心的軌跡，再轉(zhuǎn)化為圓上的點(diǎn)到直線的距離的最值問(wèn)題進(jìn)行求解.【詳解】因?yàn)榘霃綖?的圓經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，所以其圓心的軌跡是以原點(diǎn)為圓心，1為半徑的圓，而原點(diǎn)到直線的距離為，所以圓心到直線的距離的最大值為.故選：D.3．（2025·河南信陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）是圓上的動(dòng)點(diǎn)，是直線上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】C【知識(shí)點(diǎn)】直線與圓的位置關(guān)系求距離的最值、求點(diǎn)到直線的距離、圓上點(diǎn)到定直線（圖形）上的最值（范圍）【分析】判斷圓與直線的位置關(guān)系為相離，可得的最小值為圓心到直線的距離減去半徑.【詳解】由題意得，圓的圓心為，半徑.因?yàn)榈街本€的距離，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以直線與該圓相離，所以的最小值為.故選：C.4．（2025·江蘇南京·二模）設(shè)，過(guò)定點(diǎn)的動(dòng)直線和過(guò)定點(diǎn)的動(dòng)直線交于點(diǎn)，點(diǎn)到直線的距離為，則的取值范圍為.【答案】【知識(shí)點(diǎn)】軌跡問(wèn)題——圓、求點(diǎn)到直線的距離、直線過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題【分析】先分析兩條直線經(jīng)過(guò)的定點(diǎn)，得出的坐標(biāo)，根據(jù)兩直線的位置關(guān)系分析可得的運(yùn)動(dòng)軌跡是挖去一點(diǎn)的圓，然后判斷出直線和圓相切，從而得解.【詳解】動(dòng)直線過(guò)定點(diǎn)，動(dòng)直線即過(guò)定點(diǎn).因?yàn)椋灾本€與直線垂直，又直線的斜率一定存在，注意到時(shí)，滿足，但此時(shí)直線垂直軸，斜率不存在，故點(diǎn)在以為直徑的圓上（去除點(diǎn)），圓心為，半徑，圓心到直線的距離為所以圓與直線相切（切點(diǎn)不是點(diǎn)），的最小值為0；圓的直徑，且點(diǎn)到直線的距離為，所以，即的取值范圍為.故答案為：5．（2025·安徽·模擬預(yù)測(cè)）已知點(diǎn)，為圓上兩點(diǎn)，，點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，點(diǎn)為直線上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為（

）A．3 B．4 C．5 D．【答案】A【知識(shí)點(diǎn)】軌跡問(wèn)題——圓、求點(diǎn)到直線的距離、圓上點(diǎn)到定直線（圖形）上的最值（范圍）【分析】先根據(jù)垂徑定理得出，即可得出點(diǎn)的軌跡為圓，則問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求圓上的動(dòng)點(diǎn)到定直線的距離的最小值.【詳解】圓的圓心坐標(biāo)為，半徑，因?yàn)辄c(diǎn)為線段的中點(diǎn)，，則，所以點(diǎn)的軌跡是以為圓心，半徑為的圓，點(diǎn)在直線上，可得圓心到直線的距離，所以的最小值為.故選：A

題型03與直線與圓的位置關(guān)系有關(guān)的最值與范圍解｜題｜策｜略如果直線是動(dòng)直線，則分析直線與圓不同的位置關(guān)系時(shí)，目標(biāo)值的變化，關(guān)鍵在相切時(shí)。根據(jù)圓心到直線的最短距離為圓心到直線的垂線，半徑不變這兩個(gè)原則去分析目標(biāo)值的變化1．（2025·湖南·一模）已知點(diǎn)為直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，為圓上任意兩個(gè)不重合的點(diǎn)，記的最小值為的最大值為，則（）A． B． C． D．【答案】A【知識(shí)點(diǎn)】求點(diǎn)到直線的距離、二倍角的余弦公式、判斷直線與圓的位置關(guān)系【分析】根據(jù)題意分析得當(dāng)，分別為圓的切線，且最小時(shí)，最大，此時(shí)最小，再利用二倍角公式即可得，再根據(jù)最大時(shí)為鈍角，所以的最大值為1，即.即可得.【詳解】由題意得的標(biāo)準(zhǔn)方程為，所以圓心，半徑為2，如圖：

