1、Wave,第二章 波 動(dòng),本章主要內(nèi)容,2-1 機(jī)械波的產(chǎn)生和傳播 行波 2-2 平面簡(jiǎn)諧波 2-3 物體的彈性形變 2-4 波動(dòng)方程與波速 2-5 波的能量 2-6 Huygens原理 波的反射與折射 2-7 波的疊加 駐波 2-8 聲波 2-9 Dopller效應(yīng) 2-10 波包與群速,振動(dòng)或擾動(dòng)在空間以一定速度的傳播稱(chēng)為波動(dòng),簡(jiǎn)稱(chēng)為波(wave)。機(jī)械振動(dòng)或擾動(dòng)在介質(zhì)中的傳播稱(chēng)為機(jī)械波，如聲波、水波和地震波等。變化電場(chǎng)和變化磁場(chǎng)在空間的傳播稱(chēng)為電磁波，例如無(wú)線電波、光波和X射線等。,機(jī)械波只能在介質(zhì)中傳播，例如聲波的傳播要有空氣作介質(zhì)，水波的傳播要有水作介質(zhì)。但是，電磁波（光）的傳播不需

2、要介質(zhì)，它可以在真空中傳播。,機(jī)械波和電磁波統(tǒng)稱(chēng)為經(jīng)典波，它們代表的是某種實(shí)在的物理量的波動(dòng)。,第二章 波 動(dòng),雖然各類(lèi)波的具體物理機(jī)制不同，但它們都具有疊加性，都能發(fā)生干涉和衍射現(xiàn)象，也就是說(shuō)它們所具有波動(dòng)的普遍性質(zhì)。,除了機(jī)械波和電磁波都能發(fā)生干涉和衍射現(xiàn)象外，實(shí)驗(yàn)中發(fā)現(xiàn)，電子、質(zhì)子和中子這些微觀粒子也能發(fā)生干涉和衍射。因此，微觀粒子也具有波動(dòng)性。,簡(jiǎn)諧振動(dòng)在空間的傳播，稱(chēng)為簡(jiǎn)諧波，它是最簡(jiǎn)單的波。我們以機(jī)械波中的簡(jiǎn)諧波為例來(lái)介紹波動(dòng)的普遍性質(zhì)。,波動(dòng)是振動(dòng)狀態(tài)的傳播， 不是介質(zhì)的傳播,按波面形狀,平面波（plane wave ）,球面波（spherical wave ）,柱面波（ cyl

3、indrical wave ）,按復(fù)雜程度,簡(jiǎn)諧波（simple harmonic wave ）,復(fù)波（ compound wave ）,按持續(xù)時(shí)間,連續(xù)波（continued wave ）,脈沖波（pulsating wave ）,按是否傳播,行波（travelling wave ）,駐波（standing wave ）,2-1 機(jī)械波 行波,Mechanical Wave and Travelling Wave,2-1 機(jī)械波 行波,1. 機(jī)械波的產(chǎn)生和傳播,機(jī)械波機(jī)械振動(dòng)的傳播。,2-1 機(jī)械波 行波,橫波媒質(zhì)質(zhì)元的振動(dòng)方向與振動(dòng)的傳播方向垂直的波。, 橫波與縱波,縱波媒質(zhì)質(zhì)元的振動(dòng)方向

4、與振動(dòng)的傳播方向在一條直線上的波。 疏密波：空氣中的聲波,橫向抖動(dòng)繩端,一般固體中既可有橫波也可有縱波；流體中只能有縱波。實(shí)際中還有橫波和縱波的疊加波。如氣液分界面上的波（水紋波）就是疊加波。,光波,2-1 機(jī)械波 行波,2. 行 波,行波單向傳播的振動(dòng)。 駐波, 行波的特點(diǎn),示意圖, 各質(zhì)元的振動(dòng)頻率相同。,2-1 機(jī)械波 行波,行波的示意圖,返回,2-1 機(jī)械波 行波,波函數(shù)表示傳播方向上各質(zhì)元的位移隨時(shí)間變化規(guī)律的函數(shù)。波動(dòng)表達(dá)式, 行波的波函數(shù),以 y 表示位移，x 表示沿傳播方向上的空間坐標(biāo)，則波函數(shù)為,波函數(shù)是沿傳播方向的空間坐標(biāo)和時(shí)間的二元函數(shù),示意圖, x取特定值 x0時(shí)， 表

