1、2020/7/17,解析幾何,第2章 空間的平面與直線,如果一非零向量垂直于一平面，這向量就叫做該平面的法線向量,法線向量的特征：,垂直于平面內(nèi)的任一向量,已知,設平面上的任一點為,必有,一、平面的點法式方程,2.1.1 平面的方程,平面的點法式方程,平面上的點都滿足上方程，不在平面上的點都不滿足上方程，上方程稱為平面的方程，平面稱為方程的圖形,其中法向量,已知點,解,所求平面方程為,化簡得,取法向量,化簡得,所求平面方程為,解,例3 已知兩點M(1,-2,3)與N(3,0,-1)，求線段MN的垂直平分面方程。,由平面的點法式方程,平面的一般方程,法向量,二、平面的一般式方程,？,，為一平面.

2、,平面一般式方程的幾種特殊情況：,平面通過坐標原點；,平面通過 軸；,平面平行于 軸；,平面平行于 坐標面；,類似地可討論 情形.,類似地可討論 情形.,平面的一般方程,設平面為,由平面過原點知,所求平面方程為,解,例5 求通過點M(2,-1,1)與N(3,-2,1)，且平行于z軸的平面的方程,設平面為,將三點坐標代入得,解,將,代入所設方程得,平面的截距式方程,設平面為,由所求平面與已知平面平行得,（向量平行的充要條件）,解,化簡得,令,所求平面方程為,或,2020/7/17,已知平面上一點和不共線兩個向量,求通過該點與兩向量平行的平面 點位式/坐標式參數(shù)方程 點位式（2.1.3或2.1.4

3、） 坐標式參數(shù)方程(2.1.2),2020/7/17,已知不共線的三點,求通過三點的平面 三點式方程(2.1.6) 向量式法式方程(2.1.10) 坐標式法式方程(2.1.11) 以上共介紹了多少種方法? 哪些方法適用于仿射坐標系? 哪些方法適用于直角坐標系?,練習1,1. 通過點M(3,1,-1)和N(1,-1,0)且平行于矢量 -1,0,2的平面. 2. 通過點M(1,-5,1)和N(3,2,-2)且垂直于xOy坐標面的平面. 3. 已知四點(5,1,3),B(1,6,2),C(5,0,4),D(4,0,6),求通過直線AB且平行于直線CD的平面，并求通過直線AB且與三角形ABC所在平面垂

4、直的平面.,4. 過點M(3,2,-4)且在x軸和y軸上截距分別為-2和-3的平面 5. 已知兩點M1(3,-1,2)和M2(4,-2,-1) ，通過M1且垂直于M1M2的平面 6. 已知平面上三點A(3,-1,2) B (4,-2,-1) C(3,2,-4)，求平面方程。 求通過直線 ，且在y軸與z軸上截距相等的平面方程,定義,空間直線可看成兩平面的交線,空間直線的一般方程,（注：兩平面不平行）,一、空間直線的一般方程,2.1.2 空間直線的方程,方向向量的定義：,如果一非零向量平行于一條已知直線，這個向量稱為這條直線的方向向量,二、空間直線的對稱式方程,直線的對稱式方程 （標準方程、點向式

5、方程）,因此,所求直線方程為,例1 求過點(1,0,-2)且與平面3x+4y-z+6=0平行, 又與直線 垂直的直線方程.,解: 設所求線的方向向量為,已知平面的法向量,已知直線的方向向量,取,三、空間直線的參數(shù)式方程,令,方向向量的余弦稱為直線的方向余弦.,直線的參數(shù)方程,由直線的對稱式方程,例2 用對稱式方程及參數(shù)方程表示直線,解,在直線上任取一點,取,解得,點坐標,因所求直線與兩平面的法向量都垂直,取,對稱式方程,得參數(shù)方程,令,解,所以交點為,所求直線方程,2020/7/17,四、空間直線的兩點式方程(2.1.15) 另, 直角坐標系下的參數(shù)式和對稱式, 即直線l的方向向量可取成單位向

