1、第二章 粒子探測中的統(tǒng)計(jì)規(guī)律,2-1 誤差的基本概念 2-2 統(tǒng)計(jì)分布 2-3 計(jì)數(shù)的統(tǒng)計(jì)誤差 2-4 測量數(shù)據(jù)的檢驗(yàn) 2-5 計(jì)數(shù)時(shí)間或源強(qiáng)的選擇 2-6 電離過程的統(tǒng)計(jì)漲落和能量分辨,2020/7/9,中國科大 汪曉蓮,2,2-1 誤差的基本概念,一、測量與誤差 真值與誤差 宏觀：長度、重量、時(shí)間、溫度、濕度、電流、 物理量 電壓等 微觀：粒子的質(zhì)量、能量、壽命、自旋、磁矩等 真值a：物理量在一定條件下具有確定的值。 誤差：測量值xi與真值a之差。 誤差的分類 系統(tǒng)誤差 偶然誤差 過失誤差,2020/7/9,中國科大 汪曉蓮,3,二、算術(shù)平均值和真值,1. 算術(shù)平均值和真值 對物理量N進(jìn)行

2、m次測量,得到 N1、N2 、Nm 其算術(shù)平均值 若知每次測量誤差 則m次測量的誤差總和 其真值 2. 誤差的算術(shù)平均值 當(dāng)測量次數(shù)m無限增加時(shí)，正負(fù)誤差的幾率差不多，誤差 的算術(shù)平均值 ，測量值的算術(shù)平均值接近于真值,總計(jì)數(shù),誤差的算術(shù)平均值,2020/7/9,中國科大 汪曉蓮,4,三、粒子測量中的統(tǒng)計(jì)誤差,統(tǒng)計(jì)誤差與測量儀器無關(guān)，與測量者主觀因素?zé)o關(guān)，是由于微觀過程本身的統(tǒng)計(jì)特性造成的一種特殊的偶然誤差，表示了測量中最高可能的精確度，是微觀世界所固有的幾率特征在宏觀上的表現(xiàn)。 粒子計(jì)數(shù)的統(tǒng)計(jì)漲落是微觀世界幾率性規(guī)律的反映。例如放射性衰變，任意一個(gè)原子核的衰變是隨機(jī)的、偶然的、獨(dú)立的，但大量

3、原子核的衰變卻有一定的幾率，服從統(tǒng)計(jì)學(xué)規(guī)律。在某個(gè)時(shí)間間隔內(nèi)衰變的原子核數(shù)是不確定的，圍繞平均值有一定的統(tǒng)計(jì)漲落。測量的計(jì)數(shù)就有起伏，造成誤差，這種誤差是由核衰變過程本身的統(tǒng)計(jì)性決定的。,2020/7/9,中國科大 汪曉蓮,5,對粒子計(jì)數(shù)而言，設(shè)進(jìn)行m次計(jì)數(shù)測量，根據(jù)定義 定義計(jì)數(shù)為Nj出現(xiàn)的幾率 各個(gè)測量值與算術(shù)平均值的偏差之和 各個(gè)測量值與算術(shù)平均值的偏差的平方之和 最小。 在一組精度相同的測量中，算術(shù)平均值是最佳值和最可靠值。,2020/7/9,中國科大 汪曉蓮,6,2-2 統(tǒng)計(jì)分布,一、二項(xiàng)式分布 表示在一組N0個(gè)無關(guān)實(shí)驗(yàn)中，那個(gè)事件出現(xiàn)N次的幾率。 事件出現(xiàn)的平均次數(shù) 應(yīng)用于放射性衰

4、變，0t時(shí)間內(nèi)，N0個(gè)原子核衰變掉N個(gè)的幾率 t時(shí)刻內(nèi)平均衰變掉的原子核數(shù) 均方根差,p：一個(gè)事件在單次試驗(yàn)中出現(xiàn)的幾率 q=1-p：它在同一次試驗(yàn)中不出現(xiàn)的幾率,衰變的幾率,不衰變的幾率,2020/7/9,中國科大 汪曉蓮,7,二、泊松分布,描述小幾率事件在大量實(shí)驗(yàn)中的分布規(guī)律，是二項(xiàng)式分布的一種極限。,泊松分布只有一個(gè)參量 當(dāng) 較小時(shí)分布不對稱 當(dāng) 較大時(shí)分布逐漸趨 于對稱,2020/7/9,中國科大 汪曉蓮,8,三、高斯分布,對稱的分布，也叫正態(tài)分布，是 當(dāng)N 較大時(shí)的一種極限情況。 N不限于整數(shù)，可以連續(xù)取值， 是一種最常見的連續(xù)分布。 把W(N)理解為在N處的概率密度， 則 若計(jì)算N

