1、專題專題 6.16.1 數(shù)列的通項公式與求和數(shù)列的通項公式與求和 【三年高考】【三年高考】 1. 【2016 高考浙江理數(shù)】設(shè)數(shù)列an的前n項和為Sn.若S2=4，an+1=2Sn+1，nN ，則a1=，S5= . 【答案】1 121 * 2 2. 【2016 高考山東理數(shù)】已知數(shù)列a n 的前n項和 Sn=3n+8n，b n 是等差數(shù)列，且an b n b n1. （）求數(shù)列b n 的通項公式； (a n 1)n1 （）令c n . 求數(shù)列c n 的前n項和Tn. (b n 2)n 【解析】 （） 由題意知當(dāng)n 2時，an S n S n1 6n5， 當(dāng)n 1時，a 1 S 1 11， 所以

2、an 6n5. 設(shè)數(shù)列bn的公差為d，由 a 1 b 1 b 2 11 2b 1 d ，即，可解得b 1 4,d 3，所以bn 3n1. 17 2b1 3d a2 b 2 b 3 100.對數(shù)列a n nN 3 【2016 高考江蘇卷】記U 1,2,， *和U 的子集 T，若T ,定義ST 0; 若T t1,t2,，tk，定義ST a t1 a t2 +a tk .例如：T=1,3,66時，ST a 1 a 3 +a 66 .現(xiàn)設(shè) a n nN*是公比為 3 的等比數(shù)列，且當(dāng)T= 2,4時，S T =30. （1）求數(shù)列an的通項公式； k，求證：S T a k1； （2）對任意正整數(shù)k1 k

3、 100，若T 1,2,， （3）設(shè)C U,D U,SC S D ,求證：SC S CI D 2S D . 【解析】 （1）由已知得an a 1 3n1,nN*.于是當(dāng)T 2,4時，S r a 2 a 4 3a 1 27a 1 30a 1 .又 S r 30，故30a 1 30，即a 1 1.所以數(shù)列a n的通項公式為 a n 3n1,nN*. （2）因為T 1,2,L ,k，an3n1 0,nN*，所以 1 S r a 1 a 2 L a k 13L 3k1(3k1)3k.因此，S r a k1 . 2 （3）下面分三種情況證明.若D是C的子集，則SC SCI D SC SD SD SD 2

4、SD. 若C是D的子集，則SC SCI D SC SC 2SC 2S D . 若D不是C的子集，且C不是D的子集.令E C I CUD，F(xiàn) DI CUC則E ，F(xiàn) ， EI F . 于是SC SE SCI D，S D S F S CI D ，進而由SC SD，得S E S F .設(shè)k是E中的最大數(shù)，l為F中的 最大數(shù)，則k 1,l 1,k l.由（2）知，SE ak1，于是3l1 al S F S E a k1 3k，所以l 1 k， l1 即l k.又k l，故l k 1，從而SF a 1 a 2 L a l 13L 3 3l1a k 1S E 1 ， 222 故SE 2SF1，所以SCSC

5、I D 2(S D S CI D )1，即S C S CI D 2S D 1.綜合得， S C S CI D 2S D . 4【2016 高考天津理數(shù)】 已知an是各項均為正數(shù)的等差數(shù)列， 公差為d， 對任意的nN,bn是an和an1 的等差中項. ()設(shè)cn b n1 b n ,nN ，求證：cn是等差數(shù)列； 22* ()設(shè) a 1 d,T n 1 k1 2n nb n ,nN ，求證： 2* 11 2 . 2d k1 T k n a n1 S nSn1 ，5 【2015 高考新課標 2， 理 16】 設(shè)Sn是數(shù)列a n的前 n項和， 且a 1 1， 則Sn_ 【答案】 1 n 1 11 1

6、，故數(shù)列 是【解析】由已知得an1 S n1 S n S n1 S n ，兩邊同時除以Sn1Sn，得 S n1 S n Sn 以1為首項，1為公差的等差數(shù)列，則 11 1(n1) n，所以Sn Snn 1 的前 10 項和 an 6.【2015 江蘇高考，11】數(shù)列an滿足a11，且an1an n1（nN*） ，則數(shù)列 為 【答案】 20 11 n(n1) ，所以 2 【解析】由題意得：a n (a n a n1)(an1 a n2 )K (a 2 a 1) a1 n n1L 21 11112n20 2(),S n 2(1) ,S 10 a n nn 1n 1n 111 2 7. 【2015

