1、8.7 空間幾何中的向量方法,-2-,知識(shí)梳理,考點(diǎn)自測(cè),1.直線的方向向量與平面的法向量 (1)直線l上的非零向量e以及與 的非零向量叫做直線l的方向向量. (2)如果表示非零向量n的有向線段所在直線 平面,那么稱向量n垂直于平面,記作 .此時(shí)把 叫做平面的法向量.,e共線,垂直于,n,向量n,-3-,知識(shí)梳理,考點(diǎn)自測(cè),2.線面關(guān)系的判定 設(shè)直線l1的方向向量為e1=(a1,b1,c1),直線l2的方向向量為e2=(a2,b2,c2),平面的法向量為n1=(x1,y1,z1),平面的法向量為n2=(x2,y2,z2). (1)若l1l2,則e1e2 . (2)若 l1l2,則e1e2 .

2、(3)若l1,則e1n1e1n1=0 . (4)若l1,則e1n1e1=kn1 . (5)若,則n1n2n1=kn2 . (6)若,則n1n2n1n2=0 .,e2=e1,a2=a1,b2=b1,c2=c1,e1e2=0,a1a2+b1b2+c1c2=0,a1x1+b1y1+c1z1=0,a1=kx1,b1=ky1,c1=kz1,x1=kx2,y1=ky2,z1=kz2,x1x2+y1y2+z1z2=0,-4-,知識(shí)梳理,考點(diǎn)自測(cè),3.利用空間向量求空間角 (1)兩條異面直線所成的角 范圍:兩條異面直線所成的角的取值范圍是 . 向量求法:設(shè)異面直線a,b的方向向量為a,b,直線a與b的夾角為,

3、a與b的夾角為,則有cos = . (2)直線與平面所成的角 范圍:直線與平面所成的角的取值范圍是 . 向量求法:設(shè)直線l的方向向量為a,平面的法向量為u,直線l與平面所成的角為,a與u的夾角為,則有sin = 或cos =sin .,|cos |,|cos |,-5-,知識(shí)梳理,考點(diǎn)自測(cè),(3)二面角 范圍:二面角的取值范圍是 . 向量求法: 若AB,CD分別是二面角-l-的兩個(gè)面內(nèi)與棱l垂直的異面直線,則二面角的大小就是向量 的夾角(如圖). 設(shè)n1,n2分別是二面角-l-的兩個(gè)半平面,的法向量,則圖中向量n1與n2的夾角的補(bǔ)角的大小就是二面角的平面角的大小;而圖中向量n1與n2的夾角的大

4、小就是二面角的平面角的大小.,0,-6-,知識(shí)梳理,考點(diǎn)自測(cè),4.利用空間向量求距離 (1)點(diǎn)到平面的距離 如圖所示,已知AB為平面的一條斜線段,n為平面的法向量,則B到平面的距離為 (2)線面距、面面距均可轉(zhuǎn)化為點(diǎn)面距進(jìn)行求解.,-7-,知識(shí)梳理,考點(diǎn)自測(cè),-8-,知識(shí)梳理,考點(diǎn)自測(cè),2,3,4,1,5,1.判斷下列結(jié)論是否正確,正確的畫“”,錯(cuò)誤的畫“”. (1)直線的方向向量是唯一確定的.( ) (2)平面的單位法向量是唯一確定的.( ) (3)若兩條直線的方向向量不平行,則這兩條直線不平行.( ) (4)若空間向量a垂直于平面,則a所在直線與平面垂直.( ) (5)兩條直線的方向向量的

5、夾角就是這兩條直線所成的角.( ),答案,-9-,知識(shí)梳理,考點(diǎn)自測(cè),2,3,4,1,5,2.(2017山東臨沂模擬)若直線l的方向向量為a=(1,0,2),平面的法向量為n=(-2,0,-4),則( ) A.l B.l C.l D.l與斜交,答案,解析,-10-,知識(shí)梳理,考點(diǎn)自測(cè),2,3,4,1,5,3.如圖所示,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,棱長(zhǎng)為a,M,N分別為A1B和AC上的點(diǎn),A1M=AN= ,則MN與平面BB1C1C的位置關(guān)系是( ) A.斜交 B.平行 C.垂直 D.MN在平面BB1C1C內(nèi),答案,解析,-11-,知識(shí)梳理,考點(diǎn)自測(cè),2,3,4,1,5,4.在正三棱柱A

6、BC-A1B1C1中,AB=AA1,則AC1與平面BB1C1C所成角的正弦值為( ),答案,解析,-12-,知識(shí)梳理,考點(diǎn)自測(cè),2,3,4,1,5,5.已知P是二面角-AB-棱上的一點(diǎn),分別在平面,上引射線PM,PN,如果BPM=BPN=45,MPN=60,那么二面角-AB-的大小為 .,答案,解析,-13-,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,例1如圖,在四棱錐P-ABCD中,PC平面ABCD,PC=2,在四邊形ABCD中,ABC=BCD=90,AB=4,CD=1,點(diǎn)M在PB上,PB=4PM,PB與平面ABCD所成的角為30.求證: (1)CM平面PAD; (2)平面PAB平面PAD.,-14-,考點(diǎn)1

