1、2020屆高考數(shù)學百題精煉系列10一、選擇題：本大題共12小題，每題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，選擇一個符合題目要求的選項。【解析】，故其共軛復數(shù)是?！究键c】數(shù)系的擴充與復數(shù)的引入?！军c評】復數(shù)的考查重點就是復數(shù)的有關概念、代數(shù)形式的四則運算以及簡單的幾何意義。本題中計算要注意虛數(shù)單位的性質(zhì)。3已知非零向量滿足，則的形狀為（ ）A等腰非等邊三角形B等邊三角形C三邊均不相等的三角形D直角三角形【答案】A.【分析】根據(jù)平面向量加法的幾何意義，向量的中點在角的內(nèi)角平分線上，說明，角的內(nèi)角平分線垂直于對邊，根據(jù)數(shù)量積的定義說明。【解析】根據(jù)，角的內(nèi)角平分線和邊的高線重合，說明三角形是等腰

2、三角形，根據(jù)數(shù)量積的定義說明。故三角形是等腰非等邊的三角形?！究键c】平面向量。【點評】解答本題的關鍵是注意到向量分別是于向量同方向的單位向量，兩個單位向量的和一定在角的內(nèi)角平分線上。5若函數(shù)在上的單調(diào)遞增的奇函數(shù)，則的圖像是（ ）【答案】C。【分析】根據(jù)函數(shù)是確定值，根據(jù)其單調(diào)性確定值的范圍，然后按照函數(shù)圖象的變換方法進行判斷?！窘馕觥亢瘮?shù)是奇函數(shù)，在對于任意恒成立，即對于任意恒成立，即對于任意恒成立，故只能是，此時函數(shù)，由于這個函數(shù)單調(diào)遞增，故只能是。函數(shù)的圖象是把函數(shù)的圖象沿左移一個單位得到的，故正確選項C?！究键c】基本初等函數(shù)?！军c評】本題綜合考查函數(shù)性質(zhì)與圖象。本題可以使用奇函數(shù)在處有

3、定義時，的方法直接求出值。7且，則實數(shù)的值為（ ）ABCD【答案】C.【分析】根據(jù)基本不等式確定的取值范圍，結合余弦函數(shù)的有界性，即可確定的取值。【解析】當時，等號當且僅當時成立；當時，。由于，故只能，即?！究键c】基本不等式、基本初等函數(shù)。【點評】本題交匯基本不等式和三角函數(shù)命制。本題中根據(jù)等式兩端的取值情況，把含有變量的等式確定為具體的等式的方法在一些問題中是常用的。8已知數(shù)列滿足且，則的值是（ ）ABCD【答案】A.【分析】根據(jù)數(shù)列滿足足且可以確定數(shù)列是公比等于的等比數(shù)列，在根據(jù)等比數(shù)列的通項公式即可把通過求出的值?！窘馕觥坑?，得，所以數(shù)列是公比等于的等比數(shù)列，所以?！究键c】數(shù)列?！军c評】

4、等比數(shù)列中有關系式，其中為公比，這個關系式可以看作推廣的等比數(shù)列的通項公式，即，當時就是等比數(shù)列的通項公式。9由曲線，直線所圍成的平面圖形的面積為（ ）ABCD【答案】D.【分析】畫出草圖，如圖所示。根據(jù)定積分的幾何意義把曲邊形的面積轉(zhuǎn)化為區(qū)間上的定積分?！窘馕觥咳鐖D，曲邊形的面積為。【考點】導數(shù)及其應用。【點評】本題考查定積分求曲邊形的面積，關鍵是根據(jù)定積分的幾何意義把求解的面積歸結為函數(shù)在區(qū)間上的定積分，再根據(jù)微積分基本定理求解。在把曲邊形面積轉(zhuǎn)化為定積分時，可以以為積分變量也可以以為積分變量，本題如果是以為積分變量，則曲邊形的面積是。如果是以為積分變量，則被積函數(shù)是以為自變量的函數(shù)，如果