7、高考新課標 1，理 17】Sn為數(shù)列an的前n項和.已知an0，an an=4Sn3. （）求an的通項公式； （）設(shè)bn 1 ,求數(shù)列bn的前n項和. a nan1 n 8.【2015 高考山東，理 18】設(shè)數(shù)列a n的前 n 項和為 S n .已知2Sn 3 3. （I）求an的通項公式； （II）若數(shù)列b n滿足 a nbn log 3 a n ，求b n的前 n 項和 T n . nn1 【解析】 （I）因為2Sn 3 3，所以，2a 1 33 ，故a 1 3, 當(dāng)n 1時，2Sn1 3 3, nn1n1 此時，2an 2Sn2Sn1 3 3 , 即an 3 , 所以，an 3, n

8、1, 3 ,n 1, n1 11 1nn11n ， 當(dāng)n 1時，b n 3log 3 3n13 ， 所以T 1 b 1 33 1 121n 當(dāng)n 1時，T n b 1 b 2 b 3 b n 1323L n13 ，所以 3 2 3T n 1130231L n132n，兩式相減，得2T n 303132nn131n 3 （II） 因為anbn log3an， 所以b 1 2131n136n3136n3 1n n1 3 ，所以，經(jīng)檢驗，n 1時也適合， T n 3131623n1243n 綜上可得：T n 136n3 n1243 2 9.【2015 高考重慶，理 22】在數(shù)列an中，a 1 3,a

9、 n1an a n1 a n 0nN （1）若 0, 2,求數(shù)列an的通項公式； （2）若 111 a k01 2 k 0 N ,k 0 2, 1,證明：2 k 0 3k 0 12k 0 1 2 10 【2014 高考廣東理第 19 題】設(shè)數(shù)列an的前n項和為Sn，滿足Sn 2nan13n 4n，nN，且 S 3 15. （1）求a1、a2、a3的值； （2）求數(shù)列a n的通項公式. 11 【2014 高考湖南理第 20 題】已知數(shù)列an滿足a 1 1, a n1 a n pn,nN . * (1)若an為遞增數(shù)列,且a1,2a2,3a3成等差數(shù)列,求P的值; (2)若p 1 ,且a2n1是遞

10、增數(shù)列,a2n是遞減數(shù)列,求數(shù)列an的通項公式. 2 nn 【解析】 (1)因為數(shù)列an為遞增數(shù)列,所以an1an 0,則an1an p a n1 a n p ,分別令 n 1,2可得a 2 a 1 p,a 3 a 2 p2 a 2 1 p,a 3 p2 p 1,因為a 1,2a2 ,3a 3 成等差數(shù)列,所以 1 4a 2 a 1 3a 3 41 p13 p2 p1 3p2 p 0 p 或0, 3 1 當(dāng)p 0時,數(shù)列an為常數(shù)數(shù)列不符合數(shù)列an是遞增數(shù)列,所以p . 3 111 (2)由題可得a n1 a n n a 2n a 2n1 2n1 , a 2n2 a 2n1 2n1 ,因為a2

11、n1是遞增數(shù)列且a2n 222 是遞減數(shù)列,所以a2n1 a2n1且a2n2 a 2n a 2n2 a 2n ,則有 a 2n1 a 2n a 2n1 a 2n2 ,因為 a a 2n1 2n1 12 【2014 高考全國 1 第 17 題】已知數(shù)列a n的前 n項和為S n， a 1 1，a n 0，a nan1 S n 1，其 中為常數(shù)， （I）證明：an2an； （II）是否存在，使得a n為等差數(shù)列？并說明理由. 【解析】 （I）由題設(shè)，anan1Sn1，an1an2Sn11兩式相減得，an1(an2an) an1 由于an1 0，所以an2an 【三年高考命題回顧】 縱觀前三年各地高

12、考試題, 對數(shù)列通項公式和求和這部分的考查，主要考查數(shù)列的概念與表示方法、數(shù)列 遞推關(guān)系與通項公式的聯(lián)系、數(shù)列的求和方法，往往與函數(shù)、方程、不等式等知識建立聯(lián)系，高考中一般 會以各種形式考查 【20XX 年高考復(fù)習(xí)建議與高考命題預(yù)測】 由前三年的高考命題形式可以看出 , 高考對數(shù)列概念與表示方法的考查，要深刻體會數(shù)列不光體現(xiàn)一種遞 推關(guān)系，它具有函數(shù)特征，故經(jīng)常會與函數(shù)、方程、不等式等知識聯(lián)系考察 .對數(shù)列通項公式的考察，一般 會以等差數(shù)列和等比數(shù)列具體形式出現(xiàn)，或者由項的遞推關(guān)系或者項與前n 項的的關(guān)系得出，同時要注意 從特殊到一般思想的靈活運用對數(shù)列求和的考察，要掌握常見的數(shù)列求和方法（直

