1、N 選修4系列N1 選修4-1 幾何證明選講22N12020遼寧卷 如圖18，O和O相交于A，B兩點，過A作兩圓的切線分別交兩圓于C，D兩點，連結DB并延長交O于點E.證明：(1)ACBDADAB；(2)ACAE.圖1822證明：(1)由AC與O相切于A，得CABADB，同理ACBDAB，所以ACBDAB.從而，即ACBDADAB.(2)由AD與O相切于A，得AEDBAD，又ADEBDA，得EADABD.從而，即AEBDADAB.結合(1)的結論，得ACAE.21 AN1 2020江蘇卷如圖17，AB是圓O的直徑，D，E為圓O上位于AB異側的兩點，連結BD并延長至點C，使BDDC，連結AC，A

2、E，DE.求證：EC.圖1721A.證明：如圖，連結OD，因為BDDC，O為AB的中點，所以ODAC，于是ODBC.因為OBOD，所以ODBB.于是BC.因為點A，E，B，D都在圓O上，且D，E為圓O上位于AB異側的兩點，所以E和B為同弧所對的圓周角，故EB.所以EC.15N12020湖北卷如圖16所示，點D在O的弦AB上移動，AB4，連結OD，過點D作OD的垂線交O于點C，則CD的最大值為_圖1615. 2解析 因為CD，且OC為O的半徑，是定值，所以當OD取最小值時，CD取最大值顯然當ODAB時，OD取最小值，故此時CDAB2，即為所求的最大值12N12020全國卷 正方形ABCD的邊長為

3、1，點E在邊AB上，點F在邊BC上，AEBF.動點P從E出發(fā)沿直線向F運動，每當碰到正方形的邊時反彈，反彈時反射角等于入射角，當點P第一次碰到E時，P與正方形的邊碰撞的次數(shù)為()A16 B14C12 D1012B解析 取單位長度為7的正方形，(1)直接作出圖形可得到結果，如圖所示，(2)建立坐標系，取正方形邊長為7分單位，計算7次可得第7次時該點的橫坐標與E點相同，根據(jù)對稱性應選擇14次5N12020北京卷 如圖13，ACB90，CDAB于點D，以BD為直徑的圓與BC交于點E，則()ACECBADDBBCECBADABCADABCD2DCEEBCD25A解析 本題考查了平面幾何圓與三角形，特別

4、是重點考查了射影定理等知識對于A，CECBCD2ADDB；對于B，CECBCD2AC2ADAB；對于C，CD2ADDBADAB；對于D，ED2CEEBCD2.15N12020廣東卷如圖13，圓O的半徑為1，A、B、C是圓周上的三點，滿足ABC30，過點A作圓O的切線與OC的延長線交于點P，則PA_.15.解析 考查平面幾何中圓周角定理以及弦切角定理等，解題關鍵是通過連接OA，在AOP中利用勾股定理求出連接OA，則OAPA，根據(jù)圓周角定理得：AOP60，所以PO2，OA1，在直角三角形AOP中利用勾股定理得：PA.11N12020湖南卷 如圖13，過點P的直線與O相交于A，B兩點若PA1，AB2

5、，PO3，則O的半徑等于_圖1311.解析 設圓的半徑為r，由圓的割線定理可得，PAPB(POr)(POr)，把 PA1，PB123，PO3代入求解得39r2，r.22N12020課標全國卷如圖16，D，E分別為ABC邊AB，AC的中點，直線DE交ABC的外接圓于F，G兩點若CFAB，證明：(1)CDBC；(2)BCDGBD.22證明：(1)因為D，E分別為AB，AC的中點，所以DEBC.又已知CFAB，故四邊形BCFD是平行四邊形，所以CFBDAD.而CFAD，連結AF，所以四邊形ADCF是平行四邊形，故CDAF.因為CFAB，所以BCAF，故CDBC.(2)因為FGBC，故GBCF.由(1

6、)可知BDCF，所以GBBD.而DGBEFCDBC，故BCDGBD.15 B. N1 2020陜西卷如圖15，在圓O中，直徑AB與弦CD垂直，垂足為E，EFDB，垂足為F，若AB6，AE1，則DFDB_.圖1515B 5解析 本題考查了射影定理的知識，解題的突破口是找出直角三角形內的射影定理連接AD，在RtABD中，DEAB，所以DE2AEEB5，在RtEBD中，EFDB，所以DE2DFDB5.13N12020天津卷 如圖13所示，已知AB和AC是圓的兩條弦，過點B作圓的切線與AC的延長線相交于點D.過點C作BD的平行線與圓相交于點E，與AB相交于點F，AF3，F(xiàn)B1，EF，則線段CD的長為_

