1、第3章 計(jì)量誤差與數(shù)據(jù)處理,3.1 計(jì)量誤差 3.2 數(shù)據(jù)處理 習(xí) 題 ,常用計(jì)量術(shù)語(yǔ),1、量：現(xiàn)象、物體或物質(zhì)的可以定性區(qū)別和定量確定的一種屬性。 計(jì)量學(xué)中的“量”，都是指可測(cè)量的(measurable)量。量，可以是廣義的量，如長(zhǎng)度、質(zhì)量、溫度、電阻、時(shí)間；也可以是特定的量，如某根桿的長(zhǎng)度、某條導(dǎo)線的電阻。 可相互比較的量(可比量)稱為同種量；某些同種量可以組合在一起成為同類量，例如功、熱、能(皆可用同一單位焦耳表示)，厚度、周長(zhǎng)、波長(zhǎng)(皆可用同一單位米表示)等。,2被測(cè)量(measuredquantity，quantityto be measured) 被測(cè)量的量。它可以是待測(cè)量的量，也

2、可以是已測(cè)量的量。 3影響量(influence quantity) 不是被測(cè)量，但卻影響被測(cè)量的量值或計(jì)量器具示值的量。例如環(huán)境溫度、被測(cè)的交流電壓的頻率。 4計(jì)量單位(unit of measurement) 約定選取的特定量(通常其數(shù)值為1)，用以定量表示同種量的值。同種量的量綱必然相同，但相同量綱的量未必同種。例如，在國(guó)際單位制中，功和力矩的量綱相同，皆為L(zhǎng)2MT-2，而量卻不同。,5量值(value of a quantity) 由數(shù)值與計(jì)量單位的乘積所表示的量的大小，如5m、12kg。 6量的數(shù)值(numerical value of a quantity) 量值中的數(shù)字部分。 7

3、量的真值(true value of a quantity) 某量在所處的條件下被完善地確定或嚴(yán)格定義的量值?；蛘?，可以理解為沒(méi)有誤差的量值。 一個(gè)理想的概念。,8量的約定真值(conventional true value of a quantity) 為給定目的而取的可以代替真值的量值。一般來(lái)說(shuō)，約定真值與真值的差值可以忽略不計(jì)。故而在實(shí)際應(yīng)用中，約定真值可以代替真值。 9實(shí)際值(actual value) 滿足規(guī)定精確度的用來(lái)代替真值的量值。實(shí)際值可理解為由實(shí)驗(yàn)獲得的，在一定程度上接近真值的量值。在計(jì)量檢定中，通常將上級(jí)計(jì)量標(biāo)準(zhǔn)所復(fù)現(xiàn)的量值稱為下級(jí)計(jì)量器具的實(shí)際值。,10測(cè)量(measu

4、rement) 為確定量值而進(jìn)行的操作。操作可能是相當(dāng)復(fù)雜的，也可能是極其簡(jiǎn)單的。 11測(cè)得值(measured value) 由測(cè)量得出的量值。它可能是從計(jì)量器具直接得出的量值，也可能是通過(guò)必要的換算、查表等(如系數(shù)換算、借助于相應(yīng)的圖表或曲線等)所得出的量值。 12測(cè)量結(jié)果(result of a measurement) 由測(cè)量得到的被測(cè)量的量值(測(cè)得值)及其不確定度(或誤差范圍)。更嚴(yán)格地說(shuō)，測(cè)量結(jié)果還應(yīng)包括測(cè)量條件或主要影響量的值或范圍的說(shuō)明。,13計(jì)量器具的基本誤差(intrinsic error of a measuring instrument) 計(jì)量器具在標(biāo)準(zhǔn)條件下所具有的誤

5、差。 14計(jì)量器具的附加誤差(complementary error of measuring instrument) 計(jì)量器具在非標(biāo)準(zhǔn)條件下所增加的誤差。 15計(jì)量器具的允(容)許誤差(permissible errors of a measuring instrument) 技術(shù)標(biāo)準(zhǔn)、檢定規(guī)程等對(duì)計(jì)量器具所規(guī)定的允許的誤差極限值。,16測(cè)量重復(fù)性(repeatability of measurements) 在相同的地點(diǎn)和使用條件下、用相同的測(cè)量方法和器具、由相同的觀測(cè)者在短時(shí)間內(nèi)對(duì)同一量進(jìn)行連續(xù)多次重復(fù)測(cè)量所得結(jié)果之間的符合程度(一致性)。它一般可用結(jié)果之間的差值(離散)來(lái)定量表示。 1

6、7測(cè)量復(fù)現(xiàn)性(reproducibility of measurements) 在不同的測(cè)量條件下，對(duì)相同被測(cè)量進(jìn)行測(cè)量時(shí)，其測(cè)量結(jié)果之間的符合程度(一致性)。它一般可用結(jié)果之間的差值(離散)來(lái)定量表示。 這里“不同的測(cè)量條件”系指：不同的測(cè)量原理、不同的測(cè)方法、不同的計(jì)量器具、不同的使用條件、不同的觀測(cè)者、不同的時(shí)間、不同的地點(diǎn)等。,18測(cè)量正確度(correctness of measurement) 測(cè)量結(jié)果與真值的接近程度。它反映的是測(cè)量結(jié)果的系統(tǒng)誤差的大小 (參見(jiàn)圖3-1(a)。 19測(cè)量精密度(precision measurement) 在相同條件下對(duì)同一量進(jìn)行多次重復(fù)測(cè)量時(shí)，所

7、得結(jié)果之間符合程度。它反映的是測(cè)量結(jié)果的隨機(jī)誤差的大小(參見(jiàn)圖3-1(b) 。 20測(cè)量精確度(準(zhǔn)確度，accuracy of measurement) 測(cè)量結(jié)果之間的符合程度以及與真值的接近程度的綜合。它是精密度和正確度的綜合反映(參見(jiàn)圖3.1.11(c).,(a) 正確度較高，精密度較差； (b)精密度較高，正確度較差； (c)精密度和正確度都較高，即精確度(準(zhǔn)確度)較高。,誤差理論是計(jì)量科學(xué)的重要組成部分，在計(jì)量誤差研究中主要解決（即誤差理論研究的意義）： 合理評(píng)價(jià)計(jì)量結(jié)果的誤差。 正確處理計(jì)量數(shù)據(jù)，以便得到接近于真值的最佳結(jié)果。 指導(dǎo)實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)，合理選擇計(jì)量器具、計(jì)量方法和規(guī)定計(jì)量條件，

8、以便得到最佳的結(jié)果。,3.1 計(jì)量誤差,3.1.1 計(jì)量誤差的定義 計(jì)量誤差是計(jì)量結(jié)果與被計(jì)量的量的真值之間的差異。 量的真值是指某量在所處的條件下被完善地確定或嚴(yán)格定義的量值。因此量的真值是一個(gè)理想的概念,一般是未知的。雖然基本單位量的真值可以按定義給出,但是復(fù)現(xiàn)起來(lái)還是含有誤差。實(shí)際上,真值常用實(shí)際值用高一等級(jí)的計(jì)量標(biāo)準(zhǔn)器具所計(jì)量的量值或一列計(jì)量結(jié)果的平均值來(lái)代替。當(dāng)測(cè)量結(jié)果僅含有隨機(jī)誤差時(shí),測(cè)量結(jié)果算術(shù)平均值（數(shù)學(xué)期望）是被測(cè)量真值的最佳估計(jì)值。,3.1.2 計(jì)量誤差的表示方法 計(jì)量誤差有四種表示方法。 1. 絕對(duì)誤差 對(duì)某一量進(jìn)行計(jì)量以后,用被計(jì)量的量的計(jì)量結(jié)果x減去其真值x0而得到的

9、差值,稱為絕對(duì)誤差（也簡(jiǎn)稱誤差）x，即 x=x-x0 （3.1.1） 【例3.1.1】真值為6.42A的電流,在微安表上的示值為6.34A,則微安表的示值6.34A的絕對(duì)誤差為 6.34-6.42=-0.08 A,由于真值一般無(wú)法求得,因此x=x-x0 這個(gè)式子只有理論上的意義,經(jīng)常用上一級(jí)標(biāo)準(zhǔn)儀器的示值作為實(shí)際值代替真值,由于上一級(jí)標(biāo)準(zhǔn)也存在誤差,只是小一些,因此,實(shí)際值并不等于真值。但一般來(lái)說(shuō),實(shí)際值總比計(jì)量值更接近于真值。 2. 相對(duì)誤差 相對(duì)誤差是絕對(duì)誤差與被計(jì)量的量的真值之比。 相對(duì)誤差通常以百分?jǐn)?shù)表示,因此相對(duì)誤差可以表示為,【例3.1.2】用一個(gè)頻率計(jì)測(cè)量準(zhǔn)確值為100kHz的頻