13、接求和、倒序相加法、 錯位相減法、裂項相加法） ，往往會和不等式建立聯(lián)系，會牽涉到放縮法，難度會大點，注意等價轉(zhuǎn)換思想 的活用這部分試題難度屬中低檔的題目，小題突出“小、巧、活”，主要以通項公式、前n項和公式為 載體，結(jié)合數(shù)列的性質(zhì)考查分類討論、化歸與方程等思想，要注重通性、通法；解答題“大而全”，注重 題目的綜合與新穎，突出對邏輯思維能力的考查由于連續(xù)兩年大題沒涉及數(shù)列,故預(yù)測 20XX 年高考將以 等差數(shù)列，等比數(shù)列的定義、通項公式和前n項和公式為主要考點，特別是錯位相減法求和問題，重點考 查學(xué)生的運算能力與邏輯推理能力 【20XX20XX 年高考考點定位】年高考考點定位】 高考對數(shù)列的通

14、項公式與求和的考查有三種主要形式：一是考察數(shù)列的概念與表示；二是數(shù)列通項公式； 三是數(shù)列求和；其中經(jīng)常與函數(shù)、方程、不等式等知識的相聯(lián)系 【考點【考點 1 1】數(shù)列的概念與表示】數(shù)列的概念與表示 【備考知識梳理【備考知識梳理】 1定義：按照一定順序排列著的一列數(shù) 2表示方法：列表法、解析法（通項公式法和遞推公式法） 、圖象法 3分類：按項數(shù)有限還是無限分為有窮數(shù)列和無窮數(shù)列；按項與項之間的大小關(guān)系可分為單調(diào)數(shù)列、擺動 數(shù)列和常數(shù)列 4an與Sn的關(guān)系：an S 1(n 1) Sn S n1(n 2) 5處理方法：.用函數(shù)的觀點處理數(shù)列問題 【規(guī)律方法技巧】【規(guī)律方法技巧】 1. 數(shù)列是定義域為

15、正整數(shù)集或其有限子集的函數(shù)，故數(shù)列具有函數(shù)的特征（周期性、單調(diào)性等） 2. 觀察法是解決數(shù)列問題的法寶，先根據(jù)特殊的幾項，找出共同的規(guī)律，橫看“各項之間的關(guān)系結(jié)構(gòu)”， 縱看“各項與項數(shù) n 的關(guān)系”，從而確定數(shù)列的通項公式 【考點針對訓(xùn)練】【考點針對訓(xùn)練】 * 1. 【20XX 年 4 月河南八市高三質(zhì)檢卷】已知a n log n1(n 2)(n N ) ，觀察下列算式： a 1 a 2 log 2 3log 3 4 lg3lg4 2； lg2lg3 lg3lg4lg8 L L 3，；若 lg2lg3lg7 a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 a 6 log 2 3log 3 4L L l

16、og 7 8 a 1 a 2 a 3 L a m 2016(m N*)，則m的值為（） A220162 B22016 C220162 D220164 【答案】C 【解析】由題意：a 1 a 2 log 2 3log 3 4 lg3lg4 2； lg2lg3 lg3lg4lg8 L L 3，； lg2lg3lg7 lg3 lg4lg16 L L16,；據(jù)此可知， lg2 lg3lg15 a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 a 6 log 2 3log 3 4L L log 7 8 a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 a 6 L a 13 a 14 log 2 3log 3 4L L lo

17、g 15 16 a 1 a 2 a 3 L a m 2016(m N*)，則m的值為220162 2.數(shù)列 , 1 3 157 ,的一個通項公式是 3 2781 Aan (1) 【答案】C. n1 2n 1 n 2n 1 n1 2n 1 n 2n 1 Ban (1) Can (1) Da (1) n nn3n3n33 【考點【考點 2 2】遞推關(guān)系與數(shù)列通項公式】遞推關(guān)系與數(shù)列通項公式 【備考知識梳理【備考知識梳理】 在一些綜合性比較強的數(shù)列問題中，數(shù)列通項公式的求解問題往往是解決數(shù)列難題的瓶頸數(shù)列通項公式 的求解常用方法：1、定義法，直接利用等差數(shù)列或等比數(shù)列的定義求通項的方法叫定義法，這種

