1、第7章 彎曲變形, 工程問(wèn)題中的彎曲變形, 撓曲線的近似微分方程, 用積分法求彎曲變形, 用疊加法求彎曲變形, 簡(jiǎn)單靜不定梁, 提高彎曲剛度的措施,7-1 概 述,在工程實(shí)踐中，對(duì)某些受彎構(gòu)件，除要求具有足夠的強(qiáng)度外，還要求變形不能過(guò)大，即要求構(gòu)件有足夠的剛度，以保證結(jié)構(gòu)或機(jī)器正常工作。,一、工程實(shí)踐中的彎曲變形問(wèn)題,搖臂鉆床的搖臂或車床的主軸變形過(guò)大，就會(huì)影響零件的加工精度，甚至?xí)霈F(xiàn)廢品。,橋式起重機(jī)的橫梁變形過(guò)大,則會(huì)使小車行走困難，出現(xiàn)爬坡現(xiàn)象。,但在另外一些情況下，有時(shí)卻要求構(gòu)件具有較大的彈性變形，以滿足特定的工作需要。,例如，車輛上的板彈簧，要求有足夠大的變形，以緩解車輛受到的沖擊

2、和振動(dòng)作用。,二、彎曲變形的基本概念,描述截面上任一點(diǎn)的位移:,1、形心軸的線位移 撓度 v,2、截面繞形心軸的角位移 轉(zhuǎn)角 ,A,B,F,二、彎曲變形的基本概念,x,l,x,l,F 變彎的形心軸 撓曲線,F 撓度隨坐標(biāo)變化的方程 撓曲線方程,F 忽略剪切變形 + 梁的轉(zhuǎn)角一般很小 ,7-2 梁撓曲線的近似微分方程,中性層曲率表示的彎曲變形公式,由高等數(shù)學(xué)知識(shí),撓曲軸微分方程,（推廣到非純彎）,（純彎）,小變形時(shí)：,7-3 用積分法求彎曲變形,F C、D為積分常數(shù)，它由位移邊界與連續(xù)條件確定。,邊界條件：梁截面的已知位移條件,連續(xù)條件：分段處撓曲軸應(yīng)滿足的連續(xù)、光滑條件,連續(xù):,光滑:,$ 撓

3、曲線在B、C點(diǎn)連續(xù)且光滑,可動(dòng)鉸:,自由端：無(wú)位移邊界條件,固定端:,連續(xù)條件：,邊界條件：,例1：寫(xiě)出梁的撓曲軸方程的邊界條件和連續(xù)條件,例2：已知梁的抗彎剛度為 EI。試求圖示簡(jiǎn)支梁在均布載荷q作用下的轉(zhuǎn)角方程、撓曲線方程，并確定 max 和 vmax。,解：,由邊界條件：,得：,梁的轉(zhuǎn)角方程和撓曲線方程分別為：,最大轉(zhuǎn)角和最大撓度分別為：,例3：已知梁的抗彎剛度為EI。試求圖示懸臂梁在集中力 P 作用下的轉(zhuǎn)角方程、撓曲線方程，并確定max 和 vmax。,解：,由邊界條件：,得：,梁的轉(zhuǎn)角方程和撓曲線方程分別為：,最大轉(zhuǎn)角和最大撓度分別為：,例4：已知梁的抗彎剛度為EI。試求圖示簡(jiǎn)支梁在

4、集中力 P 作用下的轉(zhuǎn)角方程、撓曲線方程，并確定max 和 vmax 。,解：AC段:,由對(duì)稱條件：,由邊界條件：,得：,得：,AC段梁的轉(zhuǎn)角方程和撓曲線方程分別為：,最大轉(zhuǎn)角和最大撓度分別為：,F 根據(jù)彎矩圖定凹凸性， F 彎矩圖過(guò)零點(diǎn)處為拐點(diǎn)， F 支座限定支座處的位移。,7-4 用疊加法求彎曲變形,一、用疊加法計(jì)算梁的變形,當(dāng)梁上同時(shí)作用幾個(gè)載荷時(shí)，各個(gè)載荷所引起的變形是各自獨(dú)立的，互不影響。若計(jì)算幾個(gè)載荷共同作用下在某截面上引起的變形，則可分別計(jì)算各個(gè)載荷單獨(dú)作用下的變形，然后疊加。,在材料服從胡克定律、且變形很小的前提下,載荷與它所引起的變形成線性關(guān)系。,例5：用疊加法求 vC、A、

