1、2020/6/19,高數(shù)同濟六版,第三節(jié),一、函數(shù)項級數(shù)的概念,二、冪級數(shù)及其收斂性,三、冪級數(shù)的運算,冪級數(shù),第十二章,2020/6/19,高數(shù)同濟六版,一、函數(shù)項級數(shù)的概念,設,為定義在區(qū)間I上的函數(shù)項級數(shù).,對,若常數(shù)項級數(shù),斂點,所有收斂點的全體稱為其收斂域;,若常數(shù)項級數(shù),為定義在區(qū)間I上的函數(shù),稱,收斂,發(fā)散,所有,為其收,為其發(fā)散點,發(fā)散點的全體稱為其發(fā)散域.,2020/6/19,高數(shù)同濟六版,為級數(shù)的和函數(shù),并寫成,若用,令余項,則在收斂域上有,表示函數(shù)項級數(shù)前n項的和,即,在收斂域上,函數(shù)項級數(shù)的和是x的函數(shù),稱它,2020/6/19,高數(shù)同濟六版,例如,等比級數(shù),它的收斂域

2、是,它的發(fā)散域是,或?qū)懽?又如,級數(shù),級數(shù)發(fā)散;,所以級數(shù)的收斂域僅為,有和函數(shù),2020/6/19,高數(shù)同濟六版,二、冪級數(shù)及其收斂性,形如,的函數(shù)項級數(shù)稱為冪級數(shù),其中數(shù)列,下面著重討論,例如,冪級數(shù),為冪級數(shù)的系數(shù).,即是此種情形.,的情形,即,稱,2020/6/19,高數(shù)同濟六版,收斂,發(fā)散,定理1.(Abel定理),若冪級數(shù),則對滿足不等式,的一切x冪級數(shù)都絕對收斂.,反之,若當,的一切x,該冪級數(shù)也發(fā)散.,時該冪級數(shù)發(fā)散,則對滿足不等式,證:設,收斂,則必有,于是存在,常數(shù)M0,使,阿貝爾,2020/6/19,高數(shù)同濟六版,當時,收斂,故原冪級數(shù)絕對收斂.,也收斂,反之,若當,時該

3、冪級數(shù)發(fā)散,下面用反證法證之.,假設有一點,滿足不等式,所以若當,滿足,且使級數(shù)收斂,面的證明可知,級數(shù)在點,故假設不真.,的x,原冪級數(shù)也發(fā)散.,時冪級數(shù)發(fā)散,則對一切,則由前,也應收斂,與所設矛盾,證畢,2020/6/19,高數(shù)同濟六版,冪級數(shù)在(,+)收斂;,由Abel定理可以看出,中心的區(qū)間.,用R表示冪級數(shù)收斂與發(fā)散的分界點,的收斂域是以原點為,則,R=0時,冪級數(shù)僅在x=0收斂;,R=+時,冪級數(shù)在(R,R)收斂;,(R,R)加上收斂的端點稱為收斂域.,R稱為收斂半徑，,在R,R,可能收斂也可能發(fā)散.,外發(fā)散;,在,(R,R)稱為收斂區(qū)間.,收斂,發(fā)散,2020/6/19,高數(shù)同濟

4、六版,定理2.若,的系數(shù)滿足,證:,1)若0,則根據(jù)比值審斂法可知:,當,原級數(shù)收斂;,當,原級數(shù)發(fā)散.,即,時,1)當0時,2)當0時,3)當+時,即,時,則,2020/6/19,高數(shù)同濟六版,2)若,則根據(jù)比值審斂法可知,絕對收斂,3)若,則對除x=0以外的一切x原級發(fā)散,對任意x原級數(shù),因此,因此,的收斂半徑為,說明:據(jù)此定理,因此級數(shù)的收斂半徑,2020/6/19,高數(shù)同濟六版,對端點x=1,的收斂半徑及收斂域.,解:,對端點x=1,收斂;,級數(shù)為,發(fā)散.,故收斂域為,例1.求冪級數(shù),級數(shù)為交錯級數(shù),2020/6/19,高數(shù)同濟六版,例2.求下列冪級數(shù)的收斂域:,解:(1),所以收斂域

