1、線性方程組 解題方法技巧與題型歸納,題型一 線性方程組解的基本概念,1.如果1、2是下面方程組的兩個(gè)不同的解向量，則a的取值如何？,解： 因?yàn)?、2是方程組的兩個(gè)不同的解向量，故方程組有無窮多解，r (A)= r(Ab)3，對(duì)增廣矩陣進(jìn)行初等行變換 易見僅當(dāng)a=-2時(shí)，r(A)= r(Ab)=23， 故知a=-2。,2.設(shè)A是秩為3的54矩陣， 1、2、 3是非齊次線性方程組Ax=b的三個(gè)不同的解，若1+2+23=（2，0，0，0）T, 31+2= （2，4，6，8）T,求方程組Ax=b的通解。,解:因?yàn)閞(A)= 3，所以齊次線性方程組Ax=0的基礎(chǔ)解系由4- r(A)= 1個(gè)向量構(gòu)成， 又

2、因?yàn)椋?+2+23）-（31+2） =2（3-1）=（0，-4，-6，-8）T, 是Ax=0的解，即其基礎(chǔ)解系可以是（0，2，3，4）T, 由A （1+2+23）=A1+A2+2A3=4b知1/4 （1+2+23）是Ax=b的一個(gè)解，故Ax=b的通解是,3.已知1=（-9，1，2，11）T，2=（1，- 5，13，0）T，3=（-7，-9，24，11）T是方程組的三個(gè)解，求此方程組的通解。,分析：求Ax=b的通解關(guān)鍵是求Ax=0的基礎(chǔ)解系，判斷r(A)的秩。 解：A是34矩陣， r(A)3，由于A中第2，3兩行不成比例，故r(A)2，又因?yàn)?1=1-2=（-10，6，-11，11）T, 2=2

3、-3= (8,4,-11,-11)T是Ax=0的兩個(gè)線性無關(guān)的解向量，于是4- r(A)2，因此r(A)=2，所以1+k11+k22是通解。,總結(jié)： 不要花時(shí)間去求方程組，太繁瑣，由于1-2，1-3或3-1，3-2等都可以構(gòu)成齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系，1，2，3都是特解，此類題答案不唯一。,題型2 線性方程組求解,4.矩陣B 的各行向量都是 方程組 的解向量，問這四個(gè)行向量能否構(gòu)成上方程組的基礎(chǔ)解系？若不能，這4個(gè)行向量是多了還是少了？若多了如何去掉，少了如何補(bǔ)充？,解：將方程組的系數(shù)矩陣A化為行最簡(jiǎn)形陣 r(A)=2,n=5,因而一個(gè)基礎(chǔ)解系含有3個(gè)解向量1=（1，-2，1，0，0）T, 2

4、=(1,-2,0,1,0)T, B 3=(5,-6,0,0,1)T, B矩陣的r3=r1-r2，r4=3r1-2r2， B中線性無關(guān)的行向量只有1，2行，故B中4個(gè)行向量不能構(gòu)成基礎(chǔ)解系，需增補(bǔ)3。,1.參數(shù)取哪些值時(shí)使r(A)r(Ab)，方程組無解； 2.參數(shù)取哪些值時(shí)使r(A)=r(Ab)，方程組有解，繼續(xù)討論 參數(shù)取哪些值時(shí)使r(A)=r(Ab)n，方程組有無窮多解； （2）參數(shù)取哪些值時(shí)使r(A)=r(Ab)=n，方程組有唯一解。,題型3 含參數(shù)的線性方程組解的討論,一、當(dāng)方程個(gè)數(shù)與未知量個(gè)數(shù)不等的線性方程組，只能用初等行變換求解； 二、當(dāng)方程個(gè)數(shù)與未知量個(gè)數(shù)相等的線性方程組，用下面兩