5、示在 點(diǎn)質(zhì)元振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)方程。, t 取特定值 t0時(shí)， 表示在 時(shí)刻各質(zhì)元的沿 x分布的函數(shù)。相應(yīng)的 y-x曲線稱(chēng)為波形曲線。,2-1 機(jī)械波 行波,波面同相點(diǎn)組成的曲面。波陣面 波前波線表示傳播方向的曲線。波射線, 波面和波線,球面波（同心球形波面）,行波傳播行為的幾何描述,2-2 平面簡(jiǎn)諧波,Plane Simple Harmonic Wave,2-2 平面簡(jiǎn)諧波,1. 簡(jiǎn)諧波 波速和波長(zhǎng), 波速振動(dòng)狀態(tài)的傳播速度。相速,波速的大小決定于媒質(zhì)的特性。 2-4, 波長(zhǎng)傳播方向上相鄰?fù)帱c(diǎn)之間的間距。,一個(gè)周期時(shí)間里某相位傳播的距離就是波長(zhǎng),示意圖,因此有 即, 簡(jiǎn)諧波各媒質(zhì)質(zhì)元作簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的波

6、。,波長(zhǎng)表示波的空間周期性,不是質(zhì)元振動(dòng)速度,2-2 平面簡(jiǎn)諧波,2. 平面簡(jiǎn)諧行波的波函數(shù),坐標(biāo)為x處的質(zhì)元的振動(dòng)狀態(tài)如何？,考察t時(shí)刻x點(diǎn)質(zhì)元振動(dòng)的相位。x點(diǎn)相位是從“上游”以速度u傳播過(guò)來(lái)的，從“上游”的O點(diǎn)傳到x點(diǎn)需要時(shí)間為 ，因此t時(shí)刻x點(diǎn)的相位應(yīng)是O點(diǎn) 時(shí)刻的相位，即為 。,于是，波函數(shù)為,波在某點(diǎn)的位相反映該點(diǎn)質(zhì)元的“運(yùn)動(dòng)狀態(tài)”。,所以，簡(jiǎn)諧波的傳播也是介質(zhì)振動(dòng)位相的傳播。, 相速度（相速）,設(shè) t 時(shí)刻 x 處的位相經(jīng) dt 傳到（x +dx）處，,則應(yīng)有,于是得到,即，簡(jiǎn)諧波的波速就是相速。,2-2 平面簡(jiǎn)諧波,說(shuō)明： 波函數(shù)中的 為原點(diǎn)處質(zhì)元振動(dòng)的初相。, 設(shè)如果波沿x軸負(fù)

7、向傳播，“上游”在右“下游”在左，t時(shí)刻x點(diǎn)的相位應(yīng)是O點(diǎn) 時(shí)刻的相位，即為 ，此時(shí)的波函數(shù)應(yīng)為, 波函數(shù)的其他表達(dá)式：（不妨設(shè) ）,波函數(shù)的意義,（2） x = x0，y t 給出 x 點(diǎn)的振動(dòng)函數(shù)。,沿波傳播方向每增加 的距離，位相落后2。,說(shuō)明：,因此，x點(diǎn)比0點(diǎn)位相落后,引入 ，稱(chēng)為波數(shù)。,2-2 平面簡(jiǎn)諧波,3. 平面簡(jiǎn)諧波的波形曲線,結(jié)論：波形曲線也是余弦函數(shù)曲線； 波形曲線以波速u(mài)向傳播方向平移。,注：波形曲線平移反映了狀態(tài)的傳播，質(zhì)元未傳播而只是在振動(dòng)。,例 設(shè)波源位于 x 軸的原點(diǎn)處，波源的振動(dòng)曲線如圖所示，已知波速為 u = 5 m/s ，波向 x 正向傳播。（1）畫(huà)出距波

8、源 15 m處質(zhì)元的振動(dòng)曲線；（2）畫(huà)出 t = 3 s 時(shí)的波形曲線。,于是，波函數(shù)為,即,（1）令 x = 15 m,（2）令 t = 3 s,【例】,反射波在S處相位改變。,如圖示，已知：y0 = Acos t ，波長(zhǎng)為 ，,求：反射波函數(shù) y(x , t ),解：,全反射， A不變。,波由0經(jīng)壁反射到 x 傳播了距離l + (l x) = 2l x，,相位落后2(2lx)/ ，,在壁處反射相位改變了 ，,2-3 物體的彈性形變,Elastic Deformation of a Body,2-3 物體的彈性形變, 線變,彈性勢(shì)能：,楊氏模量 決定于材料的特性，與形狀大小無(wú)關(guān)。,返回,2-

