1、,第六節(jié) 幾何概型,古典概型與幾何概型有哪些異同點？ 提示:古典概型與幾何概型中基本事件發(fā)生的可能性都是相等的，但古典概型要求基本事件有有限個，而幾何概型的基本事件有無限個.,1.某路公共汽車每5分鐘發(fā)車一次，某乘客到乘車點的時刻是隨機的，則他候車時間不超過2分鐘的概率是( ) 【解析】選C.試驗的全部結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域長度為5，所求事件的區(qū)域長度為2，故所求概率為,2.已知函數(shù)f(x)=log2x,x ,2，在區(qū)間 ,2上任取一點x0,使f(x0)0的概率為_. 【解析】由f(x0)0得，log2x00. x01，即使f(x0)0的區(qū)域為1,2 故所求概率為 答案:,3.如圖所示，在直角坐標系內(nèi)

2、，射線OT落在60角的終邊上，任作一條射線OA，則射線OA落在xOT內(nèi)的概率為_. 【解析】射線落在直角坐標系內(nèi)的任何一個位置都是等可能的，故射線OA落在xOT內(nèi)的概率為 答案：,4.如圖,有四個游戲盤,將它們水平放穩(wěn)后,在上面扔一顆玻 璃小球,若小球落在陰影部分,則可中獎,小明要想增加中獎 機會,應(yīng)選擇的游戲盤的序號是_. 【解析】圖(1)的概率為 ,圖(2)的概率為 ,圖(3)、(4) 的概率都是 ,故選擇(1). 答案:(1),1.幾何概型的特點 幾何概型與古典概型的區(qū)別是試驗的可能結(jié)果不是有限個，它的特點是試驗結(jié)果在一個區(qū)域內(nèi)均勻分布，故隨機事件的概率大小與隨機事件所在區(qū)域的形狀位置無

3、關(guān)，只與該區(qū)域的大小有關(guān).,2.幾何概型的常見類型 在幾何概型中，當基本事件只受一個連續(xù)的變量控制時，這類幾何概型是線型的；當基本事件受兩個連續(xù)的變量控制時，這類幾何概型是面型的，一般是把兩個變量分別作為一個點的橫坐標和縱坐標，這樣基本事件就構(gòu)成了平面上的一個區(qū)域，即可借助平面區(qū)域解決.,與長度有關(guān)的幾何概型 【例1】在集合A=m關(guān)于x的方程x2+mx+ m+1=0無實根中隨機地取一元素m，恰使式子lgm有意義的概率為_. 【審題指導(dǎo)】轉(zhuǎn)化條件與結(jié)論，用幾何概型求解. 【自主解答】由=m2-4( m+1)0得-1m4. 即A=m-1m4. 由lgm有意義知m0，即使lgm有意義的范圍是(0，4

4、) 故所求概率為 答案:,【規(guī)律方法】將每個基本事件理解為從某個特定的幾何區(qū)域內(nèi)隨機地取一點，該區(qū)域中每一點被取到的機會都一樣，而一個隨機事件的發(fā)生則理解為恰好取到上述區(qū)域內(nèi)的某個指定區(qū)域中的點，這樣的概率模型就可以用幾何概型來求解.,【變式訓(xùn)練】在半徑為1的圓的一條直徑上任取一點,過這個點作垂直于直徑的弦,則弦長超過圓內(nèi)接等邊三角形邊長的概率是_.,【解析】記事件A為“弦長超過圓內(nèi)接等 邊三角形的邊長”，如圖，不妨在過等 邊三角形BCD的頂點B的直徑BE上任取一 點F，作垂直于直徑的弦，當弦為CD時， 就是等邊三角形的邊長(此時F為OE的中 點)，弦長大于CD的充要條件是圓心O到弦的距離小于

5、OF， 由幾何概型公式得： 答案：,與不等式(組)表示的平面區(qū)域有關(guān)的幾何概型 【例2】設(shè)AB=6,在線段AB上任取兩點(端點A、B除外),將線段AB分成了三條線段, (1)若分成的三條線段的長度均為正整數(shù),求這三條線段可以構(gòu)成三角形的概率; (2)若分成的三條線段的長度均為正實數(shù),求這三條線段可以構(gòu)成三角形的概率.,【審題指導(dǎo)】(1)基本事件個數(shù)為有限個,用古典概型求解. (2)基本事件個數(shù)為無限個,用幾何概型求解.引入兩個變量,尋找兩個變量滿足的條件,利用線性規(guī)劃的有關(guān)知識求面積.,【自主解答】(1)若分成的三條線段的長度均為正整數(shù),則三條線段的長度所有可能情況是1,1,4;1,2,3;2