10、率源,測(cè)得值為101kHz,則其絕對(duì)誤差為 x=101-100=1kHz 相對(duì)誤差為 【例3.1.3】用波長(zhǎng)表測(cè)量準(zhǔn)確值為1MHz的標(biāo)準(zhǔn)頻率源,測(cè)得值為1.001 MHz,則其絕對(duì)誤差為 x=1.001-1=0.001MHz=1 kHz,相對(duì)誤差為 從上面兩個(gè)例子可以看出,兩次測(cè)量的絕對(duì)誤差相同,但其相對(duì)誤差不同,第一個(gè)相對(duì)誤差大,第二個(gè)相對(duì)誤差小。相對(duì)誤差越小,測(cè)量的準(zhǔn)確度越高。 注：絕對(duì)誤差與相對(duì)誤差的比較。 3. 分貝誤差 在日常生活和工作中離不開(kāi)自然計(jì)數(shù)法,但是在一些自然科學(xué)和工程計(jì)算領(lǐng)域,對(duì)物理量的描述往往采用對(duì)數(shù)計(jì)數(shù)法,比如對(duì)聲學(xué)和電學(xué)中的物理量。,從本質(zhì)上講,在這些場(chǎng)合用對(duì)數(shù)形式

11、描述物理量是因?yàn)樗鼈兎先说男睦砀惺芴卣?。在一定的刺激范圍?nèi),當(dāng)物理刺激量呈指數(shù)變化時(shí),人們的心理感受是呈線性變化的,人的感受器官好像是一個(gè)對(duì)數(shù)轉(zhuǎn)換裝置一樣,這就是心理學(xué)上的韋伯定律和費(fèi)希納定律。 分貝誤差是相對(duì)誤差的另一種表現(xiàn)形式,在電學(xué)和聲學(xué)計(jì)量中,常用分貝誤差表示相對(duì)誤差。 先看一下分貝的定義： 對(duì)于電壓、電流類參量 D=20lgx dB 式中,x=U2/U1或x=I2/I1,U1、U2為電壓,I1、I2為電流。,對(duì)于功率類參量 D=10lgx dB 式中,x=P2/P1，P1，P2為功率。 若x有誤差x,則分貝也有一相應(yīng)誤差D,即 D+D=20lg (x+x) dB或 D+D=10lg

12、 (x+x) dB 所以分貝誤差為: 對(duì)于電壓、電流類參量 D=20lg (1+x) dB 對(duì)于功率類參量 D=10lg (1+x) dB,由分貝誤差計(jì)算相對(duì)誤差的公式為： 或 當(dāng)誤差本身不大時(shí),分貝誤差與一般的相對(duì)誤差之間有簡(jiǎn)單的計(jì)算關(guān)系： 對(duì)于電壓、電流類參量 D8.69x x0.115D 對(duì)于功率類參量 D4.34x x0.230D,以上兩組式子僅表明分貝誤差與相對(duì)誤差之間數(shù)值上的換算關(guān)系,使用時(shí)還要注意各個(gè)量的單位。 【例3.1.4】一電壓用某電壓表測(cè)得為125V,用標(biāo)準(zhǔn)表測(cè)得為127V,求分貝誤差。 解： 先求出絕對(duì)誤差為 x=125-127=-2 V 再求出相對(duì)誤差為,則分貝誤差為

13、,在實(shí)際工作中,常用dB來(lái)表示信號(hào)電平,用dBm來(lái)表示功率電平。為此,必須確定一個(gè)基礎(chǔ)電平,也就是所謂的零電平。 在電學(xué)領(lǐng)域中,零電平一般定義為：在600的純電阻上耗散1mW的功率,電阻上的電壓和流過(guò)的電流分別為,作為基準(zhǔn)值的1mW、0.7746V和1.291mA分別稱為零電平功率、零電平電壓和零電平電流（我國(guó)不采用電流電平測(cè)量基準(zhǔn)）。 于是,用dB來(lái)表示信號(hào)電平的公式為 用dBm來(lái)表示功率電平的公式為 dBm表示以1mW為基準(zhǔn)的功率電平的分貝值,在微波和通訊領(lǐng)域廣泛應(yīng)用。,(3.1.2),(3.1.3),我國(guó)現(xiàn)在使用的測(cè)量?jī)x器,有以1mW為零電平刻度的功率電平表,也有以0.7746V電壓為零

14、電平刻度的電壓電平表,在使用這些測(cè)量?jī)x器時(shí),要注意這一點(diǎn)。 另外,也有取1 為零電平的（例如測(cè)量接收機(jī)）,在這種情況下,應(yīng)予以注明。,4. 引用誤差 引用誤差是一種簡(jiǎn)化的實(shí)用且方便的相對(duì)誤差,在多擋和連續(xù)刻度的儀器儀表中廣泛應(yīng)用,這類儀器儀表可測(cè)范圍不是一個(gè)點(diǎn)而是一個(gè)量程,各刻度點(diǎn)的示值和其對(duì)應(yīng)的真值都不一樣,因此,計(jì)算相對(duì)誤差時(shí)所用的分母也不一樣,所以計(jì)算很麻煩。 為了計(jì)算和劃分準(zhǔn)確度等級(jí)方便,規(guī)定一律取該儀器儀表的特定值作分母,由此可以定義引用誤差： 引用誤差是計(jì)量?jī)x器的示值的絕對(duì)誤差與儀器的特定值之比，通常也用百分?jǐn)?shù)表示。即,(3.1.4),式中, xlim稱為特定值,也稱為引用值,通常

15、是計(jì)量?jī)x器量程中的滿刻度值（最大刻度值）或標(biāo)稱范圍的上限。 【例3.1.5】檢定2.5級(jí)、上限為100V的電壓表時(shí),發(fā)現(xiàn)50V刻度點(diǎn)的最大示值誤差為2V,并且比其他各刻度點(diǎn)的誤差都大,問(wèn)該電壓表是否合格？ 解：該電壓表的最大引用誤差為 2.5級(jí)的含義是合格儀器儀表最大引用誤差的界限為2.5,可見(jiàn),該電壓表合格。,電工儀表的準(zhǔn)確度等級(jí)分別為： 0.1、0.2、0.5、1.0、1.5、2.5、5.0七級(jí),這些等級(jí)表明儀表的引用誤差不能超過(guò)的界限。 一般來(lái)說(shuō),如果儀表為S級(jí),則僅說(shuō)明合格儀表的最大引用誤差不會(huì)超過(guò)的S,而不能認(rèn)為它在各刻度點(diǎn)上的示值誤差都具有S的準(zhǔn)確度。 設(shè)儀表的滿刻度值為xn,測(cè)量

16、點(diǎn)為x,則該儀表在x點(diǎn)鄰近處的示值誤差應(yīng)為： 絕對(duì)誤差xnS% 相對(duì)誤差 S%,一般情況下,xxn,因此, x越接近于xn（因?yàn)閤在分母上）,其測(cè)量準(zhǔn)確度越高；x越遠(yuǎn)離xn, 其測(cè)量準(zhǔn)確度越低；這就是為什么人們利用這類儀表測(cè)量時(shí),盡可能在儀表滿刻度值2/3以上量程內(nèi)測(cè)量的原因所在。在選擇儀表作測(cè)量時(shí),要注意到這一情況。在分析此類儀表對(duì)測(cè)量值的實(shí)際影響時(shí),需要按上面兩個(gè)式子作換算,而不能直接采用對(duì)應(yīng)于儀表的準(zhǔn)確度等級(jí)的值,也就是說(shuō)不能把引用誤差當(dāng)作相對(duì)誤差來(lái)使用。 【例3.1.6】某待測(cè)的電壓約為100V,現(xiàn)有0.5級(jí)0300和1.0級(jí)0100V兩個(gè)電壓表,問(wèn)用哪一個(gè)電壓表測(cè)量比較好？ 解：用0

17、.5級(jí)0300V測(cè)量100V時(shí)的最大相對(duì)誤差為,而用1.0級(jí)0100V測(cè)量100V時(shí)的最大相對(duì)誤差為 因此,選擇1.0級(jí)0100V電壓表比較好。 這個(gè)例子說(shuō)明,如果量程選擇恰當(dāng),用1.0級(jí)儀表進(jìn)行測(cè)量比用0.5級(jí)儀表準(zhǔn)確。 因此,在選擇儀表時(shí),不能單純地認(rèn)為準(zhǔn)確度等級(jí)越高越好,而應(yīng)根據(jù)被測(cè)量的大小,兼顧儀表的級(jí)別和測(cè)量上限合理地選擇儀表。,3.1.3 計(jì)量誤差的分類 根據(jù)誤差的性質(zhì),計(jì)量誤差可以分為三類：系統(tǒng)誤差,隨機(jī)誤差和粗大誤差。下面分別介紹這三類誤差。 1系統(tǒng)誤差 在分析和研究測(cè)量誤差時(shí),必須把系統(tǒng)誤差排除才能按隨機(jī)誤差理論對(duì)測(cè)量誤差進(jìn)行處理。實(shí)際上,測(cè)量過(guò)程中往往存在系統(tǒng)誤差。在某些情

