2026年數(shù)理統(tǒng)計考試題及答案1.設(shè)隨機變量X的密度函數(shù)為f(x;θ)=θ(1+x)^{-(θ+1)},x>0,θ>0.現(xiàn)從該分布中抽取獨立同分布樣本X?,…,X?.(1)求θ的矩估計量θ?_M，并證明其相合性；(2)求θ的最大似然估計量θ?_L，并給出其漸近分布；(3)構(gòu)造θ的一個無偏估計量θ?_U，使其方差達到Cramér-Rao下界；(4)若n=100，∑ln(1+X?)=120，求θ的95%置信區(qū)間；(5)檢驗H?:θ=2vsH?:θ≠2，顯著性水平α=0.05，給出檢驗統(tǒng)計量、拒絕域及p值計算步驟。答案與解析(1)矩估計E[X]=∫?^∞xθ(1+x)^{-(θ+1)}dx令u=1+x，則E[X]=θ∫?^∞(u-1)u^{-(θ+1)}du=θ[∫?^∞u^{-θ}du-∫?^∞u^{-(θ+1)}du]=θ[1/(θ-1)-1/θ]=1/(θ-1),θ>1.令樣本均值X?=1/(θ?_M-1)，解得θ?_M=1+1/X?.相合性：由大數(shù)定律X?→E[X]=1/(θ-1)a.s.，故θ?_M→θa.s.，相合。(2)最大似然L(θ)=θ?∏(1+X?)^{-(θ+1)}lnL(θ)=nlnθ-(θ+1)∑ln(1+X?)令導(dǎo)數(shù)為0：n/θ-∑ln(1+X?)=0?θ?_L=n/∑ln(1+X?).Fisher信息量：I(θ)=-E[?2lnf/?θ2]=1/θ2，故√n(θ?_L-θ)→N(0,θ2).(3)有效無偏估計考慮統(tǒng)計量T=∑ln(1+X?)，其分布為Gamma(n,θ)，即T~Gamma(n,θ)，密度f_T(t)=θ?t^{n-1}e^{-θt}/Γ(n),t>0.令θ?_U=(n-1)/T，則E[θ?_U]=(n-1)E[1/T]=(n-1)θ/(n-1)=θ，無偏。Var(θ?_U)=(n-1)2Var(1/T).對Gamma(n,θ)，E[1/T2]=θ2/[(n-1)(n-2)]，故Var(1/T)=θ2/[(n-1)(n-2)]-θ2/(n-1)2=θ2/[(n-1)2(n-2)].于是Var(θ?_U)=θ2/(n-2)，而Cramér-Rao下界為1/(nI(θ))=θ2/n，當n→∞時θ2/(n-2)≈θ2/n，達到下界漸近。(4)置信區(qū)間由(2)知θ?_L=n/T，且2θT~χ2_{2n}，故P(χ2_{2n,0.025}≤2θT≤χ2_{2n,0.975})=0.95θ的95%置信區(qū)間為[χ2_{2n,0.025}/(2T),χ2_{2n,0.975}/(2T)]n=100，T=120，查表χ2_{200,0.025}=162.7，χ2_{200,0.975}=241.1區(qū)間=[162.7/(2×120),241.1/(2×120)]=[0.678,1.005].(5)假設(shè)檢驗似然比統(tǒng)計量Λ=2[lnL(θ?_L)-lnL(2)]=2[nln(θ?_L/2)-(θ?_L-2)T]代入n=100，T=120，θ?_L=100/120=0.833Λ=2[100ln(0.833/2)-(0.833-2)×120]=2[-100×0.875+200.04]=250.08拒絕域Λ>χ2_{1,0.95}=3.841，顯然250.08>3.841，拒絕H?.p值=P(χ2?>250.08)≈0.2.設(shè)(X,Y)服從二元正態(tài)，均值向量(0,0)，協(xié)方差矩陣Σ=[[1,ρ],[ρ,1]],|ρ|<1.現(xiàn)得樣本(X?,Y?),i=1,…,n，記樣本相關(guān)系數(shù)R=∑(X?-X?)(Y?-Y?)/√[∑(X?-X?)2∑(Y?-Y?)2].(1)求R的密度函數(shù)；(2)構(gòu)造ρ的一個無偏估計量ρ?，并計算其方差；(3)檢驗H?:ρ=0vsH?:ρ≠0，給出精確檢驗統(tǒng)計量及臨界值；(4)若n=20，R=0.68，求ρ的95%置信區(qū)間；(5)設(shè)Z=?ln[(1+R)/(1-R)]，求E[Z]與Var(Z)至O(1/n)項，并說明Z的正態(tài)近似精度。答案與解析(1)樣本相關(guān)系數(shù)密度已知對二元正態(tài)，R的密度為f_R(r)=((1-ρ2)^{(n-1)/2}/B(?,?