7、圖1313.解析 本題考查選修41幾何證明選講中圓的性質，考查推理論證及運算求解能力，中檔題由相交弦的性質可得|AF|FB|EF|FC|，|FC|2，又FCBD，即BD，由切割定理得|BD|2|DA|DC|4|DC|2，解之得|DC|.N2 選修4-2 矩陣21 BN2 2020江蘇卷已知矩陣A的逆矩陣A1，求矩陣A的特征值21 B解：因為A1AE，所以A(A1)1.因為A1，所以A(A1)1，于是矩陣A的特征多項式為f()234.令f()0，解得A的特征值11，24.21AN2 2020福建卷 設曲線2x22xyy21在矩陣A(a0)對應的變換作用下得到的曲線為x2y21.(1)求實數(shù)a，b

8、的值；(2)求A2的逆矩陣21A解： (1)設曲線2x22xyy21上任意點P(x，y)在矩陣A對應的變換作用下的像是P(x，y)由，得又點P(x，y)在x2y21上，所以x2y21，即a2x2(bxy)21，整理得(a2b2)x22bxyy21.依題意得解得或因為a0，所以(2)由(1)知，A，A2，所以|A2|1，(A2)1.3C3、N22020上海卷 函數(shù)f(x)的值域是_3.解析 考查二階矩陣和三角函數(shù)的值域，以矩陣為載體，實為考查三角函數(shù)的值域，易錯點是三角函數(shù)的化簡f(x)2sinxcosx2sin2x，又1sin2x1，所以f(x)2sin2x的值域為.N3 選修4-4 坐標系與

9、參數(shù)方程12N32020天津卷 已知拋物線的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，其中p0，焦點為F，準線為l.過拋物線上一點M作l的垂線，垂足為E.若|EF|MF|，點M的橫坐標是3，則p_.122解析 本題考查拋物線的參數(shù)方程及拋物線的性質，考查運算求解能力及轉化思想，中檔題將參數(shù)方程 化為普通方程為y22px(p0)，并且F，E，又|EF|MF|ME|，即有3，解之得p2(負值舍去)，即p2.10 N32020上海卷 如圖11所示，在極坐標系中，過點M(2,0)的直線l與極軸的夾角，若將l的極坐標方程寫成f()的形式，則f()_.圖1110.解析 考查極坐標方程，關鍵是寫出直線的極坐標方程，再按要求化

10、簡由已知得直線方程為y(x2)tan，化簡得xy20，轉化為極坐標方程為：cossin20，解得，所以f().15 C. N3 2020陜西卷直線2cos1與圓2cos相交的弦長為_15C. 解析 本題考查了極坐標的相關知識，解題的突破口為把極坐標化為直角坐標由2cos1得2x1，由2cos得22cos，即x2y22x，聯(lián)立得y，所以弦長為.23N32020遼寧卷在直角坐標系xOy.圓C1：x2y24，圓C2：(x2)2y24.(1)在以O為極點，x軸正半軸為極軸的極坐標系中，分別寫出圓C1，C2的極坐標方程，并求出圓C1，C2的交點坐標(用極坐標表示)；(2)求圓C1與C2的公共弦的參數(shù)方程

11、23解：(1)圓C1的極坐標方程為2，圓C2的極坐標方程為4cos.解得2，.故圓C1與圓C2交點的坐標為，.注：極坐標系下點的表示不唯一(2)(解法一)由得圓C1與C2交點的直角坐標分別為(1，)，(1，)故圓C1與C2的公共弦的參數(shù)方程為t.(或參數(shù)方程寫成y)(解法二)在直角坐標系下求得弦C1C2的方程為x1(y)將x1代入得cos1，從而.于是圓C1與C2的公共弦的參數(shù)方程為.23N32020課標全國卷已知曲線C1的參數(shù)方程是(為參數(shù))，以坐標原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C2的極坐標方程是2，正方形ABCD的頂點都在C2上，且A，B，C，D依逆時針次序排列，點A的極

12、坐標為.(1)求點A，B，C，D的直角坐標；(2)設P為C1上任意一點，求|PA|2|PB|2|PC|2|PD|2的取值范圍23解：(1)由已知可得A2cos，2sin，B2cos,2sin，C2cos,2sin，D2cos,2sin，即A(1，)，B(，1)，C(1，)，D(，1)(2)設P(2cos，3sin)，令S|PA|2|PB|2|PC|2|PD|2，則S16cos236sin2163220sin2.因為0sin21，所以S的取值范圍是32,5221 CN32020江蘇卷在極坐標系中，已知圓C經過點P，圓心為直線sin與極軸的交點，求圓C的極坐標方程21C解：在sin中令0，得1，所