5、落在N1N N2區(qū)間內(nèi)的概率,2020/7/9,中國科大 汪曉蓮,9,實(shí)際使用時(shí)不直接計(jì)算該積分，通常利用現(xiàn)成的高斯積分?jǐn)?shù)值表，表格中給出了對應(yīng)a 的函數(shù)值(a) 做變量置換： 注意到函數(shù)(a)的奇對稱性，有 (a) (a),2020/7/9,中國科大 汪曉蓮,10,例1、時(shí)間t內(nèi)放射源平均放出100個(gè)粒子。試求：1）在相同時(shí)間內(nèi)108個(gè)粒子的概率；2）出現(xiàn)絕對偏差值大于6的概率。 解：1） 2）,2020/7/9,中國科大 汪曉蓮,11,例2 設(shè)放射性衰變核數(shù)平均值為 ，求其觀測值落在 ， 范圍內(nèi)的概率。 解：所求概率,2020/7/9,中國科大 汪曉蓮,12,2-3 計(jì)數(shù)的統(tǒng)計(jì)誤差,一、標(biāo)

6、準(zhǔn)誤差 微觀過程的統(tǒng)計(jì)誤差服從高斯分布。其標(biāo)準(zhǔn)誤差是均方根差。 在有限次測量中，標(biāo)準(zhǔn)誤差用標(biāo)準(zhǔn)偏差來估算： 當(dāng)平均值 很大時(shí)，可用一次測量的計(jì)數(shù)值N來代替，即,按統(tǒng)計(jì)學(xué)說法，系統(tǒng)的自由度減少了一，所以用m-1，表示這種自減效應(yīng)。,2020/7/9,中國科大 汪曉蓮,13,二、標(biāo)準(zhǔn)誤差的物理意義,對高斯分布：對任何一次測量計(jì)數(shù)N和標(biāo)準(zhǔn)誤差，寫成N形式，表示 1)確定了一個(gè)區(qū)間，N不同，區(qū)間的位置不同，這個(gè)區(qū)間是隨機(jī)的； 2)在一組測量中任何一次測量值Ni落在N 范圍內(nèi)的幾率為68.3%，或者說誤差值落在-到+之間的測量次數(shù)占總測量次數(shù)的68.3%。 即表示真正的平均值落在N-到N+范圍內(nèi)的幾率為

7、68.3%。這樣就基本確定了真值所在的范圍，這就是誤差表示的真正含意。 對非對稱的泊松分布和二項(xiàng)式分布應(yīng)分別給出測量值和標(biāo)準(zhǔn)誤差。,2020/7/9,中國科大 汪曉蓮,14,相對誤差 N越大，相對誤差越小，測量精度越高。 置信度和置信區(qū)間 根據(jù)總體分布，總能選擇一個(gè)區(qū)間，使其平均值落在該區(qū)間內(nèi)的概率等于任意預(yù)定的概率。稱該概率為置信度，所對應(yīng)的區(qū)間為置信區(qū)間。 通常把該區(qū)間范圍的一半用k倍的標(biāo)準(zhǔn)誤差來表示，寫成k，取不同的k值，就有不同的置信度和置信區(qū)間。,2020/7/9,中國科大 汪曉蓮,15,三、計(jì)數(shù)的統(tǒng)計(jì)誤差,與一般的測量誤差相同，在多次測量中有68.3%的測量次數(shù)的測量值落在 表明粒

