1、第二章LINDO軟件的基本使用方法,原書相關(guān)信息謝金星,薛毅編著,清華大學(xué)出版社,2005年7月第1版.,優(yōu)化建模與LINDO/LINGO軟件,內(nèi)容提要:例2.4例2.5,2.2敏感性分析,例2.4,某家具公司制造書桌、餐桌和椅子，所用的資源有三種：木料、木工和漆工。生產(chǎn)數(shù)據(jù)如下表所示。,若要求桌子的生產(chǎn)量不超過5件，如何安排三種產(chǎn)品的生產(chǎn)可使利潤最大？,解：,用DESKS、TABLES和CHAIRS分別表示三種產(chǎn)品的生產(chǎn)量（決策變量），容易建立LP模型。,在LINDO模型窗口中輸入模型：,MAX60DESKS+30TABLES+20CHAIRSSUBJECTTO2)8DESKS+6TABLE

2、S+CHAIRS=483)4DESKS+2TABLES+1.5CHAIRS=204)DESKS+15TABLES+O5CHAIRS=85)TABLES=5END,解這個(gè)模型，并對(duì)彈出的對(duì)話框“DORANGE(SENSITIVITY)ANALYSIS?”選擇“是（Y）”按鈕，這表示你需要做靈敏性分析。然后，查看輸出結(jié)果。,LPOPTIMUMFOUNDATSTEP1OBJECTIVEFUNCTIONVALUE1)280.0000VARIABLEVALUEREDUCEDCOSTDESKS2.0000000.000000TABLES0.0000005.000000CHAIRS8.0000000.000

3、000ROWSLACKORSURPLUSDUALPRICES2)24.0000000.0000003)0.00000010.0000004)0.00000010.0000005)5.0000000.000000NO.ITERATIONS=1,輸出結(jié)果的前半部分：,前半部分的輸出結(jié)果的解釋與前一節(jié)例2.1的結(jié)果類似：,“LPOPTIMUMFOUNDATSTEP2”表示兩次迭代（旋轉(zhuǎn)變換）后得到最優(yōu)解。,“OBJECTIVEFUNCTIONVALUE1）280.000000”表示最優(yōu)目標(biāo)值為280。,“VALUE”給出最優(yōu)解中各變量的值：造2個(gè)書桌（desks）,0個(gè)餐桌（tables）,8個(gè)椅子

4、（chairs）。所以desks、chairs是基變量（取值非0），tables是非基變量（取值為0）。,“SLACKORSURPLUS”給出松馳變量的值：第2行松馳變量=24（第1行表示目標(biāo)函數(shù)，第2行對(duì)應(yīng)第1個(gè)約束）第3行松馳變量=0第4行松馳變量=0第5行松馳變量=5,“REDUCEDCOST”列出最優(yōu)單純形表中判別數(shù)所在行的變量的系數(shù)，表示當(dāng)變量有微小變動(dòng)時(shí),目標(biāo)函數(shù)的變化率.其中基變量的reducedcost值應(yīng)為0，對(duì)于非基變量Xj（請(qǐng)注意，非基變量的取值一定是0），相應(yīng)的reducedcost值表示當(dāng)某個(gè)變量Xj增加一個(gè)單位時(shí)目標(biāo)函數(shù)減少的量(max型問題)。本例中：變量TABL

5、ES對(duì)應(yīng)的reducedcost值為5，表示當(dāng)非基變量TABLES的值從0變?yōu)?時(shí)（此時(shí)假定其他非基變量保持不變,但為了滿足約束條件，基變量顯然會(huì)發(fā)生變化），最優(yōu)的目標(biāo)函數(shù)值=280-5=275。,“DUALPRICE”（對(duì)偶價(jià)格）表示當(dāng)對(duì)應(yīng)約束有微小變動(dòng)時(shí),目標(biāo)函數(shù)的變化率.輸出結(jié)果中對(duì)應(yīng)于每一個(gè)約束有一個(gè)對(duì)偶價(jià)格.若其數(shù)值為p,表示對(duì)應(yīng)約束中不等式右端項(xiàng)若增加1個(gè)單位,目標(biāo)函數(shù)將增加p個(gè)單位（max型問題)。顯然，如果在最優(yōu)解處約束正好取等號(hào)（也就是“緊約束”，即起作用約束），對(duì)偶價(jià)格值才可能不是0。本例中：第3、4行是緊約束，對(duì)應(yīng)的對(duì)偶價(jià)格值為10，表示當(dāng)緊約束3)4DESKS+2TAB