18、方法適應(yīng) 于已知數(shù)列類型的題目2、公式法， 若已知數(shù)列的前n項和S n 與an的關(guān)系，求數(shù)列a n 的通項a n 可用 公式an S 1 n 1 求解3、由遞推式求數(shù)列通項法，對于遞推公式確定的數(shù)列的求解，通 Sn S n1 n 2 ?？梢酝ㄟ^遞推公式的變換，轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列或等比數(shù)列問題，有時也用到一些特殊的轉(zhuǎn)化方法與特殊數(shù) 列4、待定系數(shù)法（構(gòu)造法） ，求數(shù)列通項公式方法靈活多樣，特別是對于給定的遞推關(guān)系求通項公式， 觀察、分析、推理能力要求較高通?？蓪f推式變換，轉(zhuǎn)化成特殊數(shù)列（等差或等比數(shù)列）來求解，這 種方法體現(xiàn)了數(shù)學(xué)中化未知為已知的化歸思想，而運用待定系數(shù)法變換遞推式中的常數(shù)就是一種

19、重要的轉(zhuǎn) 化方法 【規(guī)律方法技巧】【規(guī)律方法技巧】 數(shù)列的通項的求法： 公式法： 等差數(shù)列通項公式； 等比數(shù)列通項公式.已知Sn（即a 1 a 2 L a n f (n)）求a n ，用作差法：an S 1,(n 1). S n S n1,(n 2) f (1),(n 1) f (n)L ga n f (n)求a n ，用作商法：an已知a1ga2g. ,(n 2) f (n1) 若an1an f (n)求an用累加法：an (anan1)(an1an2)L (a2a 1) a1 (n 2). 已知 a n1 aaa f (n)求a n ，用累乘法：an nn1L 2a 1 (n 2).已知遞

20、推關(guān)系求a n ，用構(gòu)造 a n a n1 a n2 a 1 n 法（構(gòu)造等差、等比數(shù)列）.特別地， （1）形如an kan1b、an kan1b（k,b為常數(shù)）的遞推數(shù)列 都可以用待定系數(shù)法轉(zhuǎn)化為公比為k的等比數(shù)列后，再求an.如(21)已知a 1 1,a n 3a n1 2，求a n ； （2） 形如an a n1 的遞推數(shù)列都可以用倒數(shù)法求通項. ka n1 b 注意： （1）用an S n S n1 求數(shù)列的通項公式時， 你注意到此等式成立的條件了嗎？ （n 2，當(dāng)n 1時， a 1 S 1） ； （2）一般地當(dāng)已知條件中含有 a n 與Sn的混合關(guān)系時，常需運用關(guān)系式an S n S

21、 n1 ，先將已 知條件轉(zhuǎn)化為只含an或Sn的關(guān)系式，然后再求解. （3）由Sn與S n1 的關(guān)系，可以先求Sn，再求an，或 者先轉(zhuǎn)化為項與項的遞推關(guān)系，再求an 【考點針對訓(xùn)練】【考點針對訓(xùn)練】 1. 【20XX 屆榆林市高三二?！吭跀?shù)列a n中， a 1 A 11 ,a n 1 n 1，則a 2016 的值為（） 4a n1 14 B5 C D以上都不對 45 【答案】C 2. 【2016 湖北省八校高三.二聯(lián)】 數(shù)列a n滿足 a1=1，na n1 =n 1a n nn 1， 且b n =a n cos 為數(shù)列bn的前n項和，則S120= . 【答案】7280 【解析】 由na n1

22、=n 1a n nn 1得， 2n ， 記S n 3 a n1 a n aa 所以數(shù)列 n是以1為公差的等差數(shù)列， 且11，1， n1n1 n 所以 a n 2n1 2 1 22 1 2 1 222a n n2， n，b n n2cos ， 所以S120 1 2 3 4 5 6 L 120 n32222 1 (1222232425262L 1202) 2 1 (122232L 1202)3(326292L 1202) 2 11 39(1222L 402)(122232L 1202) 22 14041811120121241 39 7280 2626 【考點【考點 3 3】數(shù)列求和】數(shù)列求和 【

