1、數(shù)字圖像處理學(xué) 第7章 圖像重建 （第三講）,在醫(yī)學(xué)影像處理中是醫(yī)學(xué)圖像獲取的重要方法。如醫(yī)療放射學(xué)，核醫(yī)學(xué)，電子顯微等領(lǐng)域是必不可少的技術(shù)，在工業(yè)生產(chǎn)中的無損檢測技術(shù)圖像重建也扮演重要角色。因此，本章主要介紹些基本的重建方法。,774 圖像重建的應(yīng)用,在醫(yī)學(xué)影像處理中是醫(yī)學(xué)圖像獲取的重要方法。如醫(yī)療放射學(xué)，核醫(yī)學(xué)，電子顯微等領(lǐng)域是必不可少的技術(shù)，在工業(yè)生產(chǎn)中的無損檢測技術(shù)圖像重建也扮演重要角色。因此，本章主要介紹些基本的重建方法。,在三維重建中的數(shù)據(jù)形式有三種 （1）透射模型 （光，x射線） （2）發(fā)射模型 （核磁共振等） （3）反射模型 （光電子，雷達(dá)，超聲波）,圖 61 圖像重建的透射、

2、反射、發(fā)射三種模式示意圖,假設(shè)，兩個嵌在內(nèi)部的物體只能從外邊觀察，那么，采用什么檢測手段才能達(dá)到這樣的目的呢。當(dāng)然，將物體切開是一種顯而易見的解決方法。然而,在許多情況下這樣做是不實際的，比如說，醫(yī)療檢查，天文觀察，工業(yè)中的無損檢測，光傳導(dǎo)中的測量等一些應(yīng)用都不能采用這種破壞性方法。,透射模型： 建立于能量通過物體后有一部分能量會被吸收的基礎(chǔ)之上， 透射模型經(jīng)常用在射線、電子射線及光線和熱輻射的情況下，這些都遵從一定的吸收法則。,發(fā)射模型： 發(fā)射也可用來確定物體的位置，并且這種方法已經(jīng)廣泛用于正電子檢測，它是通過在相反的方向分解散射的兩束伽碼射線來實現(xiàn)的。這兩束射線的渡越時間可用來確定物體的位

3、置。,反射模型 能量反射也可用來測定物體的表面特性，例如，光線、電子束、激光或做為能量源的超聲波等都可以用來進行這種測定。,6.1 經(jīng)典斷層成像,斷層成像一種將物體的每一片層完全隔離出來進行觀察的無損檢測技術(shù)。這是一種透射檢測得到數(shù)據(jù)，透射路徑被限制在所關(guān)心的平面內(nèi)。對于醫(yī)學(xué)上的應(yīng)用來說被計算的特性是組織的衰減系數(shù)。,對于人體來說，大部分軟組織是水，但仍有足夠的差異，不同的組織以產(chǎn)生不同的衰減系數(shù)，這樣就可以給出一幅解剖的橫截面圖像，該圖像包括一些定量信息。 衰減系數(shù)的單位 H（豪斯費爾德） (Hounsfield),一個豪斯費爾德等于水的衰減系數(shù)的0.1%，標(biāo)度上選擇 H（水）=0 對于空氣

4、 H=-1000 骨骼 H=+1000 早期的斷層成像是用機械方法得到，如下圖所示：,圖 62 常規(guī)斷層攝影的原理示意圖,這是一種將物體的每一片層完全隔離出來進行觀察的無損檢測技術(shù)。這是一種投射測量檢測得到數(shù)據(jù)，投射路徑被限制在所關(guān)心的平面內(nèi)。,對于醫(yī)學(xué)上的應(yīng)用來說被計算的特性是組織的衰減系數(shù)，對于人體來說，大部分軟組織是水，但仍有足夠的差異，以產(chǎn)生不同的衰減系數(shù)，這樣就可以給出一幅解剖橫截面圖像，也包括一些定量信息。計算機成像示意圖如下：,6.2 關(guān)于計算機斷層成像,圖 62 計算機斷層成像示意圖,X射線經(jīng)過物體時會發(fā)生衰減，不同的物質(zhì)衰減是不一樣的。得到物體的圖像最直接的方法是沿Y軸經(jīng)衰減

5、直接在膠片上成像。這與X光透視是一樣的，這樣會造成圖像的混疊。,CT是把物體在Y軸方向劃分成小的薄片，薄片的厚度是一個重要的參數(shù)，一般為1、2、3、4、5、8、10mm。每個薄片再劃分為小的單元，即體素。,在斷層掃描時，生成大量的數(shù)據(jù)，根據(jù)該數(shù)據(jù)再計算出每個體素的衰減系數(shù)，然后把這些衰減系數(shù)按一定的函數(shù)關(guān)系顯示在屏幕上，這樣，就產(chǎn)生了斷層圖像。,計算機斷層成像原理如下：,設(shè)某一物體體素對X射線的衰減系數(shù)為，體素厚度為d ， 和 為穿透物體前后的X射線的輻射強度。射線遵循如下的衰減定律：,假如一條直線上有n個體素， 第一個體素的衰減為:,第二個體素衰減為：,對于第n個體素有： 顯然：,即： 一般