6、LES+1.5CHAIRS=20變?yōu)?)4DESKS+2TABLES+1.5CHAIRS=21時(shí)，目標(biāo)函數(shù)值=280+10=290。對(duì)第4行也可類似解釋。對(duì)于非緊約束（如本例中第2、5行是非緊約束），DUALPRICE的值為0,表示對(duì)應(yīng)約束中不等式右端項(xiàng)的微小擾動(dòng)不影響目標(biāo)函數(shù)。有時(shí),通過分析DUALPRICE,也可對(duì)產(chǎn)生不可行問題的原因有所了解。,輸出結(jié)果的后半部分：,RANGESINWHICHTHEBASISISUNCHANGED:OBJCOEFFICIENTRANGESVARIABLECURRENTALLOWABLEALLOWABLECOEFINCREASEDECREASEDESKS60

7、.00000020.0000004.000000TABLES30.0000005.000000INFINITYCHAIRS20.0000002.5000005.000000RIGHTHANDSIDERANGESROWCURRENTALLOWABLEALLOWABLERHSINCREASEDECREASE248.000000INFINITY24.000000320.0000004.0000004.00000048.0000002.0000001.33333355.000000INFINITY5.000000,（報(bào)告中INFINITY表示正無窮）,敏感性分析的作用是給出“RANGESINWHICH

8、THEBASISISUNCHANGED”，即研究當(dāng)目標(biāo)函數(shù)的系數(shù)和約束右端項(xiàng)在什么范圍變化（此時(shí)假定其他系數(shù)保持不變）時(shí)，最優(yōu)基（矩陣）保持不變。,1.目標(biāo)函數(shù)中系數(shù)變化的范圍（OBJCOEFFICIENTRANGES）如本例中：目標(biāo)函數(shù)中DESKS變量當(dāng)前的系數(shù)（CURRENTCOEF）=60，允許增加（AllowableIncrease）=4、允許減少（AllowableDecrease）=2，說明當(dāng)這個(gè)系數(shù)在60-4，60+20=56，80范圍變化時(shí)，最優(yōu)基保持不變。對(duì)TABLES、CHAIRS變量，可以類似解釋。由于此時(shí)約束沒有變化（只是目標(biāo)函數(shù)中某個(gè)系數(shù)發(fā)生變化），所以最優(yōu)基保持不變

9、的意思也就是最優(yōu)解不變（當(dāng)然，由于目標(biāo)函數(shù)中系數(shù)發(fā)生了變化，所以最優(yōu)值會(huì)變化）。,這個(gè)部分包括兩方面的敏感性分析內(nèi)容：,2.約束右端項(xiàng)變化的范圍（RightHandSideRANGES）如本例中：第2行約束中當(dāng)前右端項(xiàng)（CURRENTRHS）=48，允許增加（AllowableIncrease）=INFINITY（無窮）、允許減少（AllowableDecrease）=24，說明當(dāng)它在48-24，48+)=24，）范圍變化時(shí)，最優(yōu)基保持不變。第3、4、5行可以類似解釋。不過由于此時(shí)約束發(fā)生變化，最優(yōu)基即使不變，最優(yōu)解、最優(yōu)值也會(huì)發(fā)生變化。如何變化呢？我們將在本節(jié)后面結(jié)合第1章1.2.1節(jié)例1.

10、1給出的實(shí)際問題來進(jìn)行說明。,最后，如果你對(duì)單純形法比較熟悉，你可以直接查看最優(yōu)解時(shí)的單純形表，這只要選擇菜單命令Reports|Tableau(Alt+7)執(zhí)行即可,輸出結(jié)果如下：,ROW(BASIS)DESKSTABLESCHAIRS1ART0.0005.0000.0002SLK20.000-2.0000.0003DESKS1.0001.2500.0004CHAIRS0.000-2.0001.0005SLK50.0001.0000.000ROWSLK2SLK3SLK4SLK510.00010.00010.0000.000280.00021.0002.000-8.0000.00024.000

11、30.0001.500-0.5000.0002.00040.000-4.0002.0000.0008.00050.0000.0000.0001.0005.000,在輸出結(jié)果中，基變量為BV=SLK2,Chairs,DESKS,SLK5，ART是人工變量（artificialvariable）,即相應(yīng)的目標(biāo)值z(mì);這樣，你就可以知道z=5TABLES+10SLK3+10SLK4=280。,敏感性分析結(jié)果表示的是最優(yōu)基保持不變的系數(shù)范圍。由此，也可以進(jìn)一步確定當(dāng)目標(biāo)函數(shù)的系數(shù)和約束右端項(xiàng)發(fā)生小的變化時(shí)，最優(yōu)解、最優(yōu)值如何變化。下面我們通過求解第1章1.2.1節(jié)例1.1的實(shí)際問題來進(jìn)行說明。,例2.5