所以圓心到直線的距離為，所以直線與相離，所以當(dāng)分別為圓的切線，且最小時(shí)，最大，又，則最大，所以最大，此時(shí)最小，此時(shí)．顯然的最大值為1，故．故選：A2．（2025·浙江金華·一模）若圓上存在兩點(diǎn)，直線上存在點(diǎn)，使得，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】A【知識(shí)點(diǎn)】由直線與圓的位置關(guān)系求參數(shù)、求點(diǎn)到直線的距離【分析】將題干條件，結(jié)合幾何知識(shí)轉(zhuǎn)化為圓心到直線的距離需滿足，解該不等式即可求解．【詳解】當(dāng)直線與圓相交時(shí)，如圖所示，若A、B離直線越近時(shí)，直至與直線和圓C的兩交點(diǎn)重合，此時(shí)，若A、B相距越來(lái)越近時(shí)，直至A、B兩點(diǎn)重合，此時(shí)，所以一定存在A、B及P，使得；當(dāng)直線與圓相切時(shí)，同直線與圓相交分析可知，一定存在A、B及P，使得；當(dāng)直線與圓沒(méi)有公共點(diǎn)時(shí)，對(duì)直線上的任一點(diǎn)P，若A、B相距越來(lái)越近時(shí)，直至A、B兩點(diǎn)重合時(shí)，仍有，另一方面，若PB與圓C相切于B，PA與圓C相切于A，此時(shí)必為該P(yáng)點(diǎn)所能達(dá)到的最大情況，如圖所示，由圖可知，，CP最短時(shí)，即等于圓心C到直線的距離d，最大，也最大，同時(shí)最大，所以若圓上存在兩點(diǎn)，直線上存在點(diǎn)，使得，則必有，解得，又因?yàn)閳A的半徑，圓心到直線的距離，所以，解得．故選：A．3．（2025·福建·模擬預(yù)測(cè)）已知直線與圓交于不同的兩點(diǎn)A，B，若存在最小值且最小值不大于，則的取值范圍為（

）A． B．(3,23] C． 【答案】C【知識(shí)點(diǎn)】由直線與圓的位置關(guān)系求參數(shù)【分析】先根據(jù)存在最小值分析出，再根據(jù)最小值不大于列出關(guān)于r的不等式即可求解．【詳解】將直線方程變形為，則可知直線恒過(guò)定點(diǎn)，圓的圓心，則，若，則直線可和圓O相切，如圖所示，此時(shí)A、B重合，若直線與圓O交于不同的兩點(diǎn)A，B，則可不斷趨于0，不存在最小值，與題意不符，故，即P在圓O內(nèi)，直線與圓O一定交于兩點(diǎn)A、B，此時(shí)對(duì)于任意給定的半徑r，根據(jù)圓的性質(zhì)，當(dāng)時(shí)，弦AB最短，最小，此時(shí)弦長(zhǎng)，在中，，當(dāng)時(shí)，為等邊三角形，此時(shí)，由題意，已知最小值不大于，則最小值對(duì)應(yīng)的弦AB滿足，即，解得，綜上所述，．故選：C．4．（2025·江西新余·模擬預(yù)測(cè)）過(guò)直線上的任意一點(diǎn)作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B，則點(diǎn)到直線AB的距離的最大值為（

）A．1 B．2 C． D．【答案】C【知識(shí)點(diǎn)】相交圓的公共弦方程、圓上點(diǎn)到定直線（圖形）上的最值（范圍）【分析】根據(jù)幾何性質(zhì)知M，A，B，C四點(diǎn)在以MC為直徑的圓上，與圓相減得直線AB的方程，又是以原點(diǎn)為圓心、1為半徑的圓上的點(diǎn)，所求距離轉(zhuǎn)化為原點(diǎn)到直線AB的距離加半徑，即，結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)求得最值即可.【詳解】設(shè)，則，由幾何性質(zhì)知M，A，B，C四點(diǎn)在以MC為直徑的圓上，即該圓方程為，即，與圓相減得直線AB的方程為.又，故是以原點(diǎn)為圓心、1為半徑的圓上的點(diǎn)，故點(diǎn)到直線AB的距離的最大值為原點(diǎn)到直線AB的距離加半徑1，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以點(diǎn)到直線AB的距離的最大值為.故選：C.題型04由圓上點(diǎn)到直線距離為定值的個(gè)數(shù)求最值與范圍解｜題｜策｜略幾何轉(zhuǎn)化：圓上點(diǎn)到直線l的距離為

m

的點(diǎn)的軌跡，是與l

平行且距離為

m

的兩條直線l1

和

l問(wèn)題等價(jià)于

“圓與兩條平行直線l1

和

l分類討論：通過(guò)比較圓心

C

到直線

l

的距離

d與圓的半徑

r，以及定值

m

之間的關(guān)系，來(lái)確定交點(diǎn)個(gè)數(shù)。1．（2025·全國(guó)一卷·高考真題）已知圓上到直線的距離為1的點(diǎn)有且僅有2個(gè)，則r的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【知識(shí)點(diǎn)】坐標(biāo)法的應(yīng)用——直線與圓的位置關(guān)系、求點(diǎn)到直線的距離、圓上點(diǎn)到定直線（圖形）上的最值（范圍）【分析】先求出圓心到直線的距離，然后結(jié)合圖象，即可得出結(jié)論.【詳解】由題意，在圓中，圓心，半徑為，到直線的距離為的點(diǎn)有且僅有個(gè)，∵圓心到直線的距離為：，

