1、1,第五章,平面向量,2,5.2 向量的字符運(yùn)算,3,一、平面向量數(shù)量積的有關(guān)概念 1.已知兩個非零向量a，b，過O點(diǎn)作OA=a，OB=b，則AOB=(0180)叫做向量a與b的夾角. 很顯然，當(dāng)且僅當(dāng)兩非零向量a，b同方向時，=_，當(dāng)且僅當(dāng)a、b反方向時，=_，同時0與其他任何非零向量之間不談夾角問題.,0,180,4,2.如果a，b的夾角為_，則稱a與b垂直，記作_. 3.a，b是兩個非零向量，它們的夾角為，則_叫做a與b的數(shù)量積(或內(nèi)積)，記作ab，即_. 規(guī)定0a=_. 當(dāng)ab時，=_，這時ab=_. 二、ab的幾何意義 1.一個向量在另一個向量方向上的投影.,90,ab,|a|b|c

2、os,ab=|a|b|cos,0,90,0,5,設(shè)是a與b的夾角，則_稱作a在b方向上的投影. 11 _稱作b在a方向上的投影.b在a方向上的投影是一個數(shù)，而不是向量.當(dāng) 12 _時，它是正數(shù)；當(dāng) 13 _時,它是負(fù)數(shù)；當(dāng)=90時,它是零. 2.ab的幾何意義. ab等于 14 _與b在a方向上的投影的乘積. 3.ab的性質(zhì). 設(shè)a,b是兩個非零向量,e是單位向量,于是有：,|a|cos,|b|cos,090,90180,|a|,6,(1)ea=ae=|a|cos; (2)ab 15 _; (3)當(dāng)a與b同向時，ab= 16 _；當(dāng)a與b反向時，ab= 17 _；特別地，aa=a2=|a|2，

3、或|a|= 18 _; (4)cos= 19 _; (5)|ab|a|b|.,ab=0,|a|b|,-|a|b|,7,盤點(diǎn)指南：0;180;90;ab;|a|b|cos;ab=|a|b|cos;0;90;0;|a|cos; 11 |b|cos; 12 090; 13 90180; 14 |a|; 15 ab=0; 16 |a|b|; 17 -|a|b|; 18 ; 19,8,已知向量a和b的夾角為120,|a|=1,|b|=3，則|5a-b|=_. 解： 所以|5a-b|=7.,7,9,若a,b,c為任意向量，mR，則下列等式不一定成立的是( ) A. (a+b)+c=a+(b+c) B. (

4、a+b)c=ac+bc C. m(a+b)=m a+mb D. (ab)c=a(bc) 解：A、B、C是運(yùn)算律，而ab=R, bc=R,所以(ab)c=a(bc)不一定成立.故選D.,D,10,在ABC中，已知向量 與 滿足 且 則ABC為( ) A. 三邊均不相等的三角形 B. 直角三角形 C. 等腰非等邊三角形 D. 等邊三角形 解：在ABC中， (M在BAC的平分線上)，,11,由 知 所以 ，則ABC是等腰三角形； 因?yàn)?所以 則BAC=60， 所以ABC是等邊三角形. 故選D.,12,1. 在ABC中，O為中線AM上一個動點(diǎn)，若AM=2，則 的最小值是_. 解：設(shè) 所以 故填-2.,

5、題型1 向量的數(shù)量積運(yùn)算,13,點(diǎn)評：向量的數(shù)量積是最基本的向量的運(yùn)算，字符向量的數(shù)量積主要是將其轉(zhuǎn)化為兩向量模及夾角余弦的積，注意向量夾角與兩直線夾角之間的關(guān)系和轉(zhuǎn)化.,14,已知|a|=2，|b|=3，a與b的夾角為 ，c=5a+3b，d=3a+kb，求當(dāng)實(shí)數(shù)k為何值時，cd？ 解：要使cd，即cd=0， 即(5a+3b)(3a+kb)=0， 所以15a2+(9+5k)ab+3kb2=0， 所以154+(9+5k)23cos +3k9=0， 解得k= . 所以當(dāng)k= 時，c與d垂直.,15,2. 已知向量a與b的夾角為120,且|a|=4，|b|=2.求： (1)|a+b|;(2)|3a-

6、4b|;(3)(a-2b)(a+b). 解：依題意得 ab=|a|b|cos=42cos120=-4. (1)因?yàn)閨a+b|2=(a+b)2=a2+2ab+b2 =|a|2+2ab+|b|2=42+2(-4)+22=12， 所以|a+b|=,題型2 向量的模,16,(2)因?yàn)閨3a-4b|2=(3a-4b)2=9a2-24ab+16b2 =1619， 所以|3a-4b|= . (3)(a-2b)(a+b)=a2-2ab+ab-2b2 =42-(-4)-222=12. 點(diǎn)評：求形如|a+b|的模，一般是通過|a+b|2=(a+b)2把求模轉(zhuǎn)化為數(shù)量積來求解，注意求得的是模的平方，最后求得其算術(shù)平

7、方根即可.,17,已知平面上三個向量a、b、c的模均為1，它們相互之間的夾角均為120. (1)求證：(a-b)c； (2)若|ka+b+c|1(kR)，求k的取值范圍. 解：(1)證明：因?yàn)閨a|=|b|=|c|=1,且a、b、c之間的夾角均為120， 所以(a-b)c=ac-bc=|a|c|cos120-|b|c|cos120=0, 所以(a-b)c=0，所以(a-b)c.,18,(2)解法1：因?yàn)閨ka+b+c|1，即|ka+b+c|21， 即k2a2+b2+c2+2kab+2kac+2bc1, 因?yàn)閍b=bc=ac=- ， 所以k2-2k0，所以k2. 解法2：由已知a+b+c=0,

8、故|ka+b+c|=|ka-a|=|(k-1)a|=|k-1|, |ka+b+c|1(kR) |k-1|1 k2.,19,3. 已知向量a、b、c兩兩所夾的角都為120,|a|=1,|b|=2,|c|=3,求向量a+b+c與a的夾角. 解：由已知得(a+b+c)a=a2+ab+ac =1+12cos120+13cos120= ， 又|a+b+c|2=(a+b+c)2 =a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc =1+4+9+212cos120+213 cos120+223cos120=3，,題型3 向量的夾角,20,所以|a+b+c|= . 設(shè)a+b+c與a的夾角為， 則 又0，所以= . 故向量a+b+c與a的夾角為 .,21,點(diǎn)評：求兩向量的夾角，就是先利用數(shù)量積與模的積之比求得夾角的余弦值，而數(shù)量積與模的積又是通過基本向量之間的和、差、數(shù)量積運(yùn)算而求得，這正體現(xiàn)了運(yùn)算的綜合性與交互性.,22,23,24,25,1. 向量的字符運(yùn)算是向量運(yùn)算的一種基本形式，它類似于實(shí)數(shù)的字母運(yùn)算，在沒有幾何背景和向量坐標(biāo)的向量問題中，一般通過這種運(yùn)算解答相關(guān)問題. 2. 向量的字符運(yùn)算以向量的數(shù)量積為核心，由此解決有關(guān)向量的模和夾角問題.在字符運(yùn)算中求向量的模，一般先求模的平方，再轉(zhuǎn)化為向量的平方，然后轉(zhuǎn)化為數(shù)量積