18、況下,系統(tǒng)誤差數(shù)值還比較大,因此,測(cè)量結(jié)果的精度,不僅取決于隨機(jī)誤差,還取決于系統(tǒng)誤差的影響。,由于系統(tǒng)誤差和隨機(jī)誤差同時(shí)存在于測(cè)量數(shù)據(jù)之中,且不易被發(fā)現(xiàn),多次重復(fù)測(cè)量又不能減小它對(duì)測(cè)量結(jié)果的影響,這種潛伏性使得系統(tǒng)誤差比隨機(jī)誤差具有更大的危險(xiǎn)性。因此,研究系統(tǒng)誤差的特征與規(guī)律性,用一定的方法減小或消除系統(tǒng)誤差,就顯得十分重要,否則,對(duì)隨機(jī)誤差的嚴(yán)格數(shù)學(xué)處理將失去意義,或者收效甚微。 1）系統(tǒng)誤差的定義 在相同條件下,多次重復(fù)計(jì)量同一個(gè)量時(shí),保持固定不變的誤差,或者在條件改變時(shí),按某一確定規(guī)律變化的計(jì)量誤差的分量叫系統(tǒng)誤差。系統(tǒng)誤差決定計(jì)量結(jié)果的“正確”程度。 許多系統(tǒng)誤差可以通過(guò)實(shí)驗(yàn)確定（或

19、根據(jù)實(shí)驗(yàn)方法、手段的特性估計(jì)出來(lái)）并加以修正。,但有時(shí)由于對(duì)某些系統(tǒng)誤差的認(rèn)識(shí)不足或沒(méi)有相應(yīng)的手段予以充分確定,而不能修正,這種系統(tǒng)誤差稱為未定或剩余系統(tǒng)誤差,也稱為未消除的系統(tǒng)誤差。 前面已經(jīng)提到,系統(tǒng)誤差與計(jì)量次數(shù)無(wú)關(guān),因此,也不能用增加計(jì)量次數(shù)的方法使其減小或消除。 2）系統(tǒng)誤差的分類 系統(tǒng)誤差按其呈現(xiàn)的特征可以分為常值系統(tǒng)誤差和變值系統(tǒng)誤差；而變值系統(tǒng)誤差又可分為累積的、周期的和按復(fù)雜規(guī)律變化的系統(tǒng)誤差。 常值系統(tǒng)誤差是指在計(jì)量過(guò)程中絕對(duì)值和正負(fù)號(hào)始終不變的誤差。比如：某量塊的標(biāo)稱尺寸為10mm,實(shí)際尺寸為10.001mm,誤差為-0.001mm,若按標(biāo)稱尺寸使用,則始終存在-0.00

20、1mm的系統(tǒng)誤差。,累積系統(tǒng)誤差是指在計(jì)量過(guò)程中按一定速率逐漸增大或減小的誤差。 例如,由于蓄電池或電池組（在正常工作區(qū)間）的電壓緩慢而均勻的變化所產(chǎn)生的線性系統(tǒng)誤差。再比如刻度值為1mm的標(biāo)準(zhǔn)刻度尺,由于存在刻劃誤差l,每一刻度間實(shí)際距離為 (1+l) mm，用該尺測(cè)量一長(zhǎng)度為l的物體,讀數(shù)為n,則l的實(shí)際值為 l=n(1+l)=(n+nl) mm (3.1.5) 若認(rèn)為該物體長(zhǎng)度為nmm,就產(chǎn)生了隨測(cè)量值大小而變化的線性系統(tǒng)誤差-nl mm。,周期性系統(tǒng)誤差是指在計(jì)量過(guò)程中周期性變化的誤差。例如,由于刻度盤(pán)偏心所引起的誤差。指針式儀表中,由于安裝問(wèn)題,使指針動(dòng)中心偏離儀表刻度盤(pán)的中心,就會(huì)

21、出現(xiàn)周期性變化的指示誤差。如圖3.1.1所示,指針的轉(zhuǎn)動(dòng)中心O沿水平方向偏移刻度盤(pán)中心O的距離為l,則指針與水平線的夾角為90,指示超前值為l所表示的刻度值,當(dāng)為0及180時(shí),指示,誤差為0,當(dāng)為270時(shí),指示滯后值為l所代表的刻度值。對(duì)于任意,圖上兩平行線間的弧線的長(zhǎng)度就對(duì)應(yīng)了指針的指示誤差。周期因?yàn)閘很小,可以用兩平行線間的直線距離代替弧長(zhǎng),因此可以得到,指針的指示誤差l與夾角呈正弦規(guī)律變化,即 l=l sin (3.1.6 ) 所以指針的指示值沿刻度標(biāo)尺產(chǎn)生正弦函數(shù)關(guān)系的周期性變化系統(tǒng)誤差。,按復(fù)雜規(guī)律變化的系統(tǒng)誤差是指在計(jì)量過(guò)程中按復(fù)雜規(guī)律變化的誤差,一般可用曲線或公式表示。例如,晶體

22、振蕩器頻率的長(zhǎng)期漂移近似服從對(duì)數(shù)規(guī)律,若不考慮這種漂移,就會(huì)帶來(lái)按對(duì)數(shù)規(guī)律變化的系統(tǒng)誤差。,3）系統(tǒng)誤差的產(chǎn)生 (1)裝置誤差：計(jì)量裝置本身的結(jié)構(gòu)、工藝、調(diào)整以及磨損、老化或故障等所引起的誤差。 (2)環(huán)境誤差：由于各種環(huán)境因素與要求的標(biāo)準(zhǔn)狀態(tài)不一致及其在空間上的梯度與隨時(shí)間的變化引起的測(cè)量裝置和被測(cè)量本身的變化,機(jī)構(gòu)失靈,相互位置改變等引起的誤差。這些因素和溫度、濕度、氣壓、電磁屏蔽、震動(dòng)（大地微震、沖擊、碰動(dòng)等）、照明、加速度、電磁場(chǎng)、野外工作時(shí)的風(fēng)效應(yīng)、陽(yáng)光照射、透明度、空氣含塵量等都有關(guān)?？茖W(xué)實(shí)驗(yàn)中,靜態(tài)分析和動(dòng)態(tài)使用時(shí)的差異,是值得特別注意的誤差源。,(3)方法或理論誤差：計(jì)量方法或

23、理論不完善引起的誤差。 (4)人員誤差：計(jì)量人員生理差異和技術(shù)不熟練引起的誤差。 4）系統(tǒng)誤差的消除 根據(jù)前面所講的產(chǎn)生系統(tǒng)誤差的種種原因,可以得出一些消除系統(tǒng)誤差的基本方法。 (1) 計(jì)量前消除可消除的誤差源。 這種消除系統(tǒng)誤差的方法是最理想的,也就是在目前的技術(shù)條件下,找出造成系統(tǒng)誤差的原因,并想辦法消除造成系統(tǒng)誤差的因素對(duì)測(cè)量的影響,從而使測(cè)量不會(huì)產(chǎn)生系統(tǒng)誤差。,更概括地講,就是從參與測(cè)量的4個(gè)環(huán)節(jié)進(jìn)行測(cè)量的操作人員、所用測(cè)量設(shè)備、采用的測(cè)量方法和進(jìn)行測(cè)量的條件入手,分別對(duì)它們進(jìn)行仔細(xì)研究,深入分析,從而找出產(chǎn)生系統(tǒng)誤差的原因,并設(shè)法消除這些系統(tǒng)誤差。 (2)計(jì)量過(guò)程中采用適當(dāng)?shù)膶?shí)驗(yàn)方法

24、,如替代法、反向補(bǔ)償法、對(duì)稱法等,將系統(tǒng)誤差消除。 替代法：用與被計(jì)量對(duì)象處于相同條件下的已知量來(lái)替代被計(jì)量量。這種方法就是用測(cè)量?jī)x器對(duì)一未知物理量進(jìn)行測(cè)量時(shí),為了消除系統(tǒng)誤差,在測(cè)量后再用一已知標(biāo)準(zhǔn)量進(jìn)行同樣的測(cè)量,并使儀器的指示保持不變,則已知標(biāo)準(zhǔn)量就是待測(cè)未知物理量。,具體做法是: 先將被計(jì)量量接入測(cè)試裝置,使系統(tǒng)誤差處于某個(gè)工作狀態(tài),然后用已知量替代被計(jì)量量,并使系統(tǒng)的工作狀態(tài)保持不變。 替代法最直觀的例子就是利用精密天平稱重。在電子計(jì)量中也大量采用替代法,例如，用電橋計(jì)量電阻、電感和電容等,以及用直流替代交流的方法高精度地計(jì)量高頻電壓。在替代法的使用中,原有的測(cè)量系統(tǒng)在同一工作狀態(tài)下

