1、第一章 集合與函數(shù)概念,第二章 基本初等函數(shù),第三章 函數(shù)應(yīng)用,圖示法,一、知識(shí)結(jié)構(gòu),一、集合的含義與表示,1、集合：把研究對(duì)象稱為元素，把一些元素組成的總體叫做集合,2、元素與集合的關(guān)系：,3、元素的特性：確定性、互異性、無(wú)序性,（一）集合的含義,(1)確定性：集合中的元素必須是確定的.,1.集合中元素的性質(zhì):,(2)互異性：一個(gè)給定的集合中的元素是互不相同的.,(3)無(wú)序性：集合中的元素是沒(méi)有先后順序的.,自然數(shù)集（非負(fù)整數(shù)集）：記作 N,正整數(shù)集：記作N*或N+,整數(shù)集：記作 Z,有理數(shù)集：記作 Q,實(shí)數(shù)集：記作 R,2.常用的數(shù)集及其記法,（含0）,（不含0）,ex1.集合A=1,0,

2、x,且x2A,則x,-1,(二)集合的表示,1、列舉法：把集合中的元素一一列舉出來(lái)，并放在 內(nèi),2、描述法：用文字或公式等描述出元素的特性，并放在x| 內(nèi),3.圖示法 Venn圖,數(shù)軸,二、集合間的基本關(guān)系,1、子集：對(duì)于兩個(gè)集合A，B如果集合A中的任何一個(gè)元素都是集合B的元素，我們稱A為B的子集. 若集合中元素有n個(gè)，則其子集個(gè)數(shù)為 真子集個(gè)數(shù)為 非空真子集個(gè)數(shù)為,2、集合相等：,3、空集：規(guī)定空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集,2n,2n-1,2n-2,子集：AB任意xA xB. 真子集：,AB xA，xB，但存在 x0B且x0A.,集合相等：AB AB且BA.,空集：.,性質(zhì)：

3、A，若A非空， 則A. AA. AB，BCAC.,3.集合間的關(guān)系:,子集、真子集個(gè)數(shù)：,一般地，集合A含有n個(gè)元素，,A的非空真子集 個(gè).,則A的子集共有 個(gè);,A的真子集共有 個(gè);,A的非空子集 個(gè);,2n,2n1,2n-1,2n-2,1.并集:,2.交集:,3.全集:,一般地，如果一個(gè)集合含有我們所研究問(wèn)題中涉及的所有元素,那么就稱這個(gè)集合為全集.用U表示,4.補(bǔ)集:,三、集合的并集、交集、全集、補(bǔ)集,0或2,題型示例,考查集合的含義,考查集合之間的關(guān)系,函數(shù)的復(fù)習(xí)主要抓住兩條主線,1、函數(shù)的概念及其有關(guān)性質(zhì)。,2、幾種初等函數(shù)的具體性質(zhì)。,函數(shù),函數(shù)知識(shí)結(jié)構(gòu),B,C,x1 x2 x3

4、x4 x5,y1 y2 y3 y4 y5,y6,A,函數(shù)的三要素：定義域，值域，對(duì)應(yīng)法則,A.B是兩個(gè)非空的數(shù)集,如果按照某種對(duì)應(yīng)法則f，對(duì)于集合A中的每一個(gè)元素x，在集合B中都有唯一的元素y和它對(duì)應(yīng)，這樣的對(duì)應(yīng)叫做從A到B的一個(gè)函數(shù)。,一、函數(shù)的概念：,思考:函數(shù)值域C與集合B的關(guān)系,二、映射的概念,設(shè)A,B是兩個(gè)非空的集合,如果按照某種確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系f,使對(duì)于集合A中的任意一個(gè)元素x,在集合B中都有唯一確定的元素y于之對(duì)應(yīng),那么就稱對(duì)應(yīng)f:AB為集合A到集合B的一個(gè)映射,映射是函數(shù)的一種推廣,本質(zhì)是:任一對(duì)唯一,函數(shù)的定義域：,使函數(shù)有意義的x的取值范圍。,求定義域的主要依據(jù),1、分式的分

5、母不為零. 2、偶次方根的被開(kāi)方數(shù)不小于零. 3、零次冪的底數(shù)不為零. 4、對(duì)數(shù)函數(shù)的真數(shù)大于零. 5、指、對(duì)數(shù)函數(shù)的底數(shù)大于零且不為1.,6、實(shí)際問(wèn)題中函數(shù)的定義域,（一）函數(shù)的定義域,1、具體函數(shù)的定義域,練習(xí)：,2、抽象函數(shù)的定義域,1）已知函數(shù)y=f(x)的定義域是1，3，求f(2x-1)的定義域,2）已知函數(shù)y=f(x)的定義域是0，5)，求g(x)=f(x-1)- f(x+1)的定義域,3),一個(gè)函數(shù)的三要素為：定義域、對(duì)應(yīng)關(guān)系和值域，值域是由對(duì)應(yīng)法則和定義域決定的,判斷兩個(gè)函數(shù)相等的方法：,1、定義域是否相等 （定義域不同的函數(shù)，不是相同的函數(shù)）,2、對(duì)應(yīng)法則是否一致 （對(duì)應(yīng)關(guān)系

