1、浙江省鎮(zhèn)海中學2020屆高三數(shù)學上學期期中試題（含解析）一、選擇題（本大題共10小題）1. 已知集合，則的元素的個數(shù)為A. 2B. 3C. 4D. 72. 若a，b，且，則下列不等式中一定成立的是A. B. C. D. 3. 已知是等差數(shù)列的前n項和，且，則等于A. 50B. 42C. 38D. 364. 函數(shù)的圖象大致為A. B. C. D. 5. 如圖是一個幾何體的三視圖，則這個幾何體的表面積是A. 84B. C. D. 6. 將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度后，得到，則的函數(shù)解析式為A. B. C. D. 7. 設命題p：，命題，若q是p的必要不充分條件，則實數(shù)a的取值范圍是A. B. C

2、. D. 8. 已知，則A. B. C. D. 9. 已知橢圓和雙曲線有相同的焦點，設點P是該橢圓和雙曲線的一個公共點，且，若橢圓和雙曲線的離心率分別為，則的最小值為A. B. C. D. 10. 設a，b為正實數(shù)，且，則的最大值和最小值之和為A. 2B. C. D. 9二、填空題（本大題共7小題）11. 拋物線的焦點坐標是_，準線方程是_12. 已知點，點在線段AB上，則直線AB的斜率為_；的最大值為_13. 若實數(shù)滿足約束條件，則的最小值為_；的最小值為_14. 已知長方體中，則直線與平面所成的角為_；若空間的一條直線l與直線所成的角為，則直線l與平面所成的最大角為_15. 已知是等比數(shù)列

3、，且，則_，的最大值為_16. 已知圓O：，設點P是恒過點的直線l上任意一點，若在該圓上任意點A滿足，則直線l的斜率k的取值范圍為_17. 已知點，為單位圓上兩點，且滿足，則的取值范圍為_三、解答題（本大題共5小題）18. 已知的最大值為求實數(shù)a的值；若，求的值19. 在銳角中，角A，B，C所對邊分別為a，b，c，已知，求A；求的取值范圍20. 如圖，在三棱錐中，和都為等腰直角三角形，M為AC的中點，且求二面角的大小；求直線PM與平面PBC所成角的正弦值21. 已知數(shù)列的前n項和為，且滿足：求數(shù)列的通項公式；數(shù)列滿足，求數(shù)列通項公式22. 在平面直角坐標系中，已知，若線段FP的中垂線l與拋物線

4、C：總是相切求拋物線C的方程；若過點的直線交拋物線C于M，N兩點，過M，N分別作拋物線的切線，相交于點，分別與y軸交于點B，C證明：當變化時，的外接圓過定點，并求出定點的坐標；求的外接圓面積的最小值答案和解析1.【答案】C【解析】解：0，1，2，3，4，3，4，的元素的個數(shù)為4故選：C可以求出集合A，B，然后進行交集的運算求出，從而得出的元素的個數(shù)本題考查了描述法、列舉法的定義，一元二次不等式的解法，對數(shù)函數(shù)的單調性，考查了計算能力，屬于基礎題2.【答案】D【解析】解：，b，且，取，可排除A，B；取，可排除C由不等式的性質知當時，故D正確故選：D根據(jù)不等式的基本性質，結合特殊值，可判斷選項正誤

5、本題考查了不等式的基本性質，屬基礎題3.【答案】B【解析】解：，解可得，則故選：B結合等差數(shù)列的求和公式求出，d，然后再帶入求和公式即可求解本題主要考查了等差數(shù)列的求和公式的簡單應用，屬于基礎試題4.【答案】A【解析】解：，則函數(shù)為偶函數(shù)，圖象關于y軸對稱，排除B，當，排除C，當時，排除D，故選：A先判斷函數(shù)的奇偶性和對稱性，利用極限思想以及當時的函數(shù)值是否對應進行排除即可本題主要考查函數(shù)與圖象的識別和判斷，利用函數(shù)的奇偶性和極限思想，利用排除法是解決本題的關鍵5.【答案】B【解析】【分析】幾何體為側放的五棱柱，底面為正視圖中的五邊形，棱柱的高為4本題考查了棱柱的結構特征和三視圖，屬于基礎題【

