1、鋼管下料問題摘要生產(chǎn)中常會遇到通過切割、剪裁、沖壓等手段,將原材料加工成所需大小這種工藝過程,稱為原料下料問題.按照進一步的工藝要求,確定下料方案,使用料最省,或利潤最大是典型的優(yōu)化問題. 針對鋼管下料問題，我們采用數(shù)學中的線性規(guī)劃模型.對模型進行了合理的理論證明和推導(dǎo)，然后借助于解決線性規(guī)劃的專業(yè)軟件lingo 11.0，對題目所提供的數(shù)據(jù)進行計算，從而得出最優(yōu)解.關(guān)鍵詞 線性規(guī)劃 最優(yōu)解 鋼管下料1、問題的提出某鋼管零售商從鋼管廠進貨，將鋼管按照顧客的要求切割出售從鋼管廠進貨得到的原材料的鋼管的長度都是1850mm ，現(xiàn)在一顧客需要15根290 mm，28根315 mm，21根350 mm

2、和30根455 mm的鋼管為了簡化生產(chǎn)過程，規(guī)定所使用的切割模式的種類不能超過4種，使用頻率最高的一種切割模式按照一根原料鋼管價值的1/10增加費用，使用頻率次之的切割模式按照一根原料鋼管價值的2/10增加費用，以此類推，且每種切割模式下的切割次數(shù)不能太多（一根原鋼管最多生產(chǎn)5根產(chǎn)品），此外為了減少余料浪費，每種切割模式下的余料浪費不能超過100 mm，為了使總費用最小，應(yīng)該如何下料？2、問題的分析 首先確定合理的切割模式，其次對于不同的分別進行計算得到加工費用，通過不同的切割模式進行比較，按照一定的排列組合，得最優(yōu)的切割模式組，進而使工加工的總費用最少.3、基本假設(shè)假設(shè)每根鋼管的長度相等且切

3、割模式理想化.不考慮偶然因素導(dǎo)致的整個切割過程無法進行.4、定義符號說明（1）設(shè)每根鋼管的價格為a，為簡化問題先不進行對a的計算.（2）四種不同的切割模式：、.（3）其對應(yīng)的鋼管數(shù)量分別為：、（非負整數(shù)）.5、模型的建立由于不同的模式不能超過四種，可以用表示按照第種模式（=1,2,3,4）切割的原料鋼管的根數(shù)，顯然它們應(yīng)當是非負整數(shù).設(shè)所使用的第i種切割模式下每根原料鋼管生產(chǎn)290mm，315mm,350mm和455mm的鋼管數(shù)量分別為，（非負整數(shù)）.決策目標 切割鋼管總費用最小，目標為：min=（1.1+1.2+1.3+1.4）a (1)為簡化問題先不帶入a 約束條件 為滿足客戶需求應(yīng)有+1

4、5 (2)+28 (3)+21 (4)+15 (5)每一種切割模式必須可行、合理，所以每根鋼管的成品量不能大于1850mm也不能小于1750mm.于是：1750290+315+350+4551850 （6） 1750290+315+350+4551850 （7） 1750290+315+350+4551850 （8） 1750290+315+350+4551850 （9） 由于排列順序無關(guān)緊要因此有 (10) 又由于總根數(shù)不能少于（15290+28315+21350+30455）/185018.47 (11)也不能大于（15290+28315+21350+30455）/175019.525 (

5、12)由于一根原鋼管最多生產(chǎn)5根產(chǎn)品，所以有+5 (13)7、模型的求解將（1）（13）構(gòu)建的模型輸入lingo11.0經(jīng)計算繪制成表格如下： 切割模式290mm315mm350mm455mm余料mm 022165300270013130000430即取切割模式14根及切割模式5根，即可得到最優(yōu)解：min=（1411/10+512/10）a =21.4a6、結(jié)果分析、模型的評價與改進下料問題的建模主要有兩部分組成，一是確定下料模式，二是構(gòu)造優(yōu)化模型.對于下料規(guī)格不太多時，可以采用枚舉出下料模式，對規(guī)格太多的，則適用于本模型.而從本模型中可以看出盡管切割模式x3、x4的余料最少，但是其成本比較高

6、因而舍棄.7、參考文獻【1】姜啟源，謝金星，葉俊,數(shù)學模型(第三版)，清華大學出版社，第121頁.8、附錄模型求解的算法程序：model:min=x1*1.1+x2*1.2+x3*1.3+x4*1.4;r11*x1+r12*x2+r13*x3+r14*x4=15;r21*x1+r22*x2+r23*x3+r24*x4=28;r31*x1+r32*x2+r33*x3+r34*x4=21;r41*x1+r42*x2+r43*x3+r44*x4=15;290*r11+315*r21+350*r31+455*r41=1850;290*r12+315*r22+350*r32+455*r42=1850;2

7、90*r13+315*r23+350*r33+455*r43=1850;290*r14+315*r24+350*r34+455*r44=1750;290*r12+315*r22+350*r32+455*r42=1750;290*r13+315*r23+350*r33+455*r43=1750;290*r14+315*r24+350*r34+455*r44=1750;x1+x2+x3+x4=19;x1+x2+x3+x4=x2;x2=x3;x3=x4;r11+r21+r31+r41=5;r12+r22+r32+r42=5;r13+r23+r33+r43=5;r14+r24+r34+r44=5;gi

8、n(x1);gin(x2);gin(x2);gin(x4);gin(r11);gin(r12);gin(r13);gin(r14);gin(r21);gin(r22);gin(r23);gin(r24);gin(r31);gin(r32);gin(r33);gin(r34);gin(r41);gin(r42);gin(r43);gin(r44);end經(jīng)運行得到輸出如下： global optimal solution found. objective value: 21.40000 objective bound: 21.40000 infeasibilities: 0.000000 ext

9、ended solver steps: 1 total solver iterations: 34507 variable value reduced cost x1 14.00000 -0.1000000 x2 5.000000 0.000000 x3 0.000000 0.1000000 x4 0.000000 0.2000000 r11 0.000000 0.000000 r12 3.000000 0.000000 r13 0.000000 0.000000 r14 0.000000 0.000000 r21 2.000000 0.000000 r22 0.000000 0.000000 r23 1.000000 0.000000 r24 0.000000 0.000000 r31 2.000000 0.000000 r32 0.0