1、數(shù)學(xué)論文之中學(xué)生對(duì)完全平方公式的記憶 【摘 要】完全平方公式在數(shù)學(xué)中占有重要的地位,中學(xué)生總是無(wú)法記憶或錯(cuò)誤記憶完全平方公式.研究中學(xué)生對(duì)完全平方公式的記憶特點(diǎn)可以科學(xué)地幫助他們準(zhǔn)確、牢固地記憶完全平方公式并應(yīng)用.本文從心理和認(rèn)知兩方面對(duì)中學(xué)生記憶完全平方公式作了記憶障礙分析,并通過(guò)由淺入深的四組題系作了實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證,結(jié)論是不同數(shù)學(xué)能力水平的學(xué)生記憶完全平方公式有不同的特點(diǎn).數(shù)學(xué)能力差的學(xué)生只能簡(jiǎn)單機(jī)械記憶完全平方公式的表象且保持困難,在教學(xué)訓(xùn)練下,他們可以達(dá)到對(duì)完全平方公式的順向關(guān)系式運(yùn)算進(jìn)行簡(jiǎn)單理解記憶,但對(duì)記憶完全平方公式的逆向關(guān)系式運(yùn)算感到十分困難,對(duì)完全平方公式所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想根本無(wú)法記

2、憶;數(shù)學(xué)能力平常的學(xué)生在教學(xué)訓(xùn)練下可以很好地理解記憶完全平方公式的順向關(guān)系式運(yùn)算,可以對(duì)完全平方公式的逆向關(guān)系式運(yùn)算進(jìn)行簡(jiǎn)單理解記憶,對(duì)完全平方公式所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想能達(dá)到一定的記憶感知;數(shù)學(xué)能力強(qiáng)的學(xué)生對(duì)完全平方公式及其蘊(yùn)含數(shù)學(xué)思想能很好地進(jìn)行理解記憶和概括記憶. 中學(xué)生記憶數(shù)學(xué)公式受他們?cè)械臄?shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)所影響,其中他們?cè)械臄?shù)學(xué)思想構(gòu)成他們記憶數(shù)學(xué)公式的最大障礙,其次是他們?cè)袛?shù)學(xué)知識(shí)的概括水平,最后是他們?cè)械幕具\(yùn)算技能.【關(guān)鍵詞】完全平方公式 記憶特點(diǎn) 在教學(xué)中，各初中數(shù)學(xué)教師都普遍反映出學(xué)生總是錯(cuò)誤記憶完全平方公式，甚至經(jīng)過(guò)三年的學(xué)習(xí)還是錯(cuò)誤記憶該公式。為什么會(huì)出現(xiàn)這種情況呢？選擇

3、完全平方公式進(jìn)行研究是否有價(jià)值呢？ 完全平方公式是七年級(jí)數(shù)學(xué)（北師大版）下冊(cè)第一章“整式的乘除”第8節(jié)課內(nèi)容.完全平方公式是中學(xué)中重要公式之一,也是掌握整式乘法、因式分解、分式運(yùn)算、配方法解一元二次方程、一元二次方程求根公式的推導(dǎo)、求二次函數(shù)頂點(diǎn)坐標(biāo)及其對(duì)稱軸、畫(huà)二次函數(shù)的圖象、求二次根式最值等知識(shí)的基礎(chǔ).而這些知識(shí)是中學(xué)生必須掌握的內(nèi)容,也是學(xué)生進(jìn)一步學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的基礎(chǔ),其中配方法這種數(shù)學(xué)方法對(duì)中學(xué)生的數(shù)學(xué)思維結(jié)構(gòu)的優(yōu)化有很重要的作用.即以完全平方公式作為研究對(duì)象有教學(xué)意義.另外，克魯茨基選擇完全平方公式為內(nèi)容的實(shí)驗(yàn)體系是為了考察中小學(xué)生的概括能力和中小學(xué)生的心理過(guò)程的可逆能力.由此可知,完全平

