1、.,1,第五節(jié) 控制系統(tǒng)靈敏度分析,控制系統(tǒng)在參數(shù)變化時(shí)的靈敏度是一個(gè)非常重要的概念。在開(kāi)環(huán)系統(tǒng)中，所有的變化都會(huì)導(dǎo)致系統(tǒng)的輸出產(chǎn)生偏差，并且系統(tǒng)自身沒(méi)有能力消除這一偏差，這是由于開(kāi)環(huán)系統(tǒng)沒(méi)有反饋的緣故。但是，閉環(huán)系統(tǒng)能夠察覺(jué)到輸出所產(chǎn)生的偏差，并試圖修正輸出，這正是閉環(huán)反饋控制系統(tǒng)的一個(gè)主要好處，就是具有減少系統(tǒng)靈敏度的能力。,.,2,對(duì)于閉環(huán)系統(tǒng) 的情況，如果在所關(guān)心的復(fù)數(shù)域內(nèi)，都有： (3.71) 成立，則可得到： (3.72) 那么，輸出僅受到H(s)的影響，而且H(s)有可能是一個(gè)常數(shù)。如果H(s)=1，得到的結(jié)果正是期望的輸入值，那就是，輸出等于輸入。但是，在對(duì)閉環(huán)控制系統(tǒng)應(yīng)用式(

2、3.72)這樣一個(gè)近似之前，必須注意式(3.71)這一前提條件，可能會(huì)導(dǎo)致系統(tǒng)的響應(yīng)為劇烈振蕩，甚至于不穩(wěn)定。盡管如此，增加開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)G(s)H(s)的大小會(huì)導(dǎo)致G(s)對(duì)輸出影響減少的事實(shí)是一個(gè)極有用的概念。因此，反饋控制系統(tǒng)的最重要優(yōu)勢(shì)就是被控過(guò)程參數(shù)G(s)變化的影響被減少了。,|G(s)H(s)|1,.,3,為描述參數(shù)變化的影響，假設(shè)被控過(guò)程G(s)發(fā)生變化，新被控過(guò)程就是G(s)+G(s)。那么，在開(kāi)環(huán)情況下，輸出的變化為 (3.73) 在閉環(huán)系統(tǒng)中，有 (3.74) 考慮到 ,則輸出的改變就是： (3.75) 通常情況下，有G(s)H(s)G(s)H(s)，于是： (3.76),

3、C(s)=G(s)R(s),.,4,觀察式(3.76)可以看出，由于1+G(s)H(s)在所關(guān)心的復(fù)數(shù)域范圍內(nèi)常常遠(yuǎn)大于1，因此閉環(huán)系統(tǒng)輸出的變化減少了。因子1+G(s)H(s)在反饋控制系統(tǒng)的特征中起到了非常重要的作用。 系統(tǒng)靈敏度定義為系統(tǒng)傳遞函數(shù)的變化率與被控過(guò)程傳遞函數(shù)變化率的比值。如果系統(tǒng)傳遞函數(shù)為 則，靈敏度定義為 (3.77) 取微小增量的極限形式，則式(3.77)成為 (3.78),GB(s)=C(s)/R(s),.,5,很明顯，從式(3.73)可以看出，開(kāi)環(huán)系統(tǒng)的靈敏度等于1。閉環(huán)系統(tǒng)靈敏度可以從式(3.78)容易得到。設(shè)閉環(huán)系統(tǒng)的系統(tǒng)傳遞函數(shù)為 因此反饋系統(tǒng)關(guān)于G (s)的

4、靈敏度為 即 (3.79),.,6,再次可以看到，在所關(guān)心的復(fù)數(shù)域范圍內(nèi)GH(s)增加時(shí)，閉環(huán)系統(tǒng)的靈敏度將會(huì)低于開(kāi)環(huán)系統(tǒng)的靈敏度。 同樣道理，可以考察閉環(huán)系統(tǒng)對(duì)反饋環(huán)節(jié)H(s)改變時(shí)的系統(tǒng)靈敏度，令 (3.80) 即 (3.81) 當(dāng)G(s)H(s)很大時(shí)，靈敏度約為1，也就是H(s)的變化將直接影響到系統(tǒng)的輸出。因此，使用不隨環(huán)境改變或基本恒定的反饋器件是很重要的。 由此可見(jiàn)，控制系統(tǒng)引入反饋環(huán)節(jié)后能減少因參數(shù)變化而造成的影響，尤其是因被控過(guò)程參數(shù)變化所造成的影響，這是反饋控制系統(tǒng)的一個(gè)重要優(yōu)點(diǎn)。,.,7,下面介紹一個(gè)利用反饋減少靈敏度的簡(jiǎn)單例子。運(yùn)算放大器是一種被廣泛使用在電子線路上的集

