1、第三節(jié) 函數(shù)極限的定義,一、函數(shù)在有限點(diǎn)處的極限,在上節(jié)中，我們討論了數(shù)列的極限. 而我們又知道數(shù) 列是一種特殊的函數(shù)定義在正整數(shù)集上的函數(shù). 那 么一般函數(shù)的極限又應(yīng)該如何定義呢？這一節(jié)我們將全 面引入函數(shù)極限的定義.,引例 設(shè)函數(shù),盡管函數(shù)在點(diǎn) 處沒有定義，,但當(dāng) 無限趨近于1而不等于1時(shí)，,相應(yīng) 無限趨近于2.,或,定義 設(shè)函數(shù) 在點(diǎn) 的某個(gè)空心鄰域中有定義， 如果存在常數(shù) ，使得對于任意給定的正數(shù) ，總存在 正數(shù) ， 對于滿足 的一切 ，都有,那么常數(shù) 就稱作函數(shù) 當(dāng) 時(shí)的極限，記 為,函數(shù)極限 的幾何意義,對于任意 ，,對滿足 的一切 ，,都有,總存在正數(shù) ，,例 函數(shù),注1：函數(shù)

2、在點(diǎn) 處的極限與函數(shù)在這一點(diǎn)是否有,定義、或 為多少毫無關(guān)系，它所反映的是 在,則有,該點(diǎn)附近的變化趨勢.,經(jīng)過不等式的變形，得到關(guān)系,注2: 函數(shù) 在點(diǎn) 的極限的定義說明了如何去證明,其中 是一個(gè)與 無關(guān)的常量. 再取 ，則當(dāng),函數(shù) 在點(diǎn) 的極限為 的方法：對于 考慮,時(shí)，有：,此即說明,例1 證明下列極限,證 因,所以, , 取 ，當(dāng) 時(shí)，可使,故,因,欲使 即,所以 不妨取 此時(shí)令,則當(dāng) 時(shí)，有,因而,例2 證明,證 因,所以, , 取 ，當(dāng) ，可使,所以,例3 證明,證 因,為能解出不等式 ，要對 進(jìn)行適當(dāng)?shù)目刂疲?為此限定 的變化范圍為 ，此時(shí)有,所以, , 取 ，當(dāng) 時(shí) ，,可使,

3、所以,證 因,例4 證明,取 即 所以,所以, , 取 ，當(dāng) 時(shí) ，,所以,證 因,例5 設(shè) ，證明,所以, , 取 ，當(dāng) 時(shí) ，,可使,所以,左右極限,考慮函數(shù):,是當(dāng) 在該點(diǎn)兩側(cè)趨近于 時(shí)，函數(shù)有一個(gè)確定的變化,趨勢. 但某種情況下，函數(shù)在兩側(cè)的趨勢是不同的，,這就需要分別加以討論.,前面討論的是函數(shù) 在某一點(diǎn) 的極限，它反映的,該函數(shù)在點(diǎn) 兩側(cè)的變化趨勢是不同的:,當(dāng) 在 0 的右側(cè)趨近于 0 時(shí)，,當(dāng) 在 0 的左側(cè)趨近于 0 時(shí)，,這就導(dǎo)出左右極限的概念.,那么 稱作 在 處的左極限，記為,左極限定義：若 當(dāng) 時(shí)，,使得,那么 稱作 在 處的右極限，記為,右極限定義：若 當(dāng) 時(shí)，,使

4、得,或,或,容易證明：,例如：,定理 極限 存在的充分必要條件是 在點(diǎn),處的左右極限存在并且相等. 即,存在 均存在，且,解 因,例6 說明極限 不存在.,所以極限 不存在.,二、函數(shù)在無窮遠(yuǎn)處的極限,定義 設(shè)函數(shù) 在 時(shí)有定義， 為常數(shù).,若 ， ，當(dāng) 時(shí)，使得,則 稱為函數(shù) 在 時(shí)的極限，記為,或,若 ， ，當(dāng) 時(shí)，使得,則 稱為函數(shù) 在 時(shí)的極限，記為,或,若 ， ，當(dāng) 時(shí)，使得,則 稱為函數(shù) 在 時(shí)的極限，記為,或,例7 證明,證 因,所以, , 取 ，當(dāng) 時(shí) ，使得,所以,例8 證明,證 因,只要 ，即,所以, , 取 ，當(dāng) 時(shí) ，使得,所以,類似可證,證 因,例9 證明,所以, ,

5、 取 ，當(dāng) 時(shí) ，使得,所以,例10 證明,所以, , 取 ，當(dāng) 時(shí) ，使得,證 因,當(dāng) 時(shí)，則有不等式,所以,三、極限的性質(zhì),即： 在 的某個(gè)空心鄰域內(nèi)有界.,定理1 (局部有界性)如果極限 存在 ，,證 設(shè) ，由定義，對 存在,當(dāng) ，即 有,那么在 的某個(gè)空心鄰域內(nèi)，函數(shù) 有界.,證 設(shè) ，由定義，對 存在,當(dāng) 時(shí)，有 從而,定理 (有界性)如果極限 存在 ，那么存在,取 ，則對所有的 ，有,使得對所有的 ，有,定理2 (極限的保號性)如果 ，則存在點(diǎn),的某個(gè)空心鄰域內(nèi)，使得在該鄰域中有：,證 設(shè) ，由定義，對 存在,當(dāng) 時(shí)，有,定理2 (保號性)如果 ，則存在正整數(shù),當(dāng) 時(shí)，有：,推論 在 的某個(gè)空心領(lǐng)域中，有 且,則,注意：如果推論的條件改成 （嚴(yán)格大于），則,不能推出 例如 時(shí) 但,證 設(shè) ，則 當(dāng) 時(shí)，,定理3(函數(shù)極限與數(shù)列極限的關(guān)系),則此數(shù)列相應(yīng)的函數(shù)值數(shù)列 收斂，且,設(shè) 存在，又設(shè) 是函數(shù) 定義域中的,一個(gè)任意數(shù)列， 且,由條件 故對 ，當(dāng) 時(shí)，有,即,因而,即,此定理的一個(gè)實(shí)際意義是：,使其函數(shù)值數(shù)列收斂到兩個(gè)不同的值，即,如果能夠找到自變量的兩個(gè)不同子列,則說明函數(shù)