4、方公式具有概括性和代表性,且能反映中學(xué)生的思維可逆性.即完全平方公式可以反映出中學(xué)生的思維本質(zhì)所在,亦即可以揭示學(xué)生思維的心理特點(diǎn).因此從心理角度來(lái)講,以完全平方公式作為研究對(duì)象來(lái)研究中學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)公式的記憶特點(diǎn)是可行的.此外，中學(xué)生對(duì)完全平方公式的記憶障礙能充分代表中學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)公式的記憶障礙.此處中學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)公式的記憶是指準(zhǔn)確、迅速、牢固地記憶由數(shù)字、字母和符號(hào)表達(dá)的關(guān)系式及其數(shù)學(xué)思想.在這里考察數(shù)學(xué)公式所體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想原因在于“數(shù)學(xué)是對(duì)模式的研究,或者說(shuō),數(shù)學(xué)的概念、命題、問(wèn)題和方法等都具有模式的性質(zhì).”且其中主要指恒等變形類的數(shù)學(xué)公式（如初中的乘法公式、高中的三角公式等）的記憶,而不是指對(duì)

5、計(jì)算類的數(shù)學(xué)公式（如面積公式、體積公式等）的記憶。 因此，對(duì)提出的問(wèn)題展開(kāi)了研究，主要從以下兩方面進(jìn)行研究分析： 一、中學(xué)生對(duì)于完全平方公式的記憶障礙分析 （一）中學(xué)生對(duì)完全平方公式的記憶障礙的心理分析 影響學(xué)生記憶的心理因素包括學(xué)生的心理動(dòng)力結(jié)構(gòu)、學(xué)生原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)以及對(duì)材料的加工方式. 1、學(xué)生的心理動(dòng)力結(jié)構(gòu) 學(xué)生的心理動(dòng)力結(jié)構(gòu)對(duì)記憶有顯著影響的有三個(gè)方面：學(xué)生對(duì)記憶任務(wù)的意識(shí)越強(qiáng),記憶效果好;學(xué)生對(duì)學(xué)習(xí)活動(dòng)的興趣與欲望越強(qiáng),記憶效果越好;學(xué)生的自信心與焦慮水平,中度水平的焦慮則是記憶活動(dòng)中不可缺少的心理狀態(tài).這與中學(xué)生個(gè)性差異很有關(guān)系，因此影響到他們對(duì)完全平方公式的記憶。 2、學(xué)生的原有

6、認(rèn)知結(jié)構(gòu) 包括兩方面：學(xué)生頭腦中已有的知識(shí)內(nèi)容及其組織,即知識(shí)結(jié)構(gòu);學(xué)生已習(xí)慣了的認(rèn)知方式,即智力技能結(jié)構(gòu). 一方面,學(xué)生原有的知識(shí)結(jié)構(gòu)對(duì)記憶的影響表現(xiàn)在三個(gè)方面：（1）原有知識(shí)結(jié)構(gòu)中是否具有與當(dāng)前記憶材料有關(guān)的材料.這影響學(xué)生在記憶時(shí)能否將新材料與原有材料建立聯(lián)系,能否由新材料產(chǎn)生聯(lián)想.（2）這些有關(guān)材料是否清晰、鞏固.原有材料的清晰、鞏固有助于新材料與之建立穩(wěn)定的聯(lián)系,不至于因原材料的消退而消退,因原材料的模糊而中斷了聯(lián)系或與相似材料建立了錯(cuò)誤的聯(lián)系.（3）原有知識(shí)結(jié)構(gòu)是否合理.合理的知識(shí)結(jié)構(gòu)是指頭腦中所貯存的知識(shí),按一定的系統(tǒng)、一定的順序排列組織.這使學(xué)生在新材料出現(xiàn)時(shí)能迅速地從原有知識(shí)

7、結(jié)構(gòu)中找到所需要的有關(guān)有意義的材料,以便迅速地建立聯(lián)系,使新材料具有意義.否則,即使是有意義的材料,也可能因找不到有關(guān)材料而成為無(wú)意義的材料,導(dǎo)致只能進(jìn)行機(jī)械記憶.即中學(xué)生對(duì)完全平方公式的記憶受他們?cè)瓉?lái)所掌握的整式乘法水平所影響。 另一方面,學(xué)生智力技能結(jié)構(gòu)對(duì)記憶的影響.智力技能或認(rèn)知方式是指認(rèn)識(shí)世界、認(rèn)識(shí)客觀事物的方式,包括如何觀察、如何思維、如何想像、如何記憶等.學(xué)生從小到大,逐漸形成一套自己熟悉的、習(xí)慣的方式來(lái)認(rèn)識(shí)周?chē)挛?這同樣影響著學(xué)生對(duì)完全平方公式的記憶.這不同的認(rèn)知技能會(huì)影響記憶效果. 3、學(xué)生對(duì)材料的加工方式和重復(fù)方式 從短時(shí)記憶到長(zhǎng)時(shí)記憶要經(jīng)過(guò)加工組織和重復(fù).根據(jù)材料的特點(diǎn),

