1、2016年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)合競賽一試（A卷）說明：1. 評(píng)閱試卷時(shí)，請依據(jù)本評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)填空題只設(shè)8分和0分兩檔；其他各題的評(píng)閱，請嚴(yán)格按照本評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)的評(píng)分檔次給分，不要增加其他中間檔次2. 如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步驟正確，在評(píng)卷時(shí)可參考本評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)適當(dāng)劃分檔次給分，解答題中第9小題4分為一個(gè)檔次，第10、11小題5分一個(gè)檔次，不要增加其他中間檔次一、填空題：本大題共8小題，每小題8分，共64分1設(shè)實(shí)數(shù)滿足，則的取值范圍是 答案：解：由可得，原不等式可變形為即，所以又，故2設(shè)復(fù)數(shù)滿足，其中是虛數(shù)單位，分別表示的共軛復(fù)數(shù)，則的模為 答案：解：由運(yùn)算性質(zhì)，因?yàn)榕c為實(shí)數(shù)，故，又，所以

2、，從而因此，的模為3正實(shí)數(shù)均不等于1，若，則的值為 答案：解：令，則，條件化為，由此可得，因此4袋子A中裝有2張10元紙幣和3張1元紙幣，袋子B中裝有4張5元紙幣和3張1元紙幣現(xiàn)隨機(jī)從兩個(gè)袋子中各取出兩張紙幣，則A中剩下的紙幣面值之和大于B中剩下的紙幣面值之和的概率為 答案：解：一種取法符合要求，等價(jià)于從A中取走的兩張紙幣的總面值小于從B中取走的兩張紙幣的總面值，從而故只能從A中國取走兩張1元紙幣，相應(yīng)的取法數(shù)為又此時(shí)，即從B中取走的兩張紙幣不能都是1元紙幣，相應(yīng)有種取法因此，所求的概率為5設(shè)P為一圓錐的頂點(diǎn)，A，B，C是其底面圓周上的三點(diǎn)，滿足=90，M為AP的中點(diǎn)若AB=1，AC=2，則二

3、面角MBCA的大小為 答案：解：由=90知，AC為底面圓的直徑設(shè)底面中心為O，則平面ABC，易知，進(jìn)而設(shè)H為M在底面上的射影，則H為AO的中點(diǎn)在底面中作于點(diǎn)K，則由三垂線定理知，從而為二面角MBCA的平面角因，結(jié)合與平行知，即，這樣故二面角MBCA的大小為6設(shè)函數(shù)，其中是一個(gè)正整數(shù)若對任意實(shí)數(shù)，均有，則的最小值為 答案：16解：由條件知， 其中當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取到最大值根據(jù)條件知，任意一個(gè)長為1的開區(qū)間至少包含一個(gè)最大值點(diǎn)，從而，即反之，當(dāng)時(shí)，任意一個(gè)開區(qū)間均包含的一個(gè)完整周期，此時(shí)成立綜上可知，正整數(shù)的最小值為7雙曲線C的方程為，左、右焦點(diǎn)分別為、，過點(diǎn)作直線與雙曲線C的右半支交于點(diǎn)P，Q，使得

4、=90，則的內(nèi)切圓半徑是 答案：解：由雙曲線的性質(zhì)知，因=90，故，因此從而直角的內(nèi)切圓半徑是8設(shè)是1，2，100中的4個(gè)互不相同的數(shù)，滿足則這樣的有序數(shù)組的個(gè)數(shù)為 答案：40解：由柯西不等式知，等號(hào)成立的充分必要條件是，即成等比數(shù)列于是問題等價(jià)于計(jì)算滿足的等比數(shù)列的個(gè)數(shù)設(shè)等比數(shù)列的公比，且為有理數(shù)記，其中為互素的正整數(shù)，且先考慮的情況此時(shí)，注意到互素，故為正整數(shù) 相應(yīng)地，分別等于，它們均為正整數(shù)這表明，對任意給定的，滿足條件并以為公比的等比數(shù)列的個(gè)數(shù)，即為滿足不等式的正整數(shù)的個(gè)數(shù)，即由于，故僅需考慮這些情況，相應(yīng)的等比數(shù)列的個(gè)數(shù)為當(dāng)時(shí)，由對稱性可知，亦有20個(gè)滿足條件的等比數(shù)列綜上可知，共有

5、40個(gè)滿足條件的有序數(shù)組二、解答題：本大題共3小題，共56分解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟9（本題滿分16分）在中，已知求的最大值解：由數(shù)量積的定義及余弦定理知，同理得，故已知條件化為即8分由余弦定理及基本不等式，得所以12分等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)因此的最大值是16分10（本題滿分20分）已知是R上的奇函數(shù)，且對任意，均有求的值解：設(shè)=1，2，3，），則在中取，注意到，及為奇函數(shù)可知5分即，從而10分因此20分11（本題滿分20分）如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中，F(xiàn)是軸正半軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)以F為焦點(diǎn)，O為頂點(diǎn)作拋物線C設(shè)P是第一象限內(nèi)C上的一點(diǎn)，Q是軸負(fù)半軸上一點(diǎn)，使得PQ為C的切線，且PQ=2.圓均與直線OP相切于點(diǎn)P，且均與軸相切求點(diǎn)F的坐標(biāo)，使圓與的面積之和取到最小值解：設(shè)拋物線C的方程是，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為，并設(shè)的圓心分別為設(shè)直線PQ的方程為，將其與C的方程聯(lián)立，消去可知因?yàn)镻Q與C相切于點(diǎn)P，所以上述方程的判別式為，解得進(jìn)而可知，點(diǎn)P的坐標(biāo)為于是由PQ=2可得 5分注意到OP與圓相切于點(diǎn)P，所以設(shè)圓與軸分別相切于點(diǎn)M，N，則分別是的平分線，故=90從而由射影定理知結(jié)合，就有 10