1、前言21世紀(jì)，數(shù)字化時(shí)代已經(jīng)來(lái)臨，數(shù)學(xué)在人類社會(huì)中發(fā)揮著日益重要的作用。作為基礎(chǔ)教育的核心課程，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與孩子的思維發(fā)展密切相關(guān)。為了激發(fā)孩子的學(xué)習(xí)興趣，培養(yǎng)良好學(xué)習(xí)習(xí)慣，提高孩子的邏輯思維能力和創(chuàng)新能力，幫助孩子考上一所名牌中學(xué)，我們特此編寫(xiě)了本教材。具體來(lái)說(shuō)本教材有以下幾個(gè)方面的亮點(diǎn)：1內(nèi)容豐富：本書(shū)根據(jù)新課標(biāo)對(duì)小學(xué)階段數(shù)學(xué)知識(shí)的劃分，安排了數(shù)的認(rèn)識(shí)、數(shù)的運(yùn)算、空間與圖形、解決問(wèn)題、實(shí)戰(zhàn)模擬五個(gè)板塊的內(nèi)容。分類系統(tǒng)學(xué)習(xí)，各個(gè)擊破，提高效率，針對(duì)性和指導(dǎo)性更強(qiáng)。2循序漸進(jìn)：本書(shū)的例題講解由淺入深，解答過(guò)程剖析詳盡。拓展演練與例題講解的要點(diǎn)密切配合，引導(dǎo)學(xué)生拾級(jí)而上，循序漸進(jìn)地進(jìn)行學(xué)習(xí)。3專題

2、輔導(dǎo)：精心摘錄了各校試卷中相關(guān)內(nèi)容的不同題型，方便教師和家長(zhǎng)有針對(duì)性地輔導(dǎo)，也可使學(xué)生從題海中解脫出來(lái)，精練典型題，從而實(shí)現(xiàn)舉一反三的學(xué)習(xí)目的。4選題新穎：所選例題和練習(xí)題內(nèi)容豐富，貼近學(xué)生的現(xiàn)實(shí)生活，開(kāi)闊學(xué)生的數(shù)學(xué)視野，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，培養(yǎng)孩子創(chuàng)新思維能力。今天，我們?yōu)楹⒆犹峁┮惶c(diǎn)撥方法、啟迪思維的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)禮物。希望通過(guò)我們的引導(dǎo)，讓孩子擁有學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的智慧和快樂(lè)，在學(xué)習(xí)中找到成功的喜悅，培養(yǎng)孩子的創(chuàng)新思維能力，幫助他們塑造一個(gè)真正富有競(jìng)爭(zhēng)力的未來(lái)。目錄一、數(shù)的認(rèn)識(shí)第1講 數(shù)的認(rèn)識(shí)1第2講 數(shù)的整除5二、數(shù)的運(yùn)算第3講 簡(jiǎn)便運(yùn)算（1）8第4講 簡(jiǎn)便運(yùn)算（2）10第5講 簡(jiǎn)便運(yùn)算（3）14

3、第6講 簡(jiǎn)易方程16第7講 定義新運(yùn)算19三、空間與圖形第8講 巧求面積（1）22第9講 巧求面積（2）25第10講 長(zhǎng)方體的表面積和體積28第11講 圓柱體的表面積31第12講 圓柱和圓錐的體積34四、解決問(wèn)題第13講 畫(huà)圖法解應(yīng)用題37第14講 假設(shè)法解應(yīng)用題40第15講 列方程解應(yīng)用題（1）43第16講 列方程解應(yīng)用題（2）46第17講 行程問(wèn)題之多次相遇49第18講 行程問(wèn)題之環(huán)形賽道52第19講 行程問(wèn)題之巧用比例54第20講 圖示法解分?jǐn)?shù)應(yīng)用題57第21講 還原法解分?jǐn)?shù)應(yīng)用題61第22講 轉(zhuǎn)化法解分?jǐn)?shù)應(yīng)用題64第23講 抓住不變量解分?jǐn)?shù)應(yīng)用題67第24講 巧用比解分?jǐn)?shù)應(yīng)用題70第2

4、5講 對(duì)應(yīng)法解分?jǐn)?shù)應(yīng)用題73第26講 假設(shè)法解分?jǐn)?shù)應(yīng)用題76第27講 百分?jǐn)?shù)應(yīng)用題溶劑問(wèn)題79第28講 工程問(wèn)題（1）82第29講 工程問(wèn)題（2）85第30講 按比例分配87第31講 比例的應(yīng)用（1）90第32講 比例的應(yīng)用（2）93第33講 牛吃草問(wèn)題96第34講 時(shí)鐘問(wèn)題99第35講 容斥原理102第36講 抽屜原理105五、實(shí)戰(zhàn)模擬小升初選校模擬試卷（一）107小升初選校模擬試卷（二）110小升初選校模擬試卷（三）114小升初選校模擬試卷（四）118第1講 數(shù)的認(rèn)識(shí)一、夯實(shí)基礎(chǔ)1數(shù)的意義（1）自然數(shù)我們?cè)跀?shù)物體的時(shí)候，用來(lái)表示物體個(gè)數(shù)的數(shù)，像1、2、3叫做自然數(shù)。（2）小數(shù)把整數(shù)“1”平

5、均分成10份、100份、1000份這樣的一份或幾份是十分之幾、百分之幾、千分之幾可以用小數(shù)表示。（3）分?jǐn)?shù)把單位“1”平均分成若干份，表示這樣的一份或幾份的數(shù)叫做分?jǐn)?shù)。（4）百分?jǐn)?shù)表示一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)的百分之幾的數(shù)，叫做百分?jǐn)?shù)。百分?jǐn)?shù)也叫百分率或百分比。百分?jǐn)?shù)不能表示一個(gè)確定的數(shù)量，因此，百分?jǐn)?shù)后面不帶計(jì)量單位。2數(shù)的大小比較（1）整數(shù)的大小比較比較兩個(gè)整數(shù)的大小，先看位數(shù)，位數(shù)多的數(shù)大；位數(shù)相同，從最高位看起，相同數(shù)位上的數(shù)大的那個(gè)數(shù)就大。（2）小數(shù)的大小比較比較兩個(gè)小數(shù)的大小，先看整數(shù)部分，整數(shù)部分大的小數(shù)比較大；如果整數(shù)部分相同，就看十分位，十分位大的小數(shù)比較大；如果十分位相同，再看百分

