1、山西省長(zhǎng)治市長(zhǎng)治學(xué)院附屬太行中學(xué)2020學(xué)年高二數(shù)學(xué)下學(xué)期第二次月考試題 理（含解析）一、選擇題：在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.（ ）A. 5B.C. 6D. 【答案】A【解析】【分析】由題，先根據(jù)復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算直接求出結(jié)果即可【詳解】由題故選A【點(diǎn)睛】本題考查了復(fù)數(shù)的運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.2.已知集合，則下列判斷正確的是（ ）A.B. C.D. 【答案】C【解析】【分析】先分別求出集合A與集合B，再判別集合A與B的關(guān)系，得出結(jié)果.【詳解】， 【點(diǎn)睛】本題考查了集合之間的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題.3.設(shè)向量是平面內(nèi)的一組基底，若向量與共線，則（ ）A.B.C.D. 【答案】B【解

2、析】【分析】由題得存在，使得，得到關(guān)于，的方程組，解之即得解.【詳解】因?yàn)榕c共線，所以存在，使得，即，故，解得.【點(diǎn)睛】本題主要考查向量共線的應(yīng)用，意在考查學(xué)生對(duì)該知識(shí)的理解掌握水平和分析推理能力.4.已知函數(shù)為偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，則（ ）A.B. C.D. 【答案】A【解析】【分析】找出二次函數(shù)的對(duì)稱軸，再根據(jù)答案，分析與與對(duì)稱軸的距離，判斷出大小.詳解】當(dāng)時(shí)，又函數(shù)為偶函數(shù)，所以，根據(jù)二次函數(shù)的對(duì)稱性以及單調(diào)性，所以故選A【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)以及奇偶性，熟悉二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.5.若曲線在點(diǎn)處的切線的斜率為，則（ ）A. 2B. 3C. 4D. 5【答案】D

3、【解析】【分析】先求其導(dǎo)函數(shù)，再將x=1帶入其斜率為，可得答案.【詳解】， 故選D【點(diǎn)睛】本題考查了曲線的切線方程，熟悉函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的幾何意義以及求導(dǎo)函數(shù)是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.6.橢圓與雙曲線有相同的左右焦點(diǎn)分別為，橢圓的離心率為，雙曲線的離心率為，且兩曲線在第一象限的公共點(diǎn)滿足，則的值為（ ）A. 2B. 3C. 4D. 6【答案】A【解析】【分析】根據(jù)題中條件，結(jié)合橢圓與雙曲線的定義，得到，進(jìn)而可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，為橢圓與雙曲線的公共焦點(diǎn)，且兩曲線在第一象限的公共點(diǎn)滿足，所以橢圓的離心率為，雙曲線的離心率為，因此，.故選A【點(diǎn)睛】本題主要考查橢圓與雙曲線的離心率，熟記橢圓與雙曲線

4、的簡(jiǎn)單性質(zhì)即可，屬于常考題型.7.已知函數(shù)，若的最小正周期為，且，則的解析式為（ ）A.B. C.D. 【答案】A【解析】【分析】由輔助角公式可得，根據(jù)，可求出=1，又為奇函數(shù)，所以，結(jié)合的范圍，即可求得結(jié)果。【詳解】由輔助角公式可得，由周期公式，得，因?yàn)?，所?1，則。又因?yàn)?，即為奇函?shù)，所以，即又因?yàn)椋瑒t令，所以，所以，故選A【點(diǎn)睛】本題考查了三角函數(shù)的周期性，奇偶性，誘導(dǎo)公式及輔助角公式，綜合性較強(qiáng)，屬中檔題。其中特別要注意根據(jù)，解得。8.設(shè)，則二項(xiàng)式的展開(kāi)式中含項(xiàng)的系數(shù)為（ ）A. 160B.C. 80D. 【答案】A【解析】【分析】先由微積分基本定理求出，再由二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式，即