故由圖可知，當(dāng)時(shí)，圓上有且僅有一個(gè)點(diǎn)（點(diǎn)）到直線的距離等于；當(dāng)時(shí)，圓上有且僅有三個(gè)點(diǎn)（點(diǎn)）到直線的距離等于；當(dāng)則的取值范圍為時(shí)，圓上有且僅有兩個(gè)點(diǎn)到直線的距離等于.故選：B.2．（2025·山東青島·三模）若圓上總存在兩個(gè)點(diǎn)到點(diǎn)的距離為3，則實(shí)數(shù)取值范圍是【答案】【知識(shí)點(diǎn)】由直線與圓的位置關(guān)系求參數(shù)【分析】由題意，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為圓與圓有兩個(gè)公共點(diǎn)，即兩圓相交，從而運(yùn)用兩點(diǎn)間的距離公式建立不等式關(guān)系，求出實(shí)數(shù)的取值范圍．【詳解】根據(jù)題意，圓的圓心為，半徑，若圓上總存在兩個(gè)點(diǎn)到點(diǎn)的距離為3，則圓與圓有兩個(gè)公共點(diǎn)，即兩圓相交，因?yàn)榈膱A心為，半徑，所以，即，則，即或，實(shí)數(shù)的取值范圍是．故答案為：．3．（2025·四川·三模）已知圓上恰有兩個(gè)點(diǎn)到直線的距離為2，則m的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】B【知識(shí)點(diǎn)】由直線與圓的位置關(guān)系求參數(shù)【分析】求得圓心到直線的距離，由求解即可.【詳解】由題意可得圓，則圓心，半徑，則圓心到直線l的距離.因?yàn)閳A上恰有兩個(gè)點(diǎn)到直線l的距離為2，所以，即，又，解得：.故選：B題型05與圓的弦長(zhǎng)有關(guān)的最值與范圍解｜題｜策｜略通常問(wèn)題是求過(guò)定點(diǎn)的直線與圓的相交弦長(zhǎng)的最短與最長(zhǎng)。當(dāng)直線過(guò)圓心時(shí)，與圓的相交弦是最長(zhǎng)的，為直徑的長(zhǎng)度當(dāng)直線垂直于定點(diǎn)與圓心的連線時(shí)，此時(shí)的相交弦時(shí)最短的，根據(jù)半徑與定點(diǎn)與圓心連線的長(zhǎng)度可求得。1．（2025·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知圓的方程為，直線的方程為，直線被圓截得的弦中長(zhǎng)度為整數(shù)的共有條.【答案】8【知識(shí)點(diǎn)】直線過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題、方程與不等式、直線與圓的位置關(guān)系求距離的最值、圓的弦長(zhǎng)與中點(diǎn)弦【分析】方法一：先求出直線過(guò)定點(diǎn)，再判斷出點(diǎn)在圓內(nèi)，從而得到直線被圓所截的弦長(zhǎng)的取值范圍是，再結(jié)合圓的對(duì)稱性即可得到結(jié)果；方法二：先求出圓心到直線的距離，再求出弦長(zhǎng)，分析出要使弦長(zhǎng)為整數(shù)須滿足（為平方數(shù)），再通過(guò)換元令轉(zhuǎn)化成關(guān)于的方程有解的問(wèn)題，通過(guò)判別式大于0，求出的范圍及的值即可得到結(jié)果.【詳解】方法一：直線可化為，由可得，即直線過(guò)定點(diǎn)，因?yàn)?，所以點(diǎn)在圓內(nèi)，當(dāng)點(diǎn)為直線被圓截得的弦的中點(diǎn)時(shí)，弦長(zhǎng)最短，點(diǎn)到圓心的距離，所以直線被圓截得的最短弦長(zhǎng)為，最長(zhǎng)的弦為直徑，長(zhǎng)度為10，所以弦長(zhǎng)的取值范圍是.由圓的對(duì)稱性可知弦長(zhǎng)為7，8，9的直線各兩條，弦長(zhǎng)為6，10的直線各一條，所以截得的弦中長(zhǎng)度為整數(shù)的直線共有8條.方法二：方程法.圓的圓心到直線的距離，故弦長(zhǎng)為，要使弦長(zhǎng)為整數(shù)，令（為平方數(shù)），整理得，令，整理得（*），，解得，即，則，即，當(dāng)或100時(shí)，，方程（*）各有一解，當(dāng)時(shí)，，方程（*）各有兩個(gè)不同的解，即方程（*）共有8個(gè)不同的解，因此符合題意的直線有8條.故答案為：8.2．（2025·貴州黔東南·三模）直線與圓交于兩點(diǎn)，若的最大值為4，則的最小值為．【答案】【知識(shí)點(diǎn)】圓的弦長(zhǎng)與中點(diǎn)弦、已知圓的弦長(zhǎng)求方程或參數(shù)【分析】先結(jié)合題意并利用圓的性質(zhì)得到，進(jìn)而分析出當(dāng)最大時(shí)，的值最小，再利用圓的性質(zhì)得到此時(shí)，進(jìn)而結(jié)合斜率公式求出，再利用點(diǎn)到直線的距離公式求出，最后利用勾股定理求出的最小值即可.【詳解】因?yàn)橹本€與圓交于兩點(diǎn)，所以當(dāng)?shù)闹底畲髸r(shí)，其為圓的直徑，而的最大值為4，得到，則圓的方程為，設(shè)圓心到直線的距離為，如圖，記圓心，直線必過(guò)定點(diǎn)，由圓的性質(zhì)得，當(dāng)時(shí)，最大，此時(shí)的值最小，由斜率公式得，此時(shí)，由題意得，則，由點(diǎn)到直線的距離公式得，由勾股定理得，解得，綜上可得的最小值為.故答案為：3．（2025·江蘇泰州·模擬預(yù)測(cè)）已知直線與圓相交于A，B兩點(diǎn)，若，則實(shí)數(shù)k的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】C【知識(shí)點(diǎn)】已知圓的弦長(zhǎng)求方程或參數(shù)【分析】求出弦心距不大于1，由點(diǎn)到直線距離公式解不等式可得．【詳解】圓的圓心坐標(biāo)為，半徑為，當(dāng)弦長(zhǎng)時(shí)，弦心距，若，則，即，解得，故選：C.4．（2025·遼寧沈陽(yáng)·一模）已知直線被圓截得的最短弦長(zhǎng)為，則．【答案】【知識(shí)點(diǎn)】直線過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題、過(guò)圓內(nèi)定點(diǎn)的弦長(zhǎng)最值（范圍）、圓的弦長(zhǎng)與中點(diǎn)弦、已知圓的弦長(zhǎng)求方程或參數(shù)【分析】根據(jù)定點(diǎn)及兩點(diǎn)間距離公式得出圓心到直線距離的最大值，進(jìn)而結(jié)合圓的弦長(zhǎng)公式，得到弦長(zhǎng)，計(jì)算即可求解.【詳解】由題意，圓，可得圓心，半徑，過(guò)定點(diǎn)則圓心到直線的距離為，可得截得弦長(zhǎng)為，弦長(zhǎng)取得最小值時(shí)，.故答案為：.題型06代數(shù)式的幾何意義與最值與范圍解｜題｜策｜略將代數(shù)式轉(zhuǎn)化為幾何意義，然后進(jìn)行數(shù)形結(jié)合來(lái)求最值。若遇到帶平方跟開(kāi)方的，聯(lián)想到兩點(diǎn)間的距離公式，把它構(gòu)造成兩個(gè)點(diǎn)。遇到跟x、y有關(guān)的代數(shù)式，可以聯(lián)想到點(diǎn)到直線的距離，兩平行直線的距離公式熟悉圓的方程、直線方程，把代數(shù)式轉(zhuǎn)化成圓上點(diǎn)或者直線上點(diǎn)，將代數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為幾何問(wèn)題。1．（2025·遼寧·三模）函數(shù)（）的最小值（