6、情況探測器只能測到 ，而不能測到 ，因此，不能直接記錄各個體素的衰減系數(shù)。但是，我們可以用數(shù)學(xué)方法求解衰減系數(shù)。,假如某斷層有2X2個體素，相應(yīng)的衰減系數(shù)為 ，,分別從X和Z方向投影，測得的衰減系數(shù)為A，B，C，D，即：,從而，可以解出 的值來。我們用一定的函數(shù)關(guān)系在屏幕上顯示出來就可以得到相應(yīng)的斷層圖像。 如果圖像的分辨率為512X512，則圖像有262144個獨立陣元，需要解262144元的方程組，計算出值，重建出圖像。,6.3 斷層圖像重建算法：,掃描系統(tǒng)由x射線源和檢測器組成，x射線穿過物體，由檢測器檢測，x射線源和檢測器組合橫向掃描，可產(chǎn)生一個投影，在旋轉(zhuǎn)角度變更的條件下，就可以產(chǎn)生

7、一個投影數(shù)據(jù)組。 為了從理論上分析重建算法，我們先定義幾個坐標(biāo)系,1) x-y 坐標(biāo)系 2) xr-yr坐標(biāo)系，它相對于x-y坐標(biāo)系逆時針旋轉(zhuǎn)了一個角度,其中：,3) 極坐標(biāo),令f(x,y)是介質(zhì)的衰減系數(shù)，如果衰減系數(shù)在介質(zhì)中為恒定的，即 f(x,y)=。 如果x射線行進距離為x，則射線衰減規(guī)律將遵循比爾定律（Beers law)，即： 式中 ： 為入射光子積分通量 為透射的光子積分通量。,如果衰減系數(shù)不是恒定值則要沿吸收路徑作積分,L為x射線源到檢測器的直線路徑。,為得到一個透射量的數(shù)組，可作如下處理：,即： 作線性化處理：,這里 就叫雷登變換（Radon Transformation）

8、或稱為f(x,y)的投影,這里物體斷層重建的任務(wù)就是求 的逆。 這里，我們可把 看成是在給定的投影角 之下，關(guān)于 的一維連續(xù)函數(shù)。,為了清楚起見，我們先來看一下物體從x-y空間到投影數(shù)據(jù)空間 空間的關(guān)系。也就是物體空間與 Radon 空間的關(guān)系。,圖中(a)是線積分路徑L變換為Radon空間中的點 。 (b)是通過 的所有投影的軌跡是圓心在 直徑為 r 的圓。,1) 、在Radon空間中，每一點代表通過物體的一個線積分。 2) 、物體空間與Radon空間的等效關(guān)系可以由兩個空間點的映射關(guān)系闡述。,3) 、物體空間中的一點M（或（r，）其 由下式給出： 這在Radon空間是一個圓方程，該方程由原

9、點及 為端點作為直徑的圓唯一的確定。,所以，如果以 和 作為笛卡爾坐標(biāo)，對投影數(shù)據(jù)進行映射，同樣可以得到投影空間中各點與物體空間中線積分路徑之間的一一對應(yīng)關(guān)系， 這里只考慮 內(nèi)的 值 ，因為所有的投影數(shù)據(jù)都包含在這一范圍內(nèi)。通過物體的給定點的所有投影的軌跡由 給出。,這是一條余弦曲線，這樣物體點的矢徑 r 與方位角可以被直接編碼。 這一投影數(shù)據(jù)的特殊形式稱為正弦圖（sinogram）格式。,（a)由線 l 確定的一個投影數(shù)據(jù)點映射到正弦圖空間中的 點，這里 代表物空間中 l 的垂足矢量。 （b）通過點 的所有線積分的軌跡是一幅值為 r 相角為 的余弦波。,數(shù)據(jù)組 有如下一些性質(zhì)： 1)、它是有

10、界的，f(x,y)與 同屬于一個最小的支集圓。 2) 、存在對稱性，實際上，x 射線源與檢測器互換不影響檢測器的透射檢測值。即：,3) 、投影數(shù)據(jù)有一個附加約束。 實際上，由定義可以看出： 此式右邊是物體對整個空間的二維積分，其值顯然與坐標(biāo)取向無關(guān)。,4) 、物體構(gòu)造的復(fù)雜性和所需的投影數(shù)目之間存在一定關(guān)系。,如果只有水平和垂直投影，顯然有不確定性，加上第三個投影就可以消除這種不確定性了。 物體和投影的關(guān)系有三條特點: 1) 、任何物體可完全由其連續(xù)的投影組來描述，也就是說,最復(fù)雜的物體也可以由其投影來重建；,2) 、蘊含在每一個投影中的信息都有一明確的解釋； 3) 、由2) 提供的解釋導(dǎo)出了