5、可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，所以展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為，令得，所以含項(xiàng)的系數(shù)為.故選A【點(diǎn)睛】本題主要考查求指定項(xiàng)的系數(shù)，熟記二項(xiàng)式定理以及微積分基本定理即可，屬于常考題型.9.某三棱錐的三視圖如圖所示，則該三棱錐的體積為（ ）A. 60B. 30C. 20D. 10【答案】D【解析】【分析】由題意，根據(jù)給定的幾何體的三視圖，還原得出空間幾何體的形狀，利用體積公式求解，即可得到答案.【詳解】由題意，根據(jù)給定的幾何體的三視圖可知，該幾何體是如圖所示一個(gè)三棱錐，則該幾何體的體積是，故選D.【點(diǎn)睛】本題考查了幾何體的三視圖及幾何體的體積的計(jì)算，在由三視圖還原為空間幾何體的實(shí)際形狀時(shí)，要根據(jù)三視圖的規(guī)則，空

6、間幾何體的可見(jiàn)輪廓線在三視圖中為實(shí)線，不可見(jiàn)輪廓線在三視圖中為虛線.求解以三視圖為載體的空間幾何體的表面積與體積的關(guān)鍵是由三視圖確定直觀圖的形狀以及直觀圖中線面的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系，利用相應(yīng)體積公式求解.10.2020年清華大學(xué)冬令營(yíng)開(kāi)營(yíng)儀式文藝晚會(huì)中，要將這五個(gè)不同節(jié)目編排成節(jié)目單，如果節(jié)目不能排在開(kāi)始和結(jié)尾，兩個(gè)節(jié)目要相鄰，則節(jié)目單上不同的排序方式有（ ）種A. 12B. 18C. 24D. 48【答案】C【解析】【分析】分或排在第一個(gè)，或排在最后一個(gè)，以及、不排在開(kāi)始和結(jié)尾，三種情況，分別求出排法，即可求出結(jié)果.【詳解】由題意，若或排在第一個(gè)，則有種排法；若或排在最后一個(gè)，則有種排法；若

7、、不排在開(kāi)始和結(jié)尾，則有種排法；綜上，節(jié)目單上不同的排序方式共有種.故選C【點(diǎn)睛】本題主要考查排列問(wèn)題，根據(jù)特殊元素優(yōu)先考慮的策略，即可處理，屬于?？碱}型.11.面積為4的正方形中，是線段的中點(diǎn)，現(xiàn)將圖形沿折起，使得線段，重合，得到一個(gè)四面體（其中點(diǎn)重合于），則該四面體外接球的表面積為（ ）A.B.C.D. 【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意，作出折起后的圖形，取中點(diǎn)為，連結(jié)，在上取，使得，得到為等邊的外接圓圓心，所以四面體外接球球心在正上方，結(jié)合題中數(shù)據(jù)求出外接球半徑，進(jìn)而可得外接球體積.【詳解】由題意，作出折起后的圖形，取中點(diǎn)為，連結(jié)，在上取，使得，由題意易得，即為等邊三角形，所以為等邊的

8、外接圓圓心，因此四面體外接球球心在正上方，所以平面；又由題意，所以平面；因此，設(shè)外接球半徑為，則，所以，又，所以因此，所求外接球的表面積為.故選C【點(diǎn)睛】本題主要考查幾何體外接球的相關(guān)計(jì)算，熟記幾何體的結(jié)構(gòu)特征，以及球的表面積公式即可，屬于?？碱}型.12.已知函數(shù)（為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），若有且僅有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)，滿足，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（ ）A.B.C.D. 【答案】C【解析】【分析】先由時(shí)，根據(jù)方程只有一個(gè)根，得到時(shí)，與直線只有一個(gè)交點(diǎn)；再由題意，得到時(shí)，與直線有兩個(gè)不同交點(diǎn)；即方程在上有兩實(shí)根，再令，用導(dǎo)數(shù)方法研究其單調(diào)性，根據(jù)數(shù)形結(jié)合的思想，即可得出結(jié)果.【詳解】因?yàn)榭苫癁?，解得；即時(shí)，與

