1、學(xué)生學(xué)號(hào)實(shí)驗(yàn)課成績(jī) 武漢理工大學(xué) 學(xué) 生 實(shí) 驗(yàn) 報(bào) 告 書(shū) 實(shí)驗(yàn)課程名稱： 數(shù) 值 分 析 開(kāi) 課 名 稱：計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院 指導(dǎo)老師姓名： 熊盛武學(xué) 生 姓 名： 學(xué)生專業(yè)班級(jí)： 2009 2010學(xué)年 第 一 學(xué)期一、實(shí)習(xí)目的：（1）、通過(guò)編程計(jì)算實(shí)踐，體會(huì)和理解二分法、簡(jiǎn)單迭代法、Newton迭代法和弦截法的算法思想。（2）、通過(guò)編程計(jì)算實(shí)踐，熟練各種算法的計(jì)算流程。（3）、通過(guò)各種方法對(duì)同一問(wèn)題的求解，體會(huì)各種方法的精度差異。（4）、通過(guò)編程計(jì)算實(shí)踐，深入領(lǐng)會(huì)和掌握迭代算法的改進(jìn)思路，提高對(duì)算法改進(jìn)技巧的本質(zhì)的認(rèn)識(shí)以及算法流程的實(shí)際控制技術(shù)。二、實(shí)習(xí)步驟和內(nèi)容：（1）、分別畫(huà)出二

2、分法，簡(jiǎn)單迭代法，牛頓迭代法和弦截法的算法流程圖。（2）、分別畫(huà)出二分法和簡(jiǎn)單迭代法通過(guò)編程計(jì)算x*x*x-x-1=0在1,2內(nèi)的近似根，要求精度達(dá)到0.0001和0.00001，并給出二分法和迭代的次數(shù)，分析和比較算法的效率差異，和精度差異，最后與理論估計(jì)的二分和迭代次數(shù)作比較。（3）、用Aitken算法通過(guò)編程計(jì)算x*x*x-x-1=0在1,2內(nèi)的近似根，要求精度達(dá)到0.0001，并分析算法精度與二分法的結(jié)果進(jìn)行比較。（4）、分別用牛頓迭代法和弦截法通過(guò)編程計(jì)算x*x*x-x-1=0在1,2內(nèi)的近似根，要求精度達(dá)到0.00001，并分析算法及不同方法的計(jì)算量。然后將程序應(yīng)用于以下方程求根（

3、1）.x=(2-ex+x*x)/3 （2）3*x*x-ex=0。分析和比較算法的效率差異：收斂速度和總計(jì)算量等之間的關(guān)系。三、算法流程圖：（1）、二分法計(jì)算流程圖：b-aeb=xa=xf(a)f(x)e求根區(qū)間a,b循環(huán)次數(shù)i,i=0否是是否是否（2）、簡(jiǎn)單迭代法算法流程圖：開(kāi)始定義函數(shù)s(t)=t+1方程x*x*x-x-1=0輸入迭代初始值x0,控制精度e.迭代次數(shù)i，i= 0x1=pow(s(x0),1.0/3.0);否fabs(x1-x0)e是i+;x1=pow(s(x0),1.0/3.0);x0=x1;x1=pow(s(x0),1.0/3.0);是輸出近似根x,迭代次數(shù)i結(jié)束x=(x1

4、+x0)/2fabs(x1-x0)ee否（3）、Aitken算法程序流程圖：開(kāi)始定義函數(shù)s(t)= t*t*t-1輸入迭代初始值x0,控制精度e,循環(huán)次數(shù)I,i=0fabs(x0*x0*x0-x0-1)ei+;x1=s(x0);x2=s(x1);x0=x2-(x2-x1)*(x2-x1)/(x2-2*x1+pow(x1+1),1.0/3.0);x=x0;輸出近似根x迭代次數(shù)e結(jié)束fabs(x0*x0*x0-x0-1)e否是是否（4）、牛頓迭代法流程圖：開(kāi)始定義函數(shù)s(t)=t-(t*t*t-t-1)/(3*t*t-1)迭代初始值x0,控制精度e，迭代次數(shù)i,i=0x1=x0fabs(s(x1)

