1、3.1變化率與導數(shù),1.函數(shù)的平均變化率及其意義,名師點撥x是一個整體符號,而不是與x相乘,它表示自變量的改變量,可以為正,也可以為負,但不能等于零;y是相應(yīng)函數(shù)值的改變量,它可以為正,可以為負,也可以等于零,若x=x1-x2,則y=f(x1)-f(x2).,【做一做1】(1)下列說法錯誤的是()A.函數(shù)的平均變化率可以大于零B.函數(shù)的平均變化率可以小于零C.函數(shù)的平均變化率可以等于零D.函數(shù)的平均變化率不能等于零(2)函數(shù)在區(qū)間2,4上的平均變化率等于.,2.瞬時速度若物體運動的路程與時間的關(guān)系式是s=f(t),當t趨近于0時,函數(shù)f(t)在t0到t0+t之間的平均變化率趨近于一個常數(shù),這個

2、常數(shù)叫做物體在t0時刻的瞬時速度.【做一做2】如果質(zhì)點M按照規(guī)律s(t)=2t2+1作直線運動(位移單位:m,時間單位:s),則該質(zhì)點在t=3s時的瞬時速度等于.,名師點撥對于導數(shù)的概念,應(yīng)注意以下幾點:(1)函數(shù)應(yīng)在點x0的附近有定義,否則導數(shù)不存在;(2)導數(shù)是一個局部概念,它只與函數(shù)y=f(x)在x=x0及其附近的函數(shù)值有關(guān),與x無關(guān);(3)導數(shù)是一個常數(shù),而不是變量,其實質(zhì)是一個極限值.,【做一做3】利用導數(shù)定義求函數(shù)f(x)=3x-2在x=5處的導數(shù).,4.導數(shù)的意義,【做一做4】若函數(shù)f(x)在x=-2處的導數(shù)f(-2)=1,則曲線f(x)在(-2,f(-2)處的切線的傾斜角等于.

3、解析:由于斜率k=f(-2)=1,而tan45=1,所以傾斜角=45.答案:45,5.導函數(shù)對于函數(shù)y=f(x),當x=x0時,f(x0)是一個確定的數(shù),當x變化時,f(x)便是x的一個函數(shù),我們稱它為函數(shù)y=f(x)的導函數(shù)(簡稱為導數(shù)),即名師點撥導數(shù)與導函數(shù)之間既有區(qū)別又有聯(lián)系,一般地,導數(shù)是對一個點而言的,它是一個確定的值,與給定的函數(shù)及x(或x0)的位置有關(guān),而與x無關(guān);導函數(shù)是對一個區(qū)間而言的,它是一個確定的函數(shù),依賴于函數(shù)本身,與x,x均無關(guān).【做一做5】若函數(shù)f(x)的導數(shù)f(x)=-3x2+x+1,則f(-1)=.解析:f(-1)=-3(-1)2+(-1)+1=-3.答案:-

4、3,思考辨析判斷下列說法是否正確,正確的在后面的括號內(nèi)打“”,錯誤的打“”.(1)平均變化率等于0時,說明函數(shù)沒有發(fā)生變化.()(2)函數(shù)f(x)在x0處的導數(shù)實質(zhì)就是函數(shù)f(x)在x0處的瞬時變化率.()(3)函數(shù)f(x)在x0處的導數(shù)與x無關(guān),只與x0有關(guān).()(4)曲線的切線與曲線只有一個公共點.()(5)曲線y=f(x)的過點(x1,y1)的切線的斜率為f(x1).()答案:(1)(2)(3)(4)(5),探究一,探究二,探究三,思維辨析,函數(shù)的平均變化率及其意義【例1】(1)函數(shù)在區(qū)間1,3上的平均變化率等于,在區(qū)間x0,x0+x上的平均變化率等于.(2)已知點A(x1,y1),B(

