1、測繪信息網(wǎng)平面線位誤差帶幾何形狀的解析表達(dá)*劉文寶戴洪磊徐泮林史文中(山東礦業(yè)學(xué)院，泰安，271019，香港理工大學(xué)，香港)(東南大學(xué)交通學(xué)院，南京，210096)THE ANALYTIC EXPRESSION OF GEOMETRIC FIGURE ON PLANAR LINES ERROR BANDLiu Wenbao，Dai Honglei，Xu Panlin，Shi Wenzhong(Shandong Mining Institute, Taian,271019)(The Hong Kong Polytechnic University)(S

2、outheast University, Nanjing,210096)AbstractBased on the envelop theory of the family of curve lines, this paper derives the boundary curves functional expression of the segments “g-band”,testifies the continuation of the function at the break point, and draws a conclusion that the “g-band” boundary

3、 is a closed continuous curve. Furthermore, according to isotropic, homogeneity and isotropic-homogeneity, this paper also gives the error bands equations and figures respectively. 測繪信息網(wǎng)KeywordsLine segment, Error band, Boundary curve, Envelop摘要本文根據(jù)求解曲線族包絡(luò)線原理，導(dǎo)出了描述隨機(jī)線元線位誤差帶(“g-

4、帶”)邊界線的分段函數(shù)表達(dá)式，證明了函數(shù)在分段點(diǎn)處的連續(xù)性，得出了“g-帶”邊界為連續(xù)閉合曲線的結(jié)論。從理論和實(shí)驗(yàn)角度討論了各向同性、準(zhǔn)均勻性和準(zhǔn)均勻且各向同性誤差帶的邊界線方程及形狀。測繪信息網(wǎng)關(guān)鍵詞線元誤差帶邊界線包絡(luò)線分類號P208 測繪信息網(wǎng)1引言在測繪學(xué)科中，誤差橢圓是衡量平面點(diǎn)位精度的實(shí)用方法1。在GIS中，誤差帶是衡量平面線位精度的實(shí)用方法2。這方面的研究始于Chrisman3，后人作了許多發(fā)展，有關(guān)評述見文獻(xiàn)4。文獻(xiàn)4還首次利用隨機(jī)過程工具提出了一個廣義誤差帶(“g-帶”，原文簡記為“De-

5、帶”)，從理論上概括和統(tǒng)一了已有的一些結(jié)果。但迄今的研究仍集中在誤差帶的定義和概率分布上4，很少涉及誤差帶幾何形狀的數(shù)學(xué)描述這一重要問題。測繪信息網(wǎng)由于平面點(diǎn)位誤差橢圓是平面解析幾何學(xué)中的典型二次曲線，其幾何形狀的數(shù)學(xué)描述非常簡單，即由主軸方向和長、短半軸值三個參數(shù)唯一確定。然而，對于GIS中的平面線位誤差帶，其幾何形狀的描述則較為復(fù)雜。為使討論具有一般性，本文針對“g-帶”探討其邊界線幾何形狀的解析表達(dá)。測繪信息網(wǎng)2線段上任意點(diǎn)的點(diǎn)位誤差橢圓方程2.1誤差橢圓參數(shù)圖1線段P0P1Fig.1Line seg

6、ment P0P1如圖1，P0P1為由端點(diǎn)P0(x0，y0)和P1(x1,y1)定義的線段，Pt為線元P0P1上任一點(diǎn)。記z0=(x0 y0)T，z1=(x1 y1)T和zt=(xt yt）T，則已知P0P1端點(diǎn)坐標(biāo)的協(xié)方差陣z0z0和z1z1可唯一確定ztzt4，進(jìn)而導(dǎo)出Pt點(diǎn)處誤差橢圓的長、短半軸At、Bt和主軸方向t的計(jì)算公式為測繪信息網(wǎng)(1)(2)(3)其中:t=|P0Pt|/|P0P1|，(t0，1)2.2誤差橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程測繪信息網(wǎng)將坐標(biāo)系xOy通過坐標(biāo)軸的平移和旋轉(zhuǎn)，變換到新坐標(biāo)系xOy中。這里