13、以圓C的圓心坐標為(1,0)因為圓C經過點P，所以圓C的半徑PC1，于是圓C過極點，所以圓C的極坐標方程為2cos.9N32020湖南卷 在直角坐標系xOy中，已知曲線C1：(t為參數(shù))與曲線C2：(為參數(shù)，a0)有一個公共點在x軸上，則a_.9.解析 考查直線與橢圓的參數(shù)方程，此類問題的常規(guī)解法是把參數(shù)方程轉化為普通方程求解，此題的關鍵是，得出兩曲線在x軸上的一個公共點，即為曲線C1與x軸的交點，化難為易曲線C1： (t為參數(shù))的普通方程是2xy30，曲線C2的普通方程是1，兩曲線在x軸上的一個公共點，即為曲線C1與x軸的交點，代入曲線C2，得1，解得a.16N32020湖北卷在直角坐標系x

14、Oy中，以原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立坐標系已知射線與曲線(t為參數(shù))相交于A，B兩點，則線段AB的中點的直角坐標為_16.解析 曲線 化為直角坐標方程是y2，射線化為直角坐標方程是yx.聯(lián)立 消去y得x25x40，解得x11，x24.所以y11，y24.故線段AB的中點的直角坐標為，即.21B. N3 2020福建卷在平面直角坐標系中，以坐標原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系已知直線l上兩點M，N的極坐標分別為(2,0)，圓C的參數(shù)方程為(為參數(shù))(1)設P為線段MN的中點，求直線OP的平面直角坐標方程；(2)判斷直線l與圓C的位置關系21B. 解：(1)由題意知，M，N的

15、平面直角坐標分別為(2,0)，又P為線段MN的中點，從而點P的平面直角坐標為，故直線OP的平面直角坐標方程為yx.(2)因為直線l上兩點M，N的平面直角坐標分別為(2,0)，所以直線l的平面直角坐標方程為x3y20.又圓C的圓心坐標為(2，)，半徑r2，圓心到直線l的距離dr，故直線l與圓C相交13N32020安徽卷 在極坐標系中，圓4sin的圓心到直線(R)的距離是_13.解析 本題考查極坐標與直角坐標的互化，圓的方程，點到直線的距離應用極坐標與直角坐標的互化公式 將圓4sin化為直角坐標方程為x224，直線化為直角坐標方程為yx.因為x224的圓心為，所以圓心到直線yx，即x3y0的距離為

16、d.9N32020北京卷 直線(t為參數(shù))與曲線(為參數(shù))的交點個數(shù)為_92解析 本題主要考查直線和圓的位置關系，考查參數(shù)方程和普通方程之間的轉化等基礎知識，考查數(shù)形結合思想的運用方程轉化為普通方程，直線為xy1，圓為x2y29，法一：圓心到直線的距離為d0，所以直線和圓相交，答案為2.14N32020廣東卷 (坐標系與參數(shù)方程選做題)在平面直角坐標系xOy中，曲線C1和C2的參數(shù)方程分別為(t為參數(shù))和(為參數(shù))，則曲線C1與C2的交點坐標為_14(1,1)解析 本題考查參數(shù)方程與直角坐標方程之間的轉化，突破口是把參數(shù)方程轉化為直角坐標方程，利用方程思想解決，C1的直角坐標方程為：y2x(x

17、0)，C2的直角坐標方程為：x2y22，聯(lián)立方程得：解得所以交點坐標為(1,1)圖1315N32020江西卷 (1)(坐標系與參數(shù)方程選做題)曲線C的直角坐標方程為x2y22x0，以原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，則曲線C的極坐標方程為_N4(2)(不等式選做題)在實數(shù)范圍內，不等式|2x1|2x1|6的解集為_15(1)2cos解析 考查極坐標方程與普通方程的轉化；解題的突破口是利用點P的直角坐標(x，y)與極坐標(，)的關系轉化由于2x2y2，cosx，因此x2y22x0的極坐標方程為2cos.(2)解析 考查絕對值不等式的解法，以及分類討論思想；解題的突破口是利用零點討論法去