5、-x1)ei+;x2=s(x1);x1=x2;輸出近似根x,迭代次數(shù)ix=(x1+x2)/2;結(jié)束fabs(s(x1)-x1)e否是是否二分法算法描述：（1）、程序開(kāi)始（2）、輸入求根區(qū)間a,b和精度控制量e,方程x*x*x-x-1=0。循環(huán)變量i=0（3）、判斷b-ae是否成立，若成立執(zhí)行下面的操作，若不成立，程序結(jié)束。（4）、計(jì)算中值點(diǎn)x=(a+b)/2及f(x)的值,i+當(dāng) f(a)*f(x)0 時(shí)： a=x， 得到新的求根區(qū)間a,b（5）、判斷b-ae是否成立，若成立返回步驟4，若不成立，往下執(zhí)行。（6）、t=(a+b)/2（7）、輸出近似根t, 循環(huán)次數(shù)i （8）、程序結(jié)束二分法程序

6、源代碼：#include#include#define f(x) (x*x*x-x-1)using namespace std;int main()int i;float x,t,a,b,e;cout請(qǐng)輸入求根區(qū)間a,b控制變量eabe;i=0;while (b-a)e)i+;x=(a+b)/2;if (f(a)*f(x)0) a=x;t=(a+b)/2;cout在求根區(qū)間a,b間近似根t=tendl;cout所需二分法次數(shù)i=ie)改為while (b-a)e（4）、當(dāng)判別式成立時(shí)，執(zhí)行下面程序，當(dāng)判別式不成立時(shí)，程序結(jié)束。（5）、 i+;x1=pow(s(x0),1.0/3.0);x0=x

7、1;x1=pow(s(x0),1.0/3.0);（6）、判斷fabs(x1-x0)e（7）、當(dāng)判別式成立時(shí)，返回到步驟5，當(dāng)判別式不成立時(shí)，往下執(zhí)行。（8）、輸出近似根x迭代次數(shù)i（9）、程序結(jié)束。簡(jiǎn)單迭代法程序源代碼：#include#includedouble s(double t)return (t+1);using namespace std;int main()int i;double x,x0,x1,e;cout請(qǐng)輸入迭代初始值x0,和控制精度ex0e;i=0;while (fabs(x1-x0)e)i+;x1=pow(s(x0),1.0/3.0);x0=x1;x1=pow(s(x

8、0),1.0/3.0);x=(x1+x0)/2;cout近似根x=xendl;cout所需迭代次數(shù)i=ie判別式，若成立，執(zhí)行下面操作，若不成立，程序結(jié)束4 .i+;x1=s(x0);x2=s(x1);x0=x2-(x2-x1)*(x2-x1)/(x2-2*x1+pow(x1+1),1.0/3.0);5判斷fabs(x0*x0*x0-x0-1)e判別式，若成立，返回步驟4，若不成立，往下執(zhí)行。6. x=x0; 7輸出近似根x迭代次數(shù)i8程序結(jié)束Aitken算法程序源代碼：#include#includedouble s(double t)return (t*t*t-1);using names

9、pace std;int main()int i;double x,x0,x1,x2,e;cout請(qǐng)輸入迭代初始值x0,和控制精度ex0e;i=0;while(fabs(x0*x0*x0-x0-1)e)i+;x1=s(x0);x2=s(x1);x0=x2-(x2-x1)*(x2-x1)/(x2-2*x1+pow(x1+1),1.0/3.0);x=x0;cout近似根x=xendl;cout所需迭代次數(shù)i=ie是否成立，若成立，執(zhí)行下面操作，若不成立，程序結(jié)束。（6）、.i+; x2=s(x1); x1=x2;（7）、判斷判別式fabs(s(x1)-x1)e.是否成立，若成立，返回操作5，若不成