7、平移參數(shù)為(xt，yt)，旋轉(zhuǎn)參數(shù)為(90-t)。這時，新坐標(biāo)系xOy的原點(diǎn)在Pt點(diǎn)處誤差橢圓的中心上，y軸與誤差橢圓長軸方向重合，則Pt點(diǎn)處的誤差橢圓在新坐標(biāo)系xOy下的標(biāo)準(zhǔn)方程為(4)其中為截面常數(shù)1。當(dāng)1時的誤差橢圓方程稱為標(biāo)準(zhǔn)誤差橢圓。2.3誤差橢圓一般方程通過逆坐標(biāo)變換，得到Pt點(diǎn)的誤差橢圓在原坐標(biāo)系xOy下的一般方程為測繪信息網(wǎng)(5)記Xx-xt,Y=y-yt，將式(5)化為在平移坐標(biāo)系XOY下的一般二次曲線方程為utX2+2vtXY+wtY2+dt0(6)其中：3線位誤差帶3.1“g-帶”定義

8、測繪信息網(wǎng)利用線段上任一點(diǎn)Pt(xt,yt)處的點(diǎn)位誤差橢圓參數(shù)At，Bt和t可畫出線元P0P1上的無數(shù)個誤差橢圓(1)，如圖2(a)。由線元隨機(jī)過程理論知4，只有利用這一誤差橢圓族才能完整地描述線元的位置不確定性。如圖2(b)，端點(diǎn)P0、P1處的誤差橢圓弧AD、BC與誤差橢圓族的包絡(luò)線4AB、DC一起構(gòu)成了以線元真值為核心的帶狀區(qū)域，即為“g-帶”。圖2“g-帶”Fig.2General error band3.2誤差橢圓族包絡(luò)線方程測繪信息網(wǎng)根據(jù)包絡(luò)線的定義6，AB和CD弧的函數(shù)x=f2（y）和x=f3（y）描述了線段P0P1上任意點(diǎn)Pt處誤差橢

9、圓的極大、極小點(diǎn)在t（0,1）上的運(yùn)動軌跡。為此，首先求誤差橢圓的極值點(diǎn)方程。設(shè)線元P0P1的坐標(biāo)方位角為，令90-，將XOY坐標(biāo)系旋轉(zhuǎn)角至XOY坐標(biāo)系，使Y軸與線元P0P1方向重合，則新坐標(biāo)系XOY下的坐標(biāo)為(7)將式(7)代入式(6)，得在XOY坐標(biāo)系下的橢圓方程為at(X)2+2btXY+ct(Y)2+dt=0(8)其中：測繪信息網(wǎng)將式(8)中X對Y求導(dǎo)，并令(X)0得btX+ctY0(9)聯(lián)立式(8)、(9)，可得在坐標(biāo)系XOY下以t為參數(shù)的誤差橢圓極值點(diǎn)方程為(10)顧及式(6)、(7)，可得在原坐標(biāo)系xOy下誤差橢圓極值點(diǎn)在t（0,1）上

10、的運(yùn)動軌跡方程為測繪信息網(wǎng)(11)上式就是所求的線段上任一點(diǎn)處誤差橢圓族的包絡(luò)線方程。3.3“g-帶”邊界線方程如圖2(b)所示，“g-帶”的邊界線函數(shù)由AD、BC弧段的曲線方程x=f0(y)、x=f1(y)和AB、DC弧段的曲線方程x=f2(y)、x=f3(y)構(gòu)成。利用式(11)，并顧及1，可得方程x=f2(y)、x=f3(y)的參數(shù)式分別為(12)(13)下面再求f0(y)、f1(y)的解析表達(dá)式。將式(7)代入式(9)，整理后得極值點(diǎn)直線方程為測繪信息網(wǎng)x=xt+Rt(y-yt)(14)式中Rt=(

11、btsin-ctcos)/(btcos+ctsin)將式(14)與式(6)結(jié)合，可得方程x=f0(y)、x=f1(y)的隱式形式分別為(15)(16)于是，式(12)、(13)、(15)和(16)聯(lián)立后將構(gòu)成完整的“g-帶”邊界線方程。測繪信息網(wǎng)3.4“g-帶”邊界線的連續(xù)性平面曲線的表示方式通常有三種：顯式、隱式和參數(shù)式6。而“g-帶”的邊界線方程由兩個隱式方程和兩個參數(shù)方程共四個分段函數(shù)構(gòu)成，因此需要分析邊界線方程函數(shù)在分段點(diǎn)處的連續(xù)性。如圖2(b)，對于A點(diǎn)，左側(cè)x=f0(y)是P0點(diǎn)誤差橢圓的一部分，A點(diǎn)為在坐標(biāo)系XOY中誤差橢圓的極大點(diǎn)，由