6、解答】由三視圖可知幾何體為五棱柱，底面為正視圖中的五邊形，高為4所以五棱柱的表面積為故選：B6.【答案】C【解析】解：將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度后，得到，即將的圖象向左平移個單位，得到故選：C直接利用三角函數(shù)關系式的平移變換和誘導公式的應用求出結果本題考查的知識要點：三角函數(shù)關系式的恒等變換，函數(shù)的圖象的平移變換的應用，誘導公式的應用，主要考查學生的運算能力和轉換能力及思維能力，屬于基礎題型7.【答案】A【解析】解：命題p：解得：命題q：，解得：又是p的必要不充分條件，故選：A先求出命題p，q的等價條件，利用p是q的充分不必要條件，確定實數(shù)a的取值范圍本題主要考查充分條件和必要條件的應用，

7、利用對數(shù)不等式和分式不等式的解法求出對應的解是解決本題的關鍵8.【答案】B【解析】解：已知，則，整理得：，所以，又因為，所以，即，所以，由條件可得，整理得，所以，即，所以和兩式平方和得，所以，解得故選：B直接利用三角函數(shù)關系式的變換和同角三角函數(shù)關系式的變換的應用求出結果本題考查的知識要點：三角函數(shù)關系式的恒等變換，同角三角函數(shù)關系式的變換，主要考查學生的運算能力和轉換能力及思維能力，屬于基礎題型9.【答案】A【解析】【分析】設出橢圓方程與雙曲線方程，再設，由橢圓和雙曲線的定義，解方程可得s，t，再由余弦定理，可得a，m與c的關系，結合離心率公式，以及基本不等式，可得所求最小值本題考查橢圓和雙

8、曲線的定義和性質，主要是離心率，考查解三角形的余弦定理，以及基本不等式的運用，考查化簡整理的運算能力，屬于中檔題【解答】解：不妨設橢圓方程為，雙曲線方程為再設，P為第一象限的交點，由橢圓和雙曲線的定義可得，解得，在三角形中，可得，即有，可得，即為，則，當且僅當，即，取得最小值故選：A10.【答案】C【解析】解：設a，b為正實數(shù)，且，設，則，由柯西不等式：，所以，化簡得，所以不等式的解的端點就是n的一個最大值和一個最小值，也就是其對應的方程的兩個根的和，由韋達定理，其對應的方程的根的和為，故的最大值和最小值之和為為故選：C利用換元法，設，則，利用柯西不等式轉化為，解不等式，利用根與系數(shù)的關系，解

9、出即可考查換元法，柯西不等式的應用，一元二次不等式的解法，韋達定理，綜合題11.【答案】 【解析】解：拋物線的焦點坐標是；準線方程是：故答案為：；利用拋物線的標準方程求解焦點坐標以及準線方程即可本題考查拋物線的簡單性質的應用，是基礎題12.【答案】 【解析】解：，；線段AB的方程為點在線段AB上，即當時，ab有最大值為故答案為：；直接由兩點求斜率公式可得直線AB的斜率；求出線段AB的方程，把P的坐標代入，可得a，b的關系，把ab轉化為a的二次函數(shù)求最值本題考查直線的斜率，訓練了利用二次函數(shù)求最值，是基礎題13.【答案】1 【解析】解：作出實數(shù)滿足約束條件，表示的可行域，作出直線，平移直線，當過

10、點時，取最小值：1的最小值為可行域內的點與的距離的最小值，即點到直線的距離的最小值為：故答案為：1；作出不等式組表示的可行域，以及直線，平移通過目標函數(shù)的幾何意義，即可得到所求最小值的最小值為可行域內的點與的距離的最小值，即點到直線的距離本題考查線性目標函數(shù)在不等式組下的最值問題的解法，注意運用平移法，考查作圖能力，屬于基本知識的考查14.【答案】 【解析】解：建立右圖所示的空間直角坐標系，則有0，0，設平面的一個法向量為，則有，即，設直線與平面所成的角為，則有，故直線與平面所成的角為空間的一條直線l與直線所成的角為，不妨設直線l恒過定點A，則直線l與平面的交點M的軌跡為：以點為圓心，為半徑的

11、圓則點M的坐標可設為，又平面的一個法向量為，直線l與平面所成的角為，則有，故直線l與平面所成的最大角為建立空間直角坐標系，用向量法可求解；構造法，設動直線l恒過定點A，與平面的交點是以點為圓心，為半徑的圓；然后設定直線l的方向向量，即可求解此題主要考查利用向量法求解立體幾何運動題，凡是可建立坐標系的這類題應選擇向量法更為適宜15.【答案】5 【解析】解：因為是等比數(shù)列，所以，所以，即，又，所以，故答案為：5，根據(jù)等比中項的性質，代入原式化簡即可本題考查了等比數(shù)列的等比中項的性質，基本不等式等知識，屬于基礎題16.【答案】【解析】解：因為，所以：當點A位于Y軸左側時：設直線PA的傾斜角為因為；，