8、按照自己的興趣與習(xí)慣,對(duì)材料進(jìn)行不同方式的加工組織及重復(fù),這是有效記憶的條件. 對(duì)材料的加工組織有三種方式：（1）表層加工,這是知覺(jué)水平的加工,注意事物的外部關(guān)系,進(jìn)行機(jī)械的重復(fù),以建立事物的聯(lián)系.這對(duì)記憶文字、符號(hào)、詞語(yǔ)、年代、地名、人名等材料無(wú)疑是必要的.（2）深層加工,文這是邏輯思維水平的加工,注意事物的內(nèi)部關(guān)系及事物間的必然聯(lián)系.這是在記憶有意義聯(lián)系材料、記憶事物的本質(zhì)及其規(guī)律時(shí)不可缺少的加工方式.沒(méi)有這種加工,即使是有意義聯(lián)系的材料,也只能當(dāng)作無(wú)意義聯(lián)系材料進(jìn)行記憶.深層加工也是聯(lián)想的基礎(chǔ),它將有利于提取.如有的中學(xué)生缺乏這種深層次加工方式，這也就構(gòu)成了他們對(duì)完全平方公式記憶的障礙。

9、（3）系統(tǒng)加工,這是創(chuàng)造性思維水平的加工,對(duì)有關(guān)材料作三維空間的聯(lián)系,作時(shí)空觀念的聯(lián)系,把學(xué)習(xí)材料與原有知識(shí)結(jié)構(gòu)中的有關(guān)材料組成具有一定層次的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu).初中生系統(tǒng)加工水平相對(duì)較低，這構(gòu)成了他們對(duì)完全平方公式所蘊(yùn)涵的數(shù)學(xué)思想的記憶障礙。 不同的加工組織方式,體現(xiàn)了不同程度的思維參與.思維參與成分愈多,組織結(jié)構(gòu)愈合理,記憶效果愈好. （二）學(xué)生對(duì)完全平方公式的記憶障礙的認(rèn)知分析. 知識(shí)學(xué)習(xí)主要是學(xué)生對(duì)知識(shí)信息的內(nèi)在加工過(guò)程.這一過(guò)程分為以下幾個(gè)階段：即習(xí)得階段、鞏固階段以及提取與應(yīng)用階段.根據(jù)其階段及特點(diǎn),從以下幾個(gè)方面分析學(xué)生學(xué)習(xí)完全平方公式過(guò)程中應(yīng)解決的主要問(wèn)題： 1、知識(shí)的同化（assimi

10、lation） 同化就是把新知識(shí)納入原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)并使之分化、擴(kuò)充,從而形成新的認(rèn)知結(jié)構(gòu)的過(guò)程.知識(shí)同化一般需要以下幾個(gè)條件：（1）學(xué)習(xí)者原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中必須具有同化新知識(shí)的相應(yīng)知識(shí)基礎(chǔ).如學(xué)生要同化新知識(shí)完全平方公式就必須在原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)中具有乘方的概念、多項(xiàng)式乘法法則、有理數(shù)的乘方運(yùn)算（特別是負(fù)數(shù)的乘方運(yùn)算）、積的乘方運(yùn)算和冪的乘方運(yùn)算等知識(shí).而對(duì)于數(shù)學(xué)能力差的學(xué)生對(duì)于以上這些基礎(chǔ)知識(shí)的掌握總是有所缺乏,因此對(duì)于他們同化完全平方公式存在著知識(shí)的障礙.（2）學(xué)習(xí)材料必須具有邏輯意義,并能夠反映人類的認(rèn)識(shí)成果.完全平方公式實(shí)質(zhì)上是多項(xiàng)式乘法中兩個(gè)相同二項(xiàng)式相乘的特殊情形,因使用較多且一個(gè)數(shù)的平方具