6、,2,2，共3種情況,其中只有三條線段長為2,2,2時,能構(gòu)成三角形,故構(gòu)成三角形的概率為,(2)設(shè)其中兩條線段長度分別為x、y，則第三條線段長度為6-x-y，故全部試驗結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域為： 即 所表示的平面區(qū)域為OAB.,若三條線段x,y,6-x-y能構(gòu)成三角形， 則還要滿足 即為 所表示的平面區(qū)域為DEF， 由幾何概型知，所求概率為,【規(guī)律方法】1.解答此類問題，判斷所求概率模型的類型是關(guān)鍵，而判斷的主要依據(jù)是試驗結(jié)果的有限性或無限性. 2.對于幾何概型問題,根據(jù)題意列出條件，找出試驗的全部結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域及所求事件構(gòu)成的區(qū)域是解題的關(guān)鍵,這時常常與線性規(guī)劃問題聯(lián)系在一起.,【變式訓(xùn)練】(2

7、011濟寧模擬）兩人相約6時到7時在某地見面,先到者等候另一人10分鐘,如果另一人還沒到,這時方可離去,試求這兩人能會面的概率. 【解題提示】此題涉及了兩個變量,應(yīng)設(shè)未知數(shù),根據(jù)條件列出所有不等式,轉(zhuǎn)化為坐標平面內(nèi)的平面區(qū)域,用幾何概型求解.滲透了轉(zhuǎn)化,數(shù)形結(jié)合等重要的數(shù)學(xué)思想方法.,【解析】設(shè)x、y分別表示兩人到達的時刻, 則 即,其平面區(qū)域為,【例】已知集合A=x|-1x0,集合B=x|ax+b2x-10, 0a2,1b3. (1)若a,bN,求AB 的概率. (2)若a,bR,求AB= 的概率.,【審題指導(dǎo)】(1)當a,bN時,基本事件總數(shù)為9,設(shè) f(x)=ax+b2x-1,x-1,0

8、，利用導(dǎo)數(shù)求f(x)的最小值， 通過最小值確定AB 時a,b的關(guān)系. (2)當a,bR時,所求概率為幾何概率模型,仍然通過f(x)的 最小值確定AB= 時a,b的關(guān)系,然后利用線性規(guī)劃求面積.,【規(guī)范解答】(1)a,bN, (a,b)可取(0,1),(0,2),(0,3),(1,1),(1,2),(1,3), (2,1),(2,2),(2,3),共9組. 令函數(shù)f(x)=ax+b2x-1,x-1,0, 則f(x)=a+bln22x. 因為a0,2,b1,3,所以f(x)0, 即f(x)在-1,0上是單調(diào)遞增函數(shù).,f(x)在-1,0上的最小值為 要使AB ,只需ax+b2x-10. 所以(a,

9、b)只能取(0,1),(1,1),(1,2),(1,3),(2,1), (2,2),(2,3),共7組. 所以AB的概率為,(2)因為a0,2,b1,3,所 以(a,b)對應(yīng)的區(qū)域為邊長為2的正 方形(如圖),面積為4. 由(1)可知，要使AB= , 只需ax+b2x-10在-1,0上無解,即f(x)min=-a+ -10 2a-b+20,所以滿足AB= 的(a,b)對應(yīng)的區(qū)域是圖中的陰影部分, 所以S陰影= 所以AB= 的概率為,【規(guī)律方法】本題中尋找使AB 或AB= 成立的a、b的值是難點，借助于函數(shù)，轉(zhuǎn)化為函數(shù)在-1,0上有無解的問題，再利用函數(shù)的最值求解是解題的突破口.,【變式備選】設(shè)

10、有關(guān)于x的一元二次方程x2+2ax+b2=0. (1)若a是從0,1,2,3四個數(shù)中任取的一個數(shù),b是從0,1,2三個數(shù)中任取的一個數(shù),求上述方程有實根的概率; (2)若a是從區(qū)間0,3內(nèi)任取的一個數(shù),b是從區(qū)間0,2內(nèi)任取的一個數(shù),求上述方程有實根的概率.,【解析】設(shè)事件A為“方程x2+2ax+b2=0有實根”，當a0, b0時，方程x2+2ax+b2=0有實根的充要條件為ab. (1)基本事件共有12個，即(0,0),(0,1),(0,2),(1,0), (1,1),(1,2),(2,0),(2,1),(2,2),(3,0),(3,1),(3,2), 其中第一個數(shù)表示a的取值，第二個數(shù)表示