5、為,(2),所以級數(shù)僅在x=0處收斂.,規(guī)定:0!=1,2020/6/19,高數(shù)同濟六版,例3.,的收斂半徑.,解:級數(shù)缺少奇次冪項,不能直接應用定理2,比值審斂法求收斂半徑.,時級數(shù)收斂,時級數(shù)發(fā)散,故收斂半徑為,故直接由,2020/6/19,高數(shù)同濟六版,例4.,的收斂域.,解:令,級數(shù)變?yōu)?當t=2時,級數(shù)為,此級數(shù)發(fā)散;,當t=2時,級數(shù)為,此級數(shù)條件收斂;,因此級數(shù)的收斂域為,故原級數(shù)的收斂域為,即,2020/6/19,高數(shù)同濟六版,三、冪級數(shù)的運算,定理3.設冪級數(shù),及,的收斂半徑分別為,令,則有:,其中,以上結論可用部分和的極限證明.,2020/6/19,高數(shù)同濟六版,說明:,兩

6、個冪級數(shù)相除所得冪級數(shù)的收斂半徑可能比,原來兩個冪級數(shù)的收斂半徑小得多.,例如,設,它們的收斂半徑均為,但是,其收斂半徑只是,2020/6/19,高數(shù)同濟六版,定理4若冪級數(shù),的收斂半徑,(證明見第六節(jié)),則其和函,在收斂域上連續(xù),且在收斂區(qū)間內(nèi)可逐項求導與,逐項求積分,運算前后收斂半徑相同:,注:逐項積分時,運算前后端點處的斂散性不變.,2020/6/19,高數(shù)同濟六版,解:由例2可知級數(shù)的收斂半徑R+.,例5.,則,故有,故得,的和函數(shù).,因此得,設,2020/6/19,高數(shù)同濟六版,例6.,的和函數(shù),解:易求出冪級數(shù)的收斂半徑為1,x1時級數(shù)發(fā),散,2020/6/19,高數(shù)同濟六版,例7

7、.求級數(shù),的和函數(shù),解:易求出冪級數(shù)的收斂半徑為1,及,收斂,x=1時級數(shù)發(fā)散,2020/6/19,高數(shù)同濟六版,因此由和函數(shù)的連續(xù)性得:,而x=0時級數(shù)收斂于1,及,2020/6/19,高數(shù)同濟六版,例8.,解:設,則,2020/6/19,高數(shù)同濟六版,而,故,2020/6/19,高數(shù)同濟六版,內(nèi)容小結,1.求冪級數(shù)收斂域的方法,1)對標準型冪級數(shù),先求收斂半徑,再討論端點的收斂性.,2)對非標準型冪級數(shù)(缺項或通項為復合式),求收斂半徑時直接用比值法或根值法,2.冪級數(shù)的性質(zhì),兩個冪級數(shù)在公共收斂區(qū)間內(nèi)可進行加、減與,也可通過換元化為標準型再求.,乘法運算.,例3,例4,2020/6/19

8、,高數(shù)同濟六版,2)在收斂區(qū)間內(nèi)冪級數(shù)的和函數(shù)連續(xù);,3)冪級數(shù)在收斂區(qū)間內(nèi)可逐項求導和求積分.,思考與練習,1.已知,處條件收斂,問該級數(shù)收斂,半徑是多少?,答:,根據(jù)Abel定理可知,級數(shù)在,收斂,時發(fā)散.,故收斂半徑為,例6,3.求和函數(shù)的常用方法,利用冪級數(shù)的性質(zhì),例7,2020/6/19,高數(shù)同濟六版,2.在冪級數(shù),中,n為奇數(shù),n為偶數(shù),能否確定它的收斂半徑不存在?,答:不能.,因為,當,時級數(shù)收斂,時級數(shù)發(fā)散,說明:可以證明,比值判別法成立,根值判別法成立,2020/6/19,高數(shù)同濟六版,P2751(1),(3),(5),(7),(8)2(1),(3)P3207(1),(4)8(1),(3),作業(yè),第四節(jié),阿貝爾(18021829),挪威數(shù)學家,近代數(shù)學發(fā)展的先驅(qū)者.,他在22歲時就解決了用根式解5次方程,的不可能性問題,他還研究了更廣的一,并稱之為阿貝爾群.,在級數(shù)研究中,他得,到了一些判斂準則及冪級數(shù)求和定理.,論的奠基人之一