9、3 物體的彈性形變, 體變, 切變,G和K決定于材料的特性。,壓縮系數(shù),2-3 物體的彈性形變,有波動(dòng)時(shí)媒質(zhì)質(zhì)元的形變, 縱波, 橫波,返回,2-4 波動(dòng)方程與波速,Wave Equation and Velocity of Wave,2-4 波動(dòng)方程與波速,波動(dòng)方程是指波動(dòng)物理量 所滿(mǎn)足的偏微分方程，可通過(guò)物理定律導(dǎo)出。,1. 波動(dòng)方程,可以證明，普遍的波動(dòng)方程形式為,由此，一維情況的波動(dòng)方程為,可以證明：平面簡(jiǎn)諧波的波函數(shù)是它的解之一。,(2) 不僅適用于機(jī)械波，也廣泛地適用于電磁波、熱傳導(dǎo)、化學(xué)中的擴(kuò)散等過(guò)程；,(1) 上式是一切平面波所滿(mǎn)足的微分方程（正、反傳播）；,2-4 波動(dòng)方程與

10、波速,證明 是下列波動(dòng)方程的解。,2-4 波動(dòng)方程與波速,2. 均勻細(xì)棒中縱波波動(dòng)方程的推導(dǎo),設(shè)細(xì)棒密度為，截面積為S，沿細(xì)棒取x坐標(biāo)，設(shè)波沿x正向傳播?？疾烀劫|(zhì)中 x x +x 段質(zhì)元：,x處的線應(yīng)變可表為 ，Hook定律即為,2-4 波動(dòng)方程與波速,由牛頓定律,取極限 ，則,波速為,2-4 波動(dòng)方程與波速,已導(dǎo)出固體細(xì)棒中縱波的波速為 ，還可以證明其他波速公式如下：,3. 波 速,波速由彈性媒質(zhì)特性決定。,2-5 波的能量,Energy of Wave,波的能量,波在彈性介質(zhì)中傳播時(shí)，介質(zhì)的質(zhì)元由于振動(dòng)而具有動(dòng)能，因發(fā)生形變還具有彈性勢(shì)能。,介質(zhì)質(zhì)元能量是如何變化的？ 能量傳播的規(guī)律如何？

11、,隨著擾動(dòng)的傳播，質(zhì)元的能量也向前傳播。對(duì)于機(jī)械波來(lái)說(shuō)，我們把波動(dòng)引起的介質(zhì)的能量，稱(chēng)為波的能量。,以彈性棒中的簡(jiǎn)諧橫波為例來(lái)分析：,“質(zhì)元”形變勢(shì)能Wp，,振動(dòng)動(dòng)能Wk, 波的能量密度,取媒質(zhì)中小體積元 ，討論總機(jī)械能 ：,查看,動(dòng)能：,勢(shì)能：,總機(jī)械能為,能量密度為,平均能量密度為：,2-5 波的能量,結(jié)論： 區(qū)別于孤立的振動(dòng)系統(tǒng)，單個(gè)質(zhì)元的機(jī)械能不守恒。 因單個(gè)質(zhì)元是開(kāi)放的系統(tǒng) 簡(jiǎn)諧波中任一質(zhì)元的動(dòng)能和勢(shì)能總是相等。等幅同相 簡(jiǎn)諧波的能量密度 具普遍意義（適用于彈性媒質(zhì)中的機(jī)械波）。,的說(shuō)明：,查看,適用于各種彈性波。,能量的傳播：,A,能量“一堆一堆”地傳播。,處， ； 處，,2-5

12、波的能量, 波的強(qiáng)度, 波的能流單位時(shí)間內(nèi)流過(guò)某一面積的能量。,能流密度：,強(qiáng)度：,面上的能流：,如果 上 和 處處相等，且總有 ，,2-5 波的能量, 平面波和球面波的振幅, 對(duì)球面波,球面波,柱面波,波面,波線,波面,波線,x,y,z,球面簡(jiǎn)諧波的波函數(shù)：,柱面簡(jiǎn)諧波的波函數(shù)：,2-6 Huygens原理波的反射與折射,Huygens Principle Reflection and Refraction of a Wave,2.6 惠更斯原理（Huygens principle）,前面討論了波動(dòng)的基本概念，,其傳播方向、,惠更斯原理給出的方法（惠更斯作圖法）,現(xiàn)在討論與波,的傳播特性有關(guān)