11、b的取值. 事件A中包含9個基本事件， 故事件A發(fā)生的概率為,(2)試驗的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域為(a,b)|0a3,0b2，如圖中 的矩形,構(gòu)成事件A的區(qū)域為 (a,b)|0a3,0b2,ab， 如圖中陰影部分,所以,所求的概率為,與定積分求面積相結(jié)合的幾何概型 【例】(2011廣州模擬)在平面區(qū)域(x,y)y-x2+2x，且y0內(nèi)任意取一點P，則所取的點P恰是平面區(qū)域 (x,y)yx,x+y2,且y0內(nèi)的點的概率為_.,【審題指導(dǎo)】畫出兩個平面區(qū)域，用幾何概型求解. 【規(guī)范解答】設(shè)A=(x,y)y-x2+2x，且y0. B=(x,y)yx,x+y2,且y0，如圖所示平面區(qū)域A是 拋物線與x軸

12、圍成的區(qū)域， 平面區(qū)域B是三角形區(qū)域， 且 故所求概率為 答案：,【規(guī)律方法】解答此類題目的關(guān)鍵是正確畫出試驗的全部結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域及事件發(fā)生的區(qū)域，然后對曲邊梯形的區(qū)域用定積分求出面積.,【互動探究】本例中，其他條件不變，求點P恰是平面區(qū)域 （x,y）yx2,0 x1,y0內(nèi)的點的概率是多少？ 【解析】設(shè)C= （x,y）yx2,0 x1,y0 則 故所求概率為：,【變式備選】如圖，在一個長為， 寬為2的矩形OABC內(nèi)，曲線y=sinx (0 x)與x軸圍成如圖所示的陰 影部分，向矩形OABC內(nèi)隨機投一點 (該點落在矩形OABC內(nèi)任何一點是等可能的)，則所投的點落在陰影部分的概率是( ),【解析

13、】選B.所投的點落在陰影部分的概率是 而 所以所求概率為： 故選B.,幾何概型與定積分的完美結(jié)合 【典例】(2010陜西高考)從如圖所示的 長方形區(qū)域內(nèi)任取一個點M(x,y)，則點M 取自陰影部分的概率為_. 【審題指導(dǎo)】用定積分求出陰影部分 的面積，用幾何概型求解.,【自主解答】根據(jù)題意得： 則點M取自陰影部分的概率為 答案:,【創(chuàng)新點撥】本題是與面積有關(guān)的幾何概型問題，而定積分是求曲邊梯形面積的有力工具，二者結(jié)合命題，增加了題目的新穎性，預(yù)計2012年高考仍然有可能在此處命題.解決此類問題主要是利用定積分求出面積，然后求概率.,【變式訓(xùn)練】如圖所示,在一個邊長為 1的正方形AOBC內(nèi),曲線

14、y=x2和曲線 圍成一個葉形圖(陰影部分),向正 方形AOBC內(nèi)隨機投一點(該點落在正方 形AOBC內(nèi)任何一點是等可能的),求所投的點落在葉形圖內(nèi)部的概率.,【解析】葉形圖的面積為 故所求概率為,1.(2011西城模擬)一只小蜜蜂在一個棱長為3的正方體內(nèi)自由飛行，若蜜蜂在飛行過程中始終保持與正方體6個表面的距離均大于1，稱其為“安全飛行”，則蜜蜂“安全飛行”的概率為( ) 【解析】選B.蜜蜂安全飛行的空間是棱長為1的正方體，故所求概率為,2.(2011東城模擬)某人向一個半徑為6的圓形標靶射擊，假設(shè)他每次射擊必定會中靶，且射中靶內(nèi)各點是隨機的，則此人射擊中靶點與靶心的距離小于2的概率為( )

15、【解析】選B.靶點與靶心的距離小于2的區(qū)域是以靶心為圓心以2為半徑的圓的內(nèi)部，故所求概率為,3.(2010湖南高考)在區(qū)間-1，2上隨機取一個數(shù)x， 則x1的概率為_. 【解析】由x1得x-1,1，區(qū)間-1,1的長度為2，區(qū)間-1,2的長度為3，故所求概率為 答案:,4.(2011長沙模擬)在腰長為2的等腰直角三角形ABC內(nèi)任取一點，則該點到此三角形的直角頂點的距離小于 的概率為_. 【解析】由幾何概型計算公式可知到此三角形的直角頂點的距離小于 的區(qū)域是以頂點為圓心，半徑為 的 圓面. 故 答案:,一、選擇題(每小題4分，共20分) 1.(2011福州模擬)一只小蜜蜂在邊長為4的正三角形內(nèi)爬行