5、是以為積分變量，則被積函數(shù)是以為自變量的函數(shù)。10從張元，張元，張元的亞運門票中任選張，則選取的張中至少有張價格相同的概率為（ ）ABCD【答案】C.【分析】根據(jù)事件的對立性，選取的張中至少有張價格相同的對立事件就是“選取的張中價格互不相同”，即在每種價格的門票中各自選取一張。【解析】基本事件的總數(shù)是，在三種價格的門票中各自選取一張的方法數(shù)是，故隨機事件“選取的張中價格互不相同”的概率是，故其對立事件“選取的張中至少有張價格相同”的概率是?！究键c】概率?！军c評】在計算古典概型的問題時，如果含有“至多”，“至少”等問題，可以考慮通過事件的對立關系簡化計算。11橢圓的焦點為，點在橢圓上，則到軸的距

6、離為（ ）ABCD【答案】B .【分析】條件，說明點在以線段為直徑的圓上，點又在橢圓上，通過方程組即可求得點的坐標，即可求出點到軸的距離?！窘馕觥繖E圓的焦點坐標是，點在以線段為直徑的圓上，該圓的方程是，即，代入橢圓得，解得，即，此即點到軸的距離。【考點】圓錐曲線與方程?！军c評】滿足（其中是平面上兩個不同的定點）的動點的軌跡是以線段為直徑的圓。12上的函數(shù)的反函數(shù)為，且對于任意的，都有，則的值為（ ）A3BCD【答案】D.【分析】關系式，說明函數(shù)圖象的對稱性【解析】設函數(shù)式圖象上的點，則，對于任意恒成立，即函數(shù)的圖象關于點對稱，根據(jù)互為反函數(shù)的兩個函數(shù)圖象關于直線對稱，故函數(shù)的圖象關于點對稱，即

7、當函數(shù)圖象上兩個點的橫坐標之和等于時，這兩個點的縱坐標之和等于，故?！究键c】基本初等函數(shù)?！军c評】本題考查抽象的函數(shù)與其反函數(shù)，解題的關鍵是根據(jù)函數(shù)圖象的對稱性，可以說本題考查的重點是使用函數(shù)的對稱性解題。值得注意的是課標高考對反函數(shù)的要求極低，在反函數(shù)問題上不要深究。這類抽象函數(shù)試題可以，可以通過尋找符合要求的具體函數(shù)求解，如本題中函數(shù)等均可。第卷（90分）二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分。【點評】注意展開式中二項式系數(shù)的和與展開式各項系數(shù)和是不同的，二項式系數(shù)的和就是，而各項的系數(shù)和還受其它因素制約，如本題中各項系數(shù)的和是。15，函數(shù)在區(qū)間上的最大值為，則 ?！敬鸢浮??！痉?/p>

8、析】函數(shù)的對稱軸方程是，在區(qū)間內(nèi)，因此函數(shù)取得最大值的點必然是中的一個，逐個進行檢驗?！窘馕觥扛鶕?jù)閉區(qū)間上函數(shù)取得最值的知識以及二次函數(shù)的性質(zhì)，函數(shù)取得最大值的點必然是中的一個。若，則，時，這個函數(shù)的最大值為，故不合要求，若，則，當時函數(shù)值等于，故也不合要求。若，則，解得，若，則這個函數(shù)在內(nèi)的最大值也不是，不合要求，若，則，此時，故此時函數(shù)在上的最大值是，符合要求。若，則，解得，符合要求，當時，此時函數(shù)在內(nèi)的最大值也不是，不合要求。綜上所述，。【考點】基本初等函數(shù)。【點評】閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)一定存在最大值和最小值，這些最值就是函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的極值和函數(shù)在端點處的函數(shù)值中的最大者和最小者，本題的思