9、直線只有一個(gè)交點(diǎn)；又因?yàn)閮H有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)，滿足，所以函數(shù)與直線共有三個(gè)不同交點(diǎn)；因此，與直線在時(shí)有兩個(gè)不同交點(diǎn)；即方程在上有兩實(shí)根；即直線與在上有兩不同交點(diǎn)；令，則，由得；所以當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；所以，又，作出函數(shù)大致圖像如下：由圖像可得， 故選C【點(diǎn)睛】本題主要考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，由方程根的個(gè)數(shù)求參數(shù)問(wèn)題，通常需要將問(wèn)題轉(zhuǎn)為函數(shù)交點(diǎn)的問(wèn)題，用導(dǎo)數(shù)的方法研究函數(shù)單調(diào)性，作出函數(shù)圖像，進(jìn)而可求出結(jié)果.二、填空題.13.已知函數(shù)，若，則_【答案】【解析】【分析】通過(guò)求出，代入解析式求得結(jié)果.【詳解】因?yàn)樗员绢}正確結(jié)果： 【點(diǎn)睛】本題考查利用分段函數(shù)解析式求解函數(shù)值的問(wèn)題，屬于基礎(chǔ)題.1

10、4.若實(shí)數(shù)滿足約束條件，設(shè)的最大值與最小值分別為，則_【答案】【解析】【分析】畫出可行域，平移基準(zhǔn)直線到可行域邊界位置，由此求得最大值以及最小值，進(jìn)而求得的比值.【詳解】畫出可行域如下圖所示，由圖可知，當(dāng)直線過(guò)點(diǎn)時(shí)，取得最大值7；過(guò)點(diǎn)時(shí)，取得最小值2，所以.【點(diǎn)睛】本小題主要考查利用線性規(guī)劃求線性目標(biāo)函數(shù)的最值.這種類型題目的主要思路是：首先根據(jù)題目所給的約束條件，畫出可行域；其次是求得線性目標(biāo)函數(shù)的基準(zhǔn)函數(shù)；接著畫出基準(zhǔn)函數(shù)對(duì)應(yīng)的基準(zhǔn)直線；然后通過(guò)平移基準(zhǔn)直線到可行域邊界的位置；最后求出所求的最值.屬于基礎(chǔ)題.15.過(guò)原點(diǎn)作圓的兩條切線，則兩條切線所成的銳角是_【答案】【解析】【分析】根據(jù)題

11、意作出圖像，由圓方程可得圓心，圓的半徑為：，由圓的切線性質(zhì)可知，解，問(wèn)題得解?！驹斀狻扛鶕?jù)題意作出圖像如下：其中是圓的切線，為切點(diǎn)，為圓心，則由圓的方程可得：圓心，圓的半徑為：，在中，可得：，又將平分，所以【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓的切線性質(zhì)及圓的方程，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題。16.在中，角、所對(duì)的邊分別為，若，則的取值范圍是_【答案】【解析】【分析】先根據(jù)余弦定理求C,再根據(jù)正弦定理化為角的函數(shù)關(guān)系式，最后根據(jù)正弦函數(shù)性質(zhì)求結(jié)果.【詳解】，又，因此， 故答案為【點(diǎn)睛】本題考查余弦定理、正弦定理以及正弦函數(shù)性質(zhì)，考查綜合分析求解能力，屬中檔題.三、解答題（解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟

12、.）17.已知等差數(shù)列中，數(shù)列滿足.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若，求數(shù)列的通項(xiàng)公式.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）先設(shè)等差數(shù)列的公差為，根據(jù)已知條件求出首項(xiàng)與公差，即可得到的通項(xiàng)公式，再由，即可求出的通項(xiàng)公式；（2）令數(shù)列的前項(xiàng)和為，由，結(jié)合等比數(shù)列前項(xiàng)和公式，即可求出結(jié)果.【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，由已知可得，解得，又，.（2）令數(shù)列的前項(xiàng)和為.，.【點(diǎn)睛】本題主要考查等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合，熟記等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與求和公式即可，屬于常考題型.18.如圖，四棱錐中，側(cè)面為等邊三角形，且平面底面，.（1）證明：；（2）點(diǎn)在棱上，且若二面角的余弦值為，求實(shí)數(shù)的