11、有非負(fù)特性而獨(dú)立成一個(gè)公式.完全平方公式可以通過(guò)拼圖計(jì)算面積得到驗(yàn)證,從而具有幾何意義.而數(shù)學(xué)能力差的學(xué)生對(duì)于邏輯意義認(rèn)識(shí)上存在一定的缺陷從而造成對(duì)于完全平方公式的本質(zhì)和邏輯上的認(rèn)識(shí)障礙.（3）學(xué)習(xí)者還應(yīng)具有理解所學(xué)材料的動(dòng)機(jī).對(duì)于已掌握多項(xiàng)式乘法運(yùn)算的數(shù)學(xué)能力差的學(xué)生更習(xí)慣用進(jìn)行多項(xiàng)式乘法運(yùn)算,而懶于記憶完全平方公式.而對(duì)于這部分知識(shí)也缺乏的數(shù)學(xué)能力差的學(xué)生,在他們的認(rèn)知結(jié)構(gòu)發(fā)展過(guò)程中,順應(yīng)起了主導(dǎo)作用.如果新知識(shí)在原有的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)中沒(méi)有適當(dāng)?shù)挠^念與它相聯(lián)系,那么就必須對(duì)原有的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)進(jìn)行改組,以便納入新知識(shí)形成新的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu),這一過(guò)程叫做順應(yīng).他們對(duì)于分配律已接受而且掌握得很牢固.

12、他們難以理解為什么呢？他們情愿保留分配律所形成的認(rèn)知結(jié)構(gòu)而抗拒做出改變來(lái)正確記憶完全平方公式. 2、知識(shí)的保持. 下面從重現(xiàn)的基本規(guī)律和記憶的形式上兩方面分析其記憶障礙. 一方面,重現(xiàn)具有以下基本規(guī)律：（1）有意重現(xiàn)（即回憶）的效果有賴于重現(xiàn)的目的性,就是平常所說(shuō)的“心中有數(shù)”;如有學(xué)生能記憶公式,但不能與“完全平方公式”語(yǔ)詞聯(lián)系起來(lái),再如對(duì)于隱藏較深用此公式的,不能分辨出,從而不能回憶出此公式,這些都是回憶的目的不明確造成的.（2）有意重現(xiàn)的效果有賴于重現(xiàn)的自信心,即對(duì)自己的記憶要充滿信心;當(dāng)遇到未見(jiàn)過(guò)題型時(shí),自信心不夠,不能回憶出是用此公式解決問(wèn)題.（3）有意重現(xiàn)的效果有賴于重現(xiàn)時(shí)的心理品

13、質(zhì),既有堅(jiān)強(qiáng)的毅力和持久的耐力,再就是靈活機(jī)動(dòng),不鉆牛角尖或機(jī)械地死記硬背;（4）有意重現(xiàn)的效果有賴于方法得當(dāng). 另一方面,從記憶的形式上,學(xué)生常采取最低層次的數(shù)學(xué)記憶,使得記憶的數(shù)學(xué)知識(shí)會(huì)很快遺忘,或用時(shí)難以提取出來(lái).數(shù)學(xué)能力平常的部分學(xué)生和數(shù)學(xué)能力差的學(xué)生往往采取機(jī)械記憶完全平方公式,使得對(duì)完全平方公式的保持構(gòu)成了障礙. 3、知識(shí)的遷移 遷移就是一種學(xué)習(xí)對(duì)另一種學(xué)習(xí)的影響.遷移現(xiàn)象是客觀存在的,但遷移的發(fā)生不是無(wú)條件的,也不是自動(dòng)的,而是有規(guī)律的.下面從影響知識(shí)遷移的基本因素角度來(lái)分析學(xué)生對(duì)完全平方公式掌握中存在的障礙.（1）對(duì)象之間的共同因素.遷移決定于已學(xué)知識(shí)和將要學(xué)習(xí)的知識(shí)之間的相同