23、備考知識梳理【備考知識梳理】 數(shù)列的求和也是高考中的熱點內(nèi)容，考察學(xué)生能否把一般數(shù)列轉(zhuǎn)化為特殊數(shù)列求和，體現(xiàn)了化歸的思想方 法，其中錯位相減和裂項相消是高考命題的熱點估計在以后的高考中不會有太大的改變數(shù)列求和的常 用方法，尤其是利用裂項法和錯位相減法求一些特殊數(shù)列的和，數(shù)列求和的基本方法：1.基本公式法：1 等差數(shù)列求和公式：Sn na 1 a n nn1 na 1 d 2等比數(shù)列求和公式： 22 q 1 na 1, 012nnS n a 1 1qn a a q 3C n C n C n L C n 2 . 1n,q 1 1q 1q 2.錯位相消法：一般適應(yīng)于數(shù)列a nbn的前 n向求和，其中

24、a n成等差數(shù)列， bn成等比數(shù)列 3.分組求和：把一個數(shù)列分成幾個可以直接求和的數(shù)列，然后利用公式法求和 4.拆項（裂項）求和：把一個數(shù)列的通項公式分成兩項差的形式，相加過程中消去中間項，只剩下有限項 再求和.常見的拆項公式有：1若an是公差為d的等差數(shù)列，則 11 1 1 ； a nan1 d a n a n1 m1mm C n n1n ；4Cn 1 C n ； 2 1 11 ；3 2n12n1 22n12n1 111 nk nk 5nn!n1!n!. 5.倒序相加法：根據(jù)有些數(shù)列的特點，將其倒寫后與原數(shù)列相加，以達到求和的目的 【規(guī)律方法技巧】【規(guī)律方法技巧】 數(shù)列求和關(guān)鍵是研究數(shù)列通項

25、公式，根據(jù)通項公式的不同特征選擇相應(yīng)的求和方式，若數(shù)列是等差數(shù)列或 等比數(shù)列，直接利用公式求和；若通項公式是等差乘等比型，利用錯位相減法；若通項公式可以拆分成兩 項的差且在累加過程中可以互相抵消，利用裂項相消法，從近年的考題來看，逐漸加大了與函數(shù)不等式的 聯(lián)系，通過對通項公式進行放縮，放縮為易求和的數(shù)列問題處理 【考點針對訓(xùn)練】【考點針對訓(xùn)練】 1.1.【20XX 年江西九江高三第三次聯(lián)考】 設(shè)Sn是等差數(shù)列an的前n項和， 若S672 2,S134412， 則S 2016 （） A22 B26 C30 D34 【答案】C 【解析】由S672,S1344S672,S2016S1344成等差數(shù)列

26、，得210 2 S201612，即S 2016 30,故選 C. ax1x 0 2. 【20XX 屆淮北一中高三最后一卷】已知函數(shù)f x log x11 x 0 且 1 2 各項為正的數(shù)列a n中， a 1 2,a n1 f an 3 f f 3，在 4 1 ,an的前n 項和為S n ，若Sn126，則 2 n _ 【答案】6 【應(yīng)試技巧點撥】【應(yīng)試技巧點撥】 1. 由遞推關(guān)系求數(shù)列的通項公式 （1）利用“累加法”和“累乘法”求通項公式 此解法來源與等差數(shù)列和等比數(shù)列求通項的方法，遞推關(guān)系為an1an f (n)用累加法；遞推關(guān)系為 a n1 a f (n)用累乘法.解題時需要分析給定的遞推

27、式，使之變形為a n1 a n、 n1結(jié)構(gòu)，然后求解.要特別 a n a n 注意累加或累乘時，應(yīng)該為(n1)個式子，不要誤認為n個. (2)利用待定系數(shù)法，構(gòu)造等差、等比數(shù)列求通項公式 求數(shù)列通項公式方法靈活多樣，特別是對于給定的遞推關(guān)系求通項公式，觀察、分析、推理能力要求較高 . 通常可對遞推式變換，轉(zhuǎn)化成特殊數(shù)列（等差或等比數(shù)列）來求解，這種方法體現(xiàn)了數(shù)學(xué)中化未知為已知 的化歸思想，而運用待定系數(shù)法變換遞推式中的常數(shù)就是一種重要的轉(zhuǎn)化方法.遞推公式為an1 panq （其中 p，q 均為常數(shù)，(pq(p 1) 0)）.把原遞推公式轉(zhuǎn)化為：an1t p(ant)，其中t 再利用換元法轉(zhuǎn)化為