25、起到了判斷被測(cè)量和已知量是否等量值的作用,而被測(cè)數(shù)據(jù)的取得或者來(lái)自已知量的自身顯示,或者要依靠其他輔助儀表。,替代法的應(yīng)用之一沃爾德稱重法。 設(shè)待測(cè)重量為x,當(dāng)天平達(dá)到平衡時(shí)所加砝碼重量為Q,天平的兩臂長(zhǎng)度分別為l1和l2。根據(jù)力矩平衡原理,當(dāng)天平達(dá)到平衡時(shí)有 一般用天平稱重時(shí),我們認(rèn)為l1=l2,所以有 x=Q （3.1.8）,（3.1.7）,對(duì)于一般的稱重,這樣做就可以了。 實(shí)際在制造天平時(shí),很難保證天平的兩臂長(zhǎng)度相等,即l1l2,所以對(duì)于精密的稱重測(cè)量,還像般天平稱重那樣,認(rèn)為所加砝碼重即為物重,這樣就會(huì)因天平臂長(zhǎng)不等而造成系統(tǒng)誤差。 為了消除因天平臂長(zhǎng)不等而產(chǎn)生的系統(tǒng)誤差,可用已知標(biāo)準(zhǔn)

26、砝碼P代替x,若天平仍達(dá)到平衡,則,這種消除系統(tǒng)誤差的方法,最早就是應(yīng)用在稱重上,故稱沃爾德稱重法。,替代法的應(yīng)用之二用電橋測(cè)量電阻。 電路如圖3.1.2所示。 電橋的兩測(cè)量端口AB接入被測(cè)電阻Rx時(shí),調(diào)節(jié)可調(diào)電阻R1和R2的值,使電橋平衡。電橋平衡時(shí),檢流計(jì)G指示為零,此時(shí)的等效電路如圖3.1.3所示。由UB=UC,可得,圖 3.1.2 直流電橋法,圖3.1.3 等效電路,R1(Rx+R3)=Rx (R1+R2) R1Rx+R1R3=RxR1+RxR2 R1 R3=RxR2,由式（3.1.11）可以看出,各橋臂電阻的誤差R1、R2、R3對(duì)測(cè)量結(jié)果有影響,其誤差為,（3.1.11）,（3.1.

27、12）,如果采用替代法,則可以避免這種影響。在接入被測(cè)電阻Rx并調(diào)節(jié)平衡后，保持各可調(diào)元件不動(dòng),然后換上標(biāo)準(zhǔn)可調(diào)電阻Rs,并調(diào)節(jié)其大小,使電橋又恢復(fù)平衡,于是可得到Rx=Rs。此時(shí),測(cè)量的精度僅取決于Rs,而與檢流計(jì)G、R1、R2、R3的誤差無(wú)關(guān),只要指示器有足夠高的靈敏度和各電阻在替代過(guò)程中保持穩(wěn)定不變即可。,反向補(bǔ)償法：也稱為異號(hào)法或抵消法。 要求對(duì)被測(cè)量要進(jìn)行兩次適當(dāng)?shù)臏y(cè)量,使兩次測(cè)量結(jié)果所產(chǎn)生的系統(tǒng)誤差大小相等,方向相反,取兩次測(cè)量結(jié)果的平均值作為最終測(cè)量結(jié)果,從而達(dá)到消除系統(tǒng)誤差的目的。 例如,用正反向兩次計(jì)量來(lái)消除熱電轉(zhuǎn)換器的直流正反向差。 不少帶有慣性（如熱慣性）的傳感器的定度測(cè)

28、量就必須用反向補(bǔ)償法來(lái)處理。,反向補(bǔ)償法的應(yīng)用之一消除恒溫箱熱慣性引入的系統(tǒng)誤差。 在對(duì)某些控溫裝置的標(biāo)定中,為了消除熱慣性引入的誤差,常常要使標(biāo)準(zhǔn)恒溫箱的溫度升高或降低,并在兩種不同溫度變化方向的同一溫度下讀取溫度計(jì)的讀數(shù),以它們的中間值作為讀數(shù)刻度的修正,如圖3.1.4所示, 以T=(T1+T2)/2作為恒溫箱在t1溫度下的溫度值。 ,圖3.1.4 讀數(shù)刻度修正示意圖,反向補(bǔ)償法的應(yīng)用之二測(cè)電阻時(shí),消除接觸電動(dòng)勢(shì)帶來(lái)的系統(tǒng)誤差。 在電學(xué)測(cè)量中,為了測(cè)量一未知電阻值,可將待測(cè)電阻Rx與一已知阻值的標(biāo)準(zhǔn)電阻R0串聯(lián),用電壓表測(cè)出兩電阻上通電后的電壓降。根據(jù)所得電壓比及標(biāo)準(zhǔn)電阻值,由歐姆定律可得

29、待測(cè)電阻為 （3.1.13） 在測(cè)量回路中,由于導(dǎo)線、接頭等材料的差異會(huì)產(chǎn)生接觸電動(dòng)勢(shì),為了消除它們對(duì)測(cè)量造成的影響,可以改變電流方向進(jìn)行兩次測(cè)量。設(shè)第一次正向電流測(cè)得的電壓降為Ux,1、U0,1,第二次反向電流測(cè)得的電壓降為Ux,2、U0,2。取兩次測(cè)量的平均值,兩個(gè)電阻上的電壓降為,則待測(cè)電阻為,（3.1.16）,這樣就消除了因接觸電動(dòng)勢(shì)的存在對(duì)測(cè)量所造成的影響。,對(duì)稱法：當(dāng)被計(jì)量量的系統(tǒng)誤差為某量（如時(shí)間）的線性函數(shù)時(shí),在距離相等的間隔依次進(jìn)行數(shù)次計(jì)量（最少三次）,則其中任何一對(duì)對(duì)稱觀測(cè)值的累積誤差的平均值都等于兩次觀測(cè)的間隔中點(diǎn)相對(duì)應(yīng)的累積誤差,利用這一對(duì)稱性便可將線性累積系統(tǒng)誤差消除

30、,如圖3.1.5所示,則,（3.1.17）,圖3.1.5 對(duì)稱法,圖3.1.6 電位差計(jì),對(duì)稱法的應(yīng)用用電位差計(jì)測(cè)電壓。 利用對(duì)稱法來(lái)消除由于電池組的電壓下降而在直流電位差計(jì)中引起的累積系統(tǒng)誤差。實(shí)踐證明,在一定的時(shí)間內(nèi),電池組的電壓下降所產(chǎn)生的誤差是與時(shí)間成正比的線性系統(tǒng)誤差，因此,可以利用對(duì)稱法來(lái)消除這個(gè)誤差。原理線路如圖3.1.6所示。,首先在Rn上平衡標(biāo)準(zhǔn)電壓En。由于電池組的電壓下降,使工作電流I減小,因此有 然后在Rx上平衡被計(jì)量電壓Ex,有,（3.1.18）,（3.1.19）,再次平衡En,有 如果使每次計(jì)量的時(shí)間間隔相等,則 由式（3.1.19）得,(3.1.20),（3.1.