14、因素.相同因素越多,遷移量越大.這就是說(shuō),新刺激要求舊反應(yīng)時(shí)最容易也最自然產(chǎn)生遷移.學(xué)生已記憶完全平方公式的表面形式,但是找不到形式上有所不同如的計(jì)算與其之間的共同因素,因此在解答這些變式題目時(shí)就難以正確遷移完全平方公式,從而也就形成了對(duì)該公式的進(jìn)一步理解和深入記憶的障礙.（2）理解和概括水平.只要一個(gè)人理解了知識(shí),概括了自己的經(jīng)驗(yàn),就能完成從一種學(xué)習(xí)情景到另一種學(xué)習(xí)情景的正遷移,即原有的知識(shí)的概括水平越高,遷移的可能性越大.已有的知識(shí)的概括性之所以影響遷移,主要是由于在遷移過(guò)程中學(xué)生必須依據(jù)已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)去辨別當(dāng)前的事物.如果已有的經(jīng)驗(yàn)概括水平高,反映了事物的本質(zhì),把它納入到已有的經(jīng)驗(yàn)系統(tǒng)中

15、去,這樣遷移就順利.否則就會(huì)給遷移造成困難和錯(cuò)誤.有些學(xué)生對(duì)完全平方公式只是死記硬背,沒(méi)有理解完全平方公式就是多項(xiàng)式乘法的特殊情形而只記憶公式的表象,接著又沒(méi)有真正理解公式所蘊(yùn)涵的模型、符號(hào)思想等方面的意義,即對(duì)該公式的概括水平較低,因而能夠遷移公式的可能性也比較小,對(duì)于復(fù)雜多變的運(yùn)用完全平方公式的題目那就更是一籌莫展了.又如對(duì)公式只理解到2ab的符號(hào)與兩數(shù)a、b中間的運(yùn)算符號(hào)一致的水平,而不能概括到根據(jù)a、b兩數(shù)是同號(hào)還是異號(hào)來(lái)確定2ab的符號(hào)的水平,從而對(duì)于如的計(jì)算就出現(xiàn)符號(hào)上的錯(cuò)誤.（3）認(rèn)知結(jié)構(gòu).學(xué)生由于知識(shí)水平有限,往往抓不住事物的本質(zhì),以致混淆各類事物,造成負(fù)遷移.而且學(xué)生在原有學(xué)

16、習(xí)過(guò)程中能否形成一種有組織的、方法得當(dāng)?shù)乃伎挤绞交蚪鉀Q問(wèn)題的方式方法,這也同樣影響公式的遷移.學(xué)生在學(xué)習(xí)完平方差公式之后學(xué)習(xí)完全平方公式,學(xué)生已建立平方差公式的認(rèn)知結(jié)構(gòu),其結(jié)論只有簡(jiǎn)單兩項(xiàng),而完全平方公式的結(jié)論有三項(xiàng),且中間項(xiàng)是2ab,而不是平方形式的等等特征.因此學(xué)生原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)對(duì)完全平方公式的遷移是不利的,從而也就影響完全平方公式的認(rèn)知結(jié)構(gòu)的建立.（4）學(xué)習(xí)定勢(shì)的影響.所謂定勢(shì)指的是先于一定活動(dòng)而指向一定活動(dòng)的一種動(dòng)力準(zhǔn)備狀態(tài),而學(xué)習(xí)定勢(shì)則指以特殊方式進(jìn)行學(xué)習(xí)或作業(yè)的傾向.一般來(lái)說(shuō),運(yùn)用學(xué)習(xí)定勢(shì)解決同類性質(zhì)的新問(wèn)題時(shí)容易產(chǎn)生正遷移,若解決可變量的新問(wèn)題,則會(huì)產(chǎn)生負(fù)遷移.如學(xué)生解決如 的問(wèn)題

17、,a前面有“”號(hào),而學(xué)生受學(xué)習(xí)定勢(shì)a的符號(hào)是“+”,2ab的符號(hào)與a、b之間符號(hào)相同的影響得出錯(cuò)誤結(jié)果.因此學(xué)生受公式形式上的思維定勢(shì)而解決變式問(wèn)題時(shí)產(chǎn)生負(fù)遷移.（5）數(shù)學(xué)能力水平.研究表明,學(xué)生的數(shù)學(xué)能力水平影響著遷移的效果.學(xué)生的數(shù)學(xué)能力水平有所差異,故對(duì)于數(shù)學(xué)能力弱和數(shù)學(xué)能力平常的學(xué)生在學(xué)習(xí)掌握完全平方公式過(guò)程中有不同程度上的障礙.（6）良好的心理狀態(tài).心理狀態(tài)對(duì)知識(shí)的遷移同樣有重要影響,它既有積極的促進(jìn)作用,又有消極的干擾作用.如果學(xué)生對(duì)學(xué)習(xí)產(chǎn)生厭煩情緒、焦慮過(guò)度或神經(jīng)高度緊張等不利心理狀態(tài)會(huì)影響完全平方公式的遷移.此外,完全平方公式的鞏固和使用完全平方公式的熟練程度都會(huì)在一定程度上影