7、,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,證明: 以點(diǎn)C為坐標(biāo)原點(diǎn),分別以CB,CD,CP所在的直線為x軸、y軸、z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系C-xyz. PC平面ABCD,PBC為PB與平面ABCD所成的角. PBC=30.,-15-,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,-16-,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,-17-,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,思考用向量方法證明平行和垂直有哪些基本方法? 解題心得1.用向量證明平行的方法 (1)線線平行:證明兩直線的方向向量共線. (2)線面平行:證明直線的方向向量與平面的某一法向量垂直;證明直線的方向向量與平面內(nèi)某直線的方向向量平行. (3)面面平行:證明兩平面的法向量為共線向量;轉(zhuǎn)化為線面平

8、行、線線平行問題. 2.用向量證明垂直的方法 (1)線線垂直:證明兩直線的方向向量互相垂直,即證它們的數(shù)量積為零. (2)線面垂直:證明直線的方向向量與平面的法向量共線. (3)面面垂直:證明兩個(gè)平面的法向量垂直.,-18-,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練1(2017廣東深圳模擬)如圖所示,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,側(cè)面AA1C1C和側(cè)面AA1B1B都是正方形且互相垂直,M為AA1的中點(diǎn),N為BC1的中點(diǎn).求證: (1)MN平面A1B1C1; (2)平面MBC1平面BB1C1C.,-19-,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,證明: 由題意知AA1,AB,AC兩兩垂直,以A為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示

9、的空間直角坐標(biāo)系. 不妨設(shè)正方形AA1C1C的邊長(zhǎng)為2,則A(0,0,0),A1(2,0,0),B(0,2,0),B1(2,2,0),C(0,0,2),C1(2,0,2),M(1,0,0),N(1,1,1). (1)因?yàn)閹缀误w是直三棱柱,所以側(cè)棱AA1底面A1B1C1.,-20-,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,(2)設(shè)平面MBC1與平面BB1C1C的法向量分別為n1=(x1,y1,z1),n2=(x2,y2,z2). 令x1=2,則平面MBC1的一個(gè)法向量為n1=(2,1,-1).同理可得平面BB1C1C的一個(gè)法向量為n2=(0,1,1). 因?yàn)閚1n2=20+11+(-1)1=0,所以n1n2,所

10、以平面MBC1平面BB1C1C.,-21-,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,例2如圖,在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中,AA1=AD=1,E為CD的中點(diǎn). (1)求證:B1EAD1. (2)在棱AA1上是否存在一點(diǎn)P,使得DP平面B1AE?若存在,求AP的長(zhǎng);若不存在,說明理由.,-22-,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,-23-,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,-24-,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,思考用向量法求解存在性問題的基本思路是什么? 解題心得用向量法求解存在性問題相對(duì)比較容易,其基本思路是假設(shè)所求的點(diǎn)或線存在,并設(shè)定參數(shù)表達(dá)已知條件,根據(jù)假設(shè)和已知條件進(jìn)行計(jì)算求解,若能求出參數(shù)的值且符合已知限定的范圍,則

11、存在這樣的點(diǎn)或線,否則不存在.本題是設(shè)出點(diǎn)P的坐標(biāo),借助向量運(yùn)算,判定關(guān)于z0的方程是否有解.,-25-,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練2(2017吉林三模,理19)已知四棱錐P-ABCD中,底面ABCD為矩形,PA底面ABCD,PA=BC=1,AB=2,M為PC的中點(diǎn). (1)在圖中作出平面ADM與PB的交點(diǎn)N,并指出點(diǎn)N所在位置(不要求給出理由). (2)在線段CD上是否存在一點(diǎn)E,使得直線AE與平面ADM所成角的正弦值為 ,若存在,請(qǐng)說明點(diǎn)E的位置;若不存在,請(qǐng)說明理由.,-26-,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,解: (1)過點(diǎn)M作MNBC,交PB于點(diǎn)N,連接AN,如圖, 則點(diǎn)N為平面ADM

12、與PB的交點(diǎn), 由M為PC的中點(diǎn),得N為PB的中點(diǎn). (2)因?yàn)樗睦忮FP-ABCD中,底面為矩形,PA底面ABCD, 以A為坐標(biāo)原點(diǎn),以直線AB,AD,AP所在直線為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示.,-27-,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,-28-,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,考向1 求異面直線所成的角 例3如圖所示,在三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1底面ABC,AB=BC=AA1,ABC=90,點(diǎn)E,F分別是棱AB,BB1的中點(diǎn),則直線EF和BC1所成的角是 . 思考如何利用向量法求異面直線所成的角?,答案,解析,-29-,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,考向2 求直線與平面所成的角 例4如圖,四