5、成電路器件，它的基本應(yīng)用電路是圖3-36（a）所示的反相放大器電路。 通常，運(yùn)算放大器的增益A遠(yuǎn)大于104 。由于輸入阻抗很高，所以運(yùn)算放大器的輸入電流可以忽略不計(jì)，因此在節(jié)點(diǎn)n，可寫(xiě)出電流關(guān)系式如下 (3.82) 由于放大器的增益是A，并且是反相接法，所以u(píng)c = -Aun ，因此 (3.83) 將(3.83)代入(3.82)，得到 (3.84),.,8,解出輸出電壓uc ，有 (3.85) 可重寫(xiě)式(3.85)如下,(a) 電路原理圖 (b) 結(jié)構(gòu)圖 圖3-36 反相放大器,.,9,當(dāng)A1時(shí)，可忽略R1/Rf項(xiàng)，則 (3.86) 其中，k = R1/Rf 。反相放大器電路結(jié)構(gòu)圖如圖3-36

6、（b），圖中反饋環(huán)節(jié)是H(s)= k，前向通道的傳遞函數(shù)是G(s)= -A 。進(jìn)一步，當(dāng)A1時(shí)，反相放大器電路的傳遞函數(shù)為 (3.87) 當(dāng)運(yùn)算放大器處于開(kāi)環(huán)狀態(tài)（即無(wú)反饋電阻Rf ）時(shí)，相對(duì)于增益A的開(kāi)環(huán)靈敏度為1。在閉環(huán)時(shí)，相對(duì)于增益A的閉環(huán)靈敏度為 (3.88),.,10,如果A=104而且k = 0.1，有 (3.89) 則靈敏度接近于0.001，是開(kāi)環(huán)靈敏度的千分之一。 再來(lái)考慮閉環(huán)時(shí)相對(duì)于因子k（或者反饋電阻Rf）的靈敏度。處理方法同上，得 (3.90) 相對(duì)于k的閉環(huán)靈敏度接近于1。,.,11,第六節(jié) 應(yīng)用MATLAB分析控制系統(tǒng)的性能,這一節(jié)將用兩個(gè)例子描述反饋控制的優(yōu)點(diǎn)，同時(shí)

7、 說(shuō)明如何利用MATLAB來(lái)分析控制系統(tǒng)。系統(tǒng)分析的 主要內(nèi)容包括如何抑制干擾、如何減小穩(wěn)態(tài)誤差、如 何調(diào)節(jié)瞬態(tài)響應(yīng)以及如何減少系統(tǒng)對(duì)參數(shù)變化的影響 等。,.,12,第一個(gè)例子是帶有負(fù)載轉(zhuǎn)矩干擾信號(hào)的電樞控制直流電動(dòng)機(jī)。開(kāi)環(huán)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖3-37(a)所示，為了改善系統(tǒng)性能，加入速度反饋如圖3-37(b)所示。系統(tǒng)的各元器件參數(shù)值在表3.6中給出。 從圖中可以看出，系統(tǒng)有Ua(s)（或Vr(s)）和ML(s)兩個(gè)輸入。由于這是一個(gè)線性系統(tǒng)，按疊加定理可以分別考慮兩個(gè)輸入的獨(dú)立作用結(jié)果。為了研究干擾對(duì)系統(tǒng)的作用，可令Ua(s)=0（或Vr(s)=0），此時(shí)只有干擾ML(s)起作用。相反地，為了研