31、22）,（3.1.21）,將式（3.1.22）分別代入式（3.1.18）和式（3.1.20）,得 式（3.1.23）與式（3.1.24）相加,得 再將式（3.1.21）代入式（3.1.25）,得 由此可得出不含累積系統(tǒng)誤差的被測(cè)電壓Ex的值：,（3.1.25）,（3.1.26）,（3.1.27）, 交換法：也稱為對(duì)置法, 在待測(cè)量與標(biāo)準(zhǔn)量的位置互換前后各進(jìn)行一次測(cè)量,就可以實(shí)現(xiàn)消除恒定系統(tǒng)誤差的目的。 交換法的應(yīng)用高斯稱量法。 交換法應(yīng)用最典型的例子是用于消除天平不等臂問(wèn)題引起的恒定系統(tǒng)誤差。 在兩臂為l1和l2的天平上稱重,先將待測(cè)量x放在天平左側(cè),標(biāo)準(zhǔn)砝碼Q放在天平右側(cè),達(dá)到平衡,則有 然

32、后交換x和Q的位置,由于ll2,將Q換為Q后才能與x平衡,這時(shí)有,（3.1.28）,（3.1.29）,兩式相比得 這樣就消除了由于天平不等臂而造成的系統(tǒng)誤差。 這種方法最早在天平稱重中應(yīng)用,因此稱高斯稱量法。根據(jù)式（3.1.31）可以得到不帶有因天平臂長(zhǎng)不等而產(chǎn)生的恒定系統(tǒng)誤差的測(cè)量結(jié)果。 用C表示Q與Q之差,即 Q=Q+C （3.1.32）,代入式（3.1.31）,得 根據(jù)近似公式 因C值很小,高次項(xiàng)可忽略,將C/Q看成是a,則,（3.1.33）,（3.1.34）,（3.1.35）,即待測(cè)值可近似地用兩次測(cè)量值的平均值來(lái)表示。將式（3.1.28）與式（3.1.29）相乘,得,(3.1.36)

33、,式（3.1.37）就是通過(guò)交換法測(cè)量,計(jì)算天平兩臂長(zhǎng)度比的計(jì)算公式,可作為單次測(cè)量對(duì)臂長(zhǎng)不等進(jìn)行修正的修正值計(jì)算公式。, 抵消法： 也可以將抵消法認(rèn)為是一種替代法。這種方法是用待測(cè)量去抵消一部分已知量,以達(dá)到消除系統(tǒng)誤差,提高測(cè)量精度的目的。 抵消法的應(yīng)用測(cè)量高頻小電容。 利用諧振原理,用抵消法測(cè)量高頻小電容,原理圖如圖3.1.7所示。 設(shè)信號(hào)源工作頻率為0,若電感與電容構(gòu)成的振蕩器的諧振頻率也為0,就會(huì)使整個(gè)回路產(chǎn)生諧振,電壓表的指示為最大。,在具體實(shí)現(xiàn)這個(gè)測(cè)量回路時(shí),因標(biāo)準(zhǔn)可變電感難于制造,因此用標(biāo)準(zhǔn)線圈產(chǎn)生固定電感Lb,用標(biāo)準(zhǔn)可變電容Cb進(jìn)行調(diào)諧。將被測(cè)電容與Cb并聯(lián),則回路諧振時(shí)有

34、由此可得到,（3.1.38）,（3.1.39）,在高頻情況下,電感線圈自身會(huì)產(chǎn)生分布電容0,相當(dāng)于和Cb并聯(lián)的電容。則式 (3.1.39) 應(yīng)該改寫(xiě)為 即求得的待測(cè)電容,實(shí)際上是Cx與C0的和。因此若不考慮C0的存在,就會(huì)在測(cè)量電容Cx時(shí)帶來(lái)系統(tǒng)誤差。為了消除C0對(duì)測(cè)量造成的影響,就可以采用抵消法。在測(cè)量之前（先不接Cx）,先用標(biāo)準(zhǔn)可變電容Cb調(diào)諧,使回路產(chǎn)生諧振,電壓表的指示為最大,這時(shí)回路中的諧振電容值為Cb1+C0。然后把待測(cè)電容Cx與Cb并聯(lián),回路失諧,電壓表的指示減小。,（3.1.40）,再用Cb進(jìn)行調(diào)諧,減小Cb值,使回路重新諧振,電壓表的指示又達(dá)到最大,此時(shí),標(biāo)準(zhǔn)可變電容Cb的讀

35、數(shù)為Cb2,回路中的諧振電感量為Cb2+C0+Cx。由于兩次諧振都是與固定電感Lb耦合產(chǎn)生的,所以回路中的電容量相等,即 Cb1+C0=Cb2+C0+Cx （3.1.41） 從而 Cx=Cb1-Cb2 （3.1.42） 因此,待測(cè)電容Cx在頻率為0條件下的電容量,可由兩次諧振時(shí)標(biāo)準(zhǔn)可變電容Cb的讀數(shù)之差來(lái)求得。此時(shí),回路中的寄生電容C0在用抵消法測(cè)量時(shí)不會(huì)產(chǎn)生影響,即消除了因C0存在而產(chǎn)生的系統(tǒng)誤差。,半周期法：也稱為半周期觀察法或半周期偶數(shù)觀察法,是消除按周期性規(guī)律變化的系統(tǒng)誤差的方法。具體做法是: 按系統(tǒng)誤差變化的半個(gè)周期取值,每個(gè)周期內(nèi)能取到兩個(gè)測(cè)得值,取這兩個(gè)測(cè)得值的平均值作為測(cè)量結(jié)果

36、。對(duì)比較規(guī)則的周期性變化的系統(tǒng)誤差,可以表示為 式中: a為系統(tǒng)誤差的幅值,也是系統(tǒng)誤差的最大值；T為系統(tǒng)誤差的變化周期；t為決定周期性誤差的量,比如時(shí)間、儀表可動(dòng)部分的轉(zhuǎn)角等。,（3.1.43）,當(dāng)t=t0時(shí),系統(tǒng)誤差值為 若創(chuàng)造條件經(jīng)過(guò)=T/2,使誤差的相位相差半個(gè)周期,即t=t0+=t0+T/2時(shí)，誤差值為,（3.1.44）,（3.1.45）,若取兩次測(cè)量的平均值作為測(cè)量結(jié)果,則系統(tǒng)誤差也應(yīng)取平均值,即,（3.1.46）,所以,用平均值作為測(cè)量結(jié)果,即可消除周期性變化的系統(tǒng)誤差對(duì)測(cè)量結(jié)果帶來(lái)的影響。,半周期法的應(yīng)用秒表指針偏心問(wèn)題。 若秒表指針轉(zhuǎn)動(dòng)中心與度盤(pán)刻度中心不重合,如圖3.1.8

37、所示,轉(zhuǎn)動(dòng)中心沿水平方向向右偏移的距離為a,則系統(tǒng)誤差 t=asin （3.1.47）,圖3.1.8,為了創(chuàng)造誤差反號(hào)的條件,可把刻度值旋轉(zhuǎn)180標(biāo)注在原刻度的外測(cè),取指針的實(shí)際指示值（如圖3.1.8中為0a）,再取反向延長(zhǎng)線對(duì)旋轉(zhuǎn)刻度（即外測(cè)刻度）的指示（如圖3.1.8中為0a）。把兩個(gè)值的算術(shù)平均值（0）作為測(cè)量結(jié)果,則消除了指針旋轉(zhuǎn)中心與刻度中心不重合所造成的周期性系統(tǒng)誤差。 (3) 用修正的方法消除系統(tǒng)誤差。 通過(guò)適當(dāng)?shù)挠?jì)算,根據(jù)事先針對(duì)系統(tǒng)誤差產(chǎn)生 根源的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù),用計(jì)算或軟件的方法對(duì)計(jì)量結(jié)果引入可能的修正量,來(lái)改善測(cè)量精度。在通過(guò)實(shí)驗(yàn)或其他方法已經(jīng)知道系統(tǒng)誤差的規(guī)律特征的情況下,將

38、直接計(jì)量結(jié)果進(jìn)行計(jì)算或修正處理,從而相對(duì)地消除系統(tǒng)誤差。,典型的例子是: 當(dāng)把一個(gè)未經(jīng)溫度補(bǔ)償?shù)木w振蕩器用作頻率計(jì)的頻標(biāo)時(shí),如果該振蕩器的頻率隨溫度變化的誤差已知,就可以在測(cè)量結(jié)果的計(jì)算公式中根據(jù)溫度傳感器獲得的溫度值,對(duì)計(jì)量結(jié)果進(jìn)行修正來(lái)保證測(cè)量精度。這個(gè)工作過(guò)程經(jīng)軟件處理后,在相對(duì)簡(jiǎn)單的硬件結(jié)構(gòu)下能夠保證較高的精度。由于計(jì)算機(jī)技術(shù)的發(fā)展,這種方法獲得了廣泛的應(yīng)用。 這方面的成功例子是：頻率計(jì)硬件結(jié)構(gòu)的簡(jiǎn)化和其精度的提高。在通常的多周期同步測(cè)量技術(shù)設(shè)計(jì)的頻率計(jì)中,對(duì)被測(cè)頻率的計(jì)算公式是,(3.1.48),其中,f0是所用頻標(biāo)的頻率值。在通常的頻率計(jì)中,用高穩(wěn)定度晶體振蕩器作為頻標(biāo),它的值是