16、，某時刻此小蜜蜂距三角形三個頂點的距離均超過1的概率為( ),【解析】選B.如圖以三角形三個頂點為圓心，以1為半徑畫弧，當小蜜蜂在圖中陰影部分時，到三角形三個頂點的距離均超過1， 又 設(shè)圖中空白部分的面積為S，則 所求概率為,2.(2011臨沂模擬）如圖,矩形長 為6,寬為4,在矩形內(nèi)隨機地撒300顆 黃豆,數(shù)得落在橢圓外的黃豆數(shù)為96 顆,以此實驗數(shù)據(jù)為依據(jù)可以估計出橢圓的面積約為( ) （A）7.68 （B）16.32 （C）17.32 （D）8.68,【解析】選B.由幾何概型得,3.已知正三棱錐S-ABC的底面邊長為4，高為3，在正三棱錐內(nèi)任取一點P，使得 的概率是( ) 【解析】選A.

17、當點P到底面ABC的距離小于 時 由幾何概型知 所求概率為,4.(2011南京模擬)在區(qū)間-5,5內(nèi)隨機地取出一個數(shù)a，則恰好使1是關(guān)于x的不等式2x2+ax-a22或a-1. 故當a-5,-1)(2,5時，1是關(guān)于x的不等式2x2+ax-a20的一個解. 故所求概率為,5.在區(qū)間(0，1)上任取兩個數(shù)，則兩個數(shù)之和小于 的概率是( ) 【解題提示】基本事件受兩個連續(xù)的變量控制，可把兩個變量分別作為點的橫坐標和縱坐標，畫出圖形，然后用幾何概型求解.,【解析】選D.設(shè)這兩個數(shù)是x,y，則試驗所有的基本事件構(gòu)成的區(qū)域是 確定的平面區(qū)域，所求事件包含的基本事件是由 確定的平面區(qū)域， 如圖所示. 陰影

18、部分的面積是 所以兩個數(shù)之和小于 的概率是,二、填空題(每小題4分，共12分) 6.點A為周長等于3的圓周上一個定點,若在該圓周上隨機取一點B,則劣弧 的長度小于1的概率為_. 【解析】試驗的全部結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域長度為3,所求事件發(fā)生的區(qū)域長度為2,故所求的概率為 答案:,7.在區(qū)間-1,1上隨機取一個數(shù)x, 的值介于0到 之間的概率為_. 【解題提示】解答本題的關(guān)鍵是根據(jù)不等式 求x的范圍.可先根據(jù)x的范圍確定 的范圍.,【解析】在區(qū)間-1,1上隨機取一個數(shù)x,試驗的全部結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域長度為2; 又-1x1, 設(shè)事件A為 的值介于0到 之間. 則事件A發(fā)生的區(qū)域長度為 . 答案:,【方法技巧】

19、與長度有關(guān)的幾何概型的求解方法 用幾何概型求事件A的概率時，經(jīng)常遇到與路程、線段、長度等有關(guān)的問題.這時，就要運用與長度有關(guān)的幾何概型解答問題.在計算概率前，必須弄清楚構(gòu)成整個事件的長度是多少，構(gòu)成事件A的長度是多少，然后代入 有時與長度有關(guān)的幾何概型，題干并不直接給出，而是將條件隱藏，與其他知識綜合考查.,8.(2011泉州模擬)圖2中實線圍成的部分是長方體(圖1)的 平面展開圖，其中四邊形ABCD是邊長為1的正方形.若向虛線 圍成的矩形內(nèi)任意拋擲一質(zhì)點，它落在長方體的平面展開圖 內(nèi)的概率是 ，則此長方體的體積是_.,【解析】設(shè)長方體高為x，由題意知 2x2-5x-3=0, x=3.長方體體積為113=3. 答案:3,三、解答題(每小題9分，共18分) 9.如圖所示，在單位圓O的某一直徑上隨機地取一點Q，求過點Q且與該直徑垂直的弦長長度不超過1的概率.,【解析】弦長不超過1，即OQ ，而Q點在直徑AB上是隨機的，事件A=弦長超過1. 由幾何概型的概率公式得 弦長不超過1的概率為 所求弦長不超過1的概率為,10.已知復(fù)數(shù)z