18、響完全平方公式遷移的產(chǎn)生. 此外,對(duì)符號(hào)總是存在一些專斷的人為的成分,學(xué)習(xí)一個(gè)新的符號(hào)對(duì)于記憶是一種負(fù)擔(dān).一個(gè)學(xué)生要是看不到這樣做會(huì)有什么好處,他就會(huì)拒絕承受這種負(fù)擔(dān).如果一個(gè)學(xué)生沒(méi)有足夠的機(jī)會(huì)通過(guò)自身的經(jīng)驗(yàn)來(lái)使自己相信,數(shù)學(xué)符號(hào)組成的語(yǔ)言有助于思維,那么他對(duì)代數(shù)的這種反感是無(wú)可非議的.這也構(gòu)成了中學(xué)生對(duì)完全平方公式所蘊(yùn)含的符號(hào)思想進(jìn)行記憶的障礙. 二、中學(xué)生對(duì)完全平方公式的記憶特點(diǎn)的實(shí)驗(yàn)研究分析 根據(jù)以上理論分析，期望通過(guò)實(shí)驗(yàn)研究找到中學(xué)生記憶完全平方公式的本質(zhì)所在.其中實(shí)驗(yàn)題系遵循義務(wù)制教育數(shù)學(xué)（北師大版）課本的教學(xué)順序由淺入深設(shè)計(jì),實(shí)驗(yàn)完畢記錄學(xué)生對(duì)這些題系解答的準(zhǔn)確率以及錯(cuò)誤結(jié)果,并分

19、析學(xué)生出現(xiàn)錯(cuò)誤結(jié)果的原因所在,從而真正了解學(xué)生到底是如何記憶該公式的.共分4組實(shí)驗(yàn)題系進(jìn)行研究分析。 第1組，順用完全平方公式進(jìn)行整式乘法題系，本組題分兩組進(jìn)行,1至5題是在學(xué)習(xí)完該公式1個(gè)月左右進(jìn)行測(cè)試,考察了本級(jí)6個(gè)班的測(cè)試結(jié)果;6至10題是在學(xué)習(xí)完該公式1個(gè)半學(xué)期并剛過(guò)完暑假后測(cè)試,考察了兩個(gè)班的測(cè)試結(jié)果,因兩個(gè)班的試驗(yàn)結(jié)果差不多,故選取記錄一個(gè)班的試驗(yàn)數(shù)據(jù). 第1次測(cè)試人數(shù)為300人，全對(duì)的人有人，占22%。根據(jù)對(duì)第1次測(cè)試的錯(cuò)誤結(jié)果數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)來(lái)看,學(xué)生的原有知識(shí)結(jié)構(gòu)中對(duì)記憶完全平方公式構(gòu)成最大障礙的是學(xué)生對(duì)負(fù)號(hào)“”的理解程度,即學(xué)生原有的數(shù)學(xué)思想符號(hào)思想的水平.其次是學(xué)生對(duì)分配律的正確

20、理解程度,即學(xué)生對(duì)原有知識(shí)的概括水平.最后是學(xué)生對(duì)積的乘方運(yùn)算、冪的乘方運(yùn)算的掌握程度,即學(xué)生對(duì)原有基本運(yùn)算技能的掌握情況.部分學(xué)生原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)中認(rèn)為公式應(yīng)整齊、系數(shù)應(yīng)統(tǒng)一,用這種慣有方式來(lái)認(rèn)識(shí)完全平方公式也構(gòu)成了學(xué)生正確記憶完全平方公式中2ab系數(shù)的障礙. 第2次測(cè)試時(shí)間為10分鐘，記錄測(cè)試人數(shù)為52人。全對(duì)的有11人，約占21%。記錄出錯(cuò)誤情況是以考察運(yùn)用該公式的步驟為目的，故其他運(yùn)算步驟錯(cuò)誤的不屬于記錄范圍。根據(jù)記錄情況同樣發(fā)現(xiàn)以上結(jié)論,并從對(duì)第10小題的測(cè)試結(jié)果觀察到,學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)思想中的符號(hào)思想記憶效果較差,即把 看成一個(gè)整體作為公式中的符號(hào)a來(lái)記憶公式的學(xué)生較少,而多數(shù)學(xué)生選擇記憶公