6、量(方向余弦),2020/7/17,2.2.1 空間兩平面的相關位置,相交 平行 重合,定義,直線和它在平面上的投影直線的夾角 （所成銳角）稱為直線與平面的夾角,2.2.2 直線與平面的相關位置,直線與平面的夾角公式,直線與平面的位置關系：,/,解,為所求夾角,直線與平面的交點,分析: 關鍵是求得直線上另外 一個點 M1. M1在過M且平行 于 平面 P 的一個平面P1上, 待求直線又與已知直線相交, 交點既在P1上,又在 L上,因此是L與P1的交點.,例2 求過點 M (-1,2,-3), 且平行于平面,又與直線,相交的直線方程.,解 過M作平行于 平面 P 的一個平P1,求平面 P1與已知

7、直線 L的交點,P1:,即P1:,定理3.7.1 判定空間兩直線 的相關位置的充要條件為： 異面 相交 平行 重合,一、空間兩直線的相關位置,2.2.3 空間兩直線的相關位置,例 求通過點 且與兩直線 都相交的直線的方程.,解：設直線方程為：,所以直線方程為：,定義,直線,直線,兩直線的方向向量的夾角或其補角稱之為該兩直線的夾角.,兩直線的夾角公式,空間兩直線的夾角,兩直線的位置關系：,直線,直線,例如，,解,設所求直線的方向向量為,根據(jù)題意知,取,所求直線的方程,解,先作一過點M且與已知 直線垂直的平面,再求已知直線與該平面的交點N,令,M,N,L,代入平面方程得 ,交點,取所求直線的方向向

8、量為,所求直線方程為,2020/7/17,2.3 平面束,共軸平面束 平行平面束 求平面方程的另一種方法平面束法,2020/7/17,如果直線L用一般式方程表示 設 ， 為不同時為零的任意實數(shù)，則,就表示以L為軸的平面束方程.,2020/7/17,2020/7/17,2020/7/17,P1,于是,點到直線的距離公式,2.4.1 空間直線與點的相關位置,解,解,2.4.2 平面與點的相關位置,點到平面距離公式,在第一個平面內(nèi)任取一點，比如（0，0，1），,平面劃分空間問題,空間上任何一點M對平面的離差 例題 已知平面：x+2y-3z+4=0，點O(0,0,0), A(1,1,4), B(1,0

9、,-2),C(2,0,2),D(0,0,4),E(1,3,0), F(-1,0,1)，試區(qū)分上述各點哪些在平面的某一側，哪些在平面的另一側，哪些點在平面上。,練習2,已知四面體的四個頂點為S(0,6,4), A(3,5,3), B(-2,11,-5), C(1,-1,4).計算從頂點S向底面ABC所引的高. 求中心在C(3,-5,-2)且與平面2x-y-3z+11=0相切的球面方程。 求與下列兩平面距離相等的點的軌跡 3x+6y-2z-7=0和4x-3y-5=0,定義3.7.2 空間兩直線上的點之間的最短距離，叫做這兩條直線之間的距離。,定義3.7.3 與兩條異面直線都垂直相交的直線，叫做兩異面直線的公垂線，兩個交點之間的線段的長叫做公垂線的長。,定理3.7.3 兩異面直線間的距離等于它們公垂線的長。,兩異面直線間的距離與公垂線方程（直角坐標系）,2.4.3 兩直線的距離,定理3.7.4 兩異面直線 之間的距離公式是：,幾何意義：兩條異面直線 之間的距離等于以 為棱的平行六面體的體積除以以 為鄰邊的平行四邊形的面積.,兩個異面直線的公垂線方程為：,例3 已知兩直線 ，試證明兩 直線 與 為異面直線，并求 與 間的距離與它們的公垂線方程.,2.4.4 角度,兩相交平面夾角 直線與平面夾角 兩直線之間夾角,定義,（通常取銳角）,兩平面法向量之間的夾角稱為兩平面的夾角.,2.