8、究參考輸入對(duì)系統(tǒng)的響應(yīng)，可令ML(s)=0。如果系統(tǒng)具有很好的抗干擾能力，則干擾信號(hào)ML(s)對(duì)輸出w (s)的影響就應(yīng)該很小，下面就來(lái)驗(yàn)證此結(jié)論。,.,13,圖3-37 速度控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖,.,14,首先，考慮圖3-37(a)所示的開(kāi)環(huán)系統(tǒng)，從ML(s)到w o(s) (此處的下標(biāo)“o”表示開(kāi)環(huán))的傳遞函數(shù)為 假設(shè)干擾信號(hào)為單位階躍信號(hào)，即ML(s) =1/s。利用MATLAB可以計(jì)算系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)如圖3-38(a)所示，而用于分析此開(kāi)環(huán)控制系統(tǒng)的MATLAB程序文本opentach.m示于圖3-38(b)。 在輸入信號(hào)Ua(s)=0的情況下，穩(wěn)態(tài)誤差就是干擾響應(yīng)w o(t)的終值。在圖

9、3-38(a)的曲線中，干擾響應(yīng)w o(t)在t = 7秒后已近似不變，所以近似穩(wěn)態(tài)誤差值為 w o() -0.663(弧度/秒),.,15,同樣，通過(guò)計(jì)算從ML (s)到w c(s) (此處下標(biāo)“c”表示閉環(huán))的閉環(huán)傳遞函數(shù)可分析圖3-37(b)所示閉環(huán)系統(tǒng)的抗干擾性能。對(duì)于干擾輸入的閉環(huán)傳遞函數(shù)為,(a) 開(kāi)環(huán)速度系統(tǒng)對(duì)階躍干擾的響應(yīng)曲線,.,16,%開(kāi)環(huán)速度控制系統(tǒng)對(duì)干擾信號(hào)的單位階躍應(yīng):opentach.m Ra=1;Km=10;J=2;B=0.5;Ke=0.1; num1=1;den1=J B; num2=Km*Ke/Ra;den2=1; num,den=feedback(num1,

10、den1,num2,den2); %干擾信號(hào)為負(fù) num=-num; printsys(num,den) %wo為輸出,“o”表示開(kāi)環(huán) wo,x,t=step(num,den);plot(t,wo) xlabel(Timesec),ylabel(Speed),grid %顯示穩(wěn)態(tài)誤差，即wo的最后一個(gè)值 wo(length(t),.,17,閉環(huán)系統(tǒng)對(duì)單位階躍干擾輸入的響應(yīng)曲線w (t)和MATLAB程序文本closedtach.m分別示于圖3-39(a) (b)。 同前，穩(wěn)態(tài)誤差就是w (t)的終值，穩(wěn)態(tài)誤差的近似值為 在本例中，閉環(huán)系統(tǒng)與開(kāi)環(huán)系統(tǒng)對(duì)單位階躍干擾信號(hào)的輸出響應(yīng)的穩(wěn)態(tài)值之比為 可

11、見(jiàn)通過(guò)引入負(fù)反饋已明顯減小了干擾對(duì)輸出的影響，這說(shuō)明閉環(huán)反饋系統(tǒng)具有抑制噪聲特性。,.,18,(a) 閉環(huán)系統(tǒng)對(duì)階躍干擾的響應(yīng)曲線,(b) MATLAB程序文本:closetach.m 圖3-39 閉環(huán)速度控制系統(tǒng)分析,.,19,%閉環(huán)速度控制系統(tǒng)對(duì)干擾信號(hào)的單位階躍響應(yīng):closetach.m Ra=1;Km=10;J=2;B=0.5;Ke=0.1;Ka=54;Ks=1 num1=1;den1=J B;num2=Ka*Ks;den2=1; num3=Ke;den3=1;num4=Km/Ra;den4=1; numa,dena=parallel(num2,den2,num3,den3); nu

12、mb,denb=series(numa,dena,num4,den4); num,den=feedback(num1,den1,numb,denb); %干擾信號(hào)為負(fù) num=-num; printsys(num,den) %wc為輸出,“c”表示閉環(huán) wc,x,t=step(num,den);plot(t,wc) xlabel(Timesec),ylabel(Speed),grid %顯示穩(wěn)態(tài)誤差，即wc的最后一個(gè)值 wc(length(t),.,20,第二個(gè)例子是分析閉環(huán)控制系統(tǒng)的控制器增益K對(duì)瞬態(tài)響應(yīng)的影響。圖3-40是閉環(huán)控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖。在參考輸入R (s)和干擾輸入N (s)同時(shí)作