）A．4 B． C．5 D．【答案】B【知識(shí)點(diǎn)】坐標(biāo)法的應(yīng)用——點(diǎn)到直線的距離【分析】當(dāng)時(shí)，將函數(shù)轉(zhuǎn)化為直線上點(diǎn)P到直線的距離與到點(diǎn)的距離之和，作出圖象，結(jié)合圖象及點(diǎn)到線的距離公式求解即可.【詳解】當(dāng)時(shí)，，可視為與兩點(diǎn)間的距離，則P是直線上的動(dòng)點(diǎn)，，可視為點(diǎn)到直線的距離，設(shè)與y軸交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作，垂足為B，畫(huà)出示意圖如下：則待求為的最小值，當(dāng)三點(diǎn)共線，且時(shí)，點(diǎn)A到直線的距離為所求的最小值，此時(shí)，.故選：B.2．（2025·陜西西安·一模）已知，滿足，則的最小值為.【答案】【知識(shí)點(diǎn)】用兩點(diǎn)間的距離公式求函數(shù)最值【分析】把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為兩點(diǎn)之間線段最短，再求兩點(diǎn)之間的距離即可.【詳解】因?yàn)椋?所以表示圓上的點(diǎn)到與到的距離和.如圖：

所以（當(dāng)為線段與圓的交點(diǎn)時(shí)取等號(hào)）.故答案為：3．（2025·山東·一模）實(shí)數(shù)滿足，則的最小值為（