39、固定的。Nx, N0分別是用計(jì)數(shù)器在與被測(cè)信號(hào)同步的閘門(mén)時(shí)間內(nèi)測(cè)得的對(duì)被測(cè)信號(hào)和標(biāo)頻信號(hào)的計(jì)數(shù)值。 當(dāng)用普通的晶體振蕩器取代高穩(wěn)定度晶體振蕩器作為頻率計(jì)頻標(biāo)時(shí),會(huì)存在明顯的系統(tǒng)誤差,即頻率隨溫度變化。通過(guò)實(shí)驗(yàn)獲得該振蕩器的頻率對(duì)溫度的修正數(shù)據(jù)后,可以實(shí)時(shí)地根據(jù)溫度變化用軟件的方法修改公式中f0的數(shù)值,來(lái)消除這個(gè)系統(tǒng)誤差,同時(shí)保證了高的測(cè)量精度。 (4)采用不同人員或其他處理手段重復(fù)計(jì)量來(lái)消除人員誤差,或者通過(guò)自動(dòng)測(cè)試和智能化處理消除人員誤差。,2. 隨機(jī)誤差 隨機(jī)誤差是在測(cè)量過(guò)程中,因存在許多隨機(jī)因素對(duì)測(cè)量結(jié)果造成干擾,而使測(cè)得值帶有大小和方向都難于預(yù)測(cè)的測(cè)量誤差,這種隨機(jī)誤差是誤差理論研究的

40、主要對(duì)象。 對(duì)測(cè)量數(shù)據(jù)中的系統(tǒng)誤差進(jìn)行處理后,仍會(huì)殘留微小的系統(tǒng)誤差,這些微小的系統(tǒng)誤差已具有隨機(jī)誤差的性質(zhì),因而也可把這種殘存的系統(tǒng)誤差當(dāng)作隨機(jī)誤差來(lái)考慮。,研究隨機(jī)誤差不僅是為了能對(duì)測(cè)量結(jié)果中的隨機(jī)誤差作出科學(xué)的評(píng)定,而且是為了讓它們能夠指導(dǎo)我們合理地安排測(cè)量方案,設(shè)法減小隨機(jī)誤差對(duì)測(cè)量結(jié)果的影響,充分發(fā)揮現(xiàn)有儀表的測(cè)量精度，從而對(duì)測(cè)量所得數(shù)據(jù)進(jìn)行正確處理，使進(jìn)行的測(cè)量達(dá)到預(yù)期的目的。 1）隨機(jī)誤差的定義 在相同條件下,多次重復(fù)計(jì)量同一個(gè)量時(shí),以不可預(yù)定的方式變化的計(jì)量誤差的分量稱為隨機(jī)誤差,也稱為偶然誤差。隨機(jī)誤差決定了計(jì)量結(jié)果的“精密”程度。,隨機(jī)誤差是由尚未被認(rèn)識(shí)和控制的規(guī)律或因素所

41、導(dǎo)致的。也就是說(shuō),隨機(jī)誤差的出現(xiàn)具有隨機(jī)的性質(zhì),因此不能修正,也不能完全消除,只能根據(jù)其本身存在的規(guī)律,用增加計(jì)量次數(shù)的方法,加以減小和限制。要想得出正確的評(píng)定,必須經(jīng)過(guò)多次重復(fù)測(cè)量得到測(cè)量列,發(fā)現(xiàn)它所遵循的統(tǒng)計(jì)規(guī)律,借助概率論和數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)的原理來(lái)進(jìn)行研究。 2）研究隨機(jī)誤差的理論基礎(chǔ) 隨機(jī)誤差雖然不具有確定的規(guī)律性,但隨機(jī)誤差卻遵從統(tǒng)計(jì)規(guī)律,因此概率論和數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)是研究隨機(jī)誤差的理論基礎(chǔ)。,3）誤差正態(tài)分布定律 由于測(cè)量結(jié)果具有隨機(jī)性,使得測(cè)量誤差成為一個(gè)隨機(jī)變量。根據(jù)概率論中心極限定理，可以認(rèn)為大多數(shù)隨機(jī)誤差服從正態(tài)分布,而且已被大量實(shí)踐所證明。整個(gè)經(jīng)典誤差理論是以正態(tài)分布作為基礎(chǔ)理論發(fā)展

42、起來(lái)的。正態(tài)分布也是研究其他非正態(tài)分布的基礎(chǔ)。 數(shù)學(xué)家高斯于1795年首先提出了誤差正態(tài)分布定律。正態(tài)分布的規(guī)律早在1733年已由穆阿夫爾發(fā)現(xiàn),后來(lái)拉普拉斯和高斯又進(jìn)行了詳細(xì)的研究。高斯又于1809年推導(dǎo)出描述隨機(jī)誤差統(tǒng)計(jì)規(guī)律的解析方程式,即概率密度函數(shù),也稱為高斯分布定律。,設(shè)對(duì)某量X進(jìn)行n次等精度獨(dú)立測(cè)量,觀測(cè)值為xi,i=1，2，n,當(dāng)n時(shí),測(cè)得值將服從正態(tài)分布,其概率密度函數(shù)為 式中,為測(cè)量列的平均值,為標(biāo)準(zhǔn)差。 測(cè)量列服從正態(tài)分布規(guī)律的前提是測(cè)量次數(shù)n為無(wú)窮大,也就是要把隨機(jī)誤差看成是連續(xù)型隨機(jī)變量,而且還要求系統(tǒng)誤差已經(jīng)完全排除,這些條件在實(shí)際測(cè)量中是不可能實(shí)現(xiàn)的,因此,就決定了正

43、態(tài)分布規(guī)律在應(yīng)用時(shí)有一定的局限性和近似性。,（3.1.49）,對(duì)于這種理論和實(shí)驗(yàn)難于統(tǒng)一論證的矛盾,著名物理學(xué)家李普曼說(shuō)了這樣一句話：“大家都相信誤差定律,因?yàn)閷?shí)驗(yàn)家想,這是數(shù)學(xué)定律；而數(shù)學(xué)家則認(rèn)為,這是通過(guò)實(shí)驗(yàn)確定出來(lái)的定律?！?4）隨機(jī)誤差的基本性質(zhì) 大多數(shù)的隨機(jī)誤差的觀測(cè)結(jié)果是服從正態(tài)分布的,服從正態(tài)分布的隨機(jī)誤差具有下列基本性質(zhì): (1)有界性：在一定的條件下,絕對(duì)值很大的誤差出現(xiàn)的概率為零,隨機(jī)誤差的絕對(duì)值不會(huì)超過(guò)某一界限。 (2)對(duì)稱性：當(dāng)計(jì)量次數(shù)足夠多時(shí),絕對(duì)值相等的正、負(fù)誤差出現(xiàn)的概率相同,即 P(+)=P(-) （3.1.50）,(3)抵償性：當(dāng)計(jì)量次數(shù)無(wú)限增加時(shí),誤差的算術(shù)

44、平均值的極限為零,即 （3.1.51） (4)單峰性：在一系列等精度計(jì)量中,絕對(duì)值小的誤差出現(xiàn)的概率大于絕對(duì)值大的誤差出現(xiàn)的概率,也就是說(shuō),絕對(duì)值小的誤差比絕對(duì)值大的誤差出現(xiàn)的次數(shù)多。 說(shuō)明:上述的隨機(jī)誤差的性質(zhì)是大量實(shí)驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)結(jié)果, 其中的單峰性不一定對(duì)所有的隨機(jī)誤差都存在。隨機(jī)誤差的主要性質(zhì)是抵償性。,5）隨機(jī)誤差的表示方式 隨機(jī)誤差的表示方式有以下幾種： (1) 剩余誤差（）： 把有限n次測(cè)量所得測(cè)得值的算術(shù)平均值作真值求得的絕對(duì)誤差,稱剩余誤差,簡(jiǎn)稱殘差。 （3.1.52） 式中：i為第i個(gè)測(cè)得值的殘差；xi為第i次測(cè)量得到的測(cè)得值,i=1，2，,n； 為n次測(cè)得值的算術(shù)平均值。因?yàn)槭?/p>

45、余誤差i可以用測(cè)得值算出,所以在誤差計(jì)算中經(jīng)常使用。,(2) 最大絕對(duì)誤差（U）： 因?yàn)橥ㄟ^(guò)測(cè)量不能得到真實(shí)值,所以嚴(yán)格地講,也就無(wú)法求得絕對(duì)誤差（真差）。若能找到一個(gè)界限值U,并能做出判斷： U|x-x0| （3.1.53） 即 U=sup|x| （3.1.54） 則稱U為最大絕對(duì)誤差(其中, sup表示測(cè)得值x的絕對(duì)誤差x的絕對(duì)值不超過(guò)U)。因?yàn)樵趯?shí)用中很少用絕對(duì)誤差x,所以習(xí)慣上都把最大絕對(duì)誤差U簡(jiǎn)稱為最大誤差。,界限值U的確定不能憑空想或任意決定,而要有一定的依據(jù)。例如,在用數(shù)學(xué)常數(shù)進(jìn)行計(jì)算時(shí),若取3.14進(jìn)行計(jì)算,則由值引起的絕對(duì)誤差為 x=3.14-取絕對(duì)值后有 |x|=|3.14