11、求解 的各種等價的解析方法。,6.4 投影定理(中心切片定理),考慮通過角度 穿過物體的投影表達(dá)式為： 的一維傅立哀變換由下式給出：,如果用 表示與 相對應(yīng)的二維傅立哀空間域變量，則有 該式的右邊是物體的二維付里哀變換沿 等于零所取的值。,因此，投影的一維付里哀變換等于物體二維付里哀變換的一個特定截面。 這個特定截面就是 軸。這就是中心切片定理。 為了進一步說明上述定理，考慮一個有界物體，通過對它的所有二維空間頻率分量的線性疊加，總能合成這一物體。,現(xiàn)在，考慮一個余弦分量（見下圖） 僅當(dāng)投影方向平行于波脊時，投影才不等零。在這個特定方向下，整個余弦分量被投影到 軸上，分量的傅立哀變換示于圖(b

12、)。,(a)一般物體的分布（x,y) 可以分解為正弦分量和余弦分量，圖中畫出了余弦分量的一個。該分量的投影僅在一個方向下不等于零，在這一特定的角度下，這一分量全部映射在投影上。 （b）這一分量的付里哀變換是位于 軸上的一對 函數(shù)。,原物體是由許多具有不同相位、不同頻率和不同方向的波分量疊加而成的，由此可以得出：只有那些平行于第一個波的分量，其變換才位于 軸上，同時，只有這些波才會改變 的形式。因此，該投影的變換就與整個二維變換的相應(yīng)截面（或片層）完全相同。,從中心切片定理，我們可以得到兩個重要結(jié)論： 1)、 在這些投影中的確包含了足夠的信息來重建一般物體；,2) 、為了重建這一物體，需要無窮多

13、個或連續(xù)的投影數(shù)據(jù)；因為只有這樣才能完全確定傅立哀空間的物體分布，從而通過反變換確定實際物體。實際上用有限個投影角，每個投影以有限個樣本就可以得到滿意的重建。,6.5 反投影與累加圖像,反投影是指投影之逆，形象的解釋是取 的一維函數(shù)(投影數(shù)據(jù))，把它沿 方向向整個空間均勻地抹一次，由此產(chǎn)生一個二維分布 。 用數(shù)學(xué)表示，一維投影 的反投影由下式給出：,極坐標(biāo)下： 把許多反投影加以組合就會產(chǎn)生一個新的二維圖像，稱為累加圖像。如果我們?nèi)∠鄳?yīng)于不同角度 的一組物體投影的一系列離散的反投影，則累加圖像就是各個反投影的算數(shù)和。 離散情況下：,在連續(xù)情況下：,對的積分區(qū)間在0之間就可獲得全部信息。b（r，）

14、就是反投影圖像，也有稱其為“層圖” （Layergram）。 反投影的運算概念可由下圖說明：,把一個一維的投影數(shù)據(jù)均勻地回抹到二維空間。該圖表示的是四個投影 及其累加圖，后者是四個相應(yīng)的反投影相加形成的，原物體是具有不同尺寸的兩個圓盤。,傅立哀變換重建 傅立哀變換重建是較簡單的重建方法，它是1974年由shepp和logan開發(fā)的算法。 其基本原理如下： 令f（x，y）是一幅圖像，其二維傅立哀變換如下式所示，,而f(x,y)在x軸上的投影可表示為下式： 這一投影的一維傅立哀變換為： 這一表達(dá)式恰好與f(x,y)的二維傅立哀變換,的表達(dá)式一致，即： 現(xiàn)在假設(shè)將函數(shù)投影到一條經(jīng)過旋轉(zhuǎn)了 角的直線上

15、。 如果投影選作 軸，投影點通過距 軸距離為 處的平行線對函數(shù)積分有：,它的一維傅立哀變換為： 也可寫成下式： 作一個代換：(為使展開式與2D傅立哀變換一致）,如果（u，v）點處在 角一定，而距原點的距離r可變的這樣一條直線上，則 如果投影變換對所有的 都是已知的，圖像的二維變換也是可以確定的，為了得到原圖像，只需作一個反傅立哀變換就可以了 這就是用傅立哀變換的基本重建技術(shù)。,Radon反變換 由中心切片定理,寫成極坐標(biāo)形式：,這里寫成兩部分是必要的，因為傅立葉空間的極坐標(biāo)定義區(qū)間為：,而數(shù)據(jù)采集坐標(biāo)和 的定義在：,用極坐標(biāo)表示傅立葉反變換為：,為了把物體函數(shù)用它的投影 清楚的表示出來，我們把上式分成兩部分：,利用投影定理,此式利用了,則：,合并二式：,這一式子可理解為 的一維付里哀反變換。該式也可以寫成下列形式：,式中： 應(yīng)用卷積定理： 式中