5、 B 。,例6：若圖示梁B 端的轉(zhuǎn)角 B=0，則力偶矩 M 等于多少？,解：,例7: 求圖示外伸梁 C 點(diǎn)的撓度和轉(zhuǎn)角。,僅考慮BC段變形(剛化AB,可視BC為懸臂梁),靜定梁或剛架的任一橫 截面的總位移，等于各 梁段單獨(dú)變形 (其余梁段剛化)在該截面引起的位 移的代數(shù)和或矢量和,僅考慮AB段變形(剛化BC),例8：已知 E 為常數(shù)，I2=2I1，求 WC，C。,剛化AB段：,僅考慮 BC 段變形：,剛化BC段：,僅考慮 AB 段變形：,對(duì)稱性在變形分析中的應(yīng)用,例9：已知 E 為常數(shù)，I2=2I1，求 WC，B。,例10：利用對(duì)稱性求下面梁中點(diǎn)撓度與轉(zhuǎn)角,反對(duì)稱, 撓度為0 (彎矩為0, 拐

6、點(diǎn)),對(duì)稱, 轉(zhuǎn)角為0,反對(duì)稱, 撓度為0 (彎矩為0, 拐點(diǎn)),二、梁的剛度計(jì)算,剛度條件：,v、 是構(gòu)件的許可撓度和轉(zhuǎn)角，它們決定于構(gòu)件正常工作時(shí)的要求。,CL9TU40,例11：圖示工字鋼梁， l =8m， Iz=2370cm4, Wz=237cm3， v = l500，E=200GPa，=100MPa。試根據(jù)梁的剛度條件，確定梁的許可載荷 P，并校核強(qiáng)度。,解：由剛度條件:,因此滿足強(qiáng)度要求,7-5 用變形比較法解靜不定梁,靜不定度與多余約束,多余約束 凡是多余維持平衡所必須的約束,多余反力 與多余約束相應(yīng)的支反力或支力偶矩,靜不定度 支反力（力偶）數(shù)有效平衡方程數(shù),靜不定度多余約束數(shù)

7、,5-3=2 度靜不定,6-3 = 3 度靜不定,相當(dāng)系統(tǒng)：受力與原靜不定梁相同的靜定梁，相當(dāng)系統(tǒng)的選擇不是唯一的。,相當(dāng)系統(tǒng)1,相當(dāng)系統(tǒng)2,相當(dāng)系統(tǒng),A,總結(jié)：分析方法與分析步驟,1、 判斷靜不定度（確定多余約束數(shù)）； 2 、解除多余約束，建立相當(dāng)系統(tǒng)； 3 、列出多余約束處的變形協(xié)調(diào)條件(位移邊界條件)； 4、 結(jié)合平衡方程，求多余支反力。,解除多余約束，代之以支反力； 分析相當(dāng)系統(tǒng)，使多余約束點(diǎn)處滿足位移邊界條件,F 靜定基相當(dāng)系統(tǒng)不唯一，一般選擇求解起來(lái)最簡(jiǎn)單的一種。,靜定基:,相當(dāng)系統(tǒng)：,例12：求圖示梁的支反力。,解：,解除多余約束， 建立相當(dāng)系統(tǒng)。,2. 建立變形協(xié)調(diào)條件,3.

8、聯(lián)立求解,解2：,解除多余約束， 建立相當(dāng)系統(tǒng)。,2. 建立變形協(xié)調(diào)條件,3. 聯(lián)立求解,例13：為了提高懸臂梁AB的強(qiáng)度和剛度，用短梁CD加固。設(shè)二梁EI相同，試求： (1) 二梁接觸處的壓力； (2) 加固前后AB梁最大彎矩的比值； (3) 加固前后B點(diǎn)撓度的比值。,解：(1)變形協(xié)調(diào)條件,解：(2) 加固前后AB梁的最大彎矩,解：(3) 加固前后B點(diǎn)撓度,例: 直徑為d 的圓截面梁,支座 B 下沉 ，max=?,解：,7-6 提高彎曲剛度的措施,依據(jù) 對(duì)比強(qiáng)度問(wèn)題 或,讓材料遠(yuǎn)離截面中性軸，例如例如工字形與盒形薄壁截面,與 的比較,合理安排約束與加載方式（分散載荷等）,（1）強(qiáng)度是局部量，剛度是整體量（積分）.,輔梁、等強(qiáng)度梁是合理強(qiáng)度設(shè)計(jì)的有效手段，提高梁的剛度須整體加強(qiáng),小孔顯著影響強(qiáng)度，但對(duì)剛度影響甚微,(2)強(qiáng)度與材料 和