12、于橢圓本身是連續(xù)的，故x=f0(y)在A點(diǎn)左連續(xù)；而函數(shù)x=f0(y)是誤差橢圓族的包絡(luò)線，本身在A點(diǎn)處是右連續(xù)的6。再由函數(shù)x=f0(y)求得橢圓上點(diǎn)A(xA，yA)處的坐標(biāo)值為(17)在函數(shù)x=f2(y)上，當(dāng)t0時，A點(diǎn)的極限值為(18)由式(17)、(18)可見，A點(diǎn)處左右函數(shù)的極限值相等。根據(jù)函數(shù)在一點(diǎn)處連續(xù)性的定義知7，“g-帶”邊界線分段函數(shù)x=f0(y)、x=f2(y)在分段點(diǎn)A處是連續(xù)的。同理可證，在B，C，D各點(diǎn)處，相應(yīng)的邊界線函數(shù)也是連續(xù)的。因此，“g-帶”邊界是一條連續(xù)閉合曲線。4“g-帶”特例的邊界線方程4.1各向同性“g-帶”http:/www.othermap.c

13、om測繪信息網(wǎng)當(dāng)隨機(jī)線元具有各向同性時， 2x0=2y0=20, 2x1=2y1=21，x0y0=x1y1=0，則線元兩端點(diǎn)P0、P1處的誤差橢圓變?yōu)檎`差圓。此時線元上各點(diǎn)處的誤差橢圓也變?yōu)檎`差圓，其參數(shù)為1，t90，長、短半軸為A2t=B2t=(1-t)220+t221。于是，根據(jù)t,At,Bt的值可計(jì)算出ut=1,vt=0,wt=1。則“g-帶”邊界線方程式(12)、(13)、(15)和(16)分別簡化為(12a)(13a)f0(y):(x-x0)2+(y-y0)220，x=f0(y)x0-(y-y0)cot(15a)f1(y):(x-x1)2+(y-y1)221，x=f1(y)x1-(y

14、-y1)cot(16a)4.2準(zhǔn)均勻性“g-帶”測繪信息網(wǎng)當(dāng)隨機(jī)線元具有準(zhǔn)均勻性時，2x0=2x1=2x，2y0=2y1=2y，x0y0=x1y1=xy，則線元兩端P0、P1處的誤差橢圓大小和主軸方向完全相同。此時，線元上各點(diǎn)誤差橢圓的主軸方向與兩端點(diǎn)處的也相同，其參數(shù)計(jì)算式(1)(3)分別簡化為(1a)(2a)(3a)而“g-帶”邊界線方程的形式仍與式(12)、(13)、(15)、(16)相同。4.3準(zhǔn)均勻且各向同性“g-帶”測繪信息網(wǎng)當(dāng)隨機(jī)線元同時兼有準(zhǔn)均勻性和各向同性時，2x0=2y0=2x1=2y1

15、=2,x0y0=x1y1=0，則線元兩端點(diǎn)P0、P1處的誤差橢圓變?yōu)榘霃较嗟鹊恼`差圓。此時，線元上各點(diǎn)處的誤差橢圓也變?yōu)檎`差圓，但半徑不等，其參數(shù)為1，t=90，A2t=B2t(2t2-2t+1)2。于是，“g-帶”邊界線方程簡化為(12b)(13b)f0(y):(x-x0)2+(y-y0)22,x=f0(y)x0-(y-y0)cot(15b)f1(y):(x-x1)2+(y-y1)22,x=f1(y)x1-(y-y1)cot(16b)5算例分析測繪信息網(wǎng)5.1分析步驟(1) 給定線段的兩端點(diǎn)坐標(biāo)值及其方差、協(xié)方差信息；(2) 確定線段上待畫誤差橢圓