9、路就是這樣得到的。16直角坐標系中橫坐標、縱坐標均為整數(shù)的點稱為格點，如果函數(shù)的圖象恰好通過個格點，則稱函數(shù)為階格點函數(shù)，下列函數(shù)：；，其中是一階格點函數(shù)的有 ?！敬鸢浮俊！痉治觥扛鶕?jù)各個函數(shù)的定義域和值域逐個進行判斷?！窘馕觥匡@然點在函數(shù)的圖象上，而且函數(shù)只有最高點和最低點以及圖象與軸的交點處，但這些點的橫坐標都不是整點，函數(shù)是一階格點函數(shù)；函數(shù)圖象上點為整點，當取的整數(shù)時，函數(shù)值都不是整數(shù)，故函數(shù)是一階格點函數(shù)；函數(shù)中，當取負整數(shù)或者零時，都是整點，故函數(shù)不是一階格點函數(shù)；函數(shù)，顯然點為其格點，當，都是整點，故函數(shù)不是一階格點函數(shù)?！究键c】基本初等函數(shù)?！军c評】本題以新定義的形式命制，考查

10、的重點是函數(shù)的圖象與性質(zhì)。三、解答題：本大題共5小題，每小題12分，共60分。請將證明過程或演算步驟答在指定的答題框內(nèi)，超過答題框內(nèi)的答案無效 。17（本題滿分12分）中，分別是角的對邊 ，向量【點評】本題考查三角形中三角恒等變換、解三角形。方程思想在三角形問題中的應用極為廣泛，根據(jù)已知條件可得方程、根據(jù)正弦定理、余弦定理、三角形面積公式等都可以得到方程，解三角形問題的實質(zhì)就是根據(jù)有關定理列方程求解未知元素。18（本題滿分12分）已知圓，直線。 （1）求證：對，直線與圓總有兩個不同交點； （2）若圓與直線相交于點和點，求弦的中點的軌跡方程?！痉治觥浚?）利用點到圓心的距離小于圓的半徑，判別式以

11、及直線系過定點等方法都可以解決；（2）根據(jù)韋達定理把點的坐標用參數(shù)表示出來，消掉參數(shù)即可得到點的軌跡方程?！窘馕觥浚?）方法1.直線系恒過定點，且點在圓內(nèi)部，所以直線直線與圓總有兩個不同交點。 （6分）方法2.直線方程與圓的方程聯(lián)立，消掉得， （2分），所以直線與圓總有兩個不同交點。 （6分）方法3.圓心到直線的距離，所以直線與圓總有兩個不同交點。（6分）（2）設，由方程，得，由，得，代入，得，化簡得，整理得。（12分）【考點】圓與方程。【點評】本題考查直線與圓的位置關系。在判斷直線與圓的位置關系時，基本方法是圓心到直線的距離法和判別式法，但如果能夠判斷直線過圓內(nèi)的一個點，也就判斷了直線與圓一

12、定相交；本題第二問的是求直線被圓所截得的中點的軌跡方程，基本方法是使用韋達定理的參數(shù)法和點差法。19（本題滿分12分）【考點】數(shù)列?！军c評】本題考查根據(jù)數(shù)列的前項和求通項以及裂項方法求解數(shù)列的和，這是數(shù)列中最基本的兩個問題，也是高考中考查頻率極高的兩個問題。在已知求時要注意分類求解以及對結果的整合。本題第二問中的取不到，但可以無限接近，故滿足的不等式是，而不是，這里含有極限的思想。20（本題滿分12分）已知函數(shù)為常數(shù)）。 （1）若函數(shù)時取得極小值，試確定的取值范圍； （2）在（1）的條件下，設由的極大值構成的函數(shù)為，試判斷曲線只可能與直線為確定的常數(shù)）中的哪一條相切，并說明理由?！痉治觥浚?）