）A．2 B．1 C．0 D．【答案】B【知識(shí)點(diǎn)】求點(diǎn)到直線的距離【分析】由點(diǎn)到線的距離公式求解最小值，即可求解.【詳解】，其中為兩點(diǎn)與距離的平方，所以其最小值即為到直線距離的平方，即，所以的最小值為1，故選：B4．（2025·湖北武漢·模擬預(yù)測(cè)）實(shí)數(shù)滿足，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】B【知識(shí)點(diǎn)】求平面兩點(diǎn)間的距離、軌跡問(wèn)題——圓、基本不等式求和的最小值【分析】由條件可得點(diǎn)為圓上的一點(diǎn)，點(diǎn)是曲線上的一點(diǎn)，，結(jié)合關(guān)系和基本不等式求的最小值，由此可得結(jié)論.【詳解】因?yàn)?，所以點(diǎn)為圓上的一點(diǎn)，因?yàn)?，所以點(diǎn)是曲線上的一點(diǎn)，所以，如圖：因?yàn)椋瑸樵c(diǎn)，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)為線段與圓的交點(diǎn)時(shí)取等號(hào)，又，故，當(dāng)且僅當(dāng)或時(shí)等號(hào)成立，所以，當(dāng)且僅當(dāng)或時(shí)等號(hào)成立，所以，當(dāng)且僅當(dāng)或時(shí)等號(hào)成立，所以當(dāng)或時(shí)，取最小值，最小值為，所以當(dāng)或時(shí)，取最小值，最小值為，故選：B.題型07與新定義有關(guān)的最值與范圍解｜題｜策｜略理解題目中的給出的定義，如果能畫(huà)出軌跡，既可以使用幾何方法，與平時(shí)常用的知識(shí)點(diǎn)結(jié)合，如兩點(diǎn)間的距離最短、點(diǎn)到直線的垂線最短，求出最值。如果沒(méi)法得到軌跡，可以嘗試用代數(shù)方法，根據(jù)基本不等式、求導(dǎo)等方式去求取最值。1．（2025·湖南長(zhǎng)沙·三模）已知點(diǎn)，定義A，B兩點(diǎn)間的曼哈頓距離，歐氏距離．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)，點(diǎn)滿足，點(diǎn)滿足，則的最大值為（）A． B． C． D．【答案】D【知識(shí)點(diǎn)】求平面兩點(diǎn)間的距離、軌跡問(wèn)題——圓、距離新定義、圓上點(diǎn)到定直線（圖形）上的最值（范圍）【分析】利用給定的定義求出點(diǎn)的軌跡并畫(huà)出圖形，結(jié)合圓的性質(zhì)求出最大值.【詳解】設(shè)，由，得，因此點(diǎn)在以原點(diǎn)為圓心，1為半徑的圓及內(nèi)部，設(shè)，由，得，點(diǎn)在以為頂點(diǎn)的正方形及內(nèi)部，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)與之一重合時(shí)，，所以.故選：D2．（2025·河南·二模）已知曲線，點(diǎn)在曲線上，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（

）A．曲線圍成的圖形的面積為B．的最小值為C．點(diǎn)到直線的距離的最大值為D．曲線有且僅有2條對(duì)稱軸【答案】D【知識(shí)點(diǎn)】由方程研究曲線的性質(zhì)、已知切線求參數(shù)、圓上點(diǎn)到定直線（圖形）上的最值（范圍）【分析】根據(jù)曲線方程畫(huà)出圖象，再數(shù)形結(jié)合一一判斷即可.【詳解】因?yàn)榍€，當(dāng)且時(shí)，曲線的方程可化為；當(dāng)且時(shí)，曲線的方程可化為；當(dāng)且時(shí)，曲線的方程可化為；當(dāng)且時(shí)，曲線的方程可化為.曲線的圖像如圖所示：

由圖可知，曲線圍成的圖形的面積為四個(gè)半圓的面積與邊長(zhǎng)為的正方形面積的和，從而曲線圍成的圖形的面積為，故A正確；表示點(diǎn)與點(diǎn)的連線的斜率，由圖可知當(dāng)（且）與直線相切時(shí)取得最小值，設(shè)切線為，則，解得或（舍去），所以的最小值為，故B正確；點(diǎn)到直線的距離，結(jié)合圖象可知點(diǎn)到直線的距離的最大值為，故C正確；由曲線的圖像可知，曲線圍成的圖形有4條對(duì)稱軸，分別是軸、軸、第一、三象限角平分線以及第二、四象限角平分線，故D錯(cuò)誤；故選：D3．（2025·遼寧大連·模擬預(yù)測(cè)）若點(diǎn)為上一動(dòng)點(diǎn)，為直線上一動(dòng)點(diǎn)，其中．記，則最小值的取值范圍是．【答案】.【知識(shí)點(diǎn)】用導(dǎo)數(shù)判斷或證明已知函數(shù)的單調(diào)性、求點(diǎn)到直線的距離、圓上點(diǎn)到定直線（圖形）上的最值（范圍）、直線過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題【分析】首先根據(jù)題意確定直線過(guò)定點(diǎn)，然后分析圖象，確定取最小值時(shí)的位置，得出的最小值為，利用直線的橫截距之差用表示出，然后根據(jù)的范圍求出最小值的范圍.【詳解】因?yàn)橹本€方程為，化簡(jiǎn)得，說(shuō)明直線必過(guò)點(diǎn).由圓心到直線的距離，解得，由題意，所以直線與圓相離.如圖，作一條縱截距為負(fù)數(shù)且平行于的直線與圓相切，要使最小，點(diǎn)應(yīng)位于切點(diǎn)處，作軸交直線于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作直線于點(diǎn).當(dāng)點(diǎn)位于點(diǎn)的左方時(shí)，因?yàn)?，即，則；當(dāng)點(diǎn)位于點(diǎn)的右方時(shí)，同理可得.所以的最小值為.設(shè)直線與圓相切，則有，即，則切線的橫截距為，而直線的橫截距為，所以.設(shè)則，所以在上單調(diào)遞減，且，綜上，最小值的取值范圍是.故答案為：.4．（2025·湖北十堰·三模）定義：表示點(diǎn)到曲線上任意一點(diǎn)的距離的最小值．已知是圓上的動(dòng)點(diǎn)，圓，則的取值范圍為．【答案】【知識(shí)點(diǎn)】圓上點(diǎn)到定直線（圖形）上的最值（范圍）【分析】記為坐標(biāo)原點(diǎn)，作出圖形，求出的取值范圍，即可得出的取值范圍.【詳解】記為坐標(biāo)原點(diǎn)，圓的圓心為原點(diǎn)，圓的半徑為，