16、的密度或個數(shù)N(含兩端點(diǎn)處的)及步長值t=|P0Pt|/|P0P1|；(3) 對t不同的步長取值，利用式(1)(3)計(jì)算線段上選定點(diǎn)處的誤差橢圓參數(shù)(At,Bt,t)(t0，1)；(4) 畫出線段上的N個誤差橢圓；(5) 記錄線段上點(diǎn)位誤差2ptA2t+B2t最小的點(diǎn)位信息(t,xt,yt)及其對應(yīng)的誤差橢圓參數(shù)(At,Bt,t)，并定義為臨界誤差橢圓，它是線段上的點(diǎn)從一端向另一端移動時，點(diǎn)位精度升、降的分界點(diǎn)；(6) 利用方程(12)、(13)、(15)、(16)畫出“g-帶”(1)的邊界線；(7) 分析第(6)步的邊界線與第(4)步的誤差橢圓族的擬合程度，以驗(yàn)證“g-帶”邊界線函數(shù)式(12

17、)、(13)、(15)、(16)的正確性。根據(jù)上述思路，進(jìn)行了大批數(shù)據(jù)計(jì)算試驗(yàn)。其中利用式(12)、(13)、(15)、(16)繪制曲線時，在AutoCAD平臺下，選取5個特征點(diǎn)即得到與誤差橢圓族擬合相當(dāng)好的包絡(luò)線。由于篇幅所限，下面僅列舉四種情況。5.2試驗(yàn)結(jié)果舉例測繪信息網(wǎng)表1中給出了線段P0P1端點(diǎn)P0、P1的坐標(biāo)值及四種誤差狀態(tài)，其中1為準(zhǔn)均勻且各向同性線段，2為各向同性線段，3為一般線段，4為準(zhǔn)均勻性線段。表2中列出了計(jì)算的線段P0P1端點(diǎn)誤差橢圓和臨界誤差橢圓的信息。表1起算數(shù)據(jù)Tab.1Initial data線元號P0P1X0Y02x

18、02y0x0y0X1Y12x12y1x1y11300.00100.0015.8415.840.00300.00120.0015.8415.840.002500.00100.003.963.960.00500.00120.0015.8415.840.003500.00100.0018.918.718.83500.00120.0018.918.71-8.834500.00100.0018.918.718.83500.00120.0018.918.718.83 表2計(jì)算數(shù)據(jù)Tab.2Calculation data線元號P0PtP1A0B00tXtYt2xt2ytxtytAtBttA1B1113.9

19、83.9800.503001107.927.920.002.812.8103.983.98021.991.9900.205001001.781.7803.983.98034.901.90300.505001109.464.350.003.072.0904.901.9015044.901.90300.505001109.454.364.423.461.34304.901.9030在圖3中，(a)為四種誤差狀態(tài)下線段P0P1上各自的21個誤差橢圓；(b) 為由方程(12)、(13)、(15)、(16)繪出的“g-帶”邊界線；(c)為(b)中邊界線與(a)中線段端點(diǎn)處誤差橢圓

20、及臨界誤差橢圓相疊加的結(jié)果。從表2和圖3中可見，對線段1，臨界誤差(橢)圓必在線段中點(diǎn)處；對線段2，臨界誤差(橢)圓必靠近精度高的端點(diǎn)；對線段3，臨界誤差橢圓的主軸方向必垂直于線元(本例中)；對線段4，臨界誤差橢圓的主軸方向必與端點(diǎn)處的一致。測繪信息網(wǎng)6結(jié)論(1) 平面線段線位誤差帶(“g-帶”)的幾何形狀取決于線段端點(diǎn)坐標(biāo)的誤差狀態(tài)。(2) 平面線段線位誤差帶(“g-帶”)的邊界線方程可由分別歸屬于端點(diǎn)處的誤差橢圓和線段上各點(diǎn)處誤差橢圓族包絡(luò)線的四個分段函數(shù)表達(dá)。(3) 平面線段線位誤差帶(“g-帶”)的邊界線為連續(xù)閉合曲線。(a) The family of point(b) The boundary curve of(c) The end points and error ellipsesline error bandcritical error ellipses 圖3線段P0P1四種誤差狀態(tài)下