6、位，百分位大的小數(shù)比較大（3）分?jǐn)?shù)的大小比較 整數(shù)部分相同的同分母分?jǐn)?shù)，分子大的分?jǐn)?shù)比較大。例如：，22。整數(shù)部分相同的同分子分?jǐn)?shù)，分母小的分?jǐn)?shù)比較大。例如：，33。分子、分母不相同的分?jǐn)?shù)，一般先通分再比較，也可以把各個(gè)分?jǐn)?shù)化成小數(shù)再進(jìn)行比較。3小數(shù)、分?jǐn)?shù)、百分?jǐn)?shù)的互化（1）小數(shù)化成分?jǐn)?shù)。原來(lái)是幾位小數(shù)，就在1后面寫(xiě)幾個(gè)零做分母，把原來(lái)的小數(shù)去掉小數(shù)點(diǎn)做分子，能約分的約分。（2）分?jǐn)?shù)化成小數(shù)。分母是10、100、1000的分?jǐn)?shù)，可以直接去掉分母，看分母中1后面有幾個(gè)零，就在分子從最后一位起向左數(shù)出幾位，點(diǎn)上小數(shù)點(diǎn)。分母是任意自然數(shù)的分?jǐn)?shù)化成小數(shù)的一般方法是分母去除分子。一個(gè)最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)，如果分母中

7、有除了2和5以外的質(zhì)因數(shù)，這個(gè)分?jǐn)?shù)就不能化成有限小數(shù)。（3）小數(shù)化成百分?jǐn)?shù)。只要把小數(shù)點(diǎn)向右移動(dòng)兩位，同時(shí)在后面添上百分號(hào)。（4）百分?jǐn)?shù)化成小數(shù)。只要把百分號(hào)去掉，同時(shí)把小數(shù)點(diǎn)向左移動(dòng)兩位。（5）分?jǐn)?shù)化成百分?jǐn)?shù)。通常把分?jǐn)?shù)化成小數(shù)后（遇到除不盡時(shí)常要保留三位小數(shù)），再化成百分?jǐn)?shù)。（6）百分?jǐn)?shù)化成分?jǐn)?shù)。先把百分?jǐn)?shù)改成分母是100的分?jǐn)?shù)，再約分成最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)。二、典型例題例1比較下列各組分?jǐn)?shù)的大小 （1）和 （2）和分析：進(jìn)行分?jǐn)?shù)的大小比較時(shí)，首先要仔細(xì)觀察每組分?jǐn)?shù)的特點(diǎn)，然后再靈活選擇比較方法，比較的方法越簡(jiǎn)單越好。（1）和這兩個(gè)分?jǐn)?shù)的分母比較大，分子比較小，可變?yōu)橥肿颖容^。 （2）和這兩個(gè)分?jǐn)?shù)一

8、個(gè)大于，一個(gè)小于，可用為標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行比較。 解（1）：=，=， ，得出。 解（2）：，得出。例2某數(shù)增加它的20%后，再減少20%，結(jié)果比原數(shù)減少了（ ）。 A. 4% B. 5% C. 10% D. 20%分析：宜用設(shè)數(shù)驗(yàn)證法?？梢酝ㄟ^(guò)設(shè)數(shù)計(jì)算來(lái)加以判斷。解：設(shè)某數(shù)為100則100（1+20%）=120， 120（120%）=96，（10096）100=4%。故應(yīng)選A。數(shù)的認(rèn)識(shí)課堂過(guò)關(guān)卷一、細(xì)心填空1用3個(gè)0和3個(gè)6組成一個(gè)六位數(shù)，只讀一個(gè)零的最大六位數(shù)是（ ）；讀兩個(gè)零的六位數(shù)是（ ）；一個(gè)零也不讀的最小六位數(shù)是（ ）。2一個(gè)三位小數(shù)，四舍五入后得4.80，這個(gè)三位小數(shù)最大是（ ），最小是（

9、）。3若被減數(shù)、減數(shù)與差這三個(gè)數(shù)的和為36，那么被減數(shù)為（ ）。4把0.35，34%，從大到小排序（ ）。5某班男生人數(shù)是女生的，女生人數(shù)占全班人數(shù)的（ ）6甲數(shù)比乙數(shù)多25%，則乙數(shù)比甲數(shù)少（ ）%。7一個(gè)分?jǐn)?shù)的分子比分母少20，約分后是，這個(gè)分?jǐn)?shù)是（ ）。8寫(xiě)出三個(gè)比小，而比大的最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)是（ ）、（ ）、（ ）。9中有（ ）個(gè)。10有一個(gè)最簡(jiǎn)真分?jǐn)?shù)，分子和分母的積是36，這個(gè)分?jǐn)?shù)最大是（ ）。11A+B=60，AB=，A=（ ），B=（ ）。12( )( )=(填兩個(gè)分母小于12的分?jǐn)?shù)) = (填兩個(gè)不同的整數(shù))。13一個(gè)最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)，若分子加上1，可以約簡(jiǎn)為，若分子減去一，可化簡(jiǎn)成，這個(gè)分?jǐn)?shù)

10、是（ ）。14修一段600米長(zhǎng)的路，甲隊(duì)單獨(dú)修8天完成，乙隊(duì)單獨(dú)修10天完成。兩隊(duì)合修（ ）天完成它的。15一種商品，先提價(jià)20%，又降價(jià)20%后售價(jià)為96元，原價(jià)為（ ）元。16甲、乙兩個(gè)數(shù)的差是35.4，甲、乙兩個(gè)數(shù)的比是5：2，這兩個(gè)數(shù)的和是（ ）。17有甲、乙、丙三種，甲種鹽水含鹽量為4%，乙種鹽水含鹽量為5%，丙種鹽水含鹽量為6%?，F(xiàn)在要用這三種鹽水中的一種來(lái)加水稀釋，得到含鹽量為2%的鹽水60千克。如果這項(xiàng)工作由你來(lái)做，你打算用（ ）種鹽水，?。?）千克，加水（ ）千克。18x表示取數(shù)x的整數(shù)部分，比如13.58=13。若x=8.34，則x2x3x=（ ）。二、選擇1 最大的小數(shù)單