10、立，往下執(zhí)行。（8）、x=(x1+x2)/2;（9）、輸出近似根x,迭代次數(shù)i（10）、程序結(jié)束牛頓迭代法程序源代碼：#include#includedouble s(double t)return t-(t*t*t-t-1)/(3*t*t-1);using namespace std;int main()int i;double x,x0,x1,x2,e;cout請(qǐng)輸入迭代初始值x0,和控制精度ex0e;i=0;x1=x0;while(fabs(s(x1)-x1)e)i+;x2=s(x1);x1=x2;x=(x1+x2)/2;cout近似根x=xendl;cout所需迭代次數(shù)i=ie是否成立

11、，若成立，執(zhí)行下面操作，若不成立，程序結(jié)束。（5）、i+;x2=x1-s(x1)*(x1-x0)/(s(x1)-s(x0);x0=x1;x1=x2;（6）、判斷判別式fabs(x1-x0)e是否成立，若成立，返回操作5，若不成立，我那個(gè)下執(zhí)行。（7）、x=(x1+x2)/2;（8）、輸出近似根x，迭代次數(shù)i（9）、程序結(jié)束。弦截法程序源代碼：#include#includedouble s(double t)return t*t*t-t-1;using namespace std;int main()int i;double x,x0,x1,x2,e;cout請(qǐng)輸入迭代初始值x0,x1,和控制

12、精度ex0x1e;i=0;while(fabs(x1-x0)e)i+;x2=x1-s(x1)*(x1-x0)/(s(x1)-s(x0);x0=x1;x1=x2;x=(x1+x2)/2;cout近似根x=xendl;cout所需迭代次數(shù)i=iendl;return 0;調(diào)試過(guò)程，實(shí)驗(yàn)結(jié)果及分析：對(duì)于x0=1,x1=2 利用弦截法程序運(yùn)行結(jié)果如下圖：弦截法對(duì)精度0.00001，需要迭代7次才能得到近似根，收斂速度比牛頓法慢些，但它的計(jì)算量比牛頓迭代法少，特別是導(dǎo)數(shù)的計(jì)算比較復(fù)雜時(shí)，弦截法更現(xiàn)實(shí)了它的優(yōu)越性。對(duì)于 x=(2-ex+x*x)/3 應(yīng)用弦截運(yùn)行結(jié)果如下圖：對(duì)于3*x*x-ex=0 應(yīng)用牛

13、頓迭代法程序運(yùn)行結(jié)果如下圖：弦截法局部收斂的速度比牛頓法略慢一些，弦截法計(jì)算過(guò)程中沒(méi)有導(dǎo)數(shù)的計(jì)算，弦截法的計(jì)算量比牛頓法少。實(shí)驗(yàn)小結(jié)及體會(huì)：試驗(yàn)中練習(xí)了方程求根的迭代法，在選擇和使用各種迭代格式中，最重要的是判斷其收斂性及了解其收斂速度。在實(shí)際計(jì)算中，不一定都要判斷迭代格式的收斂性才予使用，也可以根據(jù)對(duì)問(wèn)題解的了解及獲得的迭代序列來(lái)判斷是否收斂于所要的根，但要注意，對(duì)于局部收斂的迭代格式（如牛頓迭代法）迭代初值的選取非常重要。在實(shí)際計(jì)算中，不一定都要先判斷迭代格式的收斂性才予使用，也可以根據(jù)對(duì)問(wèn)題解的了解及獲得的迭代序列來(lái)判斷是否收斂于所要的根。但要注意，對(duì)于局部的迭代格式，迭代初值的選取特別重要。（1）、二分法既可用于根的搜索，又可用于根的精確化，盡管收斂速度不太快，也不能用于求方程得復(fù)根，但是很簡(jiǎn)單，是一種常用的方法。但在應(yīng)用二分法之前,求含根區(qū)間是一個(gè)比較重要的工作，可通過(guò)列一個(gè)函數(shù)表來(lái)求含根區(qū)間。二分法簡(jiǎn)