13、的現(xiàn)象、原理和規(guī)律。,是一種處理波傳播方向的普遍方法。,頻率和振幅都有可能改變。,由于某些原因，,波在傳播中，,2-6 Huygens原理波的反射與折射, Huygens原理 C. Huygens（荷）1690,這一原理的意義在于： 提出了子波的概念 給出了波傳播方向的規(guī)律 提出一種描繪波面幾何方法，即Huygens作圖法,原理： 媒質(zhì)中任一波面上的各點(diǎn)，都可以看成發(fā)射子波的次波源，其后任一時(shí)刻這些子波的包絡(luò)面就是新的波面。, Huygens原理的應(yīng)用,2-6 Huygens原理波的反射與折射,波的衍射（wave diffraction）,衍射：,波傳播過(guò)程中，當(dāng)遇到障礙物時(shí)，,能繞過(guò)障礙物邊

14、緣而偏離直線傳播的現(xiàn)象。,障礙物的線度越大衍射現(xiàn)象,越不明顯，,障礙物的線度越小衍射現(xiàn)象越明顯。,相對(duì)于波長(zhǎng)而言，,波的反射和折射（reflection & refraction）,1.波的反射,2.波的折射：,用惠更斯作圖法導(dǎo)出折射定律, 折射定律,得到,2-7 波的疊加 駐波,Superposition of Waves Standing Wave,2-7 波的疊加 駐波,觀察表明：彈性媒質(zhì)中的機(jī)械波，滿(mǎn)足獨(dú)立傳播的特性。, 波的疊加原理,波的疊加原理：幾列波在空間相遇時(shí)，相遇區(qū)域中的任一點(diǎn)的振動(dòng)位移（或波矢量）等于各波單獨(dú)存在時(shí)在該點(diǎn)產(chǎn)生的位移的矢量和。,進(jìn)一步的研究指出：如果兩列波在空

15、間相遇時(shí)，要使它們表現(xiàn)出獨(dú)立傳播的特性，相遇點(diǎn)處的媒質(zhì)質(zhì)元的振動(dòng)必須是兩列波單獨(dú)對(duì)它引起的振動(dòng)的疊加。,光波和電磁波也如此,干涉現(xiàn)象頻率相同、振動(dòng)方向平行、相位差恒定的兩列波相遇時(shí)，重疊區(qū)域內(nèi)某些地方振動(dòng)始終加強(qiáng)，而使另一些地方振動(dòng)始終減弱的現(xiàn)象。, 波的干涉,干涉現(xiàn)象必須有穩(wěn)定的波的疊加圖樣。,波的相干條件,滿(mǎn)足這些相干條件的波(源)稱(chēng)為相干波(源)。,干涉情況分析,設(shè)相干波源 S1 和 S2 的振動(dòng)表達(dá)式為,兩列波傳到點(diǎn) P 時(shí)引起的分振動(dòng)分別為,那么,在 P 點(diǎn)的振動(dòng)為同方向、同頻率的簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成。,P 點(diǎn)處的合成振動(dòng)為：,對(duì)空間任意位置，都有恒定的 ，則合振幅 A 也不隨時(shí)間變化。因

16、而空間各處的合振動(dòng)是穩(wěn)定的，即有干涉現(xiàn)象。,干涉相長(zhǎng)的條件：,討論:,滿(mǎn)足此相位差的空間各點(diǎn)，合振動(dòng)始終最強(qiáng)，稱(chēng)為干涉相長(zhǎng)。,干涉相消的條件：,當(dāng)兩相干波源為同相波源時(shí)，,稱(chēng) 為波程差。,干涉相長(zhǎng)的條件：,干涉相消的條件：,滿(mǎn)足此相位差的空間各點(diǎn)，合振動(dòng)始終最弱，稱(chēng)為干涉相消。,A點(diǎn)在x處質(zhì)元引起的振動(dòng)相位 :,解：設(shè) A 點(diǎn)的振動(dòng)相位 :,設(shè) B 點(diǎn)的振動(dòng)相位 :,B點(diǎn)在x處質(zhì)元引起的振動(dòng)相位為:,兩分振動(dòng)的相差為：,的各點(diǎn)發(fā)生干涉相消。,整理得到, 干涉相消的點(diǎn)需滿(mǎn)足：,波節(jié)位置,2-7 波的疊加 駐波,線性波的疊加可以產(chǎn)生許多獨(dú)特的現(xiàn)象：駐波、干涉等, 駐 波,駐波是指兩列波頻率相同、振