11、位與最小的質(zhì)數(shù)相差（ ）。 A 1.1 B 1.9 C 0.9 D 0.123.999保留兩位小數(shù)是（ ）。 A 3.99 B 4.0 C4.00 D3.903下列四個(gè)數(shù)中，最大的是（ ）。A101% B0. CD1 4.平均每小時(shí)有36至45人乘坐游覽車(chē)，那么3小時(shí)中有 人乘坐游覽車(chē)。 A少于100 B100與150之間 C150與200之間 D200與250之間5.小明所在班級(jí)的數(shù)學(xué)平均成績(jī)是98分，小強(qiáng)所在班級(jí)的數(shù)學(xué)平均成績(jī)是96分，小明考試得分比小強(qiáng)的得分（ ）。 A高 B低 C一樣高 D無(wú)法確定6一次數(shù)學(xué)考試，5名同學(xué)的分?jǐn)?shù)從小到大排列是74分、82分、a分、88分、92分，他們的平

12、均分可能是（ ）。A75 B84 C86 D93 7的分子加上6，如果要使這個(gè)分?jǐn)?shù)的大小不變，分母應(yīng)該（）A加上20 B加上6 C擴(kuò)大2倍 D增加3倍 8書(shū)店以50元賣(mài)出兩套不同的書(shū)，一套賺10%，一套虧本10%，書(shū)店是( ) A虧本 B賺錢(qián) C不虧也不賺9把1克鹽放入100克水中，鹽與鹽水的比是（ ）。 A1：99 B1：100 C1：101 D100：10110甲、乙兩個(gè)倉(cāng)庫(kù)所存煤的數(shù)量相同，如果把甲倉(cāng)煤的調(diào)入乙倉(cāng)，這時(shí)甲倉(cāng)中的煤的數(shù)量比乙倉(cāng)少（ ）。 A.50% B.40% C.25%三、星級(jí)挑戰(zhàn)1財(cái)會(huì)室會(huì)計(jì)結(jié)賬時(shí)，發(fā)現(xiàn)財(cái)面多出32.13元錢(qián)，后來(lái)發(fā)現(xiàn)是把一筆錢(qián)的小數(shù)點(diǎn)點(diǎn)錯(cuò)了一位，原來(lái)這

13、筆錢(qián)是多少元？ 2暑假期間，明明和亮亮去敬老院照顧老人。7月13日他們都去了敬老院，并約好明明每?jī)商烊ヒ淮?，亮亮?天去一次。（1）7月份，他們最后一次同去敬老院的日子是（ ）。（2）從7月13日到8月31日，他們一起去敬老院的情況有（ ）次。第2講 數(shù)的整除一、夯實(shí)基礎(chǔ)整數(shù)a除以整數(shù)b（b0），除得的商正好是整數(shù)而沒(méi)有余數(shù)，我們就說(shuō)a能被b整除，也可以說(shuō)b能整除a。如果數(shù)a能被數(shù)b整除，那么a就叫做b的倍數(shù)，b就叫做a的因數(shù)。能被2整除的數(shù)叫偶數(shù)。也就是個(gè)位上是0、2、4、6、8的數(shù)是偶數(shù)。不能被2整除的數(shù)叫奇數(shù)。也就是個(gè)位上是1，3，5，7，9的數(shù)是奇數(shù)。一個(gè)數(shù)如果只有1和它本身兩個(gè)因數(shù)，

14、這個(gè)數(shù)叫做質(zhì)數(shù)。一個(gè)數(shù)除了1和它本身，還有別的因數(shù)，這個(gè)數(shù)叫做合數(shù)。每個(gè)合數(shù)都可以寫(xiě)成幾個(gè)質(zhì)數(shù)相乘的形式，這幾個(gè)質(zhì)數(shù)都叫做這個(gè)合數(shù)的質(zhì)因數(shù)。把一個(gè)合數(shù)用質(zhì)因數(shù)相乘的形式表示出來(lái)，叫做分解質(zhì)因數(shù)。公因數(shù)只有1的兩個(gè)數(shù)或幾個(gè)數(shù)，叫做互質(zhì)數(shù)。幾個(gè)數(shù)公有的因數(shù)，叫做這幾個(gè)數(shù)的公因數(shù)，其中最大的一個(gè)，叫做最大公因數(shù)。幾個(gè)數(shù)公有的倍數(shù)，叫做這幾個(gè)數(shù)的公倍數(shù)。其中最小的一個(gè)叫做這個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù)。二、典型例題例1從0、7、5、3四個(gè)數(shù)字中選三個(gè)數(shù)字組成一個(gè)三位數(shù)，使組成的數(shù)能同時(shí)被2、3和5整除這樣的三位數(shù)有幾個(gè)？ 分析：根據(jù)能被2、3、5整除的數(shù)的特征，確定出所組成的三位數(shù)要能同時(shí)被2、3、5整除，這個(gè)三

15、位數(shù)的個(gè)位數(shù)字必須是0?，F(xiàn)在一共有四個(gè)數(shù)字，這個(gè)三位數(shù)的十位和百位上的數(shù)字只能從7、5、3三個(gè)數(shù)字中選取，且每位上數(shù)字的和要能被3整除。解：一共有兩個(gè)：570或750。例2有四個(gè)小朋友，他們的年齡剛好一個(gè)比一個(gè)大1歲，又知它們年齡的乘積是360。問(wèn)：其中年齡最大的小朋友是多少歲？分析：360是年齡的乘積，故可將360分解質(zhì)因數(shù)，再將這些質(zhì)因數(shù)依據(jù)題意，組合成4個(gè)連續(xù)自然數(shù)的乘積。再經(jīng)過(guò)比較、分析，便可找到年齡最大的小朋友的年齡數(shù)。解：360=222335=3（22）5（23）=3456 答：年齡最大的小朋友是6歲。例3同學(xué)們?cè)诓賵?chǎng)上列隊(duì)做體操，要求每行站的人數(shù)相等，當(dāng)他們站成10行、15行、1