46、-|=0.00159 0.0016=U 因此最大絕對(duì)誤差為U=0.0016。 (3) 標(biāo)準(zhǔn)偏差()：對(duì)一固定量進(jìn)行n次測(cè)量,各次測(cè)量絕對(duì)誤差平方的算術(shù)平均值,再開(kāi)方所得的數(shù)值,即為標(biāo)準(zhǔn)偏差,也稱為標(biāo)準(zhǔn)差。根據(jù)其數(shù)學(xué)運(yùn)算關(guān)系也稱均方根差。,標(biāo)準(zhǔn)偏差是每個(gè)計(jì)量值的函數(shù),對(duì)一組計(jì)量值中的大、小誤差反映都比較靈敏,是表示計(jì)量精度的比較好的方式。 標(biāo)準(zhǔn)差所表征的是一個(gè)被計(jì)量量的n次計(jì)量所得結(jié)果的分散性,因此稱為計(jì)量列中單次計(jì)量的標(biāo)準(zhǔn)差。其幾何意義是正態(tài)分布曲線上的拐點(diǎn)的橫坐標(biāo)。通過(guò)查正態(tài)積分表可知,測(cè)得值的誤差不超過(guò)的概率為68。 式(3.1.55)給出的只是標(biāo)準(zhǔn)偏差的理論計(jì)算公式,在實(shí)際工作中,如何根

47、據(jù)理論上的定義來(lái)求得標(biāo)準(zhǔn)偏差,在后面將作較為詳細(xì)的介紹。,(4) 算術(shù)平均誤差（）： 也稱為平均誤差。在對(duì)一固定量進(jìn)行精密測(cè)量時(shí),需要經(jīng)過(guò)多次測(cè)量才能滿足要求,為了表示這種多次測(cè)量的測(cè)量誤差,可以用算術(shù)平均誤差來(lái)表示。 算術(shù)平均誤差是多次測(cè)量全部隨機(jī)誤差絕對(duì)值的算術(shù)平均值, 可以表示為,（3.1.56）,其中,i=xi-x0。,從理論上可以證明 , 因?yàn)閚,誤差間具有相互抵償性,所以用誤差的絕對(duì)值求平均,才能得到表征誤差的數(shù)值。 標(biāo)準(zhǔn)差與算術(shù)平均誤差的關(guān)系推導(dǎo)如下： 根據(jù)概率論的知識(shí),實(shí)際上就是|1|, |2|, , |n| 在n時(shí)的數(shù)學(xué)期望。對(duì)于連續(xù)的隨機(jī)變量,則有 因?yàn)檎龖B(tài)分布曲線是左右兩

48、邊對(duì)稱的,而且對(duì)于右半部分,隨機(jī)誤差的絕對(duì)值與隨機(jī)誤差本身的數(shù)值相等,即 |= 0 （3.1.58） ,（3.1.57）,因此,上述積分只需對(duì)右半部分進(jìn)行計(jì)算,而將結(jié)果乘以2,同時(shí)以代替|,得,（3.1.59）,所以 =0.7979 （3.1.60） 算術(shù)平均誤差的幾何意義是: 正態(tài)分布曲線左半或右半面積重心的橫坐標(biāo)。 通過(guò)查正態(tài)分布積分表可知,測(cè)得值的誤差不超出的置信概率為57.62。 算術(shù)平均誤差這種誤差形式的缺點(diǎn)是無(wú)法體現(xiàn)各次計(jì)量值之間的離散情況。因?yàn)椴还茈x散大小,都可能有相同的平均誤差。,(5) 或然誤差（）： 又稱概差,是根據(jù)誤差出現(xiàn)的概率來(lái)定義的。在一組測(cè)量中,若不計(jì)誤差的正負(fù)號(hào),

49、則誤差大于的測(cè)得值與誤差小于的測(cè)得值將各占一半,便稱為或然誤差。如果考慮測(cè)量誤差的正負(fù)號(hào),或然誤差同樣可以把帶有正誤差的測(cè)得值及帶有負(fù)誤差的測(cè)得值,按測(cè)量誤差大小被+和-等分,即,根據(jù)定義,可以得出或然誤差的求解方法： 將一組n個(gè)計(jì)量值的殘差分別取絕對(duì)值按大小依次排列,如果n為奇數(shù),則取中間的計(jì)量值,如果n為偶數(shù),則取最靠近中間的兩個(gè)數(shù)的平均值作為或然誤差,因此或然誤差又稱為中值誤差。 標(biāo)準(zhǔn)差與或然誤差的關(guān)系推導(dǎo)如下： 根據(jù)或然誤差的定義,有,（3.1.63）,由于正態(tài)分布具有對(duì)稱性,因此,（3.1.64）,則,（3.1.65）,查正態(tài)分布積分表,可得,（3.1.66）,根據(jù)或然誤差的定義,或

50、然誤差的幾何意義是在-+范圍內(nèi),正態(tài)分布曲線與橫坐標(biāo)所組成的面積為總面積的一半。因此,與或然誤差相應(yīng)的置信概率為50。 在自然科學(xué)的不少領(lǐng)域的科學(xué)研究中,用或然誤差來(lái)表示隨機(jī)誤差也比較普遍,這主要是因?yàn)樗闹眯鸥怕实臄?shù)值比較圓整、直觀。,（3.1.67）,(6) 極限誤差（lim）: 一般在精密測(cè)量中,對(duì)于服從正態(tài)分布的隨機(jī)誤差常用三倍標(biāo)準(zhǔn)誤差作為極限誤差,記為 lim=3 （3.1.68） 從理論上講,當(dāng)測(cè)量次數(shù)無(wú)窮多時(shí),若測(cè)得值服從正態(tài)分布,則測(cè)得值的誤差小于極限誤差的概率為99.73,即測(cè)量誤差只有3/1000能超過(guò)極限誤差。 嚴(yán)格地講,最大絕對(duì)誤差U應(yīng)當(dāng)與極限誤差lim有所區(qū)別,因?yàn)樽?/p>

51、大絕對(duì)誤差的定義符號(hào)sup是絕對(duì)不會(huì)超過(guò)的意思,而極限誤差lim的3定義說(shuō)明測(cè)量誤差還有可能超過(guò)lim,只是概率很小。,(7) 極差（R）: 一系列計(jì)量所得值中的最大值與最小值之差的絕對(duì)值稱為極差。記作 R=|xmax-xmin|（3.1.69） 顯然,極差只用到了兩個(gè)數(shù)據(jù),大多數(shù)的中間信息沒(méi)有利用,而且沒(méi)有反映計(jì)量次數(shù)的影響,體現(xiàn)不了誤差的隨機(jī)性及其概率。 評(píng)價(jià)一個(gè)測(cè)量列的精度高低,可以用極限誤差lim、標(biāo)準(zhǔn)偏差、算術(shù)平均誤差和或然誤差等參數(shù)作為置信限,因此稱這些參數(shù)為測(cè)量列精度參數(shù)。對(duì)同一測(cè)量列若按大小數(shù)值（取相同計(jì)量單位）進(jìn)行排列,則有,lim （3.1.70） 相應(yīng)的置信概率為 99.

52、73%68%57.62%50%（3.1.71） 對(duì)于不同測(cè)量列,比較其精度時(shí),應(yīng)取相同置信概率所對(duì)應(yīng)的精度參數(shù)（例如取標(biāo)準(zhǔn)偏差）進(jìn)行比較,數(shù)值大的精度低,數(shù)值小的精度高。 6） 標(biāo)準(zhǔn)偏差的計(jì)算 下面介紹幾種根據(jù)測(cè)量數(shù)據(jù)計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)偏差的方法。用用 表示標(biāo)準(zhǔn)偏差的估計(jì)值。,(1) 計(jì)算 的極差法: （3.1.72） 其中,d為轉(zhuǎn)換因子,它隨測(cè)量次數(shù)不同而異。這種估計(jì)方法因?yàn)橛鞋F(xiàn)成數(shù)據(jù)表(見(jiàn)表3.1.1) 可查,因此十分簡(jiǎn)單。,表3.1.1 極差系數(shù)表,極差法主要適用于測(cè)量次數(shù)較少的情況,因?yàn)樗焕昧艘唤M數(shù)據(jù)中的兩個(gè)數(shù)據(jù),估計(jì)的效率隨測(cè)量次數(shù)的增加而減少。所以,當(dāng)n10時(shí),為了提高用極差估計(jì)標(biāo)準(zhǔn)偏差