12、所以：；斜率k的取值范圍：由對稱性可知：當點A位于Y軸右側時，斜率k的取值范圍：綜上可得：直線l的斜率k的取值范圍是：故答案為：先設出直線的傾斜角，根據(jù)三角形內角和為，求出點A位于Y軸左側時傾斜角的范圍，進而求出斜率，再根據(jù)對稱性即可求出結論本題主要考查直線和圓的位置關系，本題的關鍵點在于根據(jù)條件分析出傾斜角的取值范圍，屬于基礎題目17.【答案】【解析】解：，又，設，則又，當或時，取得最小值為，當時，取得最大值故答案為：計算，得出，設，根據(jù)和角公式化簡，再根據(jù)的范圍求出答案本題考查了平面向量的坐標運算，三角函數(shù)的化簡求值，屬于中檔題18.【答案】解：，由于函數(shù)的最大值為，故，解得由于，所以，整

13、理得所以，所以或，所以或，故，所以當時當時，所以原式【解析】直接利用三角函數(shù)關系式的恒等變換求出結果利用三角函數(shù)的關系式的變換和同角三角函數(shù)及倍角公式的應用求出結果本題考查的知識要點：三角函數(shù)關系式的變換，正弦型函數(shù)的性質的應用，主要考查學生的運算能力和轉換能力及思維能力，屬于基礎題型19.【答案】解：在銳角中，可得，由余弦定理可得：，由A為銳角，可得，又，可得，即的取值范圍是【解析】由已知可得，由余弦定理可得，由A為銳角，可得A的值由三角函數(shù)恒等變換的應用可求，由已知可求B的范圍，進而利用三角函數(shù)的有界限即可得取值范圍本題主要考查了正弦定理，余弦定理，三角函數(shù)恒等變換的應用，正弦函數(shù)的性質等

14、基礎知識在解三角形中的綜合應用，考查了運算能力和轉化思想，屬于中檔題20.【答案】解：分別取線段AB，BC的中點O，N，連接PO，ON，MN，PN，設，則有在等腰直角中，O是中點，則有-在等腰直角中，點O，N分別是AB，BC的中點，則有-由可知，平面PON，又，平面PON，則有又，則，又，則有，又，由三角形余弦定理可知，即二面角的大小為建立如圖所示的空間直角坐標系，過點P作交NO延長線于點D，設，則有0，2，0，1，由可知，又，設平面PBC的一個法向量為，則有，又，設直線PM與平面PBC所成角為，則有：故直線PM與平面PBC所成角的正弦值為【解析】關鍵是找到；利用空間向量，建立恰當?shù)目臻g直角坐

15、標系，就可以很好地求解在幾何法不好求解的立體幾何題，可以選擇用向量法去處理，但前提是：能夠很好地建立空間直角坐標系，求出各點的坐標21.【答案】解：數(shù)列的前n項和為，且滿足：當時，兩式相減得：，所以數(shù)列是以2為首項為公比的等比數(shù)列所以由于，所以，由于，所以，所以【解析】直接利用數(shù)列的遞推關系式的應用求出數(shù)列的通項公式利用的結論，進一步利用關系式的變換的應用求出結果本題考查的知識要點：數(shù)列的通項公式的求法及應用，數(shù)列的遞推關系式的應用，主要考查學生的運算能力和轉換能力及思維能力，屬于基礎題型22.【答案】解：，可得FP的中點為，當時，F(xiàn)P的中點為原點，當時，直線FP的斜率為，線段FP的中垂線l的

16、斜率為，可得中垂線l的方程為，代入拋物線方程，可得，由直線和拋物線相切可得，解得，則拋物線的方程為；證明：可設過點的直線的方程為，即，代入拋物線的方程，可得，設，則，由，兩邊對x求導可得，即，可得M處的切線方程為，化為，同理可得N處的切線方程為，由可得，即，又，分別與y軸交于點，設過A，B，C的外接圓的方程為，即有，結合，可得，可得的外接圓方程為，可得，由可得或，則當變化時，的外接圓過定點和；的外接圓的半徑，可得當時，r的最小值為，則的外接圓面積的最小值為【解析】求得FP的中點，討論和t不為0，求得直線FP的斜率，可得中垂線l的斜率和方程，聯(lián)立拋物線方程，運用直線和拋物線相切的條件：判別式為0，解方程可得p，進而得到所