1、,工程力學(xué),第八章 彈性桿件橫截面上的正應(yīng)力分析,桿件內(nèi)力（軸力、扭矩剪力，彎矩）取決于外力大小。 桿件應(yīng)力、變形取決于內(nèi)力與桿件截面的幾何形狀及尺寸等幾何量。 截面圖形的幾何性質(zhì)與材料的；力學(xué)性質(zhì)無關(guān)的截面幾何量：面積、形心、靜矩、慣性矩、慣性積、慣性半徑、形心主軸和形心主慣性矩等。,1. 靜矩,如圖所示為一具有任意形狀的截面圖形，設(shè)其面積為A，選圖示Oxy坐標(biāo)系。,定義,（1）靜矩與坐標(biāo)軸的設(shè)置有關(guān)； （2）靜矩可正、可負(fù)可為零； （3）靜矩的單位為 或 。,8-1 與應(yīng)力分析相關(guān)的截面圖形的幾何性質(zhì),分別為圖形對于z軸和y軸的靜矩,形心,因此，已知截面的面積和其形心的坐標(biāo)，可求得該截面

2、對于坐標(biāo)軸的靜矩。,平面圖形的形心平面圖形幾何形狀的中心。若將平面圖形表示為勻質(zhì)等厚薄片，則它的重心與截面圖形的形心重合。設(shè)該圖形的形心坐標(biāo)為（ ， ），則由重心坐標(biāo)公式有,形心軸通過平面圖形形心的坐標(biāo)軸。,截面對其形心軸的靜矩必為零；反之，若截面對某軸的 靜矩等于零，則該軸必為截面的形心軸。,（1）,組合圖形的靜矩和形心位置,將式（2）代入（1），得組合圖形形心位置計(jì) 算公式。,（2）,組合圖形由幾個(gè)簡單圖形（如矩形、圓形或三角形等規(guī)則圖形）組成的圖形。 組合圖形的靜矩整個(gè)圖形對某一軸的靜矩等于各組成部分對該軸靜矩的代數(shù)和。 若已知各個(gè)簡單圖形的面積為Ai，又已知各個(gè)簡單圖形的形心坐標(biāo)為（

3、， ），,（3）,例 一矩形截面如圖示，已知b,h,y1,試求有陰影線部分的面積對于對稱軸z的靜矩。,2. 平面圖形的慣性矩、極慣性矩及慣性積,具有任意形狀的截面圖形的面積為A。 選定Oyz坐標(biāo)系。,分別為圖形對于z軸和y軸的慣性矩。,定義,極慣性矩,定義,為圖形對點(diǎn)O的極慣性矩。,（1）慣性矩及極慣性矩與坐標(biāo)設(shè)置有關(guān)； （2）慣性矩及極慣性矩恒為正； （3）慣性矩及極慣性矩的單位為 或 。,平面圖形的半徑,將慣性矩表示為圖形面積與某一長度平方的乘積，,分別為圖形對于z軸和y軸的慣性半徑。 （1）慣性半徑恒為正； （2）慣性半徑的單位為m或mm。,定義,例 求圖形矩形截面對其對稱軸y和z的慣性

4、矩和慣 性半徑。,例 求直徑為D的圓形截面對過圓心O的正交坐標(biāo)軸y 和Z的慣性矩和慣性半徑。,平面圖形的慣性積,如圖所示為一具有任意形狀的截面圖形，設(shè)其面積為 A。選圖示Oxy坐標(biāo)系。,為圖形通過點(diǎn)O的一對坐標(biāo) 軸（y,z）的慣性積。 （1）慣性積可正，可負(fù)，可為零； （2）其單位為 或 。,定義,當(dāng)y,z兩坐標(biāo)軸中有一根為圖形的對稱軸時(shí)，則其 慣性積 =0。,組合圖形的慣性矩和慣性積,組合圖形對某一軸的慣性矩（或慣性積）等于各組合 圖形對同一軸的慣性矩（或慣性積）之和。,對圖示空心矩形圖形，可采用負(fù)面積法求其對z軸的慣性矩，如,其中， 為內(nèi)外徑之比,對圖示空心圓截面，可求得,應(yīng)用靜矩、慣性矩

5、和慣性積的定義，得圖形對 軸與 軸的慣性矩與慣性積分別為,圖示為任意平面圖形，其中y軸平行于 軸， Z軸平行于 軸。且,3. 慣性矩和慣性積的平行移軸公式,即有,若z軸和y軸均為圖形的形心軸 和 ，則 ，于是有,慣性矩和慣性積的平行移軸公式。 式中的a，b的正負(fù)號由截面形心在 坐標(biāo)系的象限確定。 注意：（1）在界面對所有平行軸的慣性矩中，以對通過其形心的軸的慣性矩為最??； （2 )由形心軸移軸后所得的慣性積則有可能增加也可能減少。,例 圖示矩形截面， ， 為截面的對稱軸，試求截面圖形對 ， 軸及 ， 軸的慣性矩和慣性積。,4. 慣性矩和慣性積的轉(zhuǎn)軸公式,圖形上任一微面積dA在兩個(gè)坐標(biāo)系內(nèi)的坐標(biāo)

6、(y,z)和( , ) 之間的關(guān)系為,設(shè)新坐標(biāo)系 由原坐標(biāo)系 繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn) 角( 角以逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)為正)而得。,(a),(b),得,應(yīng)用三角函數(shù)關(guān)系式,同理可以寫出 的表達(dá)式。,此即為慣性矩和慣性積的轉(zhuǎn)軸公式。,即截面圖形對于通過同一點(diǎn)的任意一對相互垂直的坐標(biāo)軸的兩慣性矩之和為一常數(shù)，并等于截面圖形對該坐標(biāo)原點(diǎn)的極慣性矩 。,慣性主軸和主慣性矩,慣性主軸-截面圖形對其慣性積等于零的一對坐標(biāo)軸。 主慣性矩截面圖形對慣性主軸的慣性矩。 形心慣性主軸通過形心的慣性主軸。 形心主慣性矩截面圖形對形心慣性主軸的慣性矩。,當(dāng)截面有一根對稱軸時(shí)，該對稱軸及與之垂直的任意軸必為截面的慣性主軸。 一般地，如何確定慣性主軸的位置？,現(xiàn)在來確定過點(diǎn)O的慣性主軸（y0，z0）的位置。 設(shè)慣性主軸（ y0，z0 ）是由軸（y，z）繞點(diǎn)O轉(zhuǎn)動(dòng)角 度 而得。 由轉(zhuǎn)軸公式，,解得,或,（1）,如果將轉(zhuǎn)軸公式對 求導(dǎo)并令其等于零，即令,由此解得的是慣性矩取極值的 的表達(dá)式與式（1）完全一致。 截面對于通過某一點(diǎn)的慣性主軸的主慣性矩之值，是對通過該點(diǎn)所有軸的慣性矩中的極值，其中的一個(gè)為極大值 ，另一個(gè)則為極小值 。,得,此即主慣性矩的計(jì)算公式。 （1）任何截面圖形對其平面內(nèi)