8、子計(jì)數(shù)本身的不確定性，有統(tǒng)計(jì)漲落。故單次測量也有統(tǒng)計(jì)誤差。設(shè)某次測量值N= ，滿足高斯分布，則 ，寫成 的形式，表示再進(jìn)行一次測量，其測量值落在 范圍內(nèi)的幾率為68.3%。 如計(jì)數(shù)N是在t時(shí)間內(nèi)測到的，設(shè)t沒有誤差，則有,只要計(jì)數(shù)N相同，計(jì)數(shù)率和計(jì)數(shù)的相對 誤差是一樣的。當(dāng)計(jì)數(shù)率一定時(shí)，測量 時(shí)間越長，誤差越小；當(dāng)測量時(shí)間限定 時(shí)，計(jì)數(shù)率越高，誤差越小。,如進(jìn)行m次重復(fù)測量，總計(jì)數(shù)為N0，平均計(jì)數(shù)為 ，即,測量次數(shù)越多，誤差越小，精確度越高。 平均計(jì)數(shù)的誤差比單次測量誤差小 倍。,2020/7/9,中國科大 汪曉蓮,16,四、平均效應(yīng)的統(tǒng)計(jì)誤差,有一類測量裝置，記錄的量反映放射性輻射平均效應(yīng)。

9、由于入射粒子有統(tǒng)計(jì)漲落，所以它們產(chǎn)生的電荷數(shù)和電流值也有統(tǒng)計(jì)漲落，同樣就存在誤差。 積分電離室,入射粒子能量,產(chǎn)生一對電子離子所平均消耗能量,2020/7/9,中國科大 汪曉蓮,17,電流電離室,入射粒子在電離室內(nèi)產(chǎn)生的電荷對輸出電容充電，同時(shí)通過與電容并聯(lián)的電阻放電，平衡時(shí)，電容上的平均電荷正比于入射粒子的計(jì)數(shù)率，有,2020/7/9,中國科大 汪曉蓮,18,五、誤差演算公式,大多數(shù)測量和計(jì)算中不止一個(gè)誤差來源，且它們彼此獨(dú)立無關(guān)。,2020/7/9,中國科大 汪曉蓮,19,多元函數(shù)加和減的絕對誤差相同，等于單個(gè)標(biāo)準(zhǔn)誤差平方和的開方。 物理量測量的總標(biāo)準(zhǔn)誤差等于各個(gè)獨(dú)立原因產(chǎn)生的標(biāo)準(zhǔn)誤差平方

10、和的開方。 多元函數(shù)乘和除的相對誤差相同，等于單個(gè)相對誤差平方和的開方。,2020/7/9,中國科大 汪曉蓮,20,例1 設(shè)在相等的時(shí)間里測得放射源總計(jì)數(shù)1071，本底計(jì)數(shù)521， 求凈計(jì)數(shù)及誤差。 解：,例2 在5秒內(nèi)測得計(jì)數(shù)1120，求計(jì)數(shù)率的統(tǒng)計(jì)誤差。 解：,例3 測樣品8分鐘得計(jì)數(shù)200個(gè)，測本底4分鐘得計(jì)數(shù)72個(gè)。求樣品凈計(jì)數(shù) 及誤差。 解：,2020/7/9,中國科大 汪曉蓮,21,六、非等精度測量,不同測量條件或用不等精度的儀器和方法得到的觀測值是不等精度的。 給誤差小的測量以較大的權(quán)重，而給誤差大的測量以較小的權(quán)重。 用“權(quán)”表示測量結(jié)果的精度和質(zhì)量好壞。定義：,任意比例常數(shù),

11、2020/7/9,中國科大 汪曉蓮,22,2-4 測量數(shù)據(jù)的檢驗(yàn),基本做法：比較測量數(shù)據(jù)應(yīng)用的理論分布和實(shí)測數(shù)據(jù)之間的差異，然后從某個(gè)概率意義上說明差異是否顯著。差異顯著表示測量值有問題，反之，表示測量值正常。 一、審查測量同一個(gè)放射源的兩次計(jì)數(shù)率,二、肖氏數(shù)值舍棄法則 規(guī)定在一組m個(gè)測量值中，可疑值與平均值的偏差大于等于第 46頁表23所列的K值時(shí)，即可舍棄。,2020/7/9,中國科大 汪曉蓮,23,例2 有一組數(shù)據(jù)1010，1018，1002，950，1062。用肖氏法則檢驗(yàn)。,三、分布類型的檢驗(yàn) 把一組數(shù)據(jù)與某一統(tǒng)計(jì)分布進(jìn)行比較，看是否符合一致。 例3 用GM計(jì)數(shù)器測量本底，測30次，