17、幅相同、振動(dòng)方向相同、在同一直線上沿相反方向傳播，它們疊加所形成的合成波。,設(shè)兩列波的表達(dá)式為,疊加后得駐波表達(dá)式：,這一結(jié)果表明：駐波不含波動(dòng)特有的相位因子 ，即不再具有波的特性（相位沿傳播方向依次落后等）。,2-7 波的疊加 駐波,振幅最大的點(diǎn)稱(chēng)為波腹；振幅為零的點(diǎn)稱(chēng)為波節(jié)。,駐波具有簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的特征。所有點(diǎn)的振動(dòng)圓頻率都為 ，但各點(diǎn)的振幅不全相同，即為 。,波腹的位置：,波節(jié)的位置：,2-7 波的疊加 駐波,拉緊的繩中的駐波演示,駐波的特點(diǎn)：,通常將相鄰兩個(gè)波節(jié)的一段稱(chēng)為一個(gè)駐波。,2-7 波的疊加 駐波,形成駐波的兩列傳播方向相反的行波，往往就是媒質(zhì)分界面一側(cè)的入射波和反射波。顯然，反射

18、波與入射波的頻率、振動(dòng)方向和波速均相同；如果分界面對(duì)入射波完全反射，反射波與入射波的振幅也相同。, 半波損失,如果波從波疏媒質(zhì)（ 相對(duì)較?。┫虿苊劫|(zhì)（ 相對(duì)較大）入射，則反射點(diǎn)存在半波損失；如果從波密媒質(zhì)向波疏媒質(zhì)入射，則不存在半波損失。,反射點(diǎn)P處的振動(dòng)函數(shù)為,反射波在坐標(biāo)為 x的任意點(diǎn)處的振動(dòng)相位比p點(diǎn)落后 ，考慮到反射點(diǎn)有半波損失，故反射波的波函數(shù)為,（2）疊加波 為駐波：,令振幅為零：,2-8 聲 波,Sound Wave,2-8 聲 波, 聲壓,聲壓聲波傳播時(shí)，媒質(zhì)內(nèi)部的壓強(qiáng)與無(wú)聲波時(shí)的壓強(qiáng)的差額。,可以證明：簡(jiǎn)諧波的聲壓為,聲壓的幅值為,聲波 是最常見(jiàn)的機(jī)械波，也是縱波。 可聞聲

19、波 是指人可以聽(tīng)見(jiàn)的聲波，其頻率在20 20,000 Hz范圍。低于20Hz的為次聲波；高于20,000 Hz的為超聲波。,2-8 聲 波, 聲強(qiáng),簡(jiǎn)諧波的強(qiáng)度為,聲強(qiáng)聲波的強(qiáng)度，即平均能流密度。,可聞聲波的強(qiáng)度值的范圍很大，我們只需要關(guān)心其絕對(duì)數(shù)值的數(shù)量級(jí)，因此引入聲強(qiáng)級(jí)：,貝爾(Bell),分貝(1dB=0.1B),能引起人聽(tīng)覺(jué)的可聞聲波的強(qiáng)度值在10-12 100 W/m2的范圍，對(duì)應(yīng)聲強(qiáng)級(jí)在0 120dB。0dB稱(chēng)為為聽(tīng)覺(jué)閾，120dB稱(chēng)為痛覺(jué)閾。,或,超聲波：, 20KHz的聲波,2-9 Doppler 效應(yīng),Doppler Effect,2-9 Doppler 效應(yīng), 波源不動(dòng),接收器迎著波源運(yùn)動(dòng),當(dāng)波源或/和接收器相對(duì)媒質(zhì)運(yùn)動(dòng)時(shí)，接收器感知到的頻率與波源發(fā)射的頻率不同，這種現(xiàn)象稱(chēng)為Doppler效應(yīng)。,設(shè)波源運(yùn)動(dòng)的速度為 ，接收器運(yùn)動(dòng)速度為 ；波源的頻率為 ，接收器接收到的頻率為 。 相對(duì)媒質(zhì),2-9 Doppler 效應(yīng), 接收器不動(dòng),波源迎著觀察者運(yùn)動(dòng), 波源和接收器均相對(duì)媒質(zhì)運(yùn)動(dòng)（相向運(yùn)動(dòng)）,2-9 Doppler 效應(yīng), 波源和接收器相對(duì)媒質(zhì)沿任意方向運(yùn)動(dòng),因電磁波無(wú)需媒質(zhì)即可傳播，故上述結(jié)論不適用于電磁波。又因電磁波的波速就是光速，相應(yīng)的Doppler效