28、等比數(shù)列求解. 3.如何選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ㄇ髷?shù)列的和 q ， 1 p 在數(shù)列求和問題中，由于題目的千變?nèi)f化，使得不少同學(xué)一籌莫展，方法老師也介紹過，就不清楚什么特 征用什么方法.為此提供一個通法 “特征聯(lián)想法”：就是抓住數(shù)列的通項公式的特征，再去聯(lián)想常用數(shù)列 的求和方法.通項公式作為數(shù)列的靈魂，只有抓住它的特征，才能對號入座，得到求和方法. 特征一：Cn anbn.，數(shù)列C n 的通項公式能夠分解成幾部分，一般用“分組求和法”. 特征二：Cn anbn，數(shù)列Cn的通項公式能夠分解成等差數(shù)列和等比數(shù)列的乘積，一般用“錯位相減 法”. 特征三：C n 1 ，數(shù)列C n 的通項公式是一個分式結(jié)構(gòu)，一般采

29、用“裂項相消法”. a n b n n 特征四：C n C n a n ，數(shù)列C n 的通項公式是一個組合數(shù)和等差數(shù)列通項公式組成， 一般采用“倒序相加 法”. 4. 利用轉(zhuǎn)化，解決遞推公式為S n 與an的關(guān)系式. 數(shù)列an的前n項和S n 與通項an的關(guān)系：a n (n1) S 1 .通過紐帶：an SnSn（ 1 n 2)，根據(jù)題 Sn S n1(n2) 目求解特點， 消掉一個an或Sn.然后再進行構(gòu)造成等差或者等比數(shù)列進行求解.如需消掉Sn，利用已知遞推 式，把 n 換成（n+1）得到遞推式，兩式相減即可.若消掉an，只需把an SnSn1帶入遞推式即可.不論 哪種形式，需要注意公式a

30、n SnSn1成立的條件n 2. 5.由遞推關(guān)系求數(shù)列的通項公式 （1）利用“累加法”和“累乘法”求通項公式 此解法來源與等差數(shù)列和等比數(shù)列求通項的方法，遞推關(guān)系為an1an f (n)用累加法；遞推關(guān)系為 a n1 a f (n)用累乘法.解題時需要分析給定的遞推式，使之變形為a n1 a n、 n1結(jié)構(gòu)，然后求解.要特別 a n a n 注意累加或累乘時，應(yīng)該為(n1)個式子，不要誤認為n個. (2)利用待定系數(shù)法，構(gòu)造等差、等比數(shù)列求通項公式 求數(shù)列通項公式方法靈活多樣，特別是對于給定的遞推關(guān)系求通項公式，觀察、分析、推理能力要求較高 . 通?？蓪f推式變換，轉(zhuǎn)化成特殊數(shù)列（等差或等比數(shù)

31、列）來求解，這種方法體現(xiàn)了數(shù)學(xué)中化未知為已知 的化歸思想，而運用待定系數(shù)法變換遞推式中的常數(shù)就是一種重要的轉(zhuǎn)化方法.遞推公式為an1 panq （其中 p，q 均為常數(shù)，(pq(p 1) 0)）.把原遞推公式轉(zhuǎn)化為：an1t p(ant)，其中t 再利用換元法轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求解. 二年模擬 * 1. 【20XX 屆寧夏石嘴山三中高三下三?！繑?shù)列a n 滿足a11，對任意的n N都有an1 a1 an n， q ， 1 p 則 111 .（ ） a 1 a 2 a2016 A 2015201640344032 B C D 2016201720172017 【答案】D 2. 【20XX 屆云南省玉

32、溪一中高三下第八次月考】若數(shù)列an滿足 1 a n1 1 d （nN，d 為常數(shù)） ， a n 則稱數(shù)列an為調(diào)和數(shù)列已知數(shù)列 1 為調(diào)和數(shù)列，且 x1x2x20200，則 x5x16（） x n A10 B20 C30 D40 【答案】B 【解析】由題意知xn xn1 d（常數(shù)） ，所以數(shù)列xn是以x1為首項，d為公差的等差數(shù)列，則有 x 1 x 2 L x 20 10x 5 x 16 200 ，x5 x 16 20.故選 B. 3. 【20XX 屆河南鄭州一中高三考前沖刺一】數(shù)列an滿足：a11，且對任意的m,nN，都有 a mn a m a n mn，則 A 1111 （ ） a 1 a