6、不同，兩個(gè)函數(shù)也不同）,例、下列函數(shù)中哪個(gè)與函數(shù)y=x相等,二、函數(shù)的表示法,1、解 析 法 2、列 表 法 3、圖 象 法,例10求下列函數(shù)的解析式,待定系數(shù)法,換元法,三、函數(shù)的性質(zhì)：?jiǎn)握{(diào)性,如果對(duì)于定義域I內(nèi)某個(gè)區(qū)間D上的任意兩個(gè)自變量的值 x1 、x2 ，當(dāng) x1x2時(shí)，都有f(x1)f(x2)，那么就說(shuō)函數(shù)f(x)在區(qū)間D上是增函數(shù).區(qū)間D叫做函數(shù)的增區(qū)間。,一般地，設(shè)函數(shù) f(x)的定義域?yàn)镮:,如果對(duì)于定義域I內(nèi)某個(gè)區(qū)間D上的任意兩個(gè)自變量的值 x1 、x2 ，當(dāng) x1x2時(shí)，都有f(x1)f(x2)，那么就說(shuō)函數(shù)f(x)在區(qū)間D上是減函數(shù).,3.(定義法)證明函數(shù)單調(diào)性的步驟:

7、,反比例函數(shù),1、定義域 . 2、值域,4、圖象,k0,k0,3、單調(diào)性,二次函數(shù),1、定義域 . 2、值域,3、單調(diào)性 4、圖象,a0,a0,用定義證明函數(shù)單調(diào)性的步驟:,(1) 設(shè)元，設(shè)x1,x2是區(qū)間上任意兩個(gè)實(shí)數(shù)，且x1x2;,(2) 作差， f(x1)f(x2) ;,(3)變形，通過(guò)因式分解轉(zhuǎn)化為易于判斷符號(hào)的形式,(4)判號(hào)， 判斷 f(x1)f(x2) 的符號(hào)；,（5）下結(jié)論.,證明：,設(shè)x1，x2（0，+），且x1x2，則,f（x）在定義域上是減函數(shù)嗎？,減函數(shù),例1：判斷函數(shù)f(x)=1/x在區(qū)間(0,+)上是增函數(shù)還是減函數(shù)？并證明你的結(jié)論。,1. 函數(shù)f (x)=,2x+

8、1, (x1),x, (x1),則f (x)的遞減區(qū)間為( ),A. 1, ),B. (, 1),C. (0, ),D. (, 0,B,2、若函數(shù)f(x)=x2+2(a-1)x+2在區(qū)間4,+)上是增函數(shù),求實(shí)數(shù)a的取值范圍,一、函數(shù)的奇偶性定義,前提條件：定義域關(guān)于數(shù)“原點(diǎn)”對(duì)稱。,1、奇函數(shù) f (-x)= - f (x) 或 f (-x)+f (x) = 0,2、偶函數(shù) f (-x) = f (x) 或f (-x) - f (x) = 0,二、奇函數(shù)、偶函數(shù)的圖象特點(diǎn),1、奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱圖形。,2、偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸成軸對(duì)稱圖形。,奇函數(shù)里的定值：如果奇函數(shù)y=f(x)

9、的 定義域內(nèi)有0，則f(0)=0.,如果函數(shù)的定義域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則 此函數(shù)既不是奇函數(shù)，又不是偶函數(shù)。,奇函數(shù)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩個(gè)區(qū)間上的 單調(diào)性一致；偶函數(shù)則相反。,利用定義判斷函數(shù)奇偶性的格式步驟： 首先確定函數(shù)的定義域，并判斷其定義域是否 關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱； 確定f(-x)與f(x)的關(guān)系 作出相應(yīng)結(jié)論： 若f(-x)=f(x) 則f(x)是偶函數(shù) 若f(-x)=-f(x) 則f(x)是奇函數(shù).,例12 判斷下列函數(shù)的奇偶性,已知 f ( x ) 是奇函數(shù)，當(dāng) x 0 時(shí)， f ( x ) = x 2 2x，求當(dāng) x 0 時(shí)， f ( x ) 的解析式，并畫(huà)出此函數(shù) f ( x ) 的圖象