13、棱錐P-ABCD中,PA底面ABCD,ADBC, AB=AD=AC=3,PA=BC=4,M為線段AD上一點(diǎn),AM=2MD,N為PC的中點(diǎn).求直線AN與平面PMN所成角的正弦值. 思考如何利用向量法求直線與平面所成的角?,-30-,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,-31-,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,-32-,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,考向3 求二面角的大小 例5(2017河南新鄉(xiāng)二模,理18)如圖,在三棱柱ABC-A1B1C1中,側(cè)面ACC1A1與側(cè)面CBB1C1都是菱形,ACC1=CC1B1=60,AC=2 . (1)求證:AB1CC1; (2)若AB1=3 ,A1C1的中點(diǎn)為D1,求二面角C-AB1-D

14、1的余弦值. 思考如何利用向量法求二面角?,-33-,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,(1)證明: 連接AC1,則ACC1,B1C1C都是正三角形, 取CC1中點(diǎn)O,連接OA,OB1,則CC1OA,CC1OB1. OAOB1=O,CC1平面OAB1. AB1平面OAB1,CC1AB1.,-34-,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,-35-,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,解題心得(1)利用向量法求異面直線所成的角時(shí),是通過兩條直線的方向向量的夾角來求解,而兩異面直線所成角的范圍是 兩向量的夾角的范圍是0,所以要注意二者的區(qū)別與聯(lián)系,應(yīng)有cos =|cos |. (2)利用向量法求線面角的方法 分別求出斜線和它在平面內(nèi)的

15、射影直線的方向向量,轉(zhuǎn)化為求兩個(gè)方向向量的夾角(或其補(bǔ)角); 通過平面的法向量來求,即求出斜線的方向向量與平面的法向量所夾的銳角或鈍角的補(bǔ)角,取其余角就是斜線和平面所成的角.,-36-,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,(3)利用空間向量求二面角的方法 分別在二面角的兩個(gè)半平面內(nèi)找到與棱垂直且從垂足出發(fā)的兩個(gè)向量,則這兩個(gè)向量的夾角的大小就是二面角的平面角的大小; 通過平面的法向量來求,即設(shè)二面角的兩個(gè)半平面的法向量分別為n1和n2,則二面角的大小等于(或-).應(yīng)注意結(jié)合圖形判斷二面角是銳角還是鈍角.,-37-,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練3(1)在直三棱柱ABC-A1B1C1中,BCA=90,M,

16、N分別是A1B1,A1C1的中點(diǎn),BC=CA=CC1,則BM與AN所成角的余弦值為( ) (2)已知斜四棱柱ABCD-A1B1C1D1的各棱長(zhǎng)均為2,A1AD=60,BAD=90,平面A1ADD1平面ABCD,則直線BD1與平面ABCD所成的角的正切值為( ),-38-,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,(3)(2017河北邯鄲一模,理18)如圖,在五棱錐P-ABCDE中,ABE是等邊三角形,四邊形BCDE是直角梯形且DEB=CBE=90,G是CD的中點(diǎn),點(diǎn)P在底面的射影落在線段AG上. 求證:平面PBE平面APG; 已知AB=2,BC= ,側(cè)棱PA與底面ABCDE所成角為45, SPBE= ,點(diǎn)M在側(cè)

17、棱PC上,CM=2MP,求二面角M-AB-D的余弦值.,-39-,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,答案: (1)C (2)C 解析: (1)如圖,以點(diǎn)C1為坐標(biāo)原點(diǎn),C1B1,C1A1,C1C分別為x軸,y軸,z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,不妨設(shè)BC=CA=CC1=1,-40-,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,-41-,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,(3)證明: 取BE的中點(diǎn)F,連接AF,GF,由題意得A,F,G三點(diǎn)共線. 過點(diǎn)P作POAG于點(diǎn)O,則PO底面ABCDE. BE平面ABCDE,BEPO. ABE是等邊三角形,BEAG. AGPO=O,BE平面PAG. BE平面PBE,平面PBE平面APG. 又PAF=45,PFAF,PFAG,PF底面ABCDE.點(diǎn)O與點(diǎn)F重合.,-42-,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,-43-,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,1.用向量知識(shí)證明立體幾何問題有兩種基本思路:一種是用向量表示幾何量,利用向量的運(yùn)算進(jìn)行判斷.另一種是用向量的坐標(biāo)表示幾何量,共分三步:(1)建立立體圖形與空間向量的聯(lián)系,用空間向量(或坐標(biāo))表示問題中所涉及的點(diǎn)、線、面,把立體幾何問題轉(zhuǎn)化為向量問題;(2)通過向量運(yùn)算,研究點(diǎn)、線、面之間的位置關(guān)系;(3)根據(jù)運(yùn)算結(jié)果的幾何意義來解釋相關(guān)問題. 2.向量法通過空間坐標(biāo)系把空間圖形的性質(zhì)代數(shù)化,避免了尋找平面角和垂線段等諸多麻煩,使空間點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系的判定和