16、8行、24行時(shí)，都能剛好站成一個(gè)長(zhǎng)方形隊(duì)伍，操場(chǎng)上同學(xué)最少是多少人？ 分析：題目要求的是“最少”為多少人，可知操場(chǎng)上的同學(xué)數(shù)量正好是10、15、18、和24的最小公倍數(shù)。解：10、15、18和24的最小公倍數(shù)是:2351134=360答：操場(chǎng)上的同學(xué)最少是360人。數(shù)的整除課堂過(guò)關(guān)卷一、填空1在l至20的自然數(shù)中，（ ）既是偶數(shù)又是質(zhì)數(shù)；（ ）既是奇數(shù)又是合數(shù)。2一個(gè)數(shù)，如果用2、3、5去除，正好都能整除，這個(gè)數(shù)最小是（ ），用一個(gè)數(shù)去除30、40、60正好都能整除，這個(gè)數(shù)最大是（ ）。38（ ）5（ ）同時(shí)是2， 3 ，5的倍數(shù)，則這個(gè)四位數(shù)為（ ）。4一個(gè)五位數(shù)735，如果這個(gè)數(shù)能同時(shí)被2

17、、3、5整除，那么代表的數(shù)字是（ ），代表的數(shù)字是( )。5從0、5、8、7中選擇三個(gè)數(shù)字組成一個(gè)同時(shí)能被2、3、5整除的最大三位數(shù)，這個(gè)三位數(shù)是（ ），把它分解質(zhì)因數(shù)是：（ ）。6把84分解質(zhì)因數(shù)：84=（ ）。72和54的最大公約數(shù)是（ ）。712的約數(shù)有（ ），從中選出4個(gè)數(shù)組成一個(gè)比例是（ ）。8公因數(shù)只有（ ）的兩個(gè)數(shù)，叫做互質(zhì)數(shù)，自然數(shù)a和（ ）一定是互質(zhì)數(shù)。9a、b都是非零自然數(shù)，且ab=c，c是自然數(shù)，（ ）是（ ）的因數(shù)，a、b的最大公因數(shù)是（ ），最小公倍數(shù)是（ ）。10A、B分解質(zhì)因數(shù)后分別是：A=237，B=257。A、B最大公因數(shù)是（ ），最小公倍數(shù)是（ ）。 11A

18、=223，B=2C5， 已知A、B兩數(shù)的最大公約數(shù)是6，那么C是（ ），A、B的最小公倍數(shù)是（ ）。12在括號(hào)里填上合適的質(zhì)數(shù)：（ ）（ ）=21=（ ）（ ）。13兩個(gè)質(zhì)數(shù)的和是2001，這兩個(gè)質(zhì)數(shù)和積是（ ）。1445與某數(shù)的最大公因數(shù)是15，最小公倍數(shù)是180，某數(shù)是（ ）。15已知兩個(gè)互質(zhì)數(shù)的最小公倍數(shù)是153，這兩個(gè)互質(zhì)數(shù)是（ ）和（）。二、解決問(wèn)題1有兩根繩子，第一根長(zhǎng)18米，第二根長(zhǎng)24米，要把它們剪成同樣長(zhǎng)短的跳繩，而且不能有剩余，每根跳繩最長(zhǎng)多少米？一共可剪成幾根跳繩？2一塊長(zhǎng)方形木板長(zhǎng)20分米，寬16分米。要鋸成相同的正方形木板，要求正方形木板的面積盡量大，而且原來(lái)木板沒(méi)有

19、剩余，可以鋸成多少塊？每塊正方形木板的面積是多少平方分米？3汽車(chē)站有開(kāi)住甲、乙、丙三地的汽車(chē)，到甲地的汽車(chē)每隔15分鐘開(kāi)出一輛；到乙地的汽車(chē)每隔27分鐘開(kāi)出一輛；到丙地的汽車(chē)每隔36分鐘開(kāi)出一輛。三路汽車(chē)在同一時(shí)刻發(fā)車(chē)以后，至少需要經(jīng)過(guò)多少時(shí)間，才能又在同一時(shí)刻發(fā)車(chē)？三、星級(jí)挑戰(zhàn)1有一行數(shù)：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，從第三個(gè)數(shù)開(kāi)始，每個(gè)數(shù)都是前兩個(gè)數(shù)的和，在前100個(gè)數(shù)中，偶數(shù)有多少個(gè)？ 2有一堆蘋(píng)果，如果3個(gè)3個(gè)的數(shù)，最后余2個(gè)，如果5個(gè)5個(gè)的數(shù)，最后余4個(gè)，如果7個(gè)7個(gè)的數(shù)，最后余6個(gè)，這堆蘋(píng)果最少有多少個(gè)？ 第3講 簡(jiǎn)便運(yùn)算（1）一、夯實(shí)基礎(chǔ)所謂簡(jiǎn)算，就是利用我們學(xué)

20、過(guò)的運(yùn)算法則和運(yùn)算性質(zhì)以及運(yùn)算技巧，來(lái)解決一些用常規(guī)方法在短時(shí)間內(nèi)無(wú)法實(shí)現(xiàn)的運(yùn)算問(wèn)題。簡(jiǎn)便運(yùn)算中常用的技巧有“拆”與“湊”，拆是指把一個(gè)數(shù)拆成的兩部分中含有一個(gè)整十、整百、整千或者有利于簡(jiǎn)算的數(shù)，湊是指把幾個(gè)數(shù)湊成整十、整百、整千的數(shù)，或者把題目中的數(shù)進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖兓?，運(yùn)用運(yùn)算定律或性質(zhì)再進(jìn)行簡(jiǎn)算。讓我們先回憶一下基本的運(yùn)算法則和性質(zhì)：乘法結(jié)合律：abc=a（bc）=（ac）b乘法分配律：a（bc）=abac a（bc）=abac二、典型例題例1. （1）9999777833336666 （2）765640.52.50.125分析（一）：通過(guò)觀察發(fā)現(xiàn)這道題中9999是3333的3倍，因此我們可以

21、把3333和6666分解后重組，即333332222=99992222 這樣再利用乘法分配律進(jìn)行簡(jiǎn)算。 解（一）: 原式=99997778333332222 =9999777899992222 =（77782222）9999 = 分析（二）：我們知道0.52，2.54，0.1258均可得到整數(shù)或整十?dāng)?shù)，從而使問(wèn)題得以簡(jiǎn)化，故可將64分解成248，再運(yùn)用乘法交換律、結(jié)合律等進(jìn)行計(jì)算。 解（二）： 原式=765（248）0.52.50.125 =765（20.5）（42.5）（80.125） =7651101 =7650例2399.6919980.8 分析：這道題我們仔細(xì)觀察兩個(gè)積的因數(shù)之間的關(guān)系