33、 2 a 3 a 2014 2013201320134028 B C D 2014100720152015 【答案】D 【解析】因為amn aman mn，則可得a11,a2 3,a3 6,a410，則可猜得an nn1 ， 2 12 1 111111 4028 1 111 2 21L ， annn1a 1 a 2 a 3 a 2014 20142015 2015 223 n n1 故選 D 4. 【20XX 屆河南鄭州一中高三考前沖刺】已知數(shù)列an滿足an 項為1，則實數(shù)m的值為（） A 1 3 5 2n n 3m，若數(shù)列a n 的最小 34 1111 B C D 4334 【答案】B 5.

34、 【20XX 年淮北一中高三?？肌繑?shù)列 a n中， a 1 6,a n 2a n1 項公式an_ 【答案】n12n11 【解析】由a n 2a n1 2a n1n1n 2，則此數(shù)列的通 n 2a n1 a2aaaa n1得nn11，所以n1 2(n11)，又11 4，所以 nn1nn1n2 a n a 1是等比數(shù)列，所以n1 42n1 2n1，即a n (n1)(2n11) n1n1 1 6. 【20XX 年河北石家莊高三二?！繑?shù)列an滿足：a3,anan1 2anan1，則數(shù)列anan1前10 5 項的和為_. 【答案】 10 21 7. 【20XX 年江西省南昌市高三一模測試】數(shù)列an的前

35、 n 項和為 Sn，若 Sn+Sn 一 1=2n-l (n2)，且 S2=3，則 a1+a3的值為。 【答案】1 【解析】令n 2,則S2 S1 3 S1 3，則a1 S1 0，令n 3，則S3 S2 S33 5，S3 2，則 a 3 S 3 S 2 1，所以a 1 a 3 1 8. 【20XX 屆浙江省義烏市 5 月模擬】已知數(shù)列an滿足 （1）求數(shù)列an的通項公式； 2 （2）設(shè)b n a n a n ，且S n 為b n的前 n項和，證明：12 S n 15 111 且a 1 4（nN*）. a n1 2a n 2 * 9. 【20XX 屆吉林四平一中高三五?！繑?shù)列an的前n項和為Sn，

36、a11，a n1 2S n (n N ). （1）求數(shù)列an的通項an； （2）求數(shù)列nan的前n項和為Tn. 【解析】 （1）因為an1 2Sn，所以Sn1Sn 2Sn，所以 S n1 3.又因為S 1 a 1 1，所以數(shù)列S n 是 S n *n2 首項為 1，公比為 3 的等比數(shù)列，所以S n 3n1(n N ).當(dāng)n 2時，a n 2S n1 23(n 2)， 所以a n 1,n 1 n2 23 ,n 2 . （2）Tn a1 2a23a3L nan，當(dāng)n 1時，T 1 1， 01n2 當(dāng)n 2時，T n 1 43 63 L 2n3 ， 3T n 3 431 632L 2n3n1 12

37、n2n1 -得：2T n 2 4 2(3 3 L 3) 2n3， 3(13n2)11 2 2 2n3n2 1 (1 2n)3n1,所以T n (n)3n1(n 2)， 1322 又因為T 1 a 1 1也滿足上式，所以T n 11 (n)3n1(nN*). 22 2 10.【20XX 年山西高三四校聯(lián)考】 在等差數(shù)列an中，a2 5,a511， 數(shù)列bn的前 n 項和S n n a n . （）求數(shù)列an，bn的通項公式； 1 （）求數(shù)列的前 n 項和Tn b b nn1 11. 【20XX 屆河南省南陽市一中高三三?！?數(shù)列a m 的前n 項和為Sm，已知a 1 都有amn aman，若Sm

38、 a恒成立，則實數(shù)a的最小值為 【答案】 1 ，且任意正整數(shù)m,n， 3 1 2 a n1 a1 a 1 ，即 n1 ， a n a n 3 【解析】 ：Sm a恒成立，a (Sm)max，當(dāng)m 1時，an1 a1an 11 (1( )m) 111 3 S m 3 (1( )m)，當(dāng)m時，(S m ) max 1 223 1 3 12.【20XX 屆甘肅省天水市一中高三高考信息卷一】如下圖所示，坐標紙上的每個單元格的邊長為1，由下 往上的六個點：1，2，3，4，5，6的橫、縱坐標分別對應(yīng)數(shù)列an（n）的前12項，如下表所 示： 按如此規(guī)律下去，則a2013 a2014 a2015 【答案】10