由圓的幾何性質(zhì)可知，，且，即，即，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)時(shí)，取最小值，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)時(shí)，取最大值，故.故答案為：.題型08直線與圓的最值與范圍綜合題解｜題｜策｜略主要考察動(dòng)直線、動(dòng)圓、直線上的動(dòng)點(diǎn)、圓上的動(dòng)點(diǎn)等距離相關(guān)的最值與范圍問(wèn)題。利用點(diǎn)到直線的垂線最短、兩點(diǎn)間距離的最短，來(lái)求最短距離由動(dòng)點(diǎn)向圓做切線，考察切線的變化。此時(shí)可以用動(dòng)點(diǎn)與圓心的距離d，半徑r來(lái)求切線長(zhǎng)，在根據(jù)d的變化來(lái)確定切線長(zhǎng)的變化。動(dòng)直線與圓相交弦長(zhǎng)。找到動(dòng)直線過(guò)的定點(diǎn)，則動(dòng)直線過(guò)圓心時(shí)，截的弦最長(zhǎng)，動(dòng)直線與定點(diǎn)圓心確定的直線垂直時(shí)，截的弦最短1．（2025·廣東深圳·模擬預(yù)測(cè)，多選）設(shè)動(dòng)直線：交圓：于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)為圓心），則下列說(shuō)法正確的有（

）A．直線l過(guò)定點(diǎn) B．當(dāng)取得最小值時(shí)，C．當(dāng)最小時(shí)，其余弦值為 D．的最大值為24【答案】AD【知識(shí)點(diǎn)】由直線與圓的位置關(guān)系求參數(shù)、用定義求向量的數(shù)量積、圓的弦長(zhǎng)與中點(diǎn)弦、直線過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題【分析】對(duì)于A將直線方程整理為，令即可求定點(diǎn)，進(jìn)而判斷，對(duì)于B根據(jù)幾何知識(shí)得到當(dāng)直線與過(guò)點(diǎn)和的直線垂直時(shí)，利用即可求解，進(jìn)而判斷，對(duì)于C根據(jù)幾何知識(shí)得到當(dāng)直線與過(guò)點(diǎn)和的直線垂直時(shí)最小，然后利用勾股定理和余弦定理求余弦值即可；對(duì)于D，根據(jù)外心的結(jié)論得到，然后求最值即可.【詳解】對(duì)于A：由有，令有，所以，所以直線l過(guò)定點(diǎn)，故A正確；對(duì)于B：點(diǎn)在圓內(nèi)，圓的圓心為，當(dāng)取得最小值時(shí)，直線與過(guò)點(diǎn)和的直線垂直，所以，解得，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C：當(dāng)最小時(shí)，此時(shí)最小，當(dāng)最小時(shí)，直線與過(guò)點(diǎn)和的直線垂直，則，由余弦定理有，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D：，即的最大值為24，故D正確，故選：AD.2．（2025·湖南·一模，多選）已知圓，直線，點(diǎn)為圓上一點(diǎn)，點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，則下列敘述正確的有（）A．的最小值為B．當(dāng)時(shí)，直線與圓相切C．的最小值為D．若圓上有且僅有三個(gè)點(diǎn)到直線的距離為，則【答案】AC【知識(shí)點(diǎn)】由直線與圓的位置關(guān)系求參數(shù)【分析】對(duì)于A，利用由求解即可；對(duì)于B，利用直線與圓位置關(guān)系求解即可；對(duì)于C，由的幾何意義為圓上一點(diǎn)與原點(diǎn)連線的斜率，結(jié)合斜率公式即可求解；對(duì)于D，根據(jù)幾何關(guān)系，得圓心到直線的距離，利用點(diǎn)到直線的距離公式即可求解.【詳解】已知圓的方程可化為，故圓心，半徑，對(duì)于A：因?yàn)闉閳A上一點(diǎn)，所以，故A正確；對(duì)于B：當(dāng)時(shí)，直線，根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式，得圓心到直線的距離，所以直線與圓不相切，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C的幾何意義為圓上一點(diǎn)與原點(diǎn)連線的斜率，設(shè)，則直線的方程為，當(dāng)直線與圓相切時(shí)，圓心到直線的距離，解得，所以，故C正確；對(duì)于D：因?yàn)閳A的半徑，要使圓上有且僅有三個(gè)點(diǎn)到直線的距離為，則圓心到直線的距離，由點(diǎn)到直線的距離公式，即，解得，故D錯(cuò)誤．故選：AC．3．（2025·遼寧·三模，多選）已知直線與x軸、y軸交于兩點(diǎn)，點(diǎn)P為圓上的動(dòng)點(diǎn)，則（