22、，可以發(fā)現(xiàn)減數(shù)的因數(shù)1998是被減數(shù)因數(shù)399.6的5倍，因此我們根據(jù)積不變的規(guī)律將399.69改寫(xiě)成（399.65）（95），即19981.8，這樣再根據(jù)乘法分配律進(jìn)行簡(jiǎn)算。 解: 原式=（399.65）（95）19980.8 =19981.819980.8 =1998（1.80.8） =19981=1998例3 分析：這道題通過(guò)觀察題中數(shù)的特點(diǎn)，可以看出被減數(shù)中的兩個(gè)因數(shù)分別比減數(shù)中的兩個(gè)因數(shù)少1和多1，即比少1，比多1，我們可以將被減數(shù)改寫(xiě)成（）（1），把減數(shù)改寫(xiě)成（1），再利用乘法分配律進(jìn)行簡(jiǎn)算。 解： 原式=（1）（1） = = =三、熟能生巧1（1） 888667444666 （2

23、）9999122233336662（1） 400.6720030.4 （2）2397.29568.2 3（1） 1989199919882000 （2）8642246886442466四、拓展演練11234432624682837 2 2751216502333007.53 五、星級(jí)挑戰(zhàn)1315325335345 2333345555577777 39999999999994. 48.67673.2486.7973.40.05第4講 簡(jiǎn)便運(yùn)算（2）一、夯實(shí)基礎(chǔ)在進(jìn)行分?jǐn)?shù)的運(yùn)算時(shí)，可以利用約分法將分?jǐn)?shù)形式中分子與分母同時(shí)擴(kuò)大或縮小若干倍，從而簡(jiǎn)化計(jì)算過(guò)程；還可以運(yùn)用分?jǐn)?shù)拆分的方法使一些復(fù)雜的分?jǐn)?shù)

24、數(shù)列計(jì)算簡(jiǎn)便。同學(xué)們?cè)谶M(jìn)行分?jǐn)?shù)簡(jiǎn)便運(yùn)算式，要靈活、巧妙的運(yùn)用簡(jiǎn)算方法。讓我們先回憶一下基本的運(yùn)算法則和性質(zhì)：乘法結(jié)合律：abc=a（bc）=（ac）b乘法分配律：a（bc）=abac a（bc）=abac拆分：= =（）二、典型例題例1（1）20062006 （2）9.14.841.61.3分析（一）：把2006化為假分?jǐn)?shù)時(shí)，把分子用兩個(gè)數(shù)相乘的形式表示，則便于約分和計(jì)算。解（一）: 原式=2006 =2006 =2006=分析（二）：根據(jù)除法的性質(zhì)可知9.14.841.61.3可以寫(xiě)成9.14.84（1.61.3），又根據(jù)分?jǐn)?shù)與除法的關(guān)系，可以將其寫(xiě)成分?jǐn)?shù)形式，其中9.1與1.3，4.8與1

25、.6，4與存在倍數(shù)關(guān)系，可以進(jìn)行約分后再計(jì)算。解（二）： 原式= =7330 =630例2（1） （2）（97）（）分析（一）：仔細(xì)觀察分子、分母中各數(shù)的特點(diǎn)，就會(huì)發(fā)現(xiàn)分子中20052006可變形為（20041）2006=2004200620061，同時(shí)發(fā)現(xiàn)20061=2005，這樣就可以把原式轉(zhuǎn)化成分子與分母相同，從而簡(jiǎn)化運(yùn)算。解（一）： 原式= =1 分析（二）：在本題中，被除數(shù)提取公因數(shù)65，除數(shù)提取公因數(shù)5，再把和的和作為一個(gè)數(shù)來(lái)參與運(yùn)算，會(huì)使計(jì)算簡(jiǎn)便很多。解（二）： 原式=（）（） =65（）5（） =655=13例3 分析：因?yàn)檫@個(gè)算式中的每個(gè)加數(shù)都可以分裂成兩個(gè)數(shù)的差，如=1，=

26、，=其余的部分分?jǐn)?shù)可以互相抵消，這樣計(jì)算就簡(jiǎn)便許多。 解: 原式=（1）（）（）（） =1 =1=三、熟能生巧1 （1）238238 （2）3.419.90.380.1931.12（1） （2）（1）（）3 四、拓展演練1（1）12341 （2）2.843（11.42）12 （1） （2）（96）（32）3 五、星級(jí)挑戰(zhàn)1 2. 3 4 1第5講 簡(jiǎn)便運(yùn)算（3）一、 夯實(shí)基礎(chǔ)所謂簡(jiǎn)算，就是利用我們學(xué)過(guò)的運(yùn)算法則和運(yùn)算性質(zhì)以及運(yùn)算技巧，來(lái)解決一些用常規(guī)方法在短時(shí)間內(nèi)無(wú)法實(shí)現(xiàn)的運(yùn)算問(wèn)題。簡(jiǎn)便運(yùn)算中常用的技巧有“拆”與“湊”，拆是指把一個(gè)數(shù)拆成的兩部分中含有一個(gè)整十、整百、整千或者有利于簡(jiǎn)算的數(shù)，湊

27、是指把幾個(gè)數(shù)湊成整十、整百、整千的數(shù)，或者把題目中的數(shù)進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖兓?，運(yùn)用運(yùn)算定律或性質(zhì)再進(jìn)行簡(jiǎn)算。讓我們先回憶一下基本的運(yùn)算法則和性質(zhì)：等差數(shù)列的一些公式：項(xiàng)數(shù)=（末項(xiàng)首項(xiàng)）公差1某項(xiàng)=首項(xiàng)公差（項(xiàng)數(shù)1）等差數(shù)列的求和公式：（首項(xiàng)末項(xiàng)）項(xiàng)數(shù)2二、典型例題例1 2468198200 分析：這是一個(gè)公差為2的等差數(shù)列，數(shù)列的首項(xiàng)是2，末項(xiàng)是200。這個(gè)數(shù)列的項(xiàng)數(shù)=（末項(xiàng)首項(xiàng)）公差1=（2002）21=100項(xiàng)，如何求和呢？我們先用求平均數(shù)的方法：首、末兩項(xiàng)的平均數(shù)=（2200）2=101；第二項(xiàng)和倒數(shù)第二項(xiàng)的平均數(shù)也是（498）2=101依次求平均數(shù)，共算了100次，把這100個(gè)平均數(shù)加起來(lái)就是

