1、2012級高三數(shù)學培優(yōu)資料（教師版）泰勒公式與拉格朗日中值定理在證明不等式中的簡單應(yīng)用泰勒公式是高等數(shù)學中的重點，也是一個難點，它貫穿于高等數(shù)學的始終。泰勒公式的重點就在于使用一個次多項式,去逼近一個已知的函數(shù)，而且這種逼近有很好的性質(zhì)：與在點具有相同的直到階的導(dǎo)數(shù).所以泰勒公式能很好的集中體現(xiàn)高等數(shù)學中的“逼近”這一思想精髓。泰勒公式的難點就在于它的理論性比較強，一般很難接受，更不用說應(yīng)用了。但泰勒公式無論在科研領(lǐng)域還是在證明、計算應(yīng)用等方面，它都起著很重要的作用.運用泰勒公式，對不等式問題進行分析、構(gòu)造、轉(zhuǎn)化、放縮是解決不等式證明問題的常用方法與基本思想.本文擬在前面文獻研究的基礎(chǔ)上通過舉

2、例歸納，總結(jié)泰勒公式在證明不等式中的應(yīng)用方法. 泰勒公式知識：設(shè)函數(shù)在點處的某鄰域內(nèi)具有階導(dǎo)數(shù)，則對該鄰域內(nèi)異于的任意點，在與之間至少存在一點，使得：=+ +，其中稱為余項，上式稱為階泰勒公式；若0，則上述的泰勒公式稱為麥克勞林公式，即= +.利用泰勒公式證明不等式：若函數(shù)在含有的某區(qū)間有定義,并且有直到階的各階導(dǎo)數(shù),又在點處有階的導(dǎo)數(shù),則有公式在上述公式中若(或),則可得或1、 證明: 證明 設(shè) 則在處有帶有拉格朗日余項三階泰勒公式 由以上證明可知,用泰勒公式證明不等式,首先構(gòu)造函數(shù),選取適當?shù)狞c在處展開,然后判斷余項的正負,從而證明不等式.對于欲證不等式中含有初等函數(shù)、三角函數(shù)、超越函數(shù)與

3、冪函數(shù)結(jié)合的證明問題，要充分利用泰勒公式在時的麥克勞林展開式，選取適當?shù)幕竞瘮?shù)麥克勞林的的展開式，對題目進行分析、取材、構(gòu)造利用.2、 證明不等式：.2、不等式左邊是三次二項式的初等函數(shù)，右邊是三角函數(shù)，兩邊無明顯的大小關(guān)系 。這時我們可用在的二階麥克勞林公式表示出來，然后進行比較判斷兩者的大小關(guān)系。 證明 , 當時，的泰勒展式為： 0 (0, ,01)所以0,，有 .在含有無理函數(shù)與冪函數(shù)結(jié)合的不等式證明問題中，它們之間沒有明顯的大小關(guān)系。如果用常規(guī)方法（放縮法、比較法，代換法等），我們很難比較它們之間的大小關(guān)系，但這時用泰勒公式卻能輕易解答.3、 證明不等式：，（0）.對于此題，若我們對

4、不等式兩邊同時平方，雖可以去掉根號，但的次數(shù)卻提高了次，這還是難以比較他們之間的大小關(guān)系，但若用泰勒公式卻可以輕易解答.證明 設(shè)，則,代入=0的二階泰勒公式，有=1+- + (01) 0, 0 所以 （x0）.在不等式的證明問題中，若題目中出現(xiàn)了一階導(dǎo)數(shù)、二階導(dǎo)數(shù)、初等函數(shù)、三角函數(shù)或超越函數(shù)等與冪函數(shù)結(jié)合時，可優(yōu)先考慮泰勒公式在=0時的麥克勞林表達式。當然能做好此類題的前提條件是要對一些基本函數(shù)的麥克勞林表達式熟悉.微分中值定理: 若滿足以下條件:(1) 在閉區(qū)間內(nèi)連續(xù) (2) 在開區(qū)間上可導(dǎo)則 4、 若分析 因為則原不等式等價于 .令,則我們?nèi)菀茁?lián)想到中值定理.證明 設(shè),顯然滿足中值定理的條件則 即5、已知函數(shù)， ；(2),因為所以。故得證 （也可用中值定理來證）6、已知函數(shù)解： 評注：本題得到不等式與不等式構(gòu)成經(jīng)典不等式，即.7、已知解析： 由經(jīng)典不