13、根據(jù)函數(shù)的導數(shù)的零點以及函數(shù)導數(shù)在零點左右的符號進行討論；（2）實際上就是判斷函數(shù)的導數(shù)的范圍，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性進行即可?！窘馕觥浚?），令，得。當時，恒成立，此時函數(shù)單調(diào)遞減，不是函數(shù)的極值點；當時，若，則，若，則，此時是函數(shù)的極大值點；當時，若，則，若，則，是函數(shù)的極小值點。綜上所述，使得函數(shù)在處取得極小值的的取值范圍是。 （6分）（2）由（1）知時，函數(shù)在時取得極大值。故函數(shù)的極大值等于，故。 （）。令，則，對于大于零恒成立，即函數(shù)在單調(diào)遞減。故在上，即恒有。由直線的斜率是，直線的斜率是，根據(jù)導數(shù)的幾何意義知曲線只能可能與直線相切。 （12分）【考點】導數(shù)及其應用?！军c評】本題考查導數(shù)在

14、研究函數(shù)性質(zhì)中的應用，考查分類整合思想、函數(shù)與方程思想以及等價轉(zhuǎn)化的思想方法等。題目的第一問實際就是討論二次函數(shù)的零點的分布以及在零點兩側(cè)的函數(shù)值的符號，顯然時兩個零點重合，這是一個不變號零點，如果是函數(shù)的極小值點，則在這個零點處的函數(shù)值是左負右正，結合二次函數(shù)圖象，此時只能是，即。題目第二問轉(zhuǎn)化為求的取值范圍，采用的方法是構造函數(shù)再利用導數(shù)進行的研究方法，這種不斷使用導數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)的方法是高考考查導數(shù)的重點所在。21（本題滿分12分）如圖，已知橢圓的中心在坐標原點，焦點在軸上，它的一個頂點為，且離心率等于，過點的直線與橢圓相交于不同兩點，點在線段上。 （1）求橢圓的標準方程； （2）設，

15、試求的取值范圍。【分析】（1）待定系數(shù)即可；（2）分直線的斜率存在與不存在，當直線的斜率存在時，以斜率為參數(shù)建立坐標之間的關系，利用把點的坐標用參數(shù)表示，再用點的坐標表示，根據(jù)范圍進行求解。【解析】（1）設橢圓的標準方程是。由于橢圓的一個頂點是，故，根據(jù)離心率是得，解得。所以橢圓的標準方程是。 （4分）（2）設。若直線與軸重合，則，解得，得；若直線與軸不重合，設直線的方程為，與橢圓方程聯(lián)立消去得，根據(jù)韋達定理得，。由，得，整理得，把上面的等式代入得，又點在直線上，所以，于是有。（10分），由，得，所以。（12分）綜上所述?！究键c】圓錐曲線與方程?！军c評】本題考查圓錐曲線與方程、直線與圓錐曲線的

16、位置關系，這是高考中解析幾何試題的傳統(tǒng)命題形式。本題是難點是第二問，在直線的斜率不存在時，可以直接求出的值，比例式實際上等價于以及，這兩個關系可以用來建立點的坐標之間的關系。四、考生注意：請考生在第22、23、24三題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計分，做題時，在答題紙上把選題目對應的題號寫在括號中。22（本小題滿分10分）選修41：幾何證明選講如圖，已知AP是的切線，P為切點，AC是的割線，與交于B，C兩點，圓心O在的內(nèi)部，點M是BC的中點。 （1）求證：A、P、O、M四點共圓； （2）求的大小?！痉治觥浚?）只要證明四邊形的對角互補即可；（2）使用等量代換?！窘馕觥浚?）連結因為與相切于點，所以因為是的弦的中點，所以于是由圓心在的內(nèi)部，可知四邊形的對角互補，所以四點共圓（5分）（2）由（1）得四點共圓，所以由（1）得由圓心在的內(nèi)部，可知所以（10分）【考點】幾何證明選講。【點評】本題為2020年海南寧夏卷試題。幾何證明選講的重點是圓的有關問題，其中四點共圓的問題尤為重要。23（本小題滿分10分）選修44：坐標系與參數(shù)方程以直角坐標系的原點為極點，軸的正半軸為極軸，已知點的直角坐標為，點的極坐標為，若直線過點，且傾斜角為，圓以為 圓心、為半徑。 （1）求直線的參數(shù)方程和圓的極坐標方程； （2）試判定直線和圓的位置關系。24（本小題滿分10分）選