28、數(shù)列的和。即和=（首項(xiàng)末項(xiàng)）2項(xiàng)數(shù)。 解: 原式=（2200）2100=10100例2 0.99.999.9999.99999.999999.9分析：通過(guò)觀察我們可以發(fā)現(xiàn)題目中的6個(gè)加數(shù)都分別接近1、10、100、1000、10000、這6個(gè)整數(shù)，都分別少0.1，因此我們可以把這6個(gè)加數(shù)分別看成1、10、100、1000、10000、的整數(shù)，再?gòu)目偤椭袦p去6個(gè)0.1，使計(jì)算簡(jiǎn)便。解: 原式=1101001000100000.16 =0.6=.4例320082009分析：這道題數(shù)值較大，計(jì)算起來(lái)比較繁瑣，但觀察這些數(shù)，可以發(fā)現(xiàn)具有規(guī)律性，即被減數(shù)和減數(shù)中因數(shù)具有相同的排列規(guī)律，因此我們可以把寫(xiě)成

29、200910001，把寫(xiě)成200810001，這樣題目中被減數(shù)和減數(shù)的因數(shù)就完全相同，我們也就可以直接算出結(jié)果為0。解: 原式=20082009100012009200810001=0三、熟能生巧1 13576567 2 99999999999999931120112210四、拓展演練1（1）0.110.130.150.970.99（2）8.90.28.80.28.70.28.10.22（1）98998999899998 （2）3.90.390.0390.00390.000393（1）1234143214 （2）20023003五、星級(jí)挑戰(zhàn)1 （1）438.95 （2）47.265 （3）57

30、4.6225 （4）14.7580.25 2. （44332443.32）（88664886.64） 3 1.82.83.850.84 20021999199619931990198716131074第6講 簡(jiǎn)易方程一、夯實(shí)基礎(chǔ) 含有未知數(shù)的等式叫做方程，求方程的解的過(guò)程叫做解方程。解方程是列方程解應(yīng)用題的基礎(chǔ)，解方程通常采用以下策略：對(duì)方程進(jìn)行觀察，能夠先計(jì)算的部分先進(jìn)行計(jì)算或合并，使其化簡(jiǎn)。把含有未知數(shù)的式子看做一個(gè)數(shù)，根據(jù)加、減、乘、除各部分的關(guān)系進(jìn)行化簡(jiǎn)，轉(zhuǎn)化成熟悉的方程。再求方程的解。將方程的兩邊同時(shí)加上（或減去）一個(gè)適當(dāng)?shù)臄?shù)，同時(shí)乘上（或除以）一個(gè)適當(dāng)?shù)臄?shù)，使方程簡(jiǎn)化，從而求方程的

31、解。重視檢驗(yàn)，確保所求的未知數(shù)的值是方程的解。二、典型例題例1解方程4（x2）15=7x20分析：先運(yùn)用乘法分配律將其展開(kāi)，再運(yùn)用等式的基本性質(zhì)合并求解。 4（x2）15=7x20解： 4x815=7x20 3x=27 x=9 經(jīng)檢驗(yàn)x=9是原方程的解。例2解方程x2=（3x10）5 分析：根據(jù)等式的基本性質(zhì)，將方程兩邊同乘2和5的最小公倍數(shù)，使方程轉(zhuǎn)化為x5=（3x10）2再求解。 x2=（3x10）5解： x210=（3x10）510 x5=（3x10）2 5x=6x20 x20=0 x=20 經(jīng)檢驗(yàn)x=20是原方程的解。例3解方程360x3601.5x=6 分析：根據(jù)等式性質(zhì)，將方程左右

32、兩邊同乘3x使方程轉(zhuǎn)化后再求解。 360x3601.5x=6解： 1080720=18x 18x=360 x=20 經(jīng)檢驗(yàn)x=20是原方程的解。三、熟能生巧1122（x1）=4 5x19=3（x4）15 2（2x4）18=28 （5.3x5）7=x8 37（x3）=3（x5）4 xx32x30=180四、拓展演練1（x+10）6 84.5x32xx x7.4=x9.23 ：18% 五、星級(jí)挑戰(zhàn)1解方程： 13x4（2x5）=17（x2）4（2x1）2解方程： 17（23x）5（12x）=8（17x）3解方程：=2 4. 解方程：（x5）=3（x5）第7講 定義新運(yùn)算一、夯實(shí)基礎(chǔ)同學(xué)們，我們都知

33、道四則運(yùn)算包括加、減、乘、除，我們接觸到的運(yùn)算符號(hào)也無(wú)外乎“”、“”、“”、“”。而在升學(xué)考試中，經(jīng)常會(huì)出現(xiàn)一些嶄新的題目，這種題目中又出現(xiàn)了新的運(yùn)算符號(hào)，如：、并賦予它們一種新的運(yùn)算方法。這種運(yùn)算符號(hào)本身并不重要，重要的是在題目中，各種運(yùn)算符號(hào)規(guī)定了某種運(yùn)算以及運(yùn)算順序。這種運(yùn)算非常有趣，同學(xué)們，你們想了解嗎？這一節(jié)我們就來(lái)學(xué)習(xí)定義新運(yùn)算。二、典型例題例1 （1）ab=ab，求95的值。（2）定義新運(yùn)算“ ”，mn=mn2.5。求： 60.40.4的值是多少？ 3510.3的值是多少？分析（1）：本題中的新運(yùn)算符號(hào)“”表示的是求“”前后兩個(gè)數(shù)的和，也就是求9與5的和是多少。解（1） ： 95

34、=95=14分析（2）：本題中新運(yùn)算“”的含義是求“”前后兩個(gè)數(shù)的商的2.5倍是多少。解（2）： 60.40.4=60.40.42.5=1512.5=377.5 3510.3=3510.32.5=11702.5=2925例2 對(duì)于任意兩個(gè)自然數(shù)，定義一種新運(yùn)算“*”，a*b=（ab）2，求34*（52*48）值。分析：新運(yùn)算“*”的含義表示：求“*”前后兩數(shù)差的一半。本題在計(jì)算時(shí)，要注意運(yùn)算順序，先計(jì)算括號(hào)內(nèi)的“52*48”，再用34與“52*48”的結(jié)果在進(jìn)行一次這樣的運(yùn)算。 解：52*48=（5248）2=42=2 因此34*（52*48）=34*2=（342）2=322=16。例3定義兩