10、。,解： f ( x ) 是奇函數(shù), f (x ) = f ( x ),即 f ( x ) = f ( x ),當(dāng) x 0 時(shí)， f ( x ) = x 2 2x, 當(dāng) x 0 時(shí)， f ( x ) = f ( x ),= (x ) 2 2(x ) ,= ( x 2 + 2x ),例題,基本初等函數(shù), aras=ar+s (a0,r,sQ)； (ar)s=ars (a0,r,sQ)； (ab)r=ar br (a0,b0,rQ).,指數(shù)冪的運(yùn)算,1. 對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì):,(2),(3),如果 a 0，a 1，M 0， N 0 有：,指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù),在R上是增函數(shù),在R上是減函數(shù),在( 0 ,

11、 + )上是增函數(shù),在( 0 , + )上是減函數(shù),(1, 0),(0, 1),單調(diào)性相同,(0, 1),(0, 1),(1, 0),(1, 0),指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù),B,總結(jié)：在第一象限， 越靠近y軸，底數(shù)就越大,指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù),若圖象C1，C2，C3，C4對(duì)應(yīng) y=logax, y=logbx, y=logcx, y=logdx,則（ ） A.0ab1cd B.0ba1dc C.0dc1ba D.0cd1ab,D,規(guī)律：在x軸 上方圖象自左 向右底數(shù)越來(lái) 越大！,在同一平面直角坐標(biāo)系內(nèi)作出冪函數(shù)y=x，y=x2，y=x3，y=x1/2，y=x-1的圖象：,y=x，,y=x2,y=x3,

12、y=x1/2,y=x-1,（1）圖象都過(guò)（0，0）點(diǎn)和 （1，1）點(diǎn)；,（2）在第一象限內(nèi)，函數(shù)值 隨x 的增大而增大，即 在（0，+)上是增函 數(shù)。,（1）圖象都過(guò)（1，1）點(diǎn)；,（2）在第一象限內(nèi)，函數(shù)值隨 x 的增大而減小，即在 （0，+）上是減函數(shù)。,（3）在第一象限，圖象向上與 y 軸無(wú)限接近，向右與 x 軸無(wú)限接近。,三、冪函數(shù)的性質(zhì):,.所有的冪函數(shù)在(0,+)都有定義,并且函數(shù)圖象都通過(guò)點(diǎn)(1,1);,冪函數(shù)的定義域、奇偶性、單調(diào)性，因函數(shù)式中的不同而各異.,如果0,則冪函數(shù) 在(0,+)上為減函數(shù)。,3.如果0,則冪函數(shù) 在(0,+)上為增函數(shù);,2.當(dāng)為奇數(shù)時(shí),冪函數(shù)為奇函

13、數(shù), 當(dāng)為偶數(shù)時(shí),冪函數(shù)為偶函數(shù).,對(duì)于函數(shù)y=f(x),我們把使f(x)=0的實(shí)數(shù)x 叫做函數(shù)y=f(x)的零點(diǎn)。,第三章函數(shù)與方程,若f(x)是單調(diào)函數(shù),函數(shù)與方程,？函數(shù)在區(qū)間（a,b）上有零點(diǎn)，則f(a)f(b)0,？函數(shù)在區(qū)間（a,b）上有f(a)f(b)0，則在區(qū)間（a,b）上有零點(diǎn),如何判斷函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù) 如何判斷零點(diǎn)所在的區(qū)間,？,二分法的步驟,例：關(guān)于 x 的方程 x 2 ( k + 1 )x + 2k = 0 的兩根異號(hào)，則實(shí)數(shù) k 的取值 范圍是 _,解： 令 f ( x ) = x 2 ( k + 1 )x + 2k,( , 0 ),由圖可知： f ( 0 ) 0,實(shí)際問(wèn)題,數(shù)學(xué)模型,數(shù)學(xué)模型的解,實(shí)際問(wèn)題的解,答,求解數(shù)學(xué)應(yīng)用問(wèn)題的思路和方法，我們可以用 示意圖表示為：,數(shù)學(xué)模型,函數(shù)模型及其應(yīng)用,例：已知方程(m)x2mx至少有一個(gè)正根，求實(shí)數(shù)m的范圍,解: 若m,方程為x，x符合條件,若m,設(shè)f(x)(m)x2mx, f()， 方程f(x)無(wú)零根,如方程有異號(hào)兩實(shí)根，則x1x2，m, m,由此得，實(shí)數(shù)m的范圍是m .,實(shí)際問(wèn)題,數(shù)學(xué)模型,數(shù)學(xué)模型的解,實(shí)際問(wèn)題的解,答,求解數(shù)學(xué)應(yīng)用問(wèn)題的思路和方法，我們可以用 示意圖表示為：,數(shù)學(xué)模型,函數(shù)模型及