）A．直線與圓C相離 B．的面積為12C．當(dāng)最小時(shí)， D．點(diǎn)P到直線距離的最大值為【答案】AC【知識(shí)點(diǎn)】切線長(zhǎng)、判斷直線與圓的位置關(guān)系、圓上點(diǎn)到定直線（圖形）上的最值（范圍）【分析】根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系的判定方法，可得判定A正確；由點(diǎn)到直線的距離公式，結(jié)合三角形的面積公式，可判定B錯(cuò)誤；當(dāng)當(dāng)最小時(shí)，直線與圓相切，利用切線長(zhǎng)公式，可判定C正確；根據(jù)圓的性質(zhì)，可得判定D錯(cuò)誤.【詳解】由圓，可得圓心為，半徑為，對(duì)于A中，圓心坐標(biāo)到直線的距離為，所以直線與圓相離，所以A正確；對(duì)于B中，由點(diǎn)C到直線的距離為，則的面積，所以B項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于C中，如圖所示，當(dāng)最小時(shí)，直線與圓相切，此時(shí)，所以C正確；對(duì)于D中，由點(diǎn)P到直線距離的最大值為，所以D錯(cuò)誤．故選：AC.4．（2025·河北·模擬預(yù)測(cè)，多選）已知是圓上的一點(diǎn)，是圓上的一點(diǎn)，為直線上一點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．的最大值為 B．的最小值為C．的最小值為 D．的最大值為【答案】ACD【知識(shí)點(diǎn)】求點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)、圓上點(diǎn)到定直線（圖形）上的最值（范圍）、定點(diǎn)到圓上點(diǎn)的最值（范圍）【分析】對(duì)于A，由兩圓圓心距離加上兩半徑即可得解判斷；對(duì)于B，設(shè)，直接由坐標(biāo)計(jì)算數(shù)量積，再結(jié)合一元二次函數(shù)性質(zhì)即可得解判斷；對(duì)于C，作圓和點(diǎn)N關(guān)于l對(duì)稱的圓和點(diǎn)，由圖即可求解最小值判斷；對(duì)于D，作圖觀察得到當(dāng)P位于N一側(cè)且三點(diǎn)共線時(shí)取得最大值為，再求出最大值即可得解.【詳解】由題意可得圓圓心為，半徑為3，圓圓心為，半徑為1，則兩圓心距離，即兩圓相離，對(duì)于A，由題意可得兩圓上的點(diǎn)的距離最大值為，故A正確；對(duì)于B，由題可設(shè)，則，所以當(dāng)時(shí)，取得最小值為，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，因?yàn)辄c(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱的點(diǎn)為，所以點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱的點(diǎn)為，所以如圖，作圓和點(diǎn)N關(guān)于l對(duì)稱的圓，則由圖可知當(dāng)對(duì)稱圓的圓心和對(duì)稱點(diǎn)以及M、四點(diǎn)共線時(shí)可得的最小值為，故C正確；對(duì)于D，如圖可知當(dāng)P位于N一側(cè)且三點(diǎn)共線時(shí)取得最大值為，而最大值為，故D正確.故選：ACD5．（2025·湖北武漢·三模，多選）已知圓，直線與圓交于，兩點(diǎn)，點(diǎn)為圓上異于，的任意一點(diǎn)，若，，則（

）A．B．面積的最大值為C．直線的方程為D．滿足到直線的距離為的點(diǎn)有且僅有3個(gè)【答案】BD【知識(shí)點(diǎn)】由直線與圓的位置關(guān)系求參數(shù)、圓內(nèi)接三角形的面積、圓上點(diǎn)到定直線（圖形）上的最值（范圍）【分析】根據(jù)給定條件，利用向量夾角公式求解判斷A；利用圓的性質(zhì)求出面積最大值判斷B；求出直線方程判斷C；利用直線與圓的位置關(guān)系判斷D.【詳解】對(duì)于A，依題意，，則，而，解得，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，，圓心到直線距離，因此點(diǎn)到直線距離的最大值為，面積的最大值為，B正確；對(duì)于C，由，得，直線的斜率，設(shè)直線的方程為，則，解得，由，得，即，因此，直線的方程為，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，由圓半徑為，圓心到直線距離為，得圓上到直線距離為的點(diǎn)有且僅有3個(gè)，因此符合條件的點(diǎn)有且僅有3個(gè)，D正確.故選：BD（建議用時(shí)：30分鐘）1．（2025·江西萍鄉(xiāng)·一模）已知直線的斜率為，則的最大值為.【答案】/0.25【知識(shí)點(diǎn)】直線斜率的定義、基本不等式求和的最小值【分析】先求出直線的斜率，化簡(jiǎn)可得，再利用基本不等式即可求得的最大值.【詳解】，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以k的最大值為.故答案為：.2．（2025·安徽合肥·模擬預(yù)測(cè)）長(zhǎng)度為2的線段AB的兩個(gè)端點(diǎn)分別在x軸及y軸上運(yùn)動(dòng)，則線段AB的中點(diǎn)到直線距離的最大值為（