5、種方法求解： 1.初等行變換法 2.系數(shù)行列式法，系數(shù)行列式不等于0時(shí)有唯一解，可用克萊姆法則求之；系數(shù)行列式為0時(shí)，用初等行變換進(jìn)行討論。,5.設(shè)線性方程組 （1）證明：若a1，a2，a3，a4兩兩不相等，則線性方程組無解； （2）設(shè)a1= a3 =k，a2=a4=-k(k0)，且已知1=（-1，1，1）T，2=（1，1，-1）T是該方程組的兩個(gè)解，寫出該方程組的通解。,解（1）（Ab)對(duì)應(yīng)的行列式是范德蒙行列式，故r(Ab)=4,r(A)=3，所以方程組無解。 （2）當(dāng)a1=a3=k，a2=a4=-k時(shí)，原方程組化為 系數(shù)矩陣與增廣矩陣的秩均為2，2-1=（-2，0，2）T,是對(duì)應(yīng)導(dǎo)出組的

6、非零解，即為其基礎(chǔ)解系，故非齊次組的通解為 X=c(2-1)+1。（c為任意常數(shù)。）,6. 設(shè)n維向量組1，2，3（n3）線性無關(guān)，討論：當(dāng)向量組a2- 1，b3-2， a1- b3線性相關(guān)時(shí)，方程組,的解，,且當(dāng)有無窮多解時(shí)，用其導(dǎo)出組的基礎(chǔ)解系表示其通解。,解： （a2- 1，b3-2， a1- b3） = 因?yàn)?，2，3線性無關(guān)，所以向量組 a2- 1，b3-2， a1- b3線性相關(guān)的充要條件是 即b(a2-1)=0 所以b=0或a=1,方程組的增廣矩陣（Ab）=,(1)當(dāng)a=1，b 0時(shí)，方程組無解； （2）當(dāng)a=-1，b 0時(shí)，方程組唯一解； （3）當(dāng)b=0，a 1時(shí)，方程組唯一解

7、； （4）當(dāng)a=1，b=0時(shí)，方程組有無窮多解。,此時(shí)：,取x3為自由未知量,題型4 線性方程組的公共解、同解問題,情況1.已知兩具體齊次線性方程組，求其非零公共解：將其聯(lián)立，則聯(lián)立方程組的所有非零解，即為所求。,6.設(shè)如下四元齊次方程組（）與（） ，求： （1）方程組（）與（）的基礎(chǔ)解系； （2）方程組（）與（）的公共解。,解：（1）（）的基礎(chǔ)解系為1=（-1，1，0，1）T，2=（0，0，1，0）T； 同樣得（）基礎(chǔ)解系為3=（1，1，0，-1）T，4=(-1,0,1,1)T (2)將方程組和 聯(lián)立組成新方程組：,將其系數(shù)矩陣進(jìn)行初等行變換 得的基礎(chǔ)解系為（-1，1，2，1）T 于是方程組

8、與的公共解為 X=k（-1，1，2，1）T,k取全體實(shí)數(shù)。,情況2 . 僅已知兩齊次線性方程組的通解，求其非零公共解：令兩通解相等，求出通解中任意常數(shù)滿足的關(guān)系式，即可求得非零公共解，簡(jiǎn)言之，兩通解相等的非零解即為所求的非零公共解。,7.已知齊次線性方程組與的基礎(chǔ)解系分別是1=（1，2，5，7）T,2=(3,-1,1,7)T，3=（2，3，4，20）T， 1=（1，4，7，1）T， 2=（1，-3，-4，2） T。 求方程組與的公共解。,解;顯然方程組與的通解分別為k11+k22+k33與11+22，令其相等得到k11+k22+k33=11+22 即,于是（k1,k2,k3,1，2）T= t(

9、-3/14,4/7,0,1/2，1)T 即k1=-3t/14, k2=4t/7, k3=0 ,1=t/2,2=t 于是可得1，2的關(guān)系為1=t/2=2/2，將此關(guān)系式代入通解即為所求的公共解 為11+22 =（2/2) 1+22 = （2/2) (1+22 )= （2/2) (3,-2 ,-1,5)T，= (3,-2 ,-1,5)T，其中 = 2/2為任意實(shí)數(shù)。,情況3 已知一齊次方程組的通解及另一具體方程組，求其非零公共解：常將通解代入另一方程組，求出通解中任意常數(shù)滿足的關(guān)系，即求出通解中獨(dú)立的任意常數(shù)，再代回通解，即得所求的非零公共解。 簡(jiǎn)言之：已知的通解中滿足另一具體方程組的非零解即為所