12、每次1分鐘，得到： 29 27 37 33 35 32 36 35 24 30 30 23 19 20 32 27 27 27 26 30 21 28 25 33 24 34 14 30 24 24,2020/7/9,中國科大 汪曉蓮,24,四、 檢驗(yàn)法,基本出發(fā)點(diǎn)：設(shè)有n個(gè)獨(dú)立隨機(jī)變量i，每個(gè)隨機(jī)變量服從標(biāo)準(zhǔn)化的高斯分布，即數(shù)學(xué)期望值為0，方差為1的高斯分布，記做N(0,1)分布。這n個(gè)隨機(jī)變量的平方之和也是一個(gè)隨機(jī)變量，稱作 ，即 在數(shù)理統(tǒng)計(jì)中稱作 分布。 要計(jì)算隨機(jī)變量 所取得的值不小于某預(yù)定值 的概率,自由度，獨(dú)立隨機(jī)變量的個(gè)數(shù)。若有n個(gè)隨機(jī)變量中存在r個(gè)約束條件 則 = n-r,20

13、20/7/9,中國科大 汪曉蓮,25,檢驗(yàn)法有多種應(yīng)用方式，常用的是泊松離散指數(shù)檢驗(yàn)法。,同樣條件多次測量 將有一定分布 其最可幾值接近(n-1)。,設(shè)P是分布中 值超過測得的 值的幾率， 值小，相應(yīng)的幾率P大，反之 大，相應(yīng)的P小。P還與測量次數(shù)n有關(guān)。第47頁表24給出了按泊松分布計(jì)算的不同自由度(n-1)下對應(yīng)的 值。規(guī)定：由數(shù)據(jù)計(jì)算 值與表內(nèi)的P值比較，如P0.98，則說明數(shù)據(jù)不符合泊松分布，或這組數(shù)據(jù)有問題。,平均值代替數(shù)學(xué)期望值,隨機(jī)變量,自由度,2020/7/9,中國科大 汪曉蓮,26,2020/7/9,中國科大 汪曉蓮,27,2-5 計(jì)數(shù)時(shí)間或源強(qiáng)的選擇,一、不考慮本底,202

14、0/7/9,中國科大 汪曉蓮,28,二、考慮本底 合理分配本底和樣品測量時(shí)間以便在規(guī)定時(shí)間內(nèi)使測量 結(jié)果誤差最小。,做實(shí)驗(yàn)時(shí)先用較少的時(shí)間測出兩個(gè)計(jì)數(shù)率的大約比值,2020/7/9,中國科大 汪曉蓮,29,2020/7/9,中國科大 汪曉蓮,30,例題2：某次測量中，本底計(jì)數(shù)率為每分鐘10個(gè)計(jì)數(shù)，放上放射源測得的總計(jì)數(shù)率為每分鐘30個(gè)計(jì)數(shù)，總的測量時(shí)間為20分鐘，求本底測量和有源測量的時(shí)間應(yīng)如何分配？求其統(tǒng)計(jì)誤差。若本底測量和有源測量的時(shí)間各為10分鐘，其統(tǒng)計(jì)誤差有多大？,2020/7/9,中國科大 汪曉蓮,31,例題3：粗測得到樣品計(jì)數(shù)率為1000cpm，本底計(jì)數(shù)率為250cpm。要求凈計(jì)數(shù)率的相對誤差小于1，問分別需要測量多少時(shí)間？ 解：,2020/7/9,中國科大 汪曉蓮,32,2-6 電離過程的統(tǒng)計(jì)漲落和能量分辨,一、能量分辨 設(shè)入射粒子能量E0全部損失在探測器內(nèi)，是入射粒子每產(chǎn)生一對次級電子離子所平均消耗的能量，則平均每個(gè)單能入射粒子可產(chǎn)生的次級粒子數(shù)目為： 入射粒子產(chǎn)生的次級離子對數(shù)有統(tǒng)計(jì)漲落，圍繞平均值呈一種統(tǒng)計(jì)分布。在一級近似下可認(rèn)為產(chǎn)生的次級離子對彼此獨(dú)立無關(guān)，呈高斯分布，形成能量測量的固有分辨率。,計(jì)數(shù)最大值,半高全寬FWHN,計(jì)數(shù)分布的標(biāo)準(zhǔn)誤差,2020/7/9,中國科大 汪曉蓮,33,