13、用下系統(tǒng)的輸出為,圖3-40 反饋控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖,.,21,如果單純考慮增益K對(duì)參考輸入產(chǎn)生的瞬態(tài)響應(yīng)的影響，可以預(yù)計(jì)增加K將導(dǎo)致超調(diào)量增加、調(diào)整時(shí)間減少和響應(yīng)速度提高。在增益K=20和K=100時(shí)，系統(tǒng)對(duì)參考輸入的單位階躍響應(yīng)曲線以及相應(yīng)的MATLAB程序文本gain_kr.m示于圖3-41。對(duì)比兩條響應(yīng)曲線，可以看出上述預(yù)計(jì)的正確性。 盡管在圖中不能明顯看出增大K能減少調(diào)整時(shí)間，但是這一點(diǎn)可以通過(guò)觀察MATLAB程序的運(yùn)行數(shù)據(jù)得以驗(yàn)證。這個(gè)例子說(shuō)明了控制器增益K是如何改變系統(tǒng)瞬態(tài)響應(yīng)的。根據(jù)以上分析，選擇K=20可能是一個(gè)比較好的方案。盡管如此，在做出最后決定之前還應(yīng)該考慮其他因素。,.

14、,22,(a) 階躍響應(yīng)曲線 (b) MATLAB程文本:gain_kr.m 圖3-41 單位階躍輸入的響應(yīng)分析,.,23,% K=20和K=100時(shí)，參考輸入的單位階躍響應(yīng)：gain_kr.m numg=1;deng=1 1 0; K1=100;K2=20; num1=11 K1;num2=11 K2;den=0 1; %簡(jiǎn)化結(jié)構(gòu)圖 na,da=series(num1,den,numg,deng); nb,db=series(num2,den,numg,deng); numa,dena=cloop(na,da); numb,denb=cloop(nb,db); %選擇時(shí)間間隔 t=0:0.0

15、1:2.0; c1,x,t=step(numa,dena,t); c2,x,t=step(numb,denb,t); plot(t,c1,-,t,c2) xlabel(Timesec),ylabel(Cr(t),grid,.,24,在對(duì)K做出最后選擇之前，非常重要的是要研究系統(tǒng)對(duì)單位階躍干擾的響應(yīng)，有關(guān)結(jié)果和相應(yīng)的MATLAB程序文本如圖3-42所示。從中可以看到，增加K減少了單位干擾響應(yīng)的幅值。對(duì)于K=20和K=100，響應(yīng)的穩(wěn)態(tài)值分別為0.05和0.01。對(duì)干擾輸入的穩(wěn)態(tài)值可按終值定理求得 如果僅從抗干擾的角度考慮，選擇K=100更合適。 在本例中所求出的穩(wěn)態(tài)誤差、超調(diào)量和調(diào)整時(shí)間（2%誤

16、差）歸納于表3.7。,.,25,(a) 階躍響應(yīng)曲線 (b) MATLAB程序文本:gain_kn.m 圖3-42 單位階躍干擾的響應(yīng)分析,.,26,% K=20和K=100時(shí)，干擾輸入的單位階躍響應(yīng)：gain_kn.m numg=1;deng=1 1 0; K1=100;K2=20; num1=11 K1;num2=11 K2;den=0 1; %簡(jiǎn)化結(jié)構(gòu)圖 numa,dena=feedback(numg,deng,num1,den); numb,denb=feedback(numg,deng,num2,den); %選擇時(shí)間間隔 t=0:0.01:2.5; c1,x,t=step(numa

17、,dena,t); c2,x,t=step(numb,denb,t); plot(t,c1,-,t,c2) xlabel(Timesec),ylabel(Cn(t),grid,.,27,表3.7 K=20和K=100時(shí)，控制系統(tǒng)的響應(yīng)特性,.,28,(a) 被控對(duì)象變化時(shí)系統(tǒng)的靈敏度,.,29,%系統(tǒng)靈敏度分析 K=20;num=1 1 0;den=1 12 K; %取s=jw,w 的范圍為10-1103，共取200點(diǎn) w=logspace(-1,3,200);s=w*j; %S為靈敏度，S2為靈敏度的近似值 n=s.2+s;d=s.2+12*s+K;S=n./d; n2=s;d2=K;S2=