35、種新運(yùn)算“”和“*”，對(duì)于任意兩個(gè) 數(shù)x、y，規(guī)定xy=x5y，x*y=（xy）2 ，求563.5*2.5的值。 分析：本題包含兩種新運(yùn)算，第一種新運(yùn)算“”表示求“”前面的數(shù)與后面數(shù)的5倍的和是多少；第二種運(yùn)算“*”表示“*”前面的數(shù)減去“*”后面數(shù)的差的2倍是多少。所以可以根據(jù)他們各自的含義分別求值再作和。 解：56=556=35 3.5*2.5=（3.52.5）2=2 563.5*2.5=352=37三、熟能生巧1（1） ab=ab，求45.238.9的值。（2）x、y是兩個(gè)自然數(shù)，規(guī)定xy=（x+y）10，求38的值。2定義一種新運(yùn)算“”，規(guī)定AB=2（AB），求0.6（5.45）的值。

36、3定義兩種新運(yùn)算“”和 “”，已知ab=a24.1b，ab=83（ab），求6142的值。四、拓展演練1 （1）定義一種新運(yùn)算“”，規(guī)定AB=4A3B5，求（1）69 （2）96。（2）定義一種新運(yùn)算“”，規(guī)定ab=（3xy）2x，求：1015 15102（1）定義新運(yùn)算“”，規(guī)定mn=（mn）2，那么8 （122）與12（82）是否相等？如果不相等，哪個(gè)大？（2）定義一種新運(yùn)算“”，已知ab=5a10b，求3758的值。3定義兩種運(yùn)算“”和“”，對(duì)于任意兩個(gè)整數(shù)a，b，ab=ab1，ab=ab1。計(jì)算4（68）（35）。五、星級(jí)挑戰(zhàn)1定義新運(yùn)算“”，若23=234，54=5678。求2（32

37、）的值。2. 設(shè)a、b表示兩個(gè)數(shù)如果ab，規(guī)定：ab=3a2b；如果ab，規(guī)定：ab=（ab）3。求： 96 88 273設(shè)a、b表示兩個(gè)數(shù)，ab=aba+b，已知a7=37，求a的值。 4設(shè)a、b表示兩個(gè)整數(shù)，規(guī)定：a b=a（a1）（a2）（a3）（ab1），求1100的值。第8講 巧求面積（1）一、夯實(shí)基礎(chǔ)小學(xué)數(shù)學(xué)教材中學(xué)習(xí)了長(zhǎng)方形、正方形、平行四邊形、三角形、梯形、圓等基本圖形面積的計(jì)算方法。常用的面積公式如下：正方形邊長(zhǎng)邊長(zhǎng)S=a2長(zhǎng)方形長(zhǎng)寬S=ab平行四邊形底高S=ah三角形底高2S=ah2梯形（上底+下底）高2S=(a+b)h2在實(shí)際應(yīng)用過(guò)程中，我們除了掌握切分、割補(bǔ)、做差等一些

38、基本的幾何解題思想外，還要掌握等量代換、妙用同底等一些有難度的解題方法。二、典型例題例1兩個(gè)相同的直角三角形如圖所示（單位：厘米）重疊在一起，求陰影部分的面積。分析：陰影部分是一個(gè)高為3厘米的直角梯形，然而它的上底與下底都不知道，因而不能直接求出它的面積。因?yàn)槿切蜛BC與三角形DEF完全相同，都減去三角形DOC后，根據(jù)差不變性質(zhì)，差應(yīng)相等，即陰影部分與直角梯形OEFC面積相等，所以求陰影部分的面積就轉(zhuǎn)化為求直角梯形OEFC的面積。解：直角梯形OEFC的上底為：103=7（厘米），直角梯形OEFC的面積為（7+10）22=17（平方厘米）。答：陰影部分的面積是17平方厘米。例2如圖，平行四邊形

39、ABCD的邊BC長(zhǎng)10厘米，直角三角形ECB的直角邊EC長(zhǎng)8厘米。已知陰影部分的總面積比三角形EFG的面積大10平方厘米，求平行四邊形ABCD的面積。分析：因?yàn)殛幱安糠直热切蜤FG的面積大10平方厘米，都加上梯形FGCB后，根據(jù)差不變性質(zhì)，所得的兩個(gè)新圖形的面積差不變，即平行四邊行ABCD比直角三角形ECB的面積大10平方厘米。解：三角形EFG的面積為：1082=40（平方厘米）。平行四邊形ABCD的面積為：40+10=50（平方厘米）。答：平行四邊形的面積為50平方厘米。例3如圖,在三角形ABC中， BC=8厘米，AD=6厘米，E、F分別為AB和AC的中點(diǎn).那么三角形EBF的面積是多少平方

40、厘米？分析:由“ E、F分別為AB和AC的中點(diǎn)”可知，AF=CF，AE=BE，所以三角形ABF和三角形CBF是同底等高的三角形，面積相等；三角形AEF和三角形BEF面積也相等，故有S三角形EBF=S三角形ABF ，S三角形ABF=S三角形ABC 解：S三角形ABC=862=24（平方厘米）S三角形ABF=S三角形ABC=24=12（平方厘米） S三角形EBF=S三角形ABF=12=6（平方厘米） 答：三角形EBF的面積是6平方厘米。 三、熟能生巧1如圖，兩個(gè)相同的直角梯形重疊在一起，求陰影部分的面積。（單位：厘米）2如圖，正方形邊長(zhǎng)是10厘米，長(zhǎng)方形的長(zhǎng)為8厘米，寬為5厘米。陰影部分甲與陰影部