）A．1 B． C．2 D．3【答案】D【知識(shí)點(diǎn)】軌跡問(wèn)題——圓、求點(diǎn)到直線的距離、圓上點(diǎn)到定直線（圖形）上的最值（范圍）【分析】確定的中點(diǎn)的軌跡方程為圓，結(jié)合圓心到直線的距離即可求解.【詳解】設(shè)，由題意可得：，設(shè)的中點(diǎn)坐標(biāo)為，則，所以，即線段的中點(diǎn)的軌跡是以為圓心，1為半徑的圓，圓心到的距離為：，所以線段的中點(diǎn)到直線距離的最大值為，故選：D3．（2025·甘肅白銀·模擬預(yù)測(cè)）已知直線：，是圓：上的一動(dòng)點(diǎn)，則點(diǎn)到直線的距離的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】B【知識(shí)點(diǎn)】直線與圓的位置關(guān)系求距離的最值、圓上點(diǎn)到定直線（圖形）上的最值（范圍）、直線過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題【分析】先將直線方程變形求出直線所過(guò)的定點(diǎn)，再結(jié)合點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，分析點(diǎn)到直線距離的最值情況，進(jìn)而確定距離的取值范圍.【詳解】直線：，可化為，由，解得，，所以過(guò)定點(diǎn)，又因?yàn)辄c(diǎn)在圓上，且，圓的圓心為，半徑，所以當(dāng)，且，，三點(diǎn)共線時(shí)，點(diǎn)到直線的距離最大，最大為，此時(shí)，所以直線的斜率為1，即，無(wú)解，故直線不存在，所以；當(dāng)直線與圓相交或相切時(shí)，點(diǎn)到直線的距離最小，最小為0，故點(diǎn)到直線的距離的取值范圍為．故選：B．4．（2025·甘肅·模擬預(yù)測(cè)）若圓上恰有三個(gè)不同的點(diǎn)到直線的距離為1，則.【答案】【知識(shí)點(diǎn)】由直線與圓的位置關(guān)系求參數(shù)、求點(diǎn)到直線的距離【分析】先求出圓的圓心坐標(biāo)和半徑，以及圓心到的距離，結(jié)合題意可得圓的半徑為，進(jìn)而建立方程求解即可.【詳解】由圓，即，則，圓的圓心坐標(biāo)為，半徑為，圓心到的距離為，因?yàn)閳A上恰有三個(gè)不同的點(diǎn)到的距離為1，所以圓的半徑為，則，解得.故答案為：.5．（2025·吉林·模擬預(yù)測(cè)）平面上的整點(diǎn)（橫縱坐標(biāo)都是整數(shù)的點(diǎn)）到直線的距離的最小值為．【答案】/0.08【知識(shí)點(diǎn)】求點(diǎn)到直線的距離【分析】設(shè)整點(diǎn)，由點(diǎn)到線的距離公式，得到是5的倍數(shù)，進(jìn)而可求解.【詳解】設(shè)整點(diǎn)，則，，，，，是5的倍數(shù)，，，．故答案為：6．（2025·上海松江·二模）已知點(diǎn)為直線上的點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作圓的切線，切點(diǎn)為，則最大值為.【答案】/【知識(shí)點(diǎn)】直線與圓的位置關(guān)系求距離的最值、求點(diǎn)到直線的距離、圓上點(diǎn)到定直線（圖形）上的最值（范圍）【分析】結(jié)合圖象得到，問(wèn)題轉(zhuǎn)化成求最小值即可求解.【詳解】圓的圓心，半徑，，當(dāng)最小時(shí)，最大.的最小值為圓心到直線的距離，根據(jù)點(diǎn)到直線距離公式，所以.故答案為：.

7．（2025·天津·二模）已知點(diǎn)P，Q在直線l：上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)H在圓C：上，且有，則的面積的最大值為.【答案】3【知識(shí)點(diǎn)】由圓心（或半徑）求圓的方程、求點(diǎn)到直線的距離、圓上點(diǎn)到定直線（圖形）上的最值（范圍）【分析】利用圓的性質(zhì)求出點(diǎn)到直線距離的最大值，進(jìn)而求出面積的最大值.【詳解】圓C：的圓心，半徑，則點(diǎn)到直線的距離，因此圓上的點(diǎn)到直線距離的最大值為，又，所以的面積的最大值為.故答案為：38．（2025·四川資陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）數(shù)學(xué)美的表現(xiàn)形式不同于自然美或藝術(shù)美那樣直觀，它蘊(yùn)藏于特有的抽象概念、公式符號(hào)、推理論證、思維方法等之中，揭示了規(guī)律性，是一種科學(xué)的真實(shí)美.在平面直角坐標(biāo)系中，曲線C：就是一條形狀優(yōu)美