1、2011數(shù)學(xué)歸納法專(zhuān)題訓(xùn)練一一、解答題1、首項(xiàng)為正數(shù)的數(shù)列滿足(1)證明：若為奇數(shù)，則對(duì)一切n2，都是奇數(shù)；(2)若對(duì)一切都有，求的取值范圍2、已知數(shù)列是等差數(shù)列，(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)數(shù)列的通項(xiàng)（其中0且1記是數(shù)列的前n項(xiàng)和，試比較與的大小，并證明你的結(jié)論3、設(shè)數(shù)列滿足，其中為實(shí)數(shù)(1)證明:0，1對(duì)任意成立的充分必要條件是0，1；(2)設(shè)證明：(3)設(shè)，證明：4、已知數(shù)列記：求證：當(dāng)時(shí)，5、設(shè)函數(shù)數(shù)列滿足(1)證明：函數(shù)在區(qū)間(0，1)上是增函數(shù)；(2)證明：(3)設(shè) (，1)，整數(shù)證明：6、已知數(shù)列中，(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若數(shù)列中，證明：7、已知數(shù)列滿足：=0求證：(

2、1) -l 對(duì)一切都成立；(3)數(shù)列為遞增數(shù)列8、已知數(shù)列的前項(xiàng)和（為正整數(shù)）(1)令，求證數(shù)列是等差數(shù)列，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)令，試比較與的大小，并予以證明9、求證：以下是答案一、解答題1、解析(1)已知是奇數(shù)，假設(shè)是奇數(shù)，其中為正整數(shù)，則由遞推關(guān)系得是奇數(shù)根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法可知，對(duì)一切, 都是奇數(shù)(2)方法一 由知，當(dāng)且僅當(dāng)3時(shí)，另一方面，若O 3，則根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法可知，對(duì)一切；對(duì)一切綜上所述，對(duì)一切，都有的充要條件是O3方法二 由，得，于是03.因?yàn)?，所以所有的均大?，因此與同號(hào)，根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法可知，對(duì)一切與同號(hào)因此，對(duì)一切，都有的充要條件是03.2、解析(1)設(shè)數(shù)列的公差為，由題意

3、得， (2)由知，而，于是比較與的大小比較與的大小，取，有取，有推測(cè)：當(dāng)時(shí)，已驗(yàn)證()式成立；假設(shè) (1)時(shí)()式成立，即則當(dāng)時(shí)，從而即當(dāng)時(shí)，（）式成立由知，()式對(duì)任意正整數(shù)都成立，于是，當(dāng)l時(shí)，；當(dāng)O1時(shí)，3、解析(1)必要性：又即0，1.充分性：設(shè) O，1，對(duì)用數(shù)學(xué)歸納法證明。0，1當(dāng)=l時(shí)， =O0，1，假設(shè)0，1（1且N*）則且由數(shù)學(xué)歸納法知， 0，1對(duì)所有都成立(2)設(shè)，當(dāng)=l時(shí)，=0結(jié)論成立，當(dāng)2且時(shí)，由(I)知且1-(3)設(shè)，當(dāng)=l時(shí)，結(jié)論成立，當(dāng)2且時(shí)，由()知4、解析(1)用數(shù)學(xué)歸納法證明 當(dāng)=l時(shí)，因?yàn)槭欠匠痰恼?，所以?假設(shè)當(dāng)（且）時(shí)，因?yàn)樗?.即當(dāng)時(shí)， 也成立，根

4、據(jù)和，可知 對(duì)任何都成立(2)由得因?yàn)?O，所以由得-2.(3)由，得所以于是故當(dāng)3時(shí)，又因?yàn)樗?5、解析(1)當(dāng)01時(shí)，所以函數(shù)在區(qū)間(0，1)上是增函數(shù)(2)當(dāng)Ol時(shí)又由(1)及在=l處連續(xù)知，當(dāng)0 1時(shí)=1，因此，當(dāng)O 1時(shí)， 下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：0 1 ()由01，代人得O1，即當(dāng)=l時(shí)，不等式成立；()假設(shè)= (l且)時(shí)，不等式成立，即O 1，則由可得O ()1，即01，故當(dāng)時(shí)，不等式也成立綜合()()證得否則，若，則由0l()知，=由知于是6、解析(1)因?yàn)樗运詳?shù)列是首項(xiàng)為公比為的等比數(shù)列，所以即的通項(xiàng)公式(2)用數(shù)學(xué)歸納法證明：()當(dāng)時(shí)，因?yàn)樗?，結(jié)論成立；()假設(shè)當(dāng)=（1且）時(shí)，結(jié)論成立，即即當(dāng)=+1時(shí)，所以也就是說(shuō)，當(dāng)=+1時(shí)，結(jié)論成立根據(jù)()和()知7、解析 已知條件可化為，即(1)當(dāng)=l時(shí)結(jié)論已成立；假設(shè)當(dāng)=（1且N*）時(shí)結(jié)論成立，即-10，那么當(dāng)=+l時(shí)，內(nèi)為增函數(shù)，,則-10當(dāng)時(shí)結(jié)論成立由知，對(duì)一切均有-1 ，證明如下：當(dāng)=3時(shí)，已證不等式成立；假設(shè)當(dāng)= (3)時(shí)，不等式成立，即 2 +1.那么當(dāng)=+l時(shí)，當(dāng)=+l時(shí)，猜想也成立，綜合可知，對(duì)一切3的正整數(shù)，都有綜上所述，當(dāng)=l，2時(shí)，；當(dāng)n3時(shí)