21、式的推導(dǎo)得出的結(jié)論,也就是說(shuō),學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)思想中的符號(hào)思想的認(rèn)識(shí)也構(gòu)成了學(xué)生對(duì)記憶完全平方公式的障礙. 此外,第2次測(cè)試限制了時(shí)間,是為了考察學(xué)生提取公式的速度.根據(jù)測(cè)試結(jié)果,有不少學(xué)生不能完成全部的測(cè)試題目,由此可以看出,有些學(xué)生不能在需要時(shí)快速準(zhǔn)確提取完全平方公式進(jìn)行計(jì)算,而有些學(xué)生提取公式的速度較慢,體現(xiàn)了學(xué)生記憶該公式不夠牢固,也反映了遺忘規(guī)律. 第2組，利用完全平方公式進(jìn)行因式分解題系，本體系共10題,在學(xué)生學(xué)習(xí)完因式分解后測(cè)試該體系.其中7、8題是為了混淆學(xué)生運(yùn)用公式的,以檢測(cè)學(xué)生記憶該公式的準(zhǔn)確性. 本測(cè)試時(shí)間為10分鐘,測(cè)試對(duì)象為53名學(xué)生.全對(duì)的有36人，約占68%。根據(jù)出錯(cuò)情

22、況統(tǒng)計(jì)分析可知，因本測(cè)試是在學(xué)完因式分解后立即測(cè)試,即學(xué)生還未產(chǎn)生遺忘,對(duì)公式的表象形式記憶還很好,但是對(duì)于數(shù)學(xué)能力差的學(xué)生由于不能正確掌握公式的概括性意義而出現(xiàn)錯(cuò)誤.本測(cè)試題目數(shù)據(jù)簡(jiǎn)單且學(xué)生剛學(xué)完此內(nèi)容具有模仿性思維以及分解因式中完全平方公式的思維定勢(shì),故出現(xiàn)錯(cuò)誤相對(duì)來(lái)說(shuō)人數(shù)較少.原因在于學(xué)生有這樣的認(rèn)識(shí)：只要給一個(gè)二次三項(xiàng)式都可以用完全平方公式來(lái)進(jìn)行因式分解.而本質(zhì)上學(xué)生并未真正觀察檢驗(yàn)所給的二次三項(xiàng)式是否滿足公式左邊的條件.本人曾在測(cè)試初將測(cè)試第6小題的題目故意改成 ,只有11人發(fā)現(xiàn)不能運(yùn)用完全平方公式進(jìn)行因式分解,約占總?cè)藬?shù)的21%.其他學(xué)生直接寫(xiě)下了結(jié)果.由此試驗(yàn)可以看出學(xué)生逆用公式

23、時(shí),因未學(xué)習(xí)其他分解二次三項(xiàng)式的方法且平時(shí)所見(jiàn)題目都是符合公式 左邊的條件而出現(xiàn)的,故對(duì)于數(shù)學(xué)能力一般和數(shù)學(xué)能力差的學(xué)生在認(rèn)知中并未真正形成對(duì)公式左邊的概括性記憶的結(jié)構(gòu).又如對(duì)于第9小題中含有符號(hào)變化,便出現(xiàn)較多的錯(cuò)誤,約占13%.還如第10題需要把(x+y)看作一個(gè)整體而運(yùn)用完全平方公式時(shí)也出現(xiàn)較多錯(cuò)誤,約占15%等都可以說(shuō)明以上結(jié)論. 第3組，利用完全平方公式使用配方法解一元二次方程題系，本體系測(cè)試題目分兩部分進(jìn)行,1至5題為第一部分,6至10題為第二部分.測(cè)試時(shí)間為在老師簡(jiǎn)單講解此內(nèi)容后第二天,并且在此之前未學(xué)習(xí)任何解一元二次方程的方法.第1至5小題測(cè)試了52名學(xué)生, 在教師講解完15小

