北師版-數(shù)學-八年級下冊第一章三角形的證明及其應用1三角形內角和定理第4課時多邊形的外角和情景導入如圖，小剛在公園沿著五邊形步道按逆時針方向慢跑.ABECD【探究】多邊形的外角和定理探究新知(1)小剛每次從五邊形步道的一條邊轉到下一條邊時，跑步方向改變的角是哪個角?在圖上標出這些角.12345ABECD因為小剛跑完一圈后方向和出發(fā)時方向一樣，(2)他每跑完一圈，跑步方向改變的角的總和是多少度?12345ABECD(2)360°.所以跑步方向改變的角的總和是∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=360°.思考如果公園步道的形狀是六邊形、八邊形，那么結果會怎樣?跑完一圈后方向和出發(fā)時方向一樣，所以跑步方向改變的角的總和是360°.所以公園步道的形狀是六邊形、八邊形時，改變的角的總和仍為360°.多邊形內角的一條邊與另一條邊的反向延長線所組成的角，叫作這個多邊形的外角.如圖，∠1，∠2，∠3，∠4，∠5分別是五邊形ABCDE的外角.你知道n邊形有幾個外角嗎?如圖，∠6也是五邊形ABCDE的外角,所以n邊形有2n個外角.6在每個頂點處取這個多邊形的一個外角，它們的和叫作這個多邊形的外角和.通過前面的探究可以發(fā)現(xiàn)：五邊形、六邊形、八邊形的外角和為360°.如圖，五邊形ABCDE的外角和為∠1+∠2+∠3+∠4+∠5.現(xiàn)以五邊形為例，證明這一結論.∵∠1+∠EAB=180°，∠2+∠ABC=180°，∠3+∠BCD=180°，∠4+∠CDE=180°，∠5+∠DEA=180°，∴∠1+∠EAB+∠2+∠ABC+∠3+∠BCD+∠4+∠CDE+∠5+∠DEA=900°，∵五邊形的內角和為（5-2）×180°=540°，即∠EAB+∠ABC+∠BCD+∠CDE+∠DEA=540°，∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=360°.如果是n邊形，它的外角和是多少呢?猜想：n邊形的外角和都是360°.理由：∵n邊形的每個內角與它相鄰的外角是互補的角，它們的和是180°，∴n邊形的內角和+n邊形的外角和=n·180°，又∵n邊形的內角和為(n-2)×180°，∴n邊形的外角和為n·180°-(n-2)·180°=360°．定理多邊形的外角和等于360°.注意：多邊形的外角和恒等于360°，與邊數(shù)的多少沒有關系.例1一個多邊形的內角和等于它的外角和的3倍，它是幾邊形?解：設這個多邊形是n邊形，則它的內角和等于(n-2)·180°，外角和等于360°，根據(jù)題意，得(n-2)·180°=3×360°.解得n=8.所以，這個多邊形是八邊形.研究多邊形的內角和與外角和的過程中，采用了哪些方法?

思考·交流轉化方法，即將一個多邊形轉化為多個三角形，由三角形的內角和求多邊形的內角和.多邊形的外角與和它相鄰的內角構成平角，由平角和與內角和求出外角和.【例1】若正n邊形的一個外角為36°，則n的值為____；若正n邊形的一個外角為60°，則n的值為____．此類題目知道內角和與外角和的關系，往往通過列方程解決．【例2】若一個多邊形的內角和是其外角和的2倍，則這個多邊形的邊數(shù)是____．【例3】一個正多邊形每個外角都是60°，那么這個正多邊形的內角和是______．應用舉例1066720°【例4】一個n邊形變成(n＋1)邊形，外角和將

()A．減少180°

B．增加90°C．增加180°

D．不變【例5】正六邊形的一個內角是正n邊形一個外角的4倍，則n的值為____．D12【例6】如圖所示的六邊形花環(huán)是用六個大小和形狀完全一樣的直角三角形拼成的，則∠ABC的度數(shù)為_______．30°【例7】如圖，在五邊形ABCDE中，AB∥CD，∠1，∠2，∠3分別是∠BAE，∠AED，∠EDC的外角，則∠1＋∠2＋∠3等于

()A．90°

B．180°

C．120°

D．270°B【例8】將兩張三角形紙片如圖所示擺放，量得∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝220°，則∠5的度數(shù)為_______．40°【例9】如圖，小明從A點出發(fā)，沿直線前進8m后左轉40°，再沿直線前進8m后左轉40°，照這樣走下去，當他第一次回到出發(fā)點A時，請問：(1)整個行走路線是什么圖形？(2)一共走了多少米？解：(1)設行走的路線是正n邊形．

∴行走路線是正九邊形．(2)8×9＝72(m).答：一共走了72m．【例10】一個多邊形的內角和等于它的外角和的3倍，它是幾邊形？【方法指導】多邊形的內角和等于(n－2)×180°，外角和是360°.解：設這個多邊形是n邊形，則它的內角和是(n－2)·180°，外角和等于360°.根據(jù)題意，得(n－2)·180°＝3×360°，解得n＝8.∴這個多邊形是八邊形．【例11】(1)如圖①，△ABC的各邊長都大于2，分別以頂點A，B，C為圓心，以1為半徑畫圓，則陰影部分的面積為________；【方法指導】圖①中各個陰影扇形之和正好分別構成0.5個半徑是1的圓，根據(jù)圓的面積公式即可求解，然后根據(jù)規(guī)律推導出n邊形的面積．

(2)如圖②，將(1)中的△ABC換成四邊形ABCD，其他條件不變，則陰影部分的面積為________；(3)如圖③，將四邊形換成五邊形，則陰影部分的面積為________；(2)π【方法指導】圖②③中各個陰影扇形之和正好分別構成1個、1.5個半徑是1的圓，根據(jù)圓的面積公式即可求解，然后根據(jù)規(guī)律推導出n邊形的面積．

(4)根據(jù)(1)(2)(3)中的結論，你能總結n邊形的情況嗎？歸納總結多邊形的外角和定理在每個頂點處取這個多邊形的一個外角，它們的和叫作這個多邊形的外角和

多邊形的外角和等于360°多邊形內角的一條邊與另一條邊的反向延長線所組成的角多邊形的外角多邊形的外角和多邊形的外角和定理隨堂練習1．一個多邊形的每個內角均為140°，則這個多邊形是

()A．十一邊形

B．十二邊形C．八邊形

D．九邊形D2．一個多邊形的內角和與外角和之比是11∶2，那么這個多邊形的邊數(shù)是()A．13 B．12C．11 D．10A3．一個正多邊形的一個外角是60°，則這個正多邊形的內角和是________．4．如圖，在六邊形ABCDEF中，AF∥BC，則∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝_______．720°180°5．如圖，小亮從點A出發(fā)前進5m，向右轉15°，再前進5m，又向右轉15°……這樣一直走下去，