12、繼續(xù)討論例1.1,在LINDO模型窗口中輸入模型,問題的數(shù)學(xué)模型：,MAX72x1+64x2SUBJECTTO2)x1+x2=503)12x1+8x2=4804)3x1=100END,求解這個(gè)模型并做靈敏性分析，查看報(bào)告窗口（ReportsWindow）。輸出結(jié)果告訴我們：這個(gè)線性規(guī)劃的最優(yōu)解為x1=20，x2=30，最優(yōu)值為z=3360，即用20桶牛奶生產(chǎn)A1,30桶牛奶生產(chǎn)A2，可獲最大利潤3360元。,輸出中除了告訴我們問題的最優(yōu)解和最優(yōu)值以外，還有許多對(duì)分析結(jié)果有用的信息，下面結(jié)合題目中提出的3個(gè)附加問題給予說明。,3個(gè)約束條件的右端不妨看作3種“資源”：原料、勞動(dòng)時(shí)間、車間甲的加工能

13、力。輸出中SLACKORSURPLUS（松弛或剩余）給出這3種資源在最優(yōu)解下是否有剩余：原料、勞動(dòng)時(shí)間的剩余均為零（即約束為緊約束），車間甲尚余40公斤加工能力（不是緊約束）。,目標(biāo)函數(shù)可以看作“效益”，成為緊約束的“資源”一旦增加，“效益”必然跟著增長。輸出中DUALPRICES（對(duì)偶價(jià)格）給出這3種資源在最優(yōu)解下“資源”增加1個(gè)單位時(shí)“效益”的增量：原料增加1個(gè)單位（1桶牛奶）時(shí)利潤增長48（元），勞動(dòng)時(shí)間增加1個(gè)單位（1小時(shí)）時(shí)利潤增長2（元），而增加非緊約束車間甲的能力顯然不會(huì)使利潤增長。這里，“效益”的增量可以看作“資源”的潛在價(jià)值，經(jīng)濟(jì)學(xué)上稱為影子價(jià)格（shadowprice），即

14、1桶牛奶的影子價(jià)格為48元，1小時(shí)勞動(dòng)的影子價(jià)格為2元，車間甲生產(chǎn)能力的影子價(jià)格為零?？梢杂弥苯忧蠼獾霓k法驗(yàn)證上面的結(jié)論，即將輸入文件中原料約束milk）右端的50改為51，看看得到的最優(yōu)值（利潤）是否恰好增長48（元）。用影子價(jià)格的概念很容易回答附加問題1）：用35元可以買到1桶牛奶，低于1桶牛奶的影子價(jià)格48，當(dāng)然應(yīng)該作這項(xiàng)投資?；卮鸶郊訂栴}2）：聘用臨時(shí)工人以增加勞動(dòng)時(shí)間，付給的工資低于勞動(dòng)時(shí)間的影子價(jià)格才可以增加利潤，所以工資最多是每小時(shí)2元。,目標(biāo)函數(shù)的系數(shù)發(fā)生變化時(shí)（假定約束條件不變），最優(yōu)解和最優(yōu)值會(huì)改變嗎？這個(gè)問題不能簡單地回答。上面的輸出結(jié)果給出了最優(yōu)基不變條件下目標(biāo)函數(shù)系數(shù)

15、的允許變化范圍：x1的系數(shù)范圍為（72-8，72+24）=（64，96）；x2的系數(shù)范圍為（64-16，64+8）=（48，72）。注意：x1系數(shù)的允許范圍需要x2的系數(shù)64不變，反之亦然。由于目標(biāo)函數(shù)的系數(shù)變化并不影響約束條件，因此此時(shí)最優(yōu)基不變可以保證最優(yōu)解也不變，但最優(yōu)值變化。用這個(gè)結(jié)果很容易回答附加問題3）：若每公斤A1的獲利增加到30元，則x1系數(shù)變?yōu)?03=90，在允許范圍內(nèi)，所以不應(yīng)改變生產(chǎn)計(jì)劃，但最優(yōu)值變?yōu)?020+6430=3720。,下面對(duì)“資源”的影子價(jià)格作進(jìn)一步的分析。影子價(jià)格的作用（即在最優(yōu)解下“資源”增加1個(gè)單位時(shí)“效益”的增量）是有限制的。每增加1桶牛奶利潤增長4

16、8元（影子價(jià)格），但是，約束的右端項(xiàng)（CURRENTRHS）的“允許增加”（ALLOWABLEINCREASE）和“允許減少”（ALLOWABLEDECREASE）給出了影子價(jià)格有意義條件下約束右端的限制范圍（因?yàn)榇藭r(shí)最優(yōu)基不變，所以影子價(jià)格才有意義；如果最優(yōu)基已經(jīng)變了，那么結(jié)果中給出的影子價(jià)格也就不正確了）。具體對(duì)本例來說：milk）原料最多增加10（桶牛奶），time）勞動(dòng)時(shí)間最多增加53（小時(shí)）?，F(xiàn)在可以回答附加問題1）的第2問：雖然應(yīng)該批準(zhǔn)用35元買1桶牛奶的投資，但每天最多購買10桶牛奶。順便地說，可以用低于每小時(shí)2元的工資聘用臨時(shí)工人以增加勞動(dòng)時(shí)間，但最多增加53.3333小時(shí)。,需要注意的是：靈敏性分析給出的只是