18、n2./d2; subplot(211),plot(real(S),imag(S) xlabel(Real(S),ylabel(imag(S),grid subplot(212),loglog(w,abs(S),w,abs(S2) xlabel(wrad/sec),ylabel(abs(S),(b) MATLAB程序文本 圖3-43 系統(tǒng)的靈敏度分析,.,30,最后來(lái)分析被控對(duì)象變化時(shí)系統(tǒng)的靈敏度。在本例中，被控對(duì)象的傳遞函數(shù)和閉環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)分別為 系統(tǒng)的靈敏度可由式(3.78)得出 利用上式可計(jì)算不同s值所對(duì)應(yīng)的靈敏度SG ，并繪制出頻率靈敏度曲線。圖3-43(a)中給出的是K=20，s

19、=jw，w =10-1 10-4 時(shí)，系統(tǒng)的靈敏度相對(duì)于頻率w的變化曲線，圖3-43(b)是相應(yīng)的MATLAB程序文本。在低頻段，系統(tǒng)的靈敏度可近似為 可見(jiàn)，增大K值，可以減少系統(tǒng)的靈敏度。,.,31,第七節(jié) 設(shè)計(jì)實(shí)例 (一)英吉利海峽海底隧道鉆機(jī),連接法國(guó)和英國(guó)的英吉利海峽海底隧道于1987年12月 開(kāi)工建造，1990年11月，從兩個(gè)國(guó)家分頭開(kāi)鉆的隧道首次 對(duì)接成功。隧道長(zhǎng)23.5英里，位于海平面以下200英尺。隧 道于1992年完工，共花費(fèi)14億美元，每天能通過(guò)50趟列車。 這個(gè)工程把英國(guó)同歐洲大陸連接起來(lái)，將倫敦到巴黎的火 車行車時(shí)間縮短為3個(gè)小時(shí),.,32,鉆機(jī)分別從海峽兩端向中間推進(jìn)

20、，并在海峽的中間對(duì)接。為了使對(duì)接達(dá)到必要的精度，施工時(shí)使用了一個(gè)激光導(dǎo)引系統(tǒng)以保持鉆機(jī)的直線方向。鉆機(jī)的控制模型如圖所示，其中Y（s）是鉆機(jī)向前的實(shí)際角度，R（S）是預(yù)期的角度，負(fù)載對(duì)機(jī)器的影響用干擾D（S）表示。,3.44 鉆機(jī)控制系統(tǒng)框圖,.,33,設(shè)計(jì)的目標(biāo)是選擇增益K使得對(duì)輸入角度的響應(yīng)滿足工程要求，并且使干擾引起的誤差最小。應(yīng)用Mason信號(hào)流圖增益公式，對(duì)兩個(gè)輸入的輸出為：,.,34,為減少干擾的影響，我們希望增益大于10。當(dāng)設(shè)置增益K=100，并令D（T）=0時(shí)，可得到系統(tǒng)對(duì)單位階躍輸入R（T）的響應(yīng)，如圖所示。令r(t)=0 則可以確定系統(tǒng)對(duì)單位階躍干擾的響應(yīng)y(T),如圖所示

21、。由此可見(jiàn)，干擾的影響是很少的。如果設(shè)置增益K=20，可得到系統(tǒng)對(duì)單位階躍r(t)和d(t)的響應(yīng)曲線如圖所示。由于此時(shí)系統(tǒng)響應(yīng)的超調(diào)量較?。ㄐ∮?%），且在2s 之內(nèi)即達(dá)到穩(wěn)態(tài)，所以我們選擇K=20。為便于比較，特將上述結(jié)果同時(shí)列于表中。,表3.8 鉆機(jī)系統(tǒng)在兩種增益情況下的響應(yīng),.,35,系統(tǒng)對(duì)單位階躍輸入R（s）=1/s的穩(wěn)態(tài)誤差為： 當(dāng)干擾為單位階躍D（s)=1/s,輸入r(t)=0時(shí)，y(t)的穩(wěn)態(tài)值為：,.,36,于是當(dāng)K=100和200時(shí)，干擾響應(yīng)的穩(wěn)態(tài)值分別為0.01和0.05。 最后考慮系統(tǒng)對(duì)G（s）的變化的靈敏度，得：,在低頻頻段（ ），靈敏度近似為：,其中K20?？梢?jiàn)當(dāng)增