5、x2,y2)在函數(shù)f(x)的圖象上,若f(x)從x1到x2的平均變化率為,則曲線y=f(x)的割線AB的傾斜角等于.思路點撥:(1)根據(jù)平均變化率的定義求解;(2)根據(jù)函數(shù)平均變化率的幾何意義求解.,探究一,探究二,探究三,思維辨析,探究一,探究二,探究三,思維辨析,反思感悟求函數(shù)的平均變化率可根據(jù)定義代入公式直接求解,解題的關(guān)鍵是弄清自變量的改變量x與函數(shù)值的改變量y,其步驟如下:(1)先計算函數(shù)值的改變量y=f(x1)-f(x0);(2)再計算自變量的改變量x=x1-x0;(3)得平均變化率,探究一,探究二,探究三,思維辨析,變式訓練1(1)已知函數(shù)f(x)=-x2+x,則f(x)從-1到

6、-0.9的平均變化率為()A.3B.0.29C.2.09D.2.9(2)質(zhì)點運動規(guī)律s(t)=2t+3,則t從3到3.3內(nèi),質(zhì)點運動的平均速度為()A.9B.9.6C.2D.0.2,探究一,探究二,探究三,思維辨析,求函數(shù)的導數(shù)【例2】(1)求函數(shù)f(x)=-x2+3x的導數(shù);(2)求函數(shù)在x=-1處的導數(shù).思路點撥:(1)可按照函數(shù)導數(shù)的定義分步求解;(2)可以直接利用函數(shù)在某一點處的導數(shù)的定義求解,也可先求出函數(shù)的導函數(shù),再計算導函數(shù)在x=-1處的函數(shù)值.,探究一,探究二,探究三,思維辨析,探究一,探究二,探究三,思維辨析,探究一,探究二,探究三,思維辨析,探究一,探究二,探究三,思維辨析

7、,導數(shù)的幾何意義及其應(yīng)用【例3】(1)已知曲線y=2x3上一點A(1,2),則點A處的切線的斜率等于()A.0B.2C.4D.6,思路點撥:(1)根據(jù)導數(shù)的幾何意義,只需求出函數(shù)在x=1處的導數(shù)值,即得圖象在點A處的切線的斜率;(2)利用導數(shù)的幾何意義求出圖象在點P處的切線的斜率,再根據(jù)直線方程的點斜式求得直線方程.,探究一,探究二,探究三,思維辨析,探究一,探究二,探究三,思維辨析,反思感悟1.利用導數(shù)的幾何意義求曲線y=f(x)在點(x0,f(x0)處的切線方程的步驟:(1)求出函數(shù)f(x)在x0處的導數(shù),即得切線的斜率;(2)根據(jù)直線方程的點斜式可得切線方程為y-f(x0)=f(x0)(

8、x-x0).2.運用導數(shù)的幾何意義解決切線問題時,一定要注意所給的點是否恰好在曲線上,若點在曲線上,則該點的導數(shù)值就是該點處的切線的斜率;否則,該點的導數(shù)值就不是過該點的切線的斜率.,探究一,探究二,探究三,思維辨析,變式訓練3(1)已知二次函數(shù)f(x)圖象的頂點坐標為(1,2),則f(1)的值為()A.1B.2C.3D.0(2)曲線y=x2+1在點P(1,2)處的切線方程為.解析:(1)二次函數(shù)f(x)在圖象的頂點處的切線與x軸平行,斜率為0,因此f(1)=0.(2)函數(shù)y=x2+1在點P(1,2)處的導數(shù)所以切線方程為y-2=2(x-1),即2x-y=0.答案:(1)D(2)2x-y=0,探究一,探究二,探究三,思維辨析,求切線方程時忽視判斷點是否在曲線上致誤,探究一,探究二,探究三,思維辨析,糾錯心得在利用導數(shù)的幾何意義求解切線問題時,首先應(yīng)判斷點是否在曲線上,只有點在曲線上時曲線在該點處的切線的斜率才等于函數(shù)在該點處的導數(shù)值;如果點不在曲線上,則應(yīng)另設(shè)切點,再利用導數(shù)的幾何意義求解.,探究一,探究二,探究三,思維辨析,跟蹤訓練已知曲