53、的精度，應(yīng)該采用分組處理方法。將觀測(cè)數(shù)據(jù)分成幾個(gè)數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)相等的組（如將n個(gè)數(shù)據(jù)分成k組,每組有m個(gè)數(shù)據(jù)(n=km)）,求出各組極差Ri,然后用平均極差 來(lái)估計(jì)標(biāo)準(zhǔn)偏差。 的估計(jì)公式為,（3.1.73）,(2) 標(biāo)準(zhǔn)偏差的極大似然估計(jì)。 已知的極大似然估計(jì)為 根據(jù)極大似然法的性質(zhì) ,標(biāo)準(zhǔn)偏差的極大似然估計(jì)為,（3.1.74）,（3.1.75）,標(biāo)準(zhǔn)偏差的極大似然估計(jì)是有偏估計(jì)。 (3) 用貝塞爾公式計(jì)算。 根據(jù)概率論,已知樣本方差為 若用樣本的標(biāo)準(zhǔn)偏差S作為標(biāo)準(zhǔn)偏差的估計(jì),則有,（3.1.76）,（3.1.77）,這就是著名的且非常具有實(shí)用價(jià)值的貝塞爾（Bessel）公式,計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)偏差時(shí)常用的公

54、式。 盡管樣本方差 是標(biāo)準(zhǔn)偏差平方2的無(wú)偏估計(jì),即E( )=2,但是樣本的標(biāo)準(zhǔn)偏差S不是標(biāo)準(zhǔn)偏差的無(wú)偏估計(jì),因?yàn)镋(S)。 (4) 標(biāo)準(zhǔn)偏差的無(wú)偏估計(jì)。 標(biāo)準(zhǔn)偏差的無(wú)偏估計(jì)是,（3.1.78）,令,則,（3.1.79）,根據(jù)貝塞爾公式求得的 ,乘以修正系數(shù)k,即可對(duì)其有偏性進(jìn)行修正。 7） 算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)差 和標(biāo)準(zhǔn)差的標(biāo)準(zhǔn)差。 (1) 算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)差。 在多次測(cè)量的測(cè)量列中,是以算術(shù)平均值作為測(cè)量結(jié)果的,因此必須進(jìn)一步研究算術(shù)平均值精度的評(píng)定標(biāo)準(zhǔn)。,如果在相同條件下對(duì)同一量值作多組重復(fù)的等精度測(cè)量,則每組測(cè)量列都有一個(gè)算術(shù)平均值。由于隨機(jī)誤差的存在,各個(gè)測(cè)量列的算術(shù)平均值也不相同,它們圍

55、繞著被測(cè)量的真值有一定的分散性。這種分散性說(shuō)明了算術(shù)平均值的不可靠性,而算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)差則是表征同一被測(cè)量的各個(gè)獨(dú)立測(cè)量列算術(shù)平均值分散性的參數(shù),可以作為算術(shù)平均值精度的評(píng)定標(biāo)準(zhǔn)。 已知算術(shù)平均值 為 ,（3.1.80）,測(cè)量列的各個(gè)測(cè)得值是服從相同正態(tài)分布的隨機(jī)變量,因此隨機(jī)變量 的分布就是n個(gè)正態(tài)分布的合成。根據(jù)概率論原理可知,正態(tài)分布和的分布仍為正態(tài)分布,且其方差為各正態(tài)分布的方差和。 對(duì)式（3.1.80）取方差,有 且 D(x1)=D(x2)=D(xn)=2 因此,（3.1.81）,即 根據(jù)以上分析,可以得出兩點(diǎn)結(jié)論： 在n次測(cè)量的等精度測(cè)量列中,算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)差為單次測(cè)量標(biāo)準(zhǔn)差的

56、 倍。測(cè)量次數(shù)越大,算術(shù)平均值越接近被測(cè)量的真值,測(cè)量精度也越高。 n次重復(fù)測(cè)量的算術(shù)平均值 服從以真值為中心, 以2/n為方差的正態(tài)分布,因此算術(shù)平均值 的分布范圍是單次測(cè)量測(cè)得值xi的分布范圍的 ,即其測(cè)量精度提高了 倍（如圖3.1.9所示）。,（3.1.83）,計(jì)量平均值的標(biāo)準(zhǔn)差 與計(jì)量次數(shù)n之間的關(guān)系曲線如圖3.1.10所示。由圖可見(jiàn),平均值標(biāo)準(zhǔn)差。 隨計(jì)量次數(shù)n的增加而減小,并且開(kāi)始較快,逐漸變慢,當(dāng)n等于5時(shí),曲線變化已比較緩慢,當(dāng)n大于10的時(shí)候,變化得更慢。所以一般計(jì)量中,計(jì)量次數(shù)n等于10或12就足夠了。同時(shí)也說(shuō)明, 要提高測(cè)量結(jié)果 的精密度,不能單靠無(wú)限地增加計(jì)量次數(shù),而應(yīng)

57、在增加計(jì)量次數(shù)的同時(shí),減小標(biāo)準(zhǔn)偏差,也就是說(shuō)要改善計(jì)量方法,采用精度較高的儀器。,圖 3.1.9 和x的分布曲線,圖 3.1.10 與n的關(guān)系曲線,(2) 標(biāo)準(zhǔn)差的標(biāo)準(zhǔn)差。 當(dāng)測(cè)量次數(shù)n有限,并用貝賽爾公式對(duì)標(biāo)準(zhǔn)偏差進(jìn)行估計(jì)時(shí),其估計(jì)量 本身也是一個(gè)隨機(jī)變量。因此,對(duì)于估計(jì)量 同樣也存在一個(gè)估計(jì)的精度。我們同樣可以用估計(jì)量 的標(biāo)準(zhǔn)偏差來(lái)表征估計(jì)量 的精密度, 即 或者,（3.1.84）,（3.1.85）,當(dāng)n=8時(shí),當(dāng)n=100時(shí),由上述計(jì)算可以得出兩個(gè)結(jié)論： 當(dāng)n較大時(shí),所求出的標(biāo)準(zhǔn)差比n較小時(shí)求出的更可靠。這是因?yàn)閚大,小,說(shuō)明估計(jì)值 密集在標(biāo)準(zhǔn)偏差周?chē)谋容^多。 總的來(lái)說(shuō),估計(jì)值 并不精

58、密,因此,用貝賽爾公式求出的標(biāo)準(zhǔn)偏差的有效數(shù)字最多取兩位,如果其首位為8或9,有效數(shù)字取1位即可。,3粗大誤差 超出在規(guī)定條件下預(yù)期的誤差稱為粗大誤差。出現(xiàn)這類誤差的原因主要是工作人員的失誤、計(jì)量?jī)x器設(shè)備的故障以及影響量超出規(guī)定的范圍等。對(duì)于粗大誤差必須隨時(shí)或在進(jìn)行數(shù)據(jù)處理時(shí)予以判別并將相應(yīng)的數(shù)據(jù)剔除。 粗大誤差在3.2節(jié)的數(shù)據(jù)處理部分將作詳細(xì)的介紹。 3.1.4 間接測(cè)量的誤差 在很多情況下,由于被測(cè)對(duì)象的特點(diǎn),進(jìn)行直接測(cè)量會(huì)有困難,或者難以保證被測(cè)量的精度,因此需要采用間接測(cè)量法。例如在測(cè)量導(dǎo)線電阻率時(shí),通常是先測(cè)量導(dǎo)線的電阻R、導(dǎo)線的長(zhǎng)度l和導(dǎo)線的直徑d,然后按電阻率的計(jì)算公式,將電阻率

59、計(jì)算出來(lái)。其中電阻R、導(dǎo)線的長(zhǎng)度l和導(dǎo)線的直徑d為直接測(cè)量量,電阻率為間接測(cè)量量。由此可見(jiàn),間接測(cè)量就是根據(jù)一些直接測(cè)量的結(jié)果按一定的關(guān)系式去求得被測(cè)量的量,因此間接測(cè)量量是直接測(cè)量量的函數(shù)。通常用 來(lái)表示間接測(cè)量量y與n個(gè)直接測(cè)量量x1，x2, xn 的關(guān)系。,（3.1.86）,（3.1.87）,1間接測(cè)量的絕對(duì)誤差 令xi為xi的誤差,y為y的誤差,則 y+y=f(x1+x1, x2+x2, , xn+xn) （3.1.88）將上式右側(cè)按泰勒（Taylor）級(jí)數(shù)展開(kāi)得,（3.1.89）,略去高次項(xiàng),就能夠得到間接測(cè)量的絕對(duì)誤差: 或者對(duì)式（3.1.87）取全微分：,（3.1. 90）,（3.1. 91）,若已知各個(gè)