13、值.【答案】（1）詳見(jiàn)解析；（2）.【解析】【分析】（1）取AD的中點(diǎn)O，連OC,OP，可證，可得，從而，再證明，即可得證（2）分別以O(shè)C,OD,OP為建立空間直角坐標(biāo)系，計(jì)算平面ABM和平面ABD的法向量，利用其夾角的余弦公式即可求出.【詳解】（1）證明：取AD的中點(diǎn)O，連OC,OP為等邊三角形，且O是邊AD的中點(diǎn)平面底面，且它們的交線為AD(2)分別以O(shè)C,OD,OP為建立空間直角坐標(biāo)系，則,即： 設(shè)，且是平面ABM的一個(gè)法向量，取而平面ABD的一個(gè)法向量為【點(diǎn)睛】本題主要考查了線線垂直、線面垂直的判定與性質(zhì)，二面角的求法，屬于中檔題.19.為了解某校學(xué)生參加社區(qū)服務(wù)的情況，采用按性別分層

14、抽樣的方法進(jìn)行調(diào)查，已知該校共有學(xué)生960人，其中男生560人，從全校學(xué)生中抽取了容量為的樣本，得到一周參加社區(qū)服務(wù)的時(shí)間統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下表：服務(wù)時(shí)間超過(guò)1小時(shí)服務(wù)時(shí)間不超過(guò)1小時(shí)男208女12m（1）求；（2）將表格補(bǔ)充完整，并判斷能否有的把握認(rèn)為該校學(xué)生一周參加社區(qū)服務(wù)時(shí)間是否超過(guò)1小時(shí)與性別有關(guān)？服務(wù)時(shí)間超過(guò)1小時(shí)服務(wù)時(shí)間不超過(guò)1小時(shí)合計(jì)男208女12m合計(jì)（3）以樣本中學(xué)生參加社區(qū)服務(wù)時(shí)間超過(guò)1小時(shí)頻率作為該事件發(fā)生的概率，現(xiàn)從該校學(xué)生中隨機(jī)調(diào)查6名學(xué)生，試估計(jì)6名學(xué)生中一周參加社區(qū)服務(wù)時(shí)間超過(guò)1小時(shí)的人數(shù).附： 0.100.050.0250.0100.0050.0012.7063.841

15、5.0246.6357.87910.828【答案】（），（）沒(méi)有95%把握（）4人【解析】【分析】（）根據(jù)分層抽樣比例列方程求出n的值，再計(jì)算m的值；（）根據(jù)題意完善22列聯(lián)表，計(jì)算K2，對(duì)照臨界值表得出結(jié)論；（）計(jì)算參加社區(qū)服務(wù)時(shí)間超過(guò)1小時(shí)的頻率，用頻率估計(jì)概率，計(jì)算所求的頻數(shù)即可【詳解】（）由已知，該校有女生400人，故，得， 從而.（）作出列聯(lián)表如下：超過(guò)1小時(shí)的人數(shù)不超過(guò)1小時(shí)人數(shù)合計(jì)男20828女12820合計(jì)321648.所以沒(méi)有95%的把握認(rèn)為該校學(xué)生一周參加社區(qū)服務(wù)時(shí)間是否超過(guò)1小時(shí)與性別有關(guān).（）根據(jù)以上數(shù)據(jù)，學(xué)生一周參加社區(qū)服務(wù)時(shí)間超過(guò)1小時(shí)的概率，故估計(jì)這6名學(xué)生一周參

16、加社區(qū)服務(wù)時(shí)間超過(guò)1小時(shí)的人數(shù)是4人.【點(diǎn)睛】本題考查列聯(lián)表與獨(dú)立性檢驗(yàn)的應(yīng)用問(wèn)題，也考查了用頻率估計(jì)概率的應(yīng)用問(wèn)題，是基礎(chǔ)題20.已知為拋物線的焦點(diǎn)，過(guò)的動(dòng)直線交拋物線與兩點(diǎn)，當(dāng)直線與軸垂直時(shí)，.（1）求拋物線的方程；（2）設(shè)直線的斜率為1且與拋物線的準(zhǔn)線相交于點(diǎn)，拋物線上存在點(diǎn)使得直線的斜率成等差數(shù)列，求點(diǎn)的坐標(biāo).【答案】(1) (2) 【解析】【分析】（1）由題意可得，即可求出拋物線的方程，（2）設(shè)直線的方程為，聯(lián)立消去，得，根據(jù)韋達(dá)定理結(jié)合直線，的斜率成等差數(shù)列，即可求出點(diǎn)的坐標(biāo).【詳解】解：（1）因?yàn)椋趻佄锞€方程中，令，可得于是當(dāng)直線與軸垂直時(shí)，解得所以拋物線方程為（2）因?yàn)閽佄锞€