(n-2)))(1-r2)^{(n-4)/2}(1-ρr)^{-(n-1)},|r|<1其中B為Beta函數(shù)。(2)無偏估計E[R]=ρ-ρ(1-ρ2)/(2n)+O(1/n2)故ρ?=R[1+1/(2n)]為近似無偏，方差Var(ρ?)=(1-ρ2)2/n+O(1/n2).(3)精確檢驗在H?:ρ=0下，T=R√(n-2)/√(1-R2)~t_{n-2}拒絕域|T|>t_{n-2,1-α/2}.(4)置信區(qū)間用FisherZ變換：Z=?ln[(1+R)/(1+R)]，則Z~N(ζ,1/(n-3))，其中ζ=?ln[(1+ρ)/(1-ρ)]95%區(qū)間：Z±1.96/√(n-3)反變換得ρ區(qū)間：[tanh(Z-1.96/√17),tanh(Z+1.96/√17)]R=0.68?Z=0.829區(qū)間=[tanh(0.829-0.475),tanh(0.829+0.475)]=[0.36,0.86].(5)Z的矩E[Z]=ζ+ρ/(2n)+O(1/n2)Var(Z)=1/(n-3)+O(1/n2)正態(tài)近似誤差為O(1/n)，n≥20時誤差<0.05.3.設(shè)Y?=βx?+ε?，ε?~N(0,σ2)，x?>0已知，i=1,…,n.(1)求β的最小二乘估計β?及其分布；(2)求σ2的無偏估計σ?2；(3)構(gòu)造β的一個1-α置信區(qū)間；(4)預(yù)測新觀測Y?=βx?+ε?，x?已知，求Y?的1-α預(yù)測區(qū)間；(5)若n=30，∑x?2=120，∑x?Y?=180，∑Y?2=320，求β與σ2的估計值及β的95%區(qū)間。答案與解析(1)最小化∑(Y?-βx?)2?β?=∑x?Y?/∑x?2β?~N(β,σ2/∑x?2).(2)σ?2=∑(Y?-β?x?)2/(n-1)E[σ?2]=σ2.(3)(β?-β)√∑x?2/σ?~t_{n-1}區(qū)間：β?±t_{n-1,1-α/2}σ?/√∑x?2.(4)預(yù)測誤差Y?-Y??~N(0,σ2(1+x?2/∑x?2))區(qū)間：β?x?±t_{n-1,1-α/2}σ?√(1+x?2/∑x?2).(5)代入β?=180/120=1.5殘差平方和=320-1.5×180=50σ?2=50/29=1.724t_{29,0.975}=2.045β的95%區(qū)間：1.5±2.045×√1.724/√120=[1.28,1.72].4.設(shè)X?,…,X?來自密度f(x;λ)=λe^{-λx},x>0,λ>0.(1)求λ的矩估計λ?_M；(2)求λ的MLEλ?_L及其精確分布；(3)構(gòu)造λ的UMVUE；(4)檢驗H?:λ=1vsH?:λ>1，取拒絕域{X?<c}，求c使檢驗水平為α；(5)若n=25，X?=0.8，求λ的95%置信上限。答案與解析(1)E[X]=1/λ?λ?_M=1/X?.(2)λ?_L=1/X?，且2nλX?~χ2_{2n}.(3)UMVUE：λ?_U=(n-1)/(nX?)，因E[1/X?]=λn/(n-1).(4)在H?下X?~Gamma(n,1)，P(X?<c)=α?c=G?1(α;n,1)，G為Gammacdf.(5)2nλX?~χ2_{2n}?λ的上限：χ2_{2n,0.95}/(2nX?)查χ2_{50,0.95}=67.5，上限=67.5/(2×25×0.8)=1.688.5.設(shè)隨機變量X取值于{0,1,2,…}，滿足P(X=k)=p_k(θ)=θ^ke^{-θ}/k!,θ>0.現(xiàn)觀測得樣本X?,…,X?，令T=∑X?.(1)證明T為θ的完備充分統(tǒng)計量；(2)求θ的MLEθ?_L；(3)求θ的UMVUE；(4)構(gòu)造θ的精確1-α置信區(qū)間；(5)若n=10，T=45，求θ的95%區(qū)間。答案與解析(1)指數(shù)族形式：p_k(θ)=exp(klnθ-θ)/k!，自然參數(shù)η=lnθ，充分統(tǒng)計量T=∑X?，支撐與θ無關(guān)，故T完備充分。(2)θ?_L=T/n.(3)UMVUE：θ?_U=T/n，因無偏且為充分完備統(tǒng)計量的函數(shù)。(4)T~Poisson(nθ)，精確區(qū)間用Cl