18、掉絕對值符號，將不等式轉化為一般不等式(組)求解當x時，原不等式可化為2x12x16，解得x，此時x；當x時，原不等式可化為2x12x16，解得x，此時x0，故tan.所以直線l的斜率為.N4 選修4-5 不等式選講23N4 2020浙江卷已知aR，設關于x的不等式|2xa|x3|2x4的解集為A.(1)若a1，求A；(2)若AR，求a的取值范圍23.解：(1)當x3時，原不等式化為3x22x4，綜合得x3.當3x時，原不等式化為x42x4，綜合得3時，原不等式為3x22x4，得x2.綜上，Ax|x0或x2(2)當x2時，|2xa|x3|02x4成立當x2時，|2xa|x3|2xa|x32x4

19、，得xa1或x，所以a12或a1，得a2，綜上，a的取值范圍為a2.15 AN4 2020陜西卷若存在實數(shù)x使|xa|x1|3成立，則實數(shù)a的取值范圍是_15A. 2a4解析 本題考查了不等式解法的相關知識，解題的突破口是理解不等式的幾何意義|xa|x1|3表示的幾何意義是在數(shù)軸上一點x到1的距離與到a的距離之和小于或等于3個單位長度，此時我們可以以1為原點找離此點小于或等于3個單位長度的點即為a的取值范圍，不難發(fā)現(xiàn)2a4.24N42020遼寧卷已知f(x)|ax1|(aR)，不等式f(x)3的解集為x|2x1(1)求a的值；(2)若k恒成立，求k的取值范圍24解：(1)由|ax1|3得4ax

20、2.又f(x)3的解集為x|2x1，所以當a0時，不合題意當a0時，x，得a2.(2)記h(x)f(x)2f，則h(x)所以|h(x)|1，因此k1.24N42020課標全國卷已知函數(shù)f(x)|xa|x2|.(1)當a3時，求不等式f(x)3的解集；(2)若f(x)|x4|的解集包含1,2，求a的取值范圍24解：(1)當a3時，f(x)當x2時，由f(x)3得2x53，解得x1；當2x3時，f(x)3無解；當x3時，由f(x)3得2x53，解得x4；所以f(x)3的解集為x|x1x|x4(2)f(x)|x4|x4|x2|xa|.當x1,2時，|x4|x2|xa|4x(2x)|xa|2ax2a.

21、由條件得2a1且2a2，即3a0.故滿足條件的a的取值范圍為3,021 DN4 2020江蘇卷已知實數(shù)x，y滿足：|xy|，|2xy|，求證：|y|.21D證明：因為3|y|3y|2(xy)(2xy)|2|xy|2xy|，由題設知|xy|，|2xy|，從而3|y|，所以|y|2|x1|，再兩邊平方，輕松求解不等式轉化為|2x1|2|x1|，兩邊平方得(2x1)24(x1)2，化簡得4x1，解得x，故解集為.6N42020湖北卷 設a，b，c，x，y，z是正數(shù)，且a2b2c210，x2y2z240，axbycz20，則()A. B.C. D.6C解析 由柯西不等式得(a2b2c2)(x2y2z2

22、)1040(axbycz)2202，顯然上式應取等號，此時akx，bky，ckz，則a2b2c2k2(x2y2z2)40k210，得k(舍去負值)，所以k.故選C.9N42020廣東卷 不等式|x2|x|1的解集為_9.解析 當x2，不等式化為：x2x1，即21恒成立，所以此時解集為：x|x2；當20時，不等式化為：x2x1，即21，此時解集為空集綜上，不等式的解集為：.21C. N4 2020福建卷已知函數(shù)f(x)m|x2|，mR，且f(x2)0的解集為1,1(1)求m的值；(2)若a，b，cR，且m，求證：a2b3c9.21C. 解：(1)因為f(x2)m|x|，f(x2)0等價于|x|m，由|x|m有解，得m0，且其解集為x|mxm又f(x2)0的解集為1,1，故m1.(2)由(1)知1，又a，b，cR，由柯西不等式得a2b3c(a2b3c)29.N5 選修4-7 優(yōu)選法與試驗設計2020模擬題12020韶關調研 已知圓O的半徑為3，從圓O外一點A引切線AD和割線ABC，圓心O到AC的距離為2，AB3，則切線AD的長為_圖Z741. 解析 由r3，d2得|BC|22，又AD2ABAC15，所以AD.22020遼寧省本溪一中、莊河高中期末聯(lián)考 如圖Z74，直線AB經過O上的點C，并且OAOB，CACB.O交直線OB于E，D，連接EC，CD.(1)求