41、分乙的面積差是多少平方厘米？ 3如圖，在三角形ABC中，DC=2BD，CE=3AE，陰影部分的面積是20平方厘米，求三角形ABC的面積。四、拓展演練1如圖，在長(zhǎng)方形內(nèi)畫(huà)了一些直線，已知邊上有三塊面積分別是13，35，49，那么圖中陰影部分的面積是多少？（單位：平方厘米）2 如圖，梯形的下底為8厘米，高為4厘米。陰影部分的面積是多少平方厘米？ 3如圖，長(zhǎng)方形ABCD中， AB=24cm，BC=26cm，E是BC的中點(diǎn)，F(xiàn)、G分別是AB、CD的四等分點(diǎn)，H為AD上任意一點(diǎn)，求陰影部分面積。 五、星級(jí)挑戰(zhàn)1如圖，梯形ABCD中，AD=7厘米，BC=12厘米，梯形高8厘米，求三角形BOC的面積比三角形

42、AOD的面積大多少平方厘米？2有兩種自然的放法將正方形內(nèi)接于等腰直角三角形。已知等腰直角三角形的面積是36平方厘米，兩個(gè)正方形的面積分別是多少？ 第9講 組合圖形面積（2）一、夯實(shí)基礎(chǔ)不規(guī)則圖形常由圓、扇形、弓形與三角形、正方形、長(zhǎng)方形等規(guī)則圖形組合而成的，計(jì)算時(shí)常常要變動(dòng)圖形的位置或?qū)D形進(jìn)行適當(dāng)?shù)姆指?、拼補(bǔ)、旋轉(zhuǎn)，使之轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形的和、差關(guān)系，有時(shí)要和“容斥原理”合并使用才能解決。計(jì)算圓的周長(zhǎng)與面積的主要公式有：（1）圓的周長(zhǎng)=直徑=2半徑，即：C=d=2r(2)中心角為n的弧的長(zhǎng)度=n(半徑)180，即：l=（3）圓的面積=(半徑) 2，即：S=r2(4)中心角為n的扇形的面積=n(半

43、徑) 2360，即：S= l=lr二、典型例題例1如下圖（1），在一個(gè)邊長(zhǎng)為4cm的正方形內(nèi)，以正方形的三條邊為直徑向內(nèi)作三個(gè)半圓，求陰影部分的面積。 分析（一）：把上圖靠下邊的半圓換成（面積與它相等）右邊的半圓，得到圖（2）。這時(shí)，右圖中陰影部分與不含陰影部分的大小形狀完全一樣，因此它們的面積相等。所以上圖中陰影部分的面積等于正方形面積的一半。分析（二）：將上半個(gè)“弧邊三角形”從中間切開(kāi)，分別補(bǔ)貼在下半圓的上側(cè)邊上，如圖（3）所示。陰影部分的面積是正方形面積的一半。分析（三）：將下面的半圓從中間切開(kāi)，分別貼補(bǔ)在上面弧邊三角形的兩側(cè)，如圖（4）所示。陰影部分的面積是正方形的一半。 解：442=

44、16（平方厘米）例2如下圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4厘米，分別以B、D為圓心以4厘米為半徑在正方形內(nèi)畫(huà)圓，求陰影部分面積。分析：陰影部分的面積等于兩個(gè)扇形的面積之和減去正方形的面積。解：S陰影=S扇形ACBS扇形ACDS正方形ABCDABDC =AB22AB2 =4224216=9.12（平方厘米）。例3如下圖，兩個(gè)正方形邊長(zhǎng)分別是10厘米和6厘米，求陰影部分的面積。分析： 陰影部分的面積，等于底為16、高為6的直角三角形面積與圖中（）的面積之差。而圖中（）的面積等于邊長(zhǎng)為6的正方形面積減去的以6為半徑的圓的面積。解：S陰影=S三角形ACD（S正方形BCDES扇形EBD）= =40.26（平方

45、厘米）。三、熟能生巧1如下圖，圓的直徑為8cm，求陰影部分的面積。2如圖，三角形ABC是等腰直角三角形，AC=BC=10cm，分別以A、B為圓心，以AC、BC為半徑在三角形ABC內(nèi)畫(huà)弧，求陰影部分的面積。3如下圖，直角三角形ABC中，AB是圓的直徑，且AB=20厘米，如果陰影（1）的面積比陰影（2）的面積大7平方厘米，求BC長(zhǎng)。 四、拓展演練1如下圖，三個(gè)同心圓的半徑分別是2、6、10，求圖中陰影部分面積占大圓面積的百分之幾？2如下圖，大正方形的邊長(zhǎng)為6厘米，小正方形的邊長(zhǎng)為4厘米。求陰影部分的面積。 3如圖，已知直角梯形的上底、下底與高之比是1：2：1，和為24厘米。圖中陰影甲的面積比陰影乙

46、的面積少多少？五、星級(jí)挑戰(zhàn)1如下圖，將直徑AB為3厘米的半圓繞A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60，此時(shí)AB到達(dá)AC的位置，求陰影部分的面積（取=3.14）。2求圖中的陰影部分的面積。（單位：厘米）第10講 長(zhǎng)方體的表面積和體積一、夯實(shí)基礎(chǔ)長(zhǎng)方體和正方體六個(gè)面的總面積，叫做它們的表面積。長(zhǎng)方體的六個(gè)面分為上下、左右、前后三組，每組對(duì)面的大小、形狀完全相同；正方體的六個(gè)面是大小相等的六個(gè)正方形。長(zhǎng)方體的表面積=（長(zhǎng)寬+寬高+長(zhǎng)高）2正方體的表面積=棱長(zhǎng)棱長(zhǎng)6物體占空間的大小，叫做物體的體積。容積是指所能容納物體的體積。一個(gè)物體的容積計(jì)算方法與體積計(jì)算方法相同，不過(guò)體積是從物體外面測(cè)量出長(zhǎng)度再進(jìn)行計(jì)算，容積是從物體內(nèi)部測(cè)量出長(zhǎng)度再進(jìn)行計(jì)算。通常物體的體積要大于容積，當(dāng)厚度忽略不計(jì)時(shí)，容積就等于體積。長(zhǎng)方體體積=長(zhǎng)寬高正方體體積=棱長(zhǎng)棱長(zhǎng)棱長(zhǎng)二、典型例題例1一塊長(zhǎng)方形鐵皮長(zhǎng)24厘米，四角剪去邊長(zhǎng)3厘米的正方形后，然后通過(guò)折疊、焊接，做成一個(gè)無(wú)蓋的長(zhǎng)方體鐵盒，鐵盒的容積是486立方厘米。求原來(lái)長(zhǎng)方形鐵皮的面積。 分析：要求原來(lái)長(zhǎng)方形