22、益K增加時(shí)，系統(tǒng)的靈敏度會(huì)降低，因此我們選擇K=20是一種合理的折中。,.,37,(二)火星漫游車,圖所示的是以太陽(yáng)能作動(dòng)力的“逗留者號(hào)”火星漫游車。由于地球上發(fā)出的路徑控制信號(hào)r(t)能對(duì)該裝置實(shí)施遙控。本例中我們將斜坡信號(hào)r(t)=t,t0用作輸入信號(hào)。該裝置既能以開(kāi)環(huán)方式工作（不帶反饋），,圖3.45 火星漫游車,.,38,又能夠以閉環(huán)方式工作（帶反饋），分別如圖所示。本例設(shè)計(jì)的目的是使漫游車受干擾（如巖石）的影響較小，而且對(duì)增益K變化的靈敏度也較小。 開(kāi)環(huán)的傳遞函數(shù)是：,閉環(huán)的傳遞函數(shù)是,.,39,K=2時(shí)，,這時(shí)我們可對(duì)開(kāi)環(huán)系統(tǒng)和閉環(huán)系統(tǒng)的靈敏度進(jìn)行比較。 開(kāi)環(huán)系統(tǒng)的靈敏度為：,.,

23、40,圖3.46 漫游車的控制系統(tǒng),.,41,閉環(huán)系統(tǒng)的靈敏度為：,為了考察系統(tǒng)在低頻時(shí)的靈敏度，令s=j，得：,圖3.47 火星漫游車閉環(huán)系統(tǒng)的靈敏度幅值,.,42,對(duì)K=2，在頻率0時(shí)，由上式可得：,.,47,由單位階躍干擾引起的穩(wěn)態(tài)誤差為-1/K，可見(jiàn)增大K可以減少由單位階躍干擾引起的瞬態(tài)響應(yīng)。因此，我們要尋找一個(gè)較大的K和較大的K/K1，以保證系統(tǒng)對(duì)斜坡輸入信號(hào)具有較小的穩(wěn)態(tài)誤差。同時(shí)我們還要保持前面已經(jīng)確定的=0.6，以減少超調(diào)量。 為了完成設(shè)計(jì)，我們需要選擇K。系統(tǒng)的特征方程為（=0.6 ）：,于是，,.,48,由式的分母可知，應(yīng)同時(shí)有,故,或,的比值為：,.,49,由此可見(jiàn)，當(dāng)選

24、取K=100時(shí)，得到的是一個(gè)很 好的系統(tǒng)。,如果選擇K=25，將有k1=6,k/k1=4.17.如果選擇K=100，則有K1=12,k/k1=8.33.在實(shí)際系統(tǒng)中，我們還必須限制K，以使系統(tǒng)工作在線性區(qū)。當(dāng)取K=100時(shí)，我們得到的系統(tǒng)如圖所示。該系統(tǒng)對(duì)單位階躍輸入和單位階躍干擾的響應(yīng)如圖所示，可以看出干擾的影響并不明顯。 最后，我們可以得到系統(tǒng)對(duì)斜坡輸入的穩(wěn)態(tài)誤差為：,.,50,(四)循序漸進(jìn)設(shè)計(jì)示例：磁盤(pán)驅(qū)動(dòng)讀取系統(tǒng),現(xiàn)代磁盤(pán)在每厘米寬度內(nèi)有多達(dá)5000個(gè)磁道，每個(gè)磁道的典型寬度僅為1um，因此磁盤(pán)讀取系統(tǒng)對(duì)磁頭的定位精度和磁頭在磁道間移動(dòng)的精度有嚴(yán)格的要求。本章將考慮彈性支架的影響，并在此情況下，建立磁盤(pán)驅(qū)動(dòng)