39、07 13.【20XX 屆黑龍江省哈爾濱市三中高三第四次模擬】已知數(shù)列an滿足a1 4 ，且 3 a n1 1 a n a n 1n N ，則m 111 的整數(shù)部分是（） a 1 a 2 a 2015 A0 B1 C2 D3 【答案】C 【解析】由a n1 1 a n a n 1n N 得 1 a n1 1 111111 ，因此 a n (a n 1)a n 1a n a n a n 1a n1 1 m 111 111111111 L =3 ， a 2015 1a 2016 1a 1 1a 2016 1a 2016 1a 1 a 2 a 2015 a 1 1a 2 1a 2 1a 3 1 2

40、445269161 1 a n1 a n (a n 1) 0,a 2 1,a 3 1,a 4 1 2 a 2016 2 0 1,因此 39816561a 2016 1 又a1 2 m 3，即m的整數(shù)部分是 2，選 C 14.【20XX 屆福建省龍巖市一中高三考前模擬】設(shè)數(shù)列an的前n項和為S n ，且a11， a n1 1 2S n (nN*) （）求數(shù)列an的通項公式； （）若數(shù)列bn為等差數(shù)列，且b 1 a 1 ，公差為 a 2當(dāng)n3時，比較b n1 與1 b 1 b 2 L b n 的大小 a 1 n1 15.【20XX 屆浙江省余姚市高三第三次模擬】已知數(shù)列an,bn滿足下列條件：a

41、n 622,b 1 1， a n b n1 b n . （）求bn的通項公式； （）比較an與2bn的大小 n1 【解析】 （）由已知，b n1 b n 622.b n b 1 (b 2 b 1)(b3 b 2 )L (b n b n1) 1(612)(622)L (62n22) 16(12L 2n2)2(n1) 12n1 162(n1) 62n12n3. 所以bn的通項公式b n 62n12n3. 12 （）2b n a n 62n1 32n .4(n1) 32 4(n1). 設(shè)cn 4(n1) n 32n1 c n1 2(n1)n4(n2) 111 0.所以c n1 c n .即c n為遞

42、增數(shù)列. 當(dāng) n 2時， n32 c n n2n2 4(n1) c n c 2 1.所以32n 4(n1).于是2b n a n 0，即a n 2b n . 易知當(dāng)n 1時，an 2bn.當(dāng)n 2時， a n 2b n. 拓展試題以及解析 2* 1. 已知數(shù)列an的前n項和S n 滿足nSn1(n1)Sn 2n 2n(n N )，a1 3，則數(shù)列an的通項 a n （ ） A4n1 B2n1 C3n Dn2 【答案】A 【入選理由】本題考查數(shù)列前n項和Sn與通項an間的關(guān)系、等差數(shù)列通項公式等基礎(chǔ)知識，意在考查學(xué)生 的邏輯思維能力、運算求解能力，以及轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用表面看題，似難度重重，認真審題

43、，找出規(guī)律， 從而可解，難度不大，有一定的技巧，故選此題. 2已知數(shù)列an中，a 1 2，na n1 2(n1)a n ，則a5（） A320B160C80D40 【答案】B 【解析】由nan1 2(n1)an，得 a n1 aa 2n，則數(shù)列n是首項為 2，公比為 2 的等比數(shù)列，所以 n1nn a n 22n1 2n，即a n n2n，所以a 5 525160，故選 B n 【入選理由】本題考查數(shù)列遞推關(guān)系、等比數(shù)列通項公式等基礎(chǔ)知識，意在考查學(xué)生的邏輯思維能力、運 算求解能力，以及轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用遞推關(guān)系需注意變形方法,此題難度不大，有一定的技巧，故選此題. 3.已知數(shù)列an的前n項和為S n ，a11當(dāng)n 2時，an2Sn1 2n1，則S299（） A246 B299 C247 D248 【答案】B 【解析】當(dāng)n 2時，由an2Sn1 2n1得SnSn12Sn1 2n1，即Sn Sn1 2n1 ，所 以Sn1 Sn 2n3，由得Sn1Sn1 2，又a11即S11，所以數(shù)列