10、求的非零公共解。,8.設(shè)四元齊次線性方程組()為 又已知某齊次線性方程組()的通解為 k1(0,1,1,0)+k2(-1,2,2,1). (1) 求齊次線性方程組()的基礎(chǔ)解系; (2) 問方程組()和()是否有非零公共解？若有，則求出所有的非零公共解;若沒有，則說明理由.,解：1）由 所以 以x2,x3為自由未知數(shù)可得基礎(chǔ)解系,（2）令,則可得：,即,所以有公共解,題型5 與AB=0有關(guān)的問題,已知矩陣A，求矩陣B 使AB=0，此類問題常將B按列分塊，B=(b1,b2,.bn)，將列向量bi視為Ax=o的解向量，因而可以利用Ax=o的一些解或一個(gè)基礎(chǔ)解系充當(dāng)所求矩陣B的部分列向量， B的其余

11、列向量可取為零向量。,題型5 與AB=0有關(guān)的問題,例9 設(shè) 求一個(gè)42矩陣B使 AB=0，且r(B)=2.,解：由AB=0知，B的列向量均為Ax=o的解向量。顯然r(A)=2，未知量的個(gè)數(shù)是4，因而Ax=o的基礎(chǔ)解系含有2個(gè)解向量，于是如果求出Ax=o的基礎(chǔ)解系，以其為列向量作矩陣即得所求的矩陣B。 為此對(duì)A進(jìn)行初等行變換得 基礎(chǔ)解系1=（1，5，8，0）T,2=(0,2,1,1)T 令B=(1,2) ,則B即為所求。,題型6 已知基礎(chǔ)解系反求其齊次線性方程組,法1：解方程組法 （1）以所給的基礎(chǔ)解系為行向量做矩陣B， （2）解Bx=0，求出其基礎(chǔ)解系； （3）以（2）中所得基礎(chǔ)解系中的向量

12、為行向量作矩陣，該矩陣即為所求的一個(gè)矩陣A.,法 2 初等行變換法 以所給的線性無關(guān)的向量作為行向量組成一矩陣B,用初等行變換將此矩陣化為行最簡(jiǎn)形矩陣，再寫出Bx=0的一個(gè)基礎(chǔ)解系，以這些基礎(chǔ)解系為行向量組成的矩陣，就是所求的齊次線性方程組的一個(gè)系數(shù)矩陣A，從而求出了所求的一個(gè)齊次線性方程組Ax=0.,例10 寫出一個(gè)以X為通解的齊次線性方程組。,解：法1. 令1=（2，-3，1，0）T，2=（-2，4，0，1）T，以1T 2T為行向量作矩陣B， 只需寫出Bx=0的一個(gè)基礎(chǔ)解系1=（1,0,-2,2）T,2=(0,1,3,-4)T,則所求齊次線性方程組的系數(shù)矩陣為A，,所求的一個(gè)齊次線性方程組為Ax=0, 即,法2 把所給通解改寫為 由上式易知所求方程組有兩個(gè)自由未知數(shù)X3和x4和兩個(gè)獨(dú)立變量x1，x2，且對(duì)應(yīng)的方程組為 即,題型7 抽象線性方程組求解,1.已知系數(shù)矩陣A的秩，求Ax=0的通解: 為求Ax=0的通解，必先由A的秩明確一個(gè)基礎(chǔ)解系含多少個(gè)解向量，然后設(shè)法求出這些解向量。,11.設(shè)n階矩陣的各行元素之和均為零，且R(A)=n-1，求線性方程組Ax=0的通解。 解：X的維數(shù)為n，R(A）=n-1，故Ax=0的一個(gè)基礎(chǔ)解系含1個(gè)解向量，又因?yàn)锳的各元素之和為0，故非零向量1=（1,1,1）T滿足方程組Ax=0，因而1為Ax=0的一個(gè)基礎(chǔ)解系，于是通解為=k1(k為