17、的準(zhǔn)線方程為，所以設(shè)直線的方程為，聯(lián)立消去，得設(shè)，則，.若點(diǎn)滿足條件，則，即，因?yàn)辄c(diǎn)，均在拋物線上，所以，代入化簡(jiǎn)可得，將，代入，解得將代入拋物線方程，可得于是點(diǎn)為滿足題意的點(diǎn)【點(diǎn)睛】本題考查直線與拋物線的位置關(guān)系，考查數(shù)列與解析幾何的綜合，考查直線的斜率，綜合性強(qiáng)21.隨著食品安全問(wèn)題逐漸引起人們的重視，有機(jī)、健康的高端綠色蔬菜越來(lái)越受到消費(fèi)者的歡迎，同時(shí)生產(chǎn)運(yùn)輸銷售一體化的直銷供應(yīng)模式,不僅減少了成本，而且減去了蔬菜的二次污染等問(wèn)題.（1）在有機(jī)蔬菜的種植過(guò)程中，有機(jī)肥料使用是必不可少的.根據(jù)統(tǒng)計(jì)某種有機(jī)蔬菜的產(chǎn)量與有機(jī)肥料的用量有關(guān)系，每個(gè)有機(jī)蔬菜大棚產(chǎn)量的增加量（百斤）與使用堆漚肥料（

18、千克）之間對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù)如下表使用堆漚肥料（千克）24568產(chǎn)量的增加量（百斤）34445依據(jù)表中的數(shù)據(jù)，用最小二乘法求出關(guān)于的線性回歸方程；并根據(jù)所求線性回歸方程，估計(jì)如果每個(gè)有機(jī)蔬菜大棚使用堆漚肥料10千克，則每個(gè)有機(jī)蔬菜大棚產(chǎn)量增加量是多少百斤?（2）某大棚蔬菜種植基地將采摘的有機(jī)蔬菜以每份三斤稱重并保鮮分裝,以每份10元的價(jià)格銷售到生鮮超市.“樂(lè)購(gòu)”生鮮超市以每份15元的價(jià)格賣給顧客，如果當(dāng)天前8小時(shí)賣不完，則超市通過(guò)促銷以每份5元的價(jià)格賣給顧客（根據(jù)經(jīng)驗(yàn)，當(dāng)天能夠把剩余的有機(jī)蔬菜都低價(jià)處理完畢，且處理完畢后，當(dāng)天不再進(jìn)貨）.該生鮮超市統(tǒng)計(jì)了100天有機(jī)蔬菜在每天的前8小時(shí)內(nèi)的銷售量（單位:

19、份），制成如下表格(注:，且)；前8小時(shí)內(nèi)的銷售量（單位:份）15161718192021頻數(shù)10x1661513y若以100天記錄的頻率作為每日前8小時(shí)銷售量發(fā)生的概率，該生鮮超市當(dāng)天銷售有機(jī)蔬菜利潤(rùn)的期望值為決策依據(jù)，當(dāng)購(gòu)進(jìn)17份比購(gòu)進(jìn)18份的利潤(rùn)的期望值大時(shí)，求的取值范圍.附：回歸直線方程為，其中.【答案】（）,百斤；（）.【解析】【分析】（）根據(jù)公式計(jì)算可得；（）求出概率可得分布列可數(shù)學(xué)期望【詳解】（）結(jié)合公式得， ， ，所以關(guān)于的線性回歸方程為：，當(dāng)時(shí)，百斤，所以如果每個(gè)有機(jī)蔬菜大概使用肥料千克，估計(jì)每個(gè)有機(jī)蔬菜大概產(chǎn)量的增加量是百斤（）若該超市一天購(gòu)進(jìn)份這種有機(jī)蔬菜，表示當(dāng)天的利潤(rùn)（單位：元），那么的分布列為 的數(shù)學(xué)期望，若該超市一天購(gòu)進(jìn)份這種有