24、題的錯(cuò)誤并簡(jiǎn)單講解二次項(xiàng)系數(shù)不為1的一元二次方程的解法（大概10分鐘）后立即測(cè)試第610小題.測(cè)試人數(shù)為52人，第一部分全對(duì)的有20人，約占38.6%；第二部分全對(duì)的有13人，約占25%。第3組測(cè)試題目對(duì)學(xué)生的概括性記憶和知識(shí)遷移效果要求較高,通過(guò)測(cè)試結(jié)果體現(xiàn)了多數(shù)學(xué)生對(duì)完全平方公式的概括性記憶較差,即體現(xiàn)了不同學(xué)生選擇記憶形式的不同,更多學(xué)生選擇傾向于選擇低層次的記憶形式機(jī)械記憶方式,這構(gòu)成了學(xué)生對(duì)完全平方公式的記憶性障礙.另一方面,學(xué)生對(duì)完全平方公式遷移到配方法解方程都遇到了不同層次的障礙.從出現(xiàn)錯(cuò)誤的學(xué)生的平時(shí)學(xué)習(xí)情況及測(cè)試中出現(xiàn)錯(cuò)誤的情況可以看出,這些學(xué)生的理解概括水平、原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)、

25、學(xué)習(xí)定勢(shì)以及數(shù)學(xué)能力水平是成為他們深層次記憶完全平方公式的障礙的原因.此外,測(cè)試結(jié)果中出現(xiàn)了兩個(gè)公式的混淆使用,即學(xué)生不能準(zhǔn)確記憶該公式. 第4組，運(yùn)用公式綜合解答的實(shí)驗(yàn)題系，本測(cè)試選取了8名數(shù)學(xué)能力強(qiáng)的中學(xué)生（其中4名男生、4名女生）進(jìn)行測(cè)試.要求他們寫(xiě)出思考過(guò)程（主要指學(xué)生解答題目的嘗試過(guò)程）.前面5題8名學(xué)生都能根據(jù)題目中的隱含提示找到相應(yīng)的完全平方公式從而正確解答題目,即說(shuō)明數(shù)學(xué)能力強(qiáng)的學(xué)生能準(zhǔn)確、迅速、牢固地記憶該公式.但解答第6題時(shí),被選取8名數(shù)學(xué)能力強(qiáng)的學(xué)生都第一時(shí)間想到運(yùn)用公式而將題目條件變形為= 2,但卻難想到運(yùn)用公式將條件變形為 從而也就難以正確解答.由此可見(jiàn),在測(cè)試題目中

26、沒(méi)有明確提示用公式還是時(shí),學(xué)生更傾向于選擇運(yùn)用 解答. 以上4組題系是對(duì)公式的正向運(yùn)用,對(duì)公式的逆向運(yùn)用,構(gòu)造公式的運(yùn)用到對(duì)公式的綜合運(yùn)用,隨著難度的增加,學(xué)生出現(xiàn)錯(cuò)誤的情形也越來(lái)越多.從4組測(cè)試結(jié)果以及根據(jù)被測(cè)試的學(xué)生的數(shù)學(xué)能力水平的了解可以看出,不同數(shù)學(xué)能力水平的學(xué)生對(duì)記憶完全平方公式的加工方式和重復(fù)方式都有所不同,這也影響了中學(xué)生對(duì)完全平方公式的記憶效果,構(gòu)成了他們對(duì)記憶完全平方公式的不同程度上的障礙. 在第1組中，完全正確記憶并正確使用公式進(jìn)行整式乘法的學(xué)生人數(shù)約占22%,第2組中真正掌握完全平方式分解的學(xué)生人數(shù)約占21%,第3組中正確記憶完全平方公式并運(yùn)用配方法正確解一元二次方程的學(xué)生人數(shù)約占25%，從這三個(gè)數(shù)據(jù)可以看出,真正掌握對(duì)完全平方公式記憶的學(xué)生基本上可以確定是相同的.因此，根據(jù)以上4組測(cè)試結(jié)果可以看出,數(shù)學(xué)能力差的學(xué)生只能簡(jiǎn)單機(jī)械記憶公式的表象且保持困難